(共28张PPT)
鲁教五四版 八年级下
第六章 特殊平行四边形
专题(一) 特殊平行四边形的性质与判定的综合应用
如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点B作CD的垂线，垂足为点E，延长CD到点F，使 DF＝CE，连接AF.
1
(1)求证：四边形ABEF是矩形．
【证明】∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝CD，AB∥CD.
∵CE＝DF，∴CD＝CE＋DE＝DF＋DE＝EF，
∴AB＝EF，∴四边形ABEF是平行四边形．
又∵BE⊥EF，
∴∠BEF＝90°，∴四边形ABEF是矩形．
(2)若AD＝13，AC＝24，求AF的长．
【2023·青岛市南区期末】如图， ABCD的对角线AC，BD交于点O，E为OC的中点，过点O作OH∥BC交BE的延长线于点H，连接CH，DH.
2
(1)求证：△BCE≌△HOE.
(2)当四边形ABCD是怎样的特殊四边形时，四边形OCHD为菱形？请说明理由．
【解】当四边形ABCD是矩形时，四边形OCHD为菱形.理由如下：由(1)可知△BCE≌△HOE，∴BE＝HE.又∵CE＝OE，∴四边形BCHO是平行四边形，∴CH＝OB，CH∥OB.∵四边形ABCD是矩形，∴OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD，∴CH＝OD，OC＝OD，∴四边形OCHD是平行四边形．又∵OC＝OD，∴ OCHD是菱形.
如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F在对角线BD上，且BE＝DF，OE＝OA．求证：四边形AECF是正方形．
3
【证明】∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OA＝OC，OB＝OD.∵BE＝DF，∴OE＝OF，∴四边形AECF是菱形．∵OE＝OA，∴OE＝OF＝OA＝OC，即EF＝AC，
∴菱形AECF是正方形．
如图，在边长为1的正方形ABCD中，点E是边CD的中点，点P是边AD上一点(与点A，D不重合)，射线PE与BC的延长线交于点Q.
4
(1)求证：△PDE≌△QCE.
【证明】∵四边形ABCD是正方形，∴∠D＝∠BCD＝90°，∴∠ECQ＝90°＝∠D.∵E是边CD的中点，∴DE＝CE.又∵∠DEP＝∠CEQ，∴△PDE≌△QCE.
(2)过点E作EF∥BC交PB于点F，连接AF，当PB＝PQ时.
①求证：四边形AFEP是平行四边形．
②请判断四边形AFEP是否是菱形，并说明理由．
【2023·济南市中区月考】如图，在正方形ABCD和 BEFG中，点A，B，E在同一条直线上，P是线段DF的中点，连接PG，PC．
5
(1)求证：四边形BEFG是矩形．
【证明】∵在正方形ABCD中，∠ABC＝90°，
∴∠EBG＝90°，∴ BEFG是矩形．
(2)当∠CPG＝________°时，四边形BEFG是正方形，请说明理由．
90
【解】理由：延长GP交DC于点H，
∵在正方形ABCD和 BEFG中，AB∥DC，BE∥GF，∴DC∥GF，∴∠HDP＝∠GFP，∠DHP＝∠FGP.
∵P是线段DF的中点，∴DP＝FP，∴△DHP≌△FGP(AAS)，∴DH＝GF，HP＝GP.
当∠CPG＝90°时，∠CPH＝90°＝∠CPG.
∵CP＝CP，∴△CPH≌△CPG(SAS)，∴CH＝CG.
∵在正方形ABCD中，DC＝BC，
∴DH＝BG，∴BG＝GF，由(1)知四边形BEFG是矩形，∴四边形BEFG是正方形．
四边形ABCD为矩形，E是AB延长线上的一点．
(1)若AC＝EC，如图①，求证：四边形BECD为平行四 边形．
6
【证明】∵四边形ABCD为矩形，
∴AB∥CD，AB＝CD，CB⊥AE.
又∵AC＝EC，∴AB＝BE.∴BE＝CD.
