鲁教版九年级数学上册第三章3.5确定二次函数的表达式(含答案)
文档属性
| 名称 | 鲁教版九年级数学上册第三章3.5确定二次函数的表达式(含答案) |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 79.9KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 鲁教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2015-10-08 20:46:49 | ||
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文档简介
鲁教版九年级数学上册第三章3.5确定二次函数的表达式（含答案）
一、知识梳理
（1）如果给出二次函数图像上的三个点的坐标，或三组x，y的对应值，那么表达式设为一般式，即 。
（2）如果给出的条件涉及到二次函数的顶点坐标、对称轴或最大（小）值，那么表达式设为顶点式，即 。
（3）如果给出的条件涉及二次函数的图像与x轴的两个交点，可将表达式设为 ，即 。
二、典例精析
1、已知一个二次函数的图象经过A（﹣2，）、B（0，）和C（1，﹣2）三点．
（1）求出这个二次函数的解析式；
（2）若函数的图象与x轴相交于点E、F（E在F的左边），求△EFB的面积．
2、已知关于x的二次函数的图象的顶点坐标为（﹣1，2），且图象过点（1，﹣3），
（1）求这个二次函数的关系式；
（2）写出它的开口方向、对称轴．
3、如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）求该抛物线的对称轴以及顶点坐标；
（3）设（1）中的抛物线上有一个动点P，当点P在该抛物线上滑动到什么位置时，满足S△PAB=8，并求出此时P点的坐标．
三、对应练习
4、已知二次函数y=x2+bx+c的图象如图所示，它与x轴的一个交点坐标为（1，0），与y轴的交点坐标为（0，﹣3）．
（1）求出b、c的值，并写出此二次函数的解析式；
（2）根据图象，直接写出函数值y为正数时，自变量x的取值范围．
5、在平面直角坐标系中，△AOB的位置如图所示．已知∠AOB=90°，AO=BO，点A的坐标为（﹣3，1）．
（1）求点B的坐标；
（2）求过A，O，B三点的抛物线的解析式；
（3）求△AOB的面积．
6、已知二次函数y=ax2+bx+c的图象过点（1，0），（﹣3，0），（0，）．
（1）求该二次函数关系式，并画出这个二次函数的图象；
（2）根据图象，写出当y＜0时，x的取值范围．
四、拓展延伸
7、已知抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（2，0）、C（0，2）三点．
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）如图，点P是第一象限内抛物线上的一个动点，若点P使四边形ABPC的面积最大，求点P的坐标．
8、已知：如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C．过点C作CD∥x轴，交抛物线的对称轴于点D．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若将该抛物线向下平移m个单位，使其顶点落在D点，求m的值．
五、中考演练新
1．已知某二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的解析式为（ ）
A．y=﹣3（x﹣1）2+3 B．y=3（x﹣1）2+3 C．y=﹣3（x+1）2+3 D．y=3（x+1）2+3
（1题图） （7题图）
2．如果抛物线y=x2﹣6x+c﹣2的顶点到x轴的距离是3，那么c的值等于（ ）
A．8 B． 14 C． 8或14 D． ﹣8或﹣14
3．顶点为（6，0），开口向下，开口的大小与函数y=x2的图象相同的抛物线所对应的函数是（ ）
A．y=（x+6）2 B． y=（x﹣6）2 C． y=﹣（x+6）2 D． y=﹣（x﹣6）2
4．已知抛物线y=x2﹣8x+c的顶点在x轴上，则c等于（ ）
A．4 B． 8 C． ﹣4 D． 16
5．如果抛物线经过点A（2，0）和B（﹣1，0），且与y轴交于点C，若OC=2．则这条抛物线的解析式是（ ）
