高中数学人教A版（2019）必修1 2.2.1 基本不等式 同步练习（含答案）

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第1课时　基本不等式
必备知识基础练
1．下列不等式的最小值是4的是(　　)
A．y＝t＋ B．y＝2t＋
C．y＝4t＋(t>0) D．y＝t＋
2．设函数y＝4x＋＋3，当x>0时，则y(　　)
A．有最大值7 B．有最小值7
C．有最小值－1 D．有最大值－1
3．函数y＝x＋(x>0)取得最小值时的自变量x等于(　　)
A． B．2
C．1 D．3
4．若a，b都为正实数且a＋b＝1，则2ab的最大值是(　　)
A． B．
C． D．
5．下列不等式中，正确的是(　　)
A．a＋≥4 B．a2＋b2≥4ab
C．x2＋≥2 D．≥
6．(多选)若ab>0，则下列不等式中恒成立的有(　　)
A．a2＋b2≥2ab
B．a＋b≥2
C．(a＋)(b＋)≥4
D．＋≥2
7．下列条件中能使＋≥2成立的条件是________．
①ab>0；②ab<0；③a>0，b>0；④a<0，b<0.
8．若a>0，b>0，且a＋2b＝4，则ab的最大值是________.
关键能力综合练
1．f(x)＝x＋(x>0)在x＝a处取最小值，则a＝(　　)
A．1 B．
C．3 D．9
2．已知x>0，则4－2x－的最大值为(　　)
A．－2 B．－1
C．0 D．2
3．若实数a，b满足0A． B．a2＋b2
C．2ab D．a
4．函数y＝1－2x2－的最大值是(　　)
A．7 B．－7
C．9 D．－9
5．若a＞0，b＞0，且a≠b，则(　　)
A．< <
B．<<
C．< <
D. < <
6．(多选)已知a>0，b>0，且a＋b＝4.则下列不等式恒成立的是(　　)
A．a2＋b2≥8
B．≥2
C．≥
D．＋≤1
7．已知正数a、b，＋＝1，则ab的最小值为______．
8．已知a，b均为正数，且2a＋b＝4，则ab的最大值为________，a2＋b2的最小值为________．
9．已知y＝x＋.
(1)已知x＞0，求y的最小值；
(2)已知x＜0，求y的最大值．
10．已知a、b、c都是正数，求证：(a＋b)(b＋c)(c＋a)≥8abc.
核心素养升级练
1．中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个三角形，边长分别为a，b，c，三角形的面积S可由公式S＝求得，其中p为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足a＋b＝14，c＝6，则此三角形面积的最大值为(　　)
A．6 B．6
C．12 D．12
2．若a>0，b>0，ab＝a＋b＋15，则ab的最小值为________.
3．已知a，b，c为正实数，且a＋b＋c＝1，
求证：(－1)(－1)(－1)≥8.
参考答案
必备知识基础练
1．答案：C
解析：A.当t>0时，y＝t＋≥2 ＝4，当且仅当t＝2时，等号成立；
当t<0时，y＝t＋＝－(－t＋)≤－2 ＝－4，当且仅当t＝－2时，等号成立，故A错误；
B．当t>0时，y＝2t＋≥2 ＝2，当且仅当t＝时，等号成立；
当t<0时，y＝2t＋＝－(－2t＋)≤－2 ＝－2，当且仅当t＝－时，等号成立，故B错误；
C．因为t>0，所以y＝4t＋≥2 ＝4，当且仅当t＝时，等号成立；故C正确；
D．当t>0时，y＝t＋≥2 ＝2，当且仅当t＝1时，等号成立；
当t<0时，y＝t＋＝－(－t＋)≤－2 ＝－2，当且仅当t＝－1时，等号成立，故D错误．
2．答案：B
解析：利用基本不等式，因为x>0，所以y＝4x＋＋3≥2 ＋3＝7，y≥7.当且仅当x＝0.5时等号成立，故最小值为7.
3．答案：A
解析：函数f(x)＝x＋，且x>0，可得f(x)＝x＋≥2 ＝2，当且仅当x＝，即x＝时，取得最小值2.
4．答案：D
解析：因为a，b都为正实数，a＋b＝1，
所以2ab≤2×()2＝，
当且仅当a＝b，即a＝，b＝时，2ab取最大值.
