高中数学人教A版（2019）必修1 1.4.2 充要条件 同步练习（含答案）

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1.4.2　充要条件
必备知识基础练 进阶训练第一层
1．在△ABC中，“AB＝AC”是“△ABC为等腰三角形”的(　　)
A.充要条件
B.必要不充分条件
C.充分不必要条件
D.既不充分也不必要条件
2．已知m>0，则“a>b”是“am>bm”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
3．设a，b为实数，则“a－b>0”是“a2－b2>0”的(　　)
A.充要条件
B.充分不必要条件
C.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
4．“x，y∈Q”是“xy∈Q”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.既是充分条件，也是必要条件
D.充分必要条件
5．(多选)对任意实数a，b，c，下列命题中真命题是(　　)
A.“a＝b”是“ac＝bc”的充要条件
B.“a＋5是无理数”是“a是无理数”的充要条件
C.“a>b”是“a2>b2”的充分条件
D.“a<5”是“a<3”的必要条件
6．设a，b∈R，则“a2＋b2＝0”的充要条件是________．
关键能力综合练 进阶训练第二层
1．已知x，y是实数，则“x>y”是“x3>y3”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
2．设U为全集，则“A∩B＝ ”是“A UB”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
3．命题“x＝1且y＝2”是命题“x2＋y2＝2x＋4y－5”的(　　)条件
A.充要 B．充分不必要
C.必要不充分 D．既不充分也不必要
4．(多选)下列选项中，p是q的充要条件的是(　　)
A.p：xy>0，q：x>0，y>0
B.p：A∪B＝A，q：B A
C.p：三角形是等腰三角形，q：三角形存在两角相等
D.p：四边形是正方形，q：四边形的对角线互相垂直平分
5．(多选)设r是p的必要条件，r是q的充分条件，s是r的充分必要条件，s是p的充分条件，则下列说法正确的有(　　)
A.r是q的必要条件
B.s是q的充分条件
C.s是p的充要条件
D.p是q的既不充分也不必要条件
6．(多选)已知实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，下列结论正确的是(　　)
A.Δ＝b2－4ac≥0是这个方程有实根的充要条件
B.Δ＝b2－4ac＝0是这个方程有实根的充分条件
C.Δ＝b2－4ac>0是这个方程有实根的必要条件
D.Δ＝b2－4ac<0是这个方程没有实根的充要条件
7．设n∈N＋，一元二次方程x2－4x＋n＝0有整数根的充要条件是n＝________．
8．指出下列命题中，p是q的什么条件：
(1)p：x＝1，q：|x|＝1；
(2)p：两直线平行，q：同位角相等；
(3)p：点在角的平分线上，q：点到角的两边所在直线的距离相等；
(4)p：斜边相等，q：两直角三角形全等．
9．证明：“m<0”是“关于x的方程x2－2x＋m＝0有一正一负根”的充要条件．
核心素养升级练 进阶训练第三层
1．若x，y∈R，则不等式xy(x－y)>0成立的一个充要条件是(　　)
A.x<0C.< D．x>y>0
2．方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负实根的充要条件是(　　)
A.0C.a≤1 D．a<1≤1或a<0
3．给出如下三个条件：①充分不必要；②必要不充分；③充要．请从中选择一个补充到下面的横线上并解答．
已知集合P＝{x|1≤x≤4}，S＝{x|1－m≤x＜1＋m}，是否存在实数m使得“x∈P”是“x∈S”的________条件？若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，请说明理由．
参考答案
必备知识基础练
1．答案：C
解析：根据题意，由AB＝AC，可得△ABC为等腰三角形，反之由△ABC为等腰三角形，
可得AB＝AC或AB＝BC或BC＝AC，
故“AB＝AC”是“△ABC为等腰三角形”的充分不必要条件．
2．答案：C
解析：因为m>0，a>b，所以am>bm成立；
又am>bm，m>0，所以a>b成立；
所以当m>0时，“a>b”是“am>bm”的充要条件．
3．答案：D
解析：取a＝0，b＝－1，则a－b>0，但a2－b2<0，不具有充分性；
取a＝－1，b＝0，则a2－b2>0，但a－b<0，不具有必要性．
4．答案：A
解析：若x，y∈Q，则xy∈Q，
若xy∈Q，当x＝y＝时，x，yD∈/Q，
所以“x，y∈Q”是“xy∈Q”的充分不必要条件．
5．答案：BD
解析：∵“a＝b” “ac＝bc”为真命题，但当c＝0时，“ac＝bc” “a＝b”为假命题，故“a＝b”是“ac＝bc”的充分不必要条件，故A为假命题；
∵“a＋5是无理数” “a是无理数”为真命题，“a是无理数” “a＋5是无理数”也为真命题，故“a＋5是无理数”是“a是无理数”的充要条件，故B为真命题；
∵“a>b” “a2>b2”为假命题，“a2>b2” “a>b”也为假命题，
故“a>b”是“a2>b2”的既不充分也不必要条件，故C为假命题；
∵{a|a<5}?{a|a<3}，故“a<5”是“a<3”的必要条件，故D为真命题．
6．答案：a＝b＝0
解析：因为a，b∈R，若a2＋b2＝0，则a2＝b2＝0，即a＝b＝0；
若a＝b＝0，则a2＋b2＝0，
所以“a2＋b2＝0”的充要条件是“a＝b＝0”．
关键能力综合练
1．答案：C
解析：因为x3－y3＝(x－y)(x2＋xy＋y2)＝(x－y)[(x＋)2＋]，
若x>y，则(x－y)[(x＋)2＋]>0，
若(x－y)[(x＋)2＋]>0，则x－y>0，即x>y，
所以x>y x3>y3，即“x>y”是“x3>y3”的充要条件．
2．答案：C
解析：因为U为全集，若A∩B＝ ，则A UB；若A UB，则A∩B＝ ；
所以“A∩B＝ ”是“A UB”的充要条件．
3．答案：A
解析：由x2＋y2＝2x＋4y－5，
可得(x－1)2＋(y－2)2＝0，
解得x＝1且y＝2，
所以“x＝1且y＝2”是“x2＋y2＝2x＋4y－5”的充要条件．
4．答案：BC
解析：对于A，由xy>0，得x>0，y>0或x<0，y<0，故p不是q的充要条件，故A错误；
对于B，由A∪B＝A，则B A，若B A则A∪B＝A，故p是q的充要条件，故B正确；
对于C，三角形是等腰三角形 三角形存在两角相等，故p是q的充要条件，故C正确；
对于D，四边形的对角线互相垂直且平分 四边形为菱形，故p不是q的充要条件，故D错误．
5．答案：BC
解析：由题意，p r，r q，r s，s p，则p r s q.