A．y=x2﹣x﹣2 B． y=﹣x2﹣x﹣2或y=x2+x+2
C．y=﹣x2+x+2 D． y=x2﹣x﹣2或y=﹣x2+x+2
6．如果一条抛物线经过平移后与抛物线y=﹣x2+2重合，且顶点坐标为（4，﹣2），则它的解析式为 ．
7．如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点（﹣1，0）、（3，0）和（0，2），当x=2时，y的值为 ．
8．在二次函数y=﹣x2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如下表：
x ﹣3 ﹣2 ﹣1 1 2 3 4 5 6
y ﹣14 ﹣7 ﹣2 2 m n ﹣7 ﹣14 ﹣23
则m+n= ．
9．二次函数图象过点（﹣3，0）、（1，0），且顶点的纵坐标为4，此函数关系式为 ．
10．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过A（﹣1，﹣1）、B（0，2）、C（1，3）；则二次函数的解析式 ．
11．已知抛物线的顶点坐标为M（1，﹣2），且经过点N（2，3），求此二次函数的解析式．
12．二次函数的图象经过点A（0，﹣3），B（2，﹣3），C（﹣1，0）．
（1）求此二次函数的关系式；
（2）求此二次函数图象的顶点坐标；
（3）填空：把二次函数的图象沿坐标轴方向最少平移 5 个单位，使得该图象的顶点在原点．
13．已知二次函数y=ax2+bx+C图象上部分点的坐标（x，y）满足下表：
（1）求该二次函数的解析式；
（2）用配方法求出该二次函数图象的顶点坐标和对称轴．
x … ﹣2 ﹣1 0 1 …
y … 3 2 ﹣1 ﹣6 …
鲁教版九年级数学上册第三章3.5确定二次函数的表达式参考答案
1、解：（1）设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c，
根据题意得，解得，所以二次函数解析式为y=x2﹣x﹣；
（2）当y=0时，x2﹣x﹣=0，解得x1=﹣1，x2=3，
所以E点坐标为（﹣1，0），F点坐标为（3，0），
所以△EFB的面积=×（3+1）×=3．
2、解：（1）设函数解析式为y=a（x﹣h）2+k，把顶点和点（1，﹣3）代入解析式，得：
a=﹣，所以抛物线的解析式为：；
（2）由（1）的函数解析式可得：抛物线的开口向下，对称轴x=﹣1．
3、 解：（1）∵抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，
∴方程x2+bx+c=0的两根为x=﹣1或x=3，∴﹣1+3=﹣b，﹣1×3=c，∴b=﹣2，c=﹣3，
∴二次函数解析式是y=x2﹣2x﹣3．
（2）∵y=﹣x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，∴抛物线的对称轴x=1，顶点坐标（1，﹣4）．
（3）设P的纵坐标为|yP|，
∵S△PAB=8，∴AB |yP|=8，
∵AB=3+1=4，∴|yP|=4，∴yP=±4，
把yP=4代入解析式得，4=x2﹣2x﹣3，解得，x=1±2，
把yP=﹣4代入解析式得，﹣4=x2﹣2x﹣3，解得，x=1，
∴点P在该抛物线上滑动到（1+2，4）或（1﹣2，4）或（1，﹣4）时，满足S△PAB=8．
4、解：（1）由二次函数y=x2+bx+c的图象经过（1，0）和（0，﹣3）两点，
得，解这个方程组，得；∴抛物线的解析式为y=x2+2x﹣3．
（2）当x＜﹣3或x＞1时，y＞0．
5、解：（1）如图，作AC⊥x轴，垂足为C，作BD⊥x轴垂足为D．
则∠ACO=∠ODB=90°，∴∠AOC+∠OAC=90°．
又∵∠AOB=90°，∴∠AOC+∠BOD=90°∴∠OAC=∠BOD．
又∵AO=BO，∴△ACO≌△ODB．∴OD=AC=1，DB=OC=3．
∴点B的坐标为（1，3）．
（2）抛物线过原点，可设所求抛物线的解析式为：y=ax2+bx．
将A（﹣3，1），B（1，3），O（0，0）代入y=ax2+bx，得，解得．
故所求抛物线的解析式为y=x2+x．
（3）S△AOB=S梯形ACDB﹣S△AOC﹣S△BOD=×（1+3）×（1+3）﹣×3×1﹣×1×3
=8﹣﹣=8﹣3=5．
（5题图） （6题图）
6、解：（1）∵二次函数y=ax2+bx+c的图象过点（1，0），（﹣3，0），（0，），
∴，解得：，∴该二次函数关系式为：y=﹣x2﹣x+，
