高中数学人教A版（2019）必修1 1.1 集合的概念 同步练习（含答案）

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1．1　集合的概念
必备知识基础练
1．下列能构成集合的是(　　)
A.中央电视台著名节目主持人
B.我市跑得快的汽车
C.上海市所有的中学生
D.数学必修第一册课本中所有的难题
2．（多选）下列元素与集合的关系中，错误的是(　　)
A.－1∈N B．0 N*
C.∈Q D． R
3．集合用列举法表示是(　　)
A.{1，2，3}　　　
B．{1，2，3，4}
C.{0，1，2，3，4}　　
D．{0，1，2，3}
4．用“book”中的字母构成的集合中元素个数为(　　)
A.1 B．2
C.3 D．4
5．集合A＝{x∈Z|－2A.1 B．2
C.3 D．4
6．若实数a＝2，集合B＝{x|－17．若3∈{1，2a}，则实数a＝________．
8．若用描述法表示所有偶数构成的集合M，则M＝________．
关键能力综合练
1．已知集合A＝{x|x2<1}，且a∈A，则a的值可能为(　　)
A.－2　 　 B．－1 C．0　 　 D．1
2．若以集合A中的四个元素a，b，c，d为边长构成一个四边形，则这个四边形可能是(　　)
A.矩形　　　　　 B．平行四边形
C.梯形　　　　　 D．菱形
3．集合A＝用列举法可以表示为(　　)
A.{3，6} B．{1，2}
C.{0，1，2} D．{－2，－1，0，1，2}
4．下列各组集合表示同一集合的是(　　)
A.M＝，N＝
B.M＝，N＝{y|x＋y＝1}
C.M＝{4，5}，N＝{5，4}
D.M＝{1，2}，N＝
5．已知集合M＝{(x，y)|x，y∈N*，x＋y<3}，则M中元素的个数为(　　)
A.1　　　B．2 C．3　　　D．0
6．若2∈{1，a，a2－2}，则a＝________．
7．已知x，y均为非零实数，则代数式＋＋的值所组成的集合的元素个数是________．
8．集合A＝{1，0}，B＝{3，4}，Q＝{2a＋b|a∈A，b∈B}，则Q的所有元素之和等于________．
9．设集合A＝{2，3，a2＋4a＋2}，集合B＝{0，7，a2＋4a－2，2－a}，这里a是某个正数，且7∈A，求集合B.
10．已知集合{x|ax2＋2x＋1＝0，a∈R}．
(1)若A中只有一个元素，求a的值；
(2)若A中至多有一个元素，求a的取值范围．
核心素养升级练
1．定义集合运算：A·B＝{z|z＝x2(y－1)，x∈A，y∈B}．设A＝{－1，1}，B＝{0，2}，则集合A·B中的所有元素之和为(　　)
A.0　 　　B．1 C．2　 　　D．3
2．一般地，我们把研究的对象统称为元素，把一些元素组成的总体称为集合．一个给定集合中的元素是互不相同的；也就是说，集合中的元素是不重复出现的．如一组数1，1，2，3，4就可以构成一个集合，记为A＝{1，2，3，4}．类比实数有加法运算，集合也可以“相加”．定义：集合A与集合B中的所有元素组成的集合称为集合A与集合B的和，记为A＋B.若A＝{0，1，2，3}，B＝{0，3，4}，则A＋B＝________．
3．设数集A由实数构成，且满足：若x∈A(x≠1且x≠0)，则∈A.
(1)若2∈A，试证明A中还有另外两个元素；
(2)集合A是否为双元素集合，并说明理由．
参考答案
必备知识基础练
1．答案：C
解析：∵构成集合的元素具有确定性，选项ABD中没有明确标准，不符合集合定义，选项C正确．
2．答案：ACD
解析：因为－1是整数，不是自然数，所以A不正确；
因为0不是正整数，所以B正确；
因为是无理数，不是有理数，所以C不正确；
因为是实数，所以D不正确．
3．答案：D
解析：{x∈N|x－2＜2}＝{x∈N|x＜4}＝{0，1，2，3}．
4．答案：C
解析：“book”中的字母构成的集合为{b，o，k}，有3个元素．
5．答案：D
解析：∵集合A＝{x∈Z|－2＜x＜3}＝{－1，0，1，2}，
∴集合A中元素的个数是4.
6．答案：a∈B
解析：因为a＝2，满足－1＜2＜3，所以a∈B.