又∵BE∥CD，∴四边形BECD为平行四边形．
(2)若AB＝AD，点F是AB上的一点，AF＝BE，EG⊥AC于点G，如图②，求证：△DGF是等腰直角三角形．
如图，在△ABC中，点O是AC边上一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交△ABC的外角∠ACD的平分线于点F.
7
(1)探究OE与OF的数量关系，并加以证明．
【解】OE＝OF.
证明：∵MN∥BC，
∴∠OEC＝∠BCE，∠OFC＝∠DCF.
又∵CE平分∠BCO，CF平分∠DCO，∴∠OCE＝∠BCE，∠OCF＝∠DCF，∴∠OCE＝∠OEC，∠OCF＝∠OFC，∴OE＝OC，OF＝OC，∴OE＝OF.
(2)连接BE，当点O在边AC上运动时，四边形BCFE能否为菱形？若能，请证明；若不能，请说明理由．
(3)连接AE，AF，当点O运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？请说明理由．
【解】当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形.
理由：当点O运动到AC的中点时，OA＝OC. 又∵OE＝OF，∴四边形AECF是平行四边形．由(1)知OF＝OC，∴OA＝OC＝OE＝OF.∴OA＋OC＝OE＋OF，即AC＝EF，∴四边形AECF是矩形．
(4)在(3)的条件下，△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形？请说明理由．
【解】当点O运动到AC的中点，且△ABC满足∠ACB为直角时，四边形AECF是正方形．理由：由(3)知，当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形．已知MN∥BC，当∠ACB＝90°时，∠AOE＝∠ACB＝90°，∴AC⊥EF，∴四边形AECF是正方形．(共14张PPT)
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第六章 特殊平行四边形
微专题3 在特殊四边形中求图形的面积
【2023·青岛市南区期中】如图，点P是菱形ABCD的对角线BD上一点，PE⊥AB于点E，且PE＝2.连接PC，若菱形的周长为24，则△BCP的面积为( )
A．4
B．6
C．8
D．12
1
【点拨】
【答案】B
如图，菱形ABCD中，AB＝12，∠D＝60°，点P为边CD上一点，且不与点C，D重合，连接BP，过点A作EF∥BP，且EF＝BP，连接BE，PF，求四边形BEFP的面积．
2
如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，过点O的直线交AD，BC于点E，F，若AB＝3，BC＝4，则图中阴影部分的面积为________．
3
6
【点拨】
【2023·枣庄滕州市期末】如图，在 ABCD中，连接BD，E为线段AD的中点，延长BE与CD的延长线交于点F，连接AF，∠BDF＝90°.
4
(1)求证：四边形ABDF是矩形．
【证明】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠ABE＝∠DFE.又∵AE＝DE，∠AEB＝∠DEF，∴△AEB≌△DEF(AAS)，∴AB＝DF.又∵AB∥DF, ∴四边形ABDF是平行四边形．又∵∠BDF＝90°， ∴ ABDF是矩形．
(2)若AD＝10，BD＝8，求△BCF的面积．
【2023·临沂期中】如图，E是正方形ABCD的对角线BD上一点，连接CE，过点E作EF⊥AD，垂足为F.已知AF＝6，EC＝10，求正方形ABCD的面积．
5(共39张PPT)
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第六章 特殊平行四边形
全章热门考点整合应用
【2023·大连】如图，在菱形ABCD中，AC，BD为菱形的对角线，∠DBC＝60°，BD＝10，点F为BC的中点，则EF的长为________．
1
5
如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列结论中错误的是( )
A．AB＝AD
B．AC⊥BD
C．AC＝BD
D．∠DAC＝∠BAC
C
2
【2023·永州】如图，已知四边形ABCD是平行四边形，其对角线相交于点O，OA＝3，BD＝8，AB＝5.
3
(1)△AOB是直角三角形吗？请说明理由．
(2)求证：四边形ABCD是菱形．
【证明】∵∠AOB＝90°，∴AC⊥BD.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是菱形．
【2023·枣庄滕州市月考】如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F在BD上，且BE＝DF.
4
(1)求证：△ADF≌△CBE.