∵y=﹣x2﹣x+=﹣（x+1）2+2，
∴顶点为：（﹣1，2），
画出图象如上图：
（2）当y＜0时，x的取值范围为：x＜﹣3或x＞1．
7、解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（2，0）、C（0，2）三点，
∴，解得：a=﹣1，b=1，c=2，∴这条抛物线的解析式为y=﹣x2+x+2．
（2）连接PO，过点P分别作PM⊥y轴于点M，PN⊥x轴于点N；
设点P坐标为（m，n），
则n=﹣m2+m+2；∵点P是第一象限内抛物线上的一个动点，
∴0＜m＜2，n＞0；
由题意得：PM=m，PN=n；
∵，，，
∴S四边形ABPC=1+m+n=1+m﹣m2+m+2=﹣m2+2m+3，
∵二次项系数a=﹣1＜0，
∴当m=时，四边形ABPC的面积取得最大值，
此时，n=﹣1+1+2=2；
∴当四边形ABPC的面积最大时，点P坐标为（1，2）
8、解：（1）将A（﹣1，0），B（3，0）代入y=﹣x2+bx+c中，
得：，解得：．则抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3；
（2）当x=0，y=3，即OC=3，
∵抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，∴顶点坐标为（1，4），
∵对称轴为直线，∴CD=1，
∵CD∥x轴，∴D（1，3），∴m=4﹣3=1．
中考演练部分
1．A 2．C 3．D 4．D 5．D
6．y=-（x-4）2-2 7．2 8．-1 9．y=-x2-2x+3 10．y=-x2+2x+2
11．解：已知抛物线的顶点坐标为M（1，﹣2），
设此二次函数的解析式为y=a（x﹣1）2﹣2，
把点（2，3）代入解析式，得：
a﹣2=3，即a=5，
∴此函数的解析式为y=5（x﹣1）2﹣2．
12．解：（1）设y=ax2+bx﹣3，
把点（2，﹣3），（﹣1，0）代入得，解方程组得∴y=x2﹣2x﹣3；
（也可设y=a（x﹣1）2+k）
（2）y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，
∴函数的顶点坐标为（1，﹣4）；
（3）|1﹣0|+|﹣4﹣0|=5．
13．解：（1）把点（0，﹣1）代入y=ax2+bx+c，得c=﹣1．
再把点（﹣1，2），（1，﹣6）分别代入y=ax2+bx﹣1中，得
，解得：，所以这个二次函数的关系式为：y=﹣x2﹣4x﹣1．
（2）y=﹣x2﹣4x﹣1
=﹣（x+2）2﹣5．
该二次函数图象的顶点坐标为（﹣2，﹣5），对称轴为x=﹣2．
一、知识梳理
（1）如果给出二次函数图像上的三个点的坐标，或三组x，y的对应值，那么表达式设为一般式，即 。
（2）如果给出的条件涉及到二次函数的顶点坐标、对称轴或最大（小）值，那么表达式设为顶点式，即 。
（3）如果给出的条件涉及二次函数的图像与x轴的两个交点，可将表达式设为 ，即 。
二、典例精析
1、已知一个二次函数的图象经过A（﹣2，）、B（0，）和C（1，﹣2）三点．
（1）求出这个二次函数的解析式；
（2）若函数的图象与x轴相交于点E、F（E在F的左边），求△EFB的面积．
2、已知关于x的二次函数的图象的顶点坐标为（﹣1，2），且图象过点（1，﹣3），
（1）求这个二次函数的关系式；
（2）写出它的开口方向、对称轴．
3、如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）求该抛物线的对称轴以及顶点坐标；
（3）设（1）中的抛物线上有一个动点P，当点P在该抛物线上滑动到什么位置时，满足S△PAB=8，并求出此时P点的坐标．
三、对应练习
4、已知二次函数y=x2+bx+c的图象如图所示，它与x轴的一个交点坐标为（1，0），与y轴的交点坐标为（0，﹣3）．
（1）求出b、c的值，并写出此二次函数的解析式；
（2）根据图象，直接写出函数值y为正数时，自变量x的取值范围．
5、在平面直角坐标系中，△AOB的位置如图所示．已知∠AOB=90°，AO=BO，点A的坐标为（﹣3，1）．
（1）求点B的坐标；
（2）求过A，O，B三点的抛物线的解析式；
（3）求△AOB的面积．
6、已知二次函数y=ax2+bx+c的图象过点（1，0），（﹣3，0），（0，）．
（1）求该二次函数关系式，并画出这个二次函数的图象；
（2）根据图象，写出当y＜0时，x的取值范围．
四、拓展延伸