7．答案：
解析：因为3∈{1，2a}，
所以2a＝3，解得a＝.
8．答案：M＝{x|x＝2k，k∈Z}
解析：偶数可以用2k，k∈Z来进行表示，所以M＝{x|x＝2k，k∈Z}．
关键能力综合练
1．答案：C
解析：集合A＝{x|x2＜1}＝{x|－1＜x＜1}，四个选项中，只有0∈A.
2．答案：C
解析：由题意，集合A中的四个元素a，b，c，d为边长构成一个四边形，
根据集合中元素的互异性，可得a，b，c，d四个元素互不相等，
以四个元素a，b，c，d为边长构成一个四边形，结合选项，只能为梯形．
3．答案：B
解析：因为∈N*，所以3－x＝1，2，3，6，可得x＝2，1，0，－3，
因为x∈N*，所以x＝1，2，集合A＝{1，2}．
4．答案：C
解析：对于A：集合M＝{(3，2)}表示含有点(3，2)的集合，N＝{(2，3)}表示含有点(2，3)的集合，显然不是同一集合，故A错误；
对于B：集合M表示的是直线x＋y＝1上的点组成的集合，集合N＝R为数集，故B错误；
对于C：集合M、N均表示含有4，5两个元素组成的集合，故是同一集合，故C正确；
对于D：集合M表示的是数集，集合N为点集，故D错误．
5．答案：A
解析：集合M＝{(x，y)|x，y∈N*，x＋y＜3}＝{(1，1)}，
所以M中只有1个元素．
6．答案：－2
解析：若a＝2，则a2－2＝2，不满足互异性，所以a≠2.
若a2－2＝2，a＝－2或a＝2(舍去)，
所以a＝－2.
7．答案：2
解析：根据题意分2种情况讨论：
当x，y全部为负数时，xy为正数，则＋＋＝－1－1＋1＝－1；
当x，y全部为正数时，xy为正数，则＋＋＝1＋1＋1＝3；
当x，y一正一负时，xy为负数，则＋＋＝1－1－1＝－1；
综上可知，＋＋的值为－1或3，即代数式的值所组成的集合的元素个数是2.
8．答案：18
解析：由题可知，A＝{1，0}，B＝{3，4}，Q＝{2a＋b|a∈A，b∈B}，
当a＝1，b＝3时，则2a＋b＝5；当a＝1，b＝4时，则2a＋b＝6；
当a＝0，b＝3时，则2a＋b＝3；当a＝0，b＝4时，则2a＋b＝4；
所以Q＝{3，4，5，6}，
所以Q的所有元素之和为：3＋4＋5＋6＝18.
9．解析：由题得a2＋4a＋2＝7，解得a＝1或a＝－5.
因为a＞0，所以a＝1.
当a＝1时，B＝{0，7，3，1}．
故集合B＝{0，7，3，1}．
10．解析：(1)当a＝0时，原方程变为2x＋1＝0，
此时x＝－，符合题意．
当a≠0时， Δ＝4－4a＝0，
解得a＝1，
此时原方程为x2＋2x＋1＝0，即x＝－1.
所以a的值为0或1.
(2)由(1)知当a＝0时，A中只有一个元素．
当a≠0时，若A中至多含有一个元素，则一元二次方程ax2＋2x＋1＝0有一个解或无解，即，解得a≥1，此时方程ax2＋2x＋1＝0至多有一个解．
综上可知，a的取值范围是a＝0或a≥1.
核心素养升级练
1．答案：A
解析：当x＝－1，y＝0时，z＝(－1)2×(0－1)＝－1；当x＝－1，y＝2时，z＝(－1)2×(2－1)＝1；
当x＝1，y＝0时，z＝12×(0－1)＝－1；当x＝1，y＝2时，z＝12×(2－1)＝1；
所以A·B＝{－1，1}，所以A·B中所有元素之和为0.
2．答案：{0，1，2，3，4}
解析：按照题意，集合“相加”的定义：集合A与集合B中的所有元素组成的集合称为集合A与集合B的和，
因为A＝{0，1，2，3}，B＝{0，3，4}，
所以A＋B＝{0，1，2，3，4}．
3．解析：(1)证明：若x∈A，则∈A.
又∵2∈A，∴＝－1∈A.
∵－1∈A，∴＝∈A.
∵∈A，∴＝2∈A，
∴A中另外两个元素为－1，；
(2)x∈A，∈A，∈A，且x≠，≠，
x≠，故集合A中至少有3个元素，∴不是双元素集合．
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