(2)不添加辅助线，请你补充一个条件，使得四边形AECF是菱形，并给予证明．
【解】补充的条件是AC⊥BD.证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD.∵BE＝DF，∴OE＝OF，∴四边形AECF是平行四边形．又∵AC⊥BD，∴四边形AECF是菱形．(答案不唯一)
如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点B与点D重合，点A落在点P处，折痕为EF.
5
(1)求证：△PDE≌△CDF.
(2)若CD＝4 cm，EF＝5 cm，求BC的长．
【2023·内江】如图，在△ABC中，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交CE的延长线于点F.
6
(1)求证：FA＝BD．
【证明】∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠DCE，∠FAE＝∠CDE.∵E为AD的中点，∴AE＝DE，∴△AEF≌△DEC(AAS)，∴AF＝DC.
又∵D为BC的中点，∴BD＝CD，∴FA＝BD.
(2)连接BF，若AB＝AC，求证：四边形ADBF是矩形．
【证明】∵AF＝BD，AF∥BD，
∴四边形ADBF是平行四边形．
∵AB＝AC，D为BC的中点，
∴AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，
∴四边形ADBF是矩形．
如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O.E，F分别为AC，BD上一点，且OE＝OF，连接AF，BE，EF.若∠AFE＝25°，则∠CBE的度数为( )
A．50°
B．55°
C．65°
D．70°
7
【点拨】
∵四边形ABCD是正方形，∴∠AOB＝∠AOD＝90°，OA＝OB，∠OBC＝45°.
又∵OE＝OF，∴△OEF为等腰直角三角形，∴∠OEF＝∠OFE＝45°.
∵∠AFE＝25°，∴∠FAO＝∠OEF－∠AFE＝20°.
【答案】C
【2023·青岛模拟】如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，∠CAB的平分线分别交BD，BC于点E，F，作BH⊥AF于点H，分别交AC，CD于点G，P，连接GE，GF.
8
(1)求证：△OAE≌△OBG.
(2)判断四边形BFGE是什么特殊四边形？并证明你的结论.
∴△AHG≌△AHB(ASA)，∴GH＝BH.∵BH⊥AF，
∴AF是线段BG的垂直平分线，∴EG＝EB，FG＝FB.
∵∠BEF＝∠BAE＋∠ABE＝67.5°，∠BFE＝90°－∠BAF＝67.5°，∴∠BEF＝∠BFE，∴EB＝FB，
∴EG＝EB＝FB＝FG，∴四边形BFGE是菱形．
如图，在矩形ABCD中，AB＝10，BC＝5，点E，F分别在AB，CD上，将矩形ABCD沿EF折叠，使点A，D分别落在矩形ABCD外部的点A1，D1处，求阴影部分的周长．
9
【解】∵在矩形ABCD中，AB＝10，BC＝5，∴CD＝AB＝10，AD＝BC＝5.根据轴对称的性质可得A1E＝AE，A1D1＝AD，D1F＝DF.设线段D1F与线段AB交于点M，则阴影部分的周长为(A1E＋EM＋MD1＋A1D1)＋(MB＋MF＋FC＋ CB)＝AE＋EM＋MD1＋AD＋MB＋MF＋FC＋CB＝(AE＋EM＋MB)＋(MD1＋MF)＋FC＋AD＋CB＝AB＋FD1＋ FC＋AD＋CB＝AB＋FD＋FC＋AD＋CB＝AB＋CD＋ AD＋CB＝10＋10＋5＋5＝30.
如图，在△ABC中，AB＝AC，点O在△ABC的内部，∠BOC＝90°，OB＝OC，D，E，F，G分别是AB，OB，OC，AC的中点．
10
(1)求证：四边形DEFG是矩形．
【证明】如图，连接AO并延长交BC于点H.∵AB＝AC，OB＝OC，∴直线AH是BC的垂直平分线，即AH⊥BC.
∵D，E，F，G分别是AB，OB，OC，AC的中点，∴DG∥EF∥BC，DE∥AH∥GF.∴四边形
DEFG是平行四边形．∵EF∥BC，AH⊥BC，∴AH⊥EF.又∵DE∥AH，∴EF⊥DE.