6．答案：ABD
解析：Δ＝b2－4ac≥0，等价于方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实根，故A正确；
Δ＝b2－4ac＝0，可以推出：方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实根，是两个相等的实数根，故B正确；
方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实根，可以推出Δ＝b2－4ac≥0，但推不出Δ＝b2－4ac>0，故C错误；
Δ＝b2－4ac<0，等价于方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实根，故D正确．
7．答案：3或4
解析：直接利用求根公式进行计算，然后用完全平方数、整除等进行判断计算．
x＝＝2±，因为x是整数，即2±为整数，所以为整数，且n≤4，又因为n∈N＋，取n＝1，2，3，4，验证可知n＝3，4符合题意；
反之n＝3，4时，可推出一元二次方程x2－4x＋n＝0有整数根．
8．解析：(1)由|x|＝1可得x＝±1，因为{1} {－1，1}，因此，p是q的充分不必要条件；
(2)两直线平行，则同位角相等，反之，若同位角相等，则两直线平行，因此，p是q的充要条件；
(3)若点在角的平分线上，则点到角的两边所在直线的距离相等，
反之，若点到角的两边所在直线的距离相等，则该点在角的角平分线或该角的补角的平分线上，
故p是q的充分不必要条件；
(4)若两个直角三角形的斜边相等，如三条边长分别为、、2的直角三角形和三边边长分别为1、、2的直角三角形，这两个三角形不全等，另一方面，若两个直角三角形全等，则这两个直角三角形的斜边相等．
因此，p是q的必要不充分条件．
9．解析：充分性：若m<0，则关于x的方程x2－2x＋m＝0有一正一负根，证明如下：
当m<0时，Δ＝(－2)2－4m＝4－4m>0，
所以方程x2－2x＋m＝0有两个不相等的实根，
设两根分别为x1，x2，则x1x2＝m<0，
所以方程x2－2x＋m＝0有一正一负根，
故充分性成立，
必要性：若“关于x的方程x2－2x＋m＝0有一正一负根”，则m<0，证明如下：
设方程x2－2x＋m＝0一正一负根分别为x1，x2，
则，
所以m<0，所以若“关于x的方程x2－2x＋m＝0有一正一负根”，则m<0，故必要性成立，
所以“m<0”是“关于x的方程x2－2x＋m＝0有一正一负根”的充要条件．
核心素养升级练
1．答案：C
解析：若xy(x－y)>0则xy>0，x－y>0，
或者xy<0，x－y<0，
即xy>0，x>y，或者xy<0，x则x>y>0或0>x>y或x<0则A，B，D都是不等式xy(x－y)>0成立的充分不必要条件．
2．答案：C
解析：当a＝0时，方程为2x＋1＝0有一个负实根x＝－，反之，x＝－时，则a＝0，于是得a＝0；
当a≠0时，Δ＝4－4a，
若a<0，则Δ>0，方程有两个不等实根x1，x2，
x1x2＝<0，即x1与x2一正一负，
反之，方程有一正一负的两根时，则这两根之积小于0，a<0，于是得a<0，
若a>0，由Δ≥0，即0反之，方程ax2＋2x＋1＝0两根x1，x2都为负，则，解得0综上，当a≤1时，方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负实根，反之，方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负实根，必有a≤1.
所以方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负实根的充要条件是a≤1.
3．解析：若选择①，即“x∈P”是“x∈S”的充分不必要条件，则P S且S≠ ，
所以，
解得m＞3.
若选择②，即“x∈P”是“x∈S”的必要不充分条件，则S P，当S≠ 时，则，
解集为 ；
当S＝ 时，1－m≥1＋m，
∴m≤0.
综上，m≤0.
若选择③，即“x∈P”是“x∈S”的充要条件，则P＝S，即，无解，
故不存在实数m，使得“x∈P”是“x∈S”的充要条件．
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