高中数学人教A版（2019）必修1 2.2.2 基本不等式的应用 同步练习（含答案）

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第2课时　基本不等式的应用
必备知识基础练
1．若a>1，则a＋有(　　)
A．最小值为3 B．最大值为3
C．最小值为－1 D．最大值为－1
2．函数y＝x＋(x>－2)取最小值时x的值为(　　)
A．6　　　 B．2 C．　　　D．
3．已知x，y均为正数，且x＋y＝1，求＋的最值(　　)
A．最大值9 B．最小值9
C．最大值4 D．最小值4
4．在班级文化建设评比中，某班设计的班徽是一个直角三角形图案．已知该直角三角形的面积为50，则它周长的最小值为(　　)
A．20 B．10
C．40 D．10＋20
5．若正实数m，n满足＋＝1，则2m＋n的最小值为(　　)
A．4　　 B．6 C．2　　 D．9
6．(多选)下列说法正确的是(　　)
A．x＋(x>0)的最小值是2
B．的最小值是
C．的最小值是2
D．2－3x－的最小值是2－4
7．若x>－1，则x＋的最小值是________，此时x＝________．
8．用一根铁丝折成面积为π的长方形的四条边，则所用铁丝的长度最短为________．
关键能力综合练
1．已知p＝a＋(a>2)，q＝－b2－2b＋3(b∈R)，则p，q的大小关系为(　　)
A．p≥q　　B．p≤q C．p>q　　D．p2．已知a，b，c都是正数，且a＋2b＋c＝1，则＋＋的最小值是(　　)
A．3＋2 B．3－2
C．6－4 D．6＋4
3．函数f(x)＝(x≥)有(　　)
A．最大值 B．最小值
C．最大值2 D．最小值2
4．已知a，b∈R＋，且a＋2b＝3ab，则2a＋b的最小值为(　　)
A．3　　　 B．4 C．6　　　 D．9
5．近来猪肉价格起伏较大，假设第一周、第二周的猪肉价格分别为a元/斤、b元/斤，甲和乙购买猪肉的方式不同，甲每周购买20元钱的猪肉，乙每周购买6斤猪肉，甲、乙两次平均单价分别记为m1，m2，则下列结论正确的是(　　)
A．m1＝m2 B．m1>m2
C．m2>m1 D．m1，m2的大小无法确定
6．设正实数m、n满足m＋n＝2，则(　　)
A．＋的最小值为2
B．＋的最小值为2
C．的最大值为1
D．m2＋n2的最小值为2
7．函数f(x)＝(x>0)取得最小值时x的取值为________．
8．当x>0时，函数f(x)＝的最大值为________．
9．已知x，y∈R＋，且满足x＋2y＝2xy，那么x＋4y的最小值？xy的最小值？
10．做一个体积为48 m3，高为3米的无上边盖的长方体纸盒，底面造价每平方米40元，四周每平方米为50元，问长与宽取什么数值时总造价最低，最低是多少？
核心素养升级练
1．已知a>0，b>0，＋＝1，若不等式2a＋b≥m恒成立，则m的最大值为(　　)
A．2＋ B．3＋
C．3＋2 D．5
2．一批货物随17列货车从A市以v km/h匀速直达B市，已知两地铁路线长400 km，为了安全，两列货车间距离不得小于()2 km，那么这批物资全部运到B市，最快需要________小时，(不计货车的车身长)，此时货车的速度是________ km/h.
3．在“基本不等式”应用探究课中，甲和乙探讨了下面两个问题：
(1)已知正实数x、y满足2x＋y＝1，求＋的最小值．甲给出的解法：由1＝2x＋y≥2，得≤，所以＋≥2 ＝≥4，所以＋的最小值为4.而乙却说甲的解法是错的，请你指出其中的问题，并给出正确的解法；
(2)结合上述问题(1)的结构形式，试求函数y＝＋(0参考答案
必备知识基础练
1．答案：A
解析：∵a>1，∴a－1>0，
∴a＋＝a－1＋＋1≥2＋1＝3，当且仅当a－1＝即a＝2时取等号，
∴a＋有最小值为3.
2．答案：B
解析：因为x>－2，所以x＋2>0，
所以y＝x＋＝x＋2＋－2≥2 －2＝6，
当且仅当x＋2＝且x>－2，即x＝2时等号成立．
3．答案：B
解析：因为x，y均为正数，且x＋y＝1，
则＋＝(＋)(x＋y)＝5＋＋≥5＋2 ＝9，
当且仅当x＝，y＝时，＋有最小值9.
4．答案：D
解析：设两直角边分别为a，b，则斜边为，
所以该直角三角形的面积为S＝ab＝50，则ab＝100，
周长为a＋b＋≥2＋＝20＋10，
当且仅当a＝b＝10时等号成立，故周长的最小值为10＋20.
5．答案：D
解析：正实数m，n满足＋＝1，
2m＋n＝(2m＋n)(＋)＝5＋＋≥5＋4＝9，
等号成立的条件为：＝ m＝n＝3.