7、已知抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（2，0）、C（0，2）三点．
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）如图，点P是第一象限内抛物线上的一个动点，若点P使四边形ABPC的面积最大，求点P的坐标．
8、已知：如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C．过点C作CD∥x轴，交抛物线的对称轴于点D．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若将该抛物线向下平移m个单位，使其顶点落在D点，求m的值．
五、中考演练新
1．已知某二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的解析式为（ ）
A．y=﹣3（x﹣1）2+3 B．y=3（x﹣1）2+3 C．y=﹣3（x+1）2+3 D．y=3（x+1）2+3
（1题图） （7题图）
2．如果抛物线y=x2﹣6x+c﹣2的顶点到x轴的距离是3，那么c的值等于（ ）
A．8 B． 14 C． 8或14 D． ﹣8或﹣14
3．顶点为（6，0），开口向下，开口的大小与函数y=x2的图象相同的抛物线所对应的函数是（ ）
A．y=（x+6）2 B． y=（x﹣6）2 C． y=﹣（x+6）2 D． y=﹣（x﹣6）2
4．已知抛物线y=x2﹣8x+c的顶点在x轴上，则c等于（ ）
A．4 B． 8 C． ﹣4 D． 16
5．如果抛物线经过点A（2，0）和B（﹣1，0），且与y轴交于点C，若OC=2．则这条抛物线的解析式是（ ）
A．y=x2﹣x﹣2 B． y=﹣x2﹣x﹣2或y=x2+x+2
C．y=﹣x2+x+2 D． y=x2﹣x﹣2或y=﹣x2+x+2
6．如果一条抛物线经过平移后与抛物线y=﹣x2+2重合，且顶点坐标为（4，﹣2），则它的解析式为 ．
7．如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点（﹣1，0）、（3，0）和（0，2），当x=2时，y的值为 ．
8．在二次函数y=﹣x2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如下表：
x ﹣3 ﹣2 ﹣1 1 2 3 4 5 6
y ﹣14 ﹣7 ﹣2 2 m n ﹣7 ﹣14 ﹣23
则m+n= ．
9．二次函数图象过点（﹣3，0）、（1，0），且顶点的纵坐标为4，此函数关系式为 ．
10．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过A（﹣1，﹣1）、B（0，2）、C（1，3）；则二次函数的解析式 ．
11．已知抛物线的顶点坐标为M（1，﹣2），且经过点N（2，3），求此二次函数的解析式．
12．二次函数的图象经过点A（0，﹣3），B（2，﹣3），C（﹣1，0）．
（1）求此二次函数的关系式；
（2）求此二次函数图象的顶点坐标；
（3）填空：把二次函数的图象沿坐标轴方向最少平移 5 个单位，使得该图象的顶点在原点．
13．已知二次函数y=ax2+bx+C图象上部分点的坐标（x，y）满足下表：
（1）求该二次函数的解析式；
（2）用配方法求出该二次函数图象的顶点坐标和对称轴．
x … ﹣2 ﹣1 0 1 …
y … 3 2 ﹣1 ﹣6 …
鲁教版九年级数学上册第三章3.5确定二次函数的表达式参考答案
1、解：（1）设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c，
根据题意得，解得，所以二次函数解析式为y=x2﹣x﹣；
（2）当y=0时，x2﹣x﹣=0，解得x1=﹣1，x2=3，
所以E点坐标为（﹣1，0），F点坐标为（3，0），
所以△EFB的面积=×（3+1）×=3．
2、解：（1）设函数解析式为y=a（x﹣h）2+k，把顶点和点（1，﹣3）代入解析式，得：
a=﹣，所以抛物线的解析式为：；
（2）由（1）的函数解析式可得：抛物线的开口向下，对称轴x=﹣1．
3、 解：（1）∵抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，
∴方程x2+bx+c=0的两根为x=﹣1或x=3，∴﹣1+3=﹣b，﹣1×3=c，∴b=﹣2，c=﹣3，