∴∠DEF＝90°.∴四边形DEFG是矩形．
(2)若DE＝2，EF＝3，求△ABC的面积．
【2023·济南莱芜区期中】如图，在菱形ABCD中， AB＝4，∠BAD＝120°，△AEF为等边三角形，点E，F分别在菱形的边BC，CD上运动，且点E，F不与点B，C，D重合．
11
(1)证明：不论点E，F在边BC，CD上如何运动，总有 BE＝CF.
(2)当点E，F在边BC，CD上运动时，四边形AECF的面积是否发生变化？如果不变，求出四边形AECF的面积；如果变化，请说明理由．
【解】四边形AECF的面积不变．理由如下：
由(1)得△ABE≌△ACF，则S△ABE＝S△ACF，
故S四边形AECF＝S△AEC＋S△ACF＝S△AEC＋S△ABE＝S△ABC，
是定值．
如图，在 ABCD中，E，F分别是AB，BC上一点，且EA＝EF，DA＝DF，连接AF，DE交于点G，且∠BAF＝∠ADE.
12
(1)求证：四边形ABCD是矩形．
(2)当BF＝4，CD＝12时，求DF的长．
【解】∵四边形ABCD是矩形，∴BC＝DA，∠C＝90°.
∵DA＝DF，∴BC＝DF.
∵BF＝4，∴CF＝BC－BF＝DF－4.
∵CF2＋CD2＝DF2，CD＝12，
∴(DF－4)2＋122＝DF2，解得DF＝20，
∴DF的长是20.
运用：(1)如图，在平面直角坐标系中，矩形ONEF的对角线相交于点M，ON，OF分别
在x轴和y轴上，O为坐标原点，
点E的坐标为(4，3)，则点M的
坐标为________．
13
(2)在平面直角坐标系中，有A(－1，2)，B(3，1)，C(1，4)三点，另有一点D与点A，B，C为顶点构成平行四边形，求点D的坐标．(共27张PPT)
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第六章 特殊平行四边形
正方形的判定
6.3.2
如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，添加下列条件中的一个，能使菱形ABCD成为正方形的是( )
A．∠ABC＝90°
B．AC＝AD
C．BD＝AB
D．OD＝AC
1
A
【2023·黑龙江】如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，试添加一个条件________，使得矩形ABCD为正方形．
AB＝AD
(答案不唯一)
2
【荣德原创】小明的爸爸用废旧木料做了一个四边形木框ABCD．小明为了检验四边形木框ABCD是否是正方形，通过测量知AB＝CD，AD＝BC，∠BAD＝90°，下面的选项正确的是( )
A．现有数据可判定四边形ABCD是正方形
B．需再测量AC是否等于BD
C．需再测量∠ABC是否等于90°
D．需再测量AB是否等于BC
3
D
已知 ABCD，从下列条件：①AB＝BC，②∠ABC＝90°，③AC＝BD，④AC⊥BD中，选出两个，下列组合中不能判定 ABCD是正方形的是( )
A．①②
B．①③
C．③④
D．①④
4
D
【新题型】如图，一个四边形顺次添加下列条件中的三个条件便得到正方形：
a．两组对边分别相等；
b．一组对边平行且相等；
c．一组邻边相等； d．一个角是直角．
顺次添加的条件：①a→c→d；②b→d→c；③a→b→c. 则正确的是( )
A．① B．③ C．①② D．②③
5
【点拨】
①由a.两组对边分别相等得到四边形是平行四边形，添加c.一组邻边相等得到平行四边形是菱形，再添加d.一个角是直角得到菱形是正方形，故①正确；②由b.一组对边平行且相等得到四边形是平行四边形，添加d.一个角是直角得到平行四边形是矩形，再添加c.一组邻边相等得到矩形是正方形，故②正确；
【答案】C
③由a.两组对边分别相等得到四边形是平行四边形，添加b.一组对边平行且相等得到四边形仍是平行四边形，再添加c.一组邻边相等得到平行四边形是菱形，不能得到四边形是正方形，故③不正确．