6．答案：AB
解析：当x>0时，x＋≥2 ＝2(当且仅当x＝，即x＝1时取等号)，A正确；
＝，因为x2≥0，所以＝≥，B正确；
＝＝＋≥2，当且仅当＝，即x2＝－3时，等号成立，显然不成立，故C错误；
当x＝1时，2－3x－＝2－3－4＝－5<2－4，D错误．
7．答案：1　0
解析：因为x>－1，
所以x＋＝x＋1＋－1≥2 －1＝1，
当且仅当x＋1＝，即x＝0时，等号成立，
所以其最小值是1，此时x＝0.
8．答案：4
解析：设长方形的长宽分别为a，b(a>0，b>0)，所以ab＝π，
所用铁丝的长度为2(a＋b)≥4＝4，当且仅当a＝b＝时取等号．
关键能力综合练
1．答案：A
解析：因为a>2，可得p＝a＋＝(a－2)＋＋2≥2 ＋2＝4，
当且仅当a－2＝时，即a＝3时，等号成立，即p≥4，
又由q＝－b2－2b＋3＝－(b＋1)2＋4，所以q≤4，
所以p≥q.
2．答案：D
解析：＋＋＝(a＋2b＋c)＝4＋＋＋＋＋＋≥4＋2＋2＋2＝6＋4，
当且仅当＝，＝，＝时，等号成立，
即a2＝c2＝2b2时，等号成立．
3．答案：D
解析：方法一　∵x≥，∴x－2>0，则＝＝(x－2)＋≥2，当且仅当x－2＝，即x＝3时，等号成立．
方法二　令x－2＝t，∵x≥，∴t≥，∴x＝t＋2.
将其代入，原函数可化为y＝＝＝t＋≥2 ＝2，当且仅当t＝，即t＝1时等号成立，此时x＝3.
4．答案：A
解析：因为a＋2b＝3ab，故＋＝3，
故2a＋b＝(2a＋b)(＋)＝(5＋＋)≥(5＋4)＝3，
当且仅当a＝b＝1时等号成立，
故2a＋b的最小值为3.
5．答案：C
解析：根据题意可得m1＝＝≤＝，当且仅当a＝b时等号成立，
m2＝＝≥，当且仅当a＝b时等号成立，
由题意可得a≠b，所以m1<，m2>，则m2>m1.
6．答案：CD
解析：对于选项A，因为m>0，n>0，m＋n＝2，所以＋＝＋＝＋＋1≥2＋1＝2＋1＝3，当且仅当＝且m＋n＝2，即m＝n＝1时取等号，则A错误；
对于选项B, (＋)2＝m＋n＋2＝2＋2≤2＋m＋n＝4，当且仅当m＝n＝1时等号成立，则＋≤2，即＋的最大值为2，则B错误；
对于选项C，m＋n≥2，即mn≤()2＝1，当且仅当m＝n＝1时，等号成立，则C正确；
对于选项D, m2＋n2＝(m＋n)2－2mn＝4－2mn≥4－2()2＝2，当且仅当m＝n＝1时，等号成立，则D正确．
7．答案：
解析：x>0，f(x)＝4x＋≥2 ＝4，当且仅当4x＝ x＝时取“＝”．
8．答案：
解析：∵x>0，∴f(x)＝＝≤＝，
当且仅当x＝1时取等号，
即函数f(x)＝的最大值为.
9．解析：x＋2y＝2xy，则＋＝1，
故x＋4y＝(x＋4y)(＋)＝1＋＋＋2≥3＋2，当且仅当＝即x＝2y时等号成立，x＋4y的最小值为3＋2.
又＋＝1≥2 ，解得xy≥2，当且仅当x＝2y＝2时等号成立，xy的最小值为2.
10．解析：设长方体底面的长为a m，宽为b m，显然a，b>0，则3ab＝48，故b＝，总造价为y元，
则y＝2(3a＋)×50＋16×40＝300(a＋)＋640≥300×2 ＋640＝3 040，当且仅当a＝，即a＝b＝4时等号成立，
∴当底面的长与宽均为4米时总费用最少，最少为3 040元．
核心素养升级练
1．答案：C
解析：由不等式2a＋b≥m恒成立可知，只需m小于等于2a＋b的最小值，
由a＞0，b＞0，＋＝1，
可得2a＋b＝(2a＋b)(＋)＝3＋＋≥3＋2 ＝3＋2，当且仅当＝时取等号，∴m≤3＋2，∴m的最大值为3＋2.
2．答案：8　100
解析：设这批物资全部运到B市用的时间为y小时，
因为不计货车的身长，所以设货车为一个点，可知最前的点与最后的点之间距离最小值为16×()2千米时，时间最快．
则y＝＝＋≥2 ＝8，
当且仅当＝即v＝100千米/小时时，时间ymin＝8小时．
3．解析：(1)甲的解法中两次用到基本不等式，取到等号的条件分别是2x＝y和x＝2y，显然不能同时成立，故甲的解法是错的．
正确的解法如下：
因为x>0，y>0，且2x＋y＝1，
所以＋＝(2x＋y)(＋)
＝＋＋≥＋2 ＝，
当且仅当＝，即x＝y＝时取“＝”，
所以＋的最小值为.
(2)因为0所以y＝＋
＝[3x＋(2－3x)][＋]
＝(4＋＋)
≥(4＋2 )
＝2＋，
当且仅当＝，
即x＝1－∈(0，)时取“＝”，
所以y＝＋(021世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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