5．答案：C
解析：A.当a<0时， a＋<4，故错误；
B．因为a2＋b2≥2ab，故错误；
C．由基本不等式得x2＋≥2，当且仅当x2＝时，取等号，故正确；
D．当a＝1，b＝2时，<，故错误．
6．答案：ACD
解析：A：因为a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，所以a2＋b2≥2ab恒成立，
B：当a<0，b<0时，显然ab>0成立，但是a＋b≥2不成立，
C：因为ab>0，所以(a＋)(b＋)＝ab＋＋＋≥2 ＋2＝4(当且仅当时取等号)，所以本选项符合题意；
D：因为ab>0，所以＋≥2 ＝2(当且仅当＝时取等号，即a＝b>0或a＝b<0时取等号)，所以本选项符合题意．
7．答案：①③④
解析：要使＋≥2成立，只需>0，>0即可，此时＋≥2 ＝2，当且仅当＝等号成立，若<0，则不等式不成立，即只需a，b同号即可，故选项①③④满足．
8．答案：2
解析：∵a>0，b>0，a＋2b＝4，
∴4＝a＋2b≥2，
∴ab≤2，当且仅当a＝2b时取等号，即a＝2，b＝1时取等号．
关键能力综合练
1．答案：C
解析：∵x>0，∴由基本不等式得：f(x)＝x＋≥2 ＝6，当且仅当x＝，即x＝3时，等号成立．
2．答案：C
解析：x>0时，x＋≥2 ＝2(当且仅当x＝1时等号成立)
则4－2x－＝4－2(x＋)≤0，即4－2x－的最大值为0.
3．答案：B
解析：由题知：0因为a2＋b2>＝，故排除A.
因为a2＋b2>2ab，故排除C.
4．答案：B
解析：由题意可得函数的定义域为{x|x≠0}，则x2>0，
所以y＝1－2x2－＝1－(2x2＋)≤1－2 ＝－7，
当且仅当2x2＝，即x＝±时，取等号，
所以函数y＝1－2x2－的最大值是－7.
5．答案：B
解析：∵a，b∈R＋，且a≠b，
∴a＋b＞2，∴<，
而－＝>0，
∴< .
6．答案：AC
解析：当a＝1，b＝3时，<2，＋>1，所以BD选项错误．
A，a2＋b2≥＝8，当且仅当a＝b＝2时，等号成立，A正确．
C，07．答案：8
解析：因为＋＝1≥2 ，
所以ab≥8(当且仅当＝，即a＝2，b＝4时取等号)，
故ab的最小值为8.
8．答案：2　
解析：由题意，得4＝2a＋b≥2，当且仅当2a＝b，即a＝1，b＝2时等号成立，
所以0a2＋b2＝a2＋(4－2a)2＝5a2－16a＋16＝5(a－)2＋≥，当a＝，b＝时取等号．
9．解析：(1)因为x＞0，所以y＝x＋≥2 ＝2，当且仅当x＝，即x＝1时等号成立．
所以y的最小值为2.
(2)因为x＜0，所以－x＞0.所以y＝－[(－x)＋]≤2 ＝－2，当且仅当－x＝，即x＝－1时等号成立．
所以y的最大值为－2.
10．证明：因为a、b、c都是正数，由基本不等式可得a＋b≥2，b＋c≥2，c＋a≥2，
由不等式的性质可得(a＋b)(b＋c)(c＋a)≥2×2×2＝8abc，
当且仅当a＝b＝c时，等号成立，故(a＋b)(b＋c)(c＋a)≥8abc.
核心素养升级练
1．答案：B
解析：由题意得：p＝10，
S＝
＝＝
≤·＝3×2＝6，
当且仅当10－a＝10－b，即a＝b＝7时取等号．
2．答案：25
解析：因为a>0，b>0，由基本不等式可得ab＝a＋b＋15≥2＋15，
即ab－2－15≥0，解得≥5，即ab≥25，当且仅当a＝b时，等号成立，
因此，ab的最小值为25.
3．证明：∵a，b，c为正实数，且a＋b＋c＝1，
∴－1＝＝≥，
同理－1≥，－1≥.
由上述三个不等式两边均为正，分别相乘，得
(－1)(－1)(－1)≥··＝8.
当且仅当a＝b＝c＝时，等号成立．
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