∴二次函数解析式是y=x2﹣2x﹣3．
（2）∵y=﹣x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，∴抛物线的对称轴x=1，顶点坐标（1，﹣4）．
（3）设P的纵坐标为|yP|，
∵S△PAB=8，∴AB |yP|=8，
∵AB=3+1=4，∴|yP|=4，∴yP=±4，
把yP=4代入解析式得，4=x2﹣2x﹣3，解得，x=1±2，
把yP=﹣4代入解析式得，﹣4=x2﹣2x﹣3，解得，x=1，
∴点P在该抛物线上滑动到（1+2，4）或（1﹣2，4）或（1，﹣4）时，满足S△PAB=8．
4、解：（1）由二次函数y=x2+bx+c的图象经过（1，0）和（0，﹣3）两点，
得，解这个方程组，得；∴抛物线的解析式为y=x2+2x﹣3．
（2）当x＜﹣3或x＞1时，y＞0．
5、解：（1）如图，作AC⊥x轴，垂足为C，作BD⊥x轴垂足为D．
则∠ACO=∠ODB=90°，∴∠AOC+∠OAC=90°．
又∵∠AOB=90°，∴∠AOC+∠BOD=90°∴∠OAC=∠BOD．
又∵AO=BO，∴△ACO≌△ODB．∴OD=AC=1，DB=OC=3．
∴点B的坐标为（1，3）．
（2）抛物线过原点，可设所求抛物线的解析式为：y=ax2+bx．
将A（﹣3，1），B（1，3），O（0，0）代入y=ax2+bx，得，解得．
故所求抛物线的解析式为y=x2+x．
（3）S△AOB=S梯形ACDB﹣S△AOC﹣S△BOD=×（1+3）×（1+3）﹣×3×1﹣×1×3
=8﹣﹣=8﹣3=5．
（5题图） （6题图）
6、解：（1）∵二次函数y=ax2+bx+c的图象过点（1，0），（﹣3，0），（0，），
∴，解得：，∴该二次函数关系式为：y=﹣x2﹣x+，
∵y=﹣x2﹣x+=﹣（x+1）2+2，
∴顶点为：（﹣1，2），
画出图象如上图：
（2）当y＜0时，x的取值范围为：x＜﹣3或x＞1．
7、解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（2，0）、C（0，2）三点，
∴，解得：a=﹣1，b=1，c=2，∴这条抛物线的解析式为y=﹣x2+x+2．
（2）连接PO，过点P分别作PM⊥y轴于点M，PN⊥x轴于点N；
设点P坐标为（m，n），
则n=﹣m2+m+2；∵点P是第一象限内抛物线上的一个动点，
∴0＜m＜2，n＞0；
由题意得：PM=m，PN=n；
∵，，，
∴S四边形ABPC=1+m+n=1+m﹣m2+m+2=﹣m2+2m+3，
∵二次项系数a=﹣1＜0，
∴当m=时，四边形ABPC的面积取得最大值，
此时，n=﹣1+1+2=2；
∴当四边形ABPC的面积最大时，点P坐标为（1，2）
8、解：（1）将A（﹣1，0），B（3，0）代入y=﹣x2+bx+c中，
得：，解得：．则抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3；
（2）当x=0，y=3，即OC=3，
∵抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，∴顶点坐标为（1，4），
∵对称轴为直线，∴CD=1，
∵CD∥x轴，∴D（1，3），∴m=4﹣3=1．
中考演练部分
1．A 2．C 3．D 4．D 5．D
6．y=-（x-4）2-2 7．2 8．-1 9．y=-x2-2x+3 10．y=-x2+2x+2
11．解：已知抛物线的顶点坐标为M（1，﹣2），
设此二次函数的解析式为y=a（x﹣1）2﹣2，
把点（2，3）代入解析式，得：
a﹣2=3，即a=5，
∴此函数的解析式为y=5（x﹣1）2﹣2．
12．解：（1）设y=ax2+bx﹣3，
把点（2，﹣3），（﹣1，0）代入得，解方程组得∴y=x2﹣2x﹣3；
（也可设y=a（x﹣1）2+k）
（2）y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，
∴函数的顶点坐标为（1，﹣4）；
（3）|1﹣0|+|﹣4﹣0|=5．
13．解：（1）把点（0，﹣1）代入y=ax2+bx+c，得c=﹣1．
再把点（﹣1，2），（1，﹣6）分别代入y=ax2+bx﹣1中，得
，解得：，所以这个二次函数的关系式为：y=﹣x2﹣4x﹣1．
（2）y=﹣x2﹣4x﹣1
=﹣（x+2）2﹣5．
该二次函数图象的顶点坐标为（﹣2，﹣5），对称轴为x=﹣2．