如图，D是△ABC内一点，AD⊥BC，E，F，G，H分别是AB，BD，CD，AC的中点，添加下列哪个条件，能使得四边形EFGH成为正方形( )
A．BD＝CD
B．BD⊥CD
C．AD＝BC
D．AB＝AC
6
【点拨】
【答案】C
如图，在矩形ABCD内有一点F，BF与CF分别平分∠ABC和∠BCD，点E为矩形ABCD外一点，连接BE，CE，先添加下列条件：①BE∥CF，CE∥BF; ②BE＝CE，BE＝BF; ③BE∥CF, CE⊥BE;
④BE＝CE, CE∥BF，其中能判定四边
形 BECF是正方形的是__________
(填序号)．
7
①②③④
【点拨】
∵四边形ABCD是矩形，BF，CF分别平分∠ABC和∠BCD，∴∠FCB＝∠FBC＝ 45°，∴∠F＝90°，CF＝BF.①∵EB∥CF，CE∥BF，∴四边形BECF是平行四边形．∵∠F＝90°，CF＝ BF，∴四边形BECF是正方形．故①正确．②∵BE＝CE，BE＝BF，∴CE＝CF＝ BF＝BE，∴四边形BECF是菱形．∵∠F＝ 90° ，∴四边形BECF是正方形，故②正确．
③∵BE∥CF，CE⊥BE，∴∠BEC＝∠FCE＝90°.∵∠F＝90°，∴四边形BECF是矩形．∵CF＝ BF，∴四边形BECF是正方形，故③正确．④∵CE∥BF，BE＝CE，∴∠BCE＝∠CBE＝∠CBF＝45°，∴∠FBE＝∠CEB＝90°.∵∠F＝ 90°，∴四边形BECF是矩形．∵CF＝BF，∴四边形BECF是正方形，故④正确．综上，①②③④都能判定四边形BECF是正方形．
8
(1)试判断四边形BPCO的形状，并说明理由．
(2)请说明当 ABCD的对角线满足什么条件时，四边形BPCO是正方形？
【母题：教材P19例4】如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D，AN是△ABC的外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为E.
9
(1)求证：四边形ADCE为矩形．
【证明】∵AB＝AC，AD⊥BC，∴∠BAD＝∠DAC.
∵AN是△ABC的外角∠CAM的平分线，∴∠MAE＝∠CAE，∴∠DAC＋∠CAE＝∠BAD＋∠MAE.
∵∠DAC＋∠CAE＋∠BAD＋∠MAE＝180°，
∴∠DAE＝∠DAC＋∠CAE＝90°.
∵AD⊥BC，CE⊥AN，∴∠ADC＝∠CEA＝90°，
∴四边形ADCE为矩形．
(2)当△ABC满足什么条件时，四边形ADCE是正方形？请给出证明．
【解】当∠BAC＝90°时，四边形ADCE是正方形．
证明：∵AB＝AC，∠BAC＝90°， AD⊥BC，∴∠ACB＝∠B＝45°，∠CAD＝∠BAD＝45°，∴∠CAD＝∠ACB，∴DC＝AD.∵四边形ADCE为矩形，∴矩形ADCE是正方形．故当∠BAC＝90°时，四边形ADCE是正方形．(答案不唯一)
【2023·青岛胶州市月考】如图，在正方形ABCD中，DF＝AP＝BQ＝CE.
10
(1)求证：四边形PQEF是正方形．
【证明】在正方形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA，∠BAD＝∠B＝∠BCD＝∠D＝90°.∵AP＝BQ＝CE＝DF，∴BP＝QC＝ED＝FA.∴△AFP≌△BPQ≌△CQE≌ △DEF(SAS)．∴FP＝PQ＝QE＝EF，∠APF＝∠PQB.
∴四边形PQEF是菱形．又∵∠PQB＋∠BPQ＝90°，∴∠APF＋∠BPQ＝90°，∴∠FPQ＝90°， ∴菱形PQEF为正方形．
(2)PE是否总过某一定点，并说明理由．
【解】PE总过正方形ABCD的对角线的中点．理由如下：如图，连接AC交PE于点O，连接AE，CP.∵四边形ABCD是正方形，∴AB∥CD.
∵AP＝EC，
∴四边形APCE为平行四边形．
∴OA＝OC，∴PE总过AC的中点．
【2023·菏泽期末】(1)将矩形纸片ABCD沿过点D的直线折叠，使点A落在CD上的点A′处，得到折痕DE，如图①.求证：四边形AEA′D是正方形．
11
【证明】∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠ADC＝90°.由折叠可知AD＝A′D，AE＝A′E，∠ADE＝∠A′DE＝45°.∵AB∥CD，∴∠AED＝∠A′DE，∴∠AED＝∠ADE，∴AD＝AE，∴AD＝AE＝A′E＝A′D，∴四边形AEA′D是菱形．∵∠A＝90°，∴四边形AEA′D是正方形.
(2)将图①中的矩形纸片ABCD沿过点E的直线折叠，点C恰好落在AD上的点C′处，点B落在点B′处，得到折痕EF，B′C′交AB于点M，如图②.线段MC′与ME是否相等？若相等，请给出证明；若不相等，请说明理由．(共34张PPT)
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第六章 特殊平行四边形
正方形的性质
6.3.1
【2023·聊城期末】如图是以正方形的边长为直径，在正方形内画半圆得到的图形，则此图形的对称轴有( )
A．2条
B．4条
C．6条
D．8条
1
B
已知四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝90°，如果添加一个条件，使得该四边形成为正方形，那么所添加的这个条件可以是( )
A．∠D＝90° B．AB＝CD
C．AB＝BC D．AC＝BD
C
2
如图，以正方形ABCD的边AB为一边向外作等边三角形ABE，则∠BED的度数为( )
A．55°
B．45°
C．42.5°
D．40°
3
【点拨】
【答案】B
如图，已知四边形ABCD是正方形，G为线段AD上任意一点，CE⊥BG于点E，DF⊥CE于点F.求证：DF＝BE＋EF.
4
5
【点拨】
【答案】A
【母题：教材P26习题T2】如图，E，F是正方形ABCD的对角线AC上的两点，AC＝8，AE＝CF＝2，则四边形BEDF的周长是________．
6
【点拨】
【2023·临沂兰山区期中】如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上的一点，BE＝1，F为AB上的一点，AF＝2，P为AC上的一个动点，则PF＋PE的最小值为________．
7
【点拨】
【点易错】
此类问题容易出错的地方是不能将两条线段的长度和转化为一条线段的长度.
【2023·重庆】如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，连接AE，AF，EF，∠EAF＝45°.若∠BAE＝α，则∠FEC一定等于( )
A．2α
B．90°－2α
C．45°－α
D．90°－α
8
【点拨】
在正方形ABCD中，AD＝AB，∠BAD＝∠ABC＝∠ADC＝90°.将△ADF绕点A顺时针旋转90°，得△ABG，则AF＝AG，∠DAF＝∠BAG. ∵∠EAF＝45°，∴∠BAE＋∠DAF＝45°，∴∠BAE＋∠BAG＝45°，即∠GAE＝45°，∴∠GAE＝∠FAE.
【答案】A
【2023·泰安期末】在平面直角坐标系中，正方形ABCD如图摆放，若顶点A，B的坐标分别为(a，0)，(0，b)，则顶点D的坐标为( )
A．(－b，a＋b)
B．(a－b，－a)
C．(－a，a－b)
D．(b－a，－a)
9
【点拨】
【答案】B
过点D作DE⊥x轴于点E，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠BAD＝90°.∵∠AOB＝90°，∴∠BAO＋∠DAO＝∠ABO＋∠BAO＝90°，∴∠ABO＝∠DAO.
∵∠AOB＝∠DEA＝90°，∴△ABO≌△DAE(AAS)，∴DE＝OA，AE＝OB.∵点A，B的坐标分别为(a，0)，(0，b)，∴OA＝a，OB＝b，∴DE＝a，AE＝b，∴OE＝b－a，∴顶点D的坐标为(a－b，－a)．
如图，正方形ABCD的边长为8，点E是CD的中点，HG垂直平分AE且分别交AE，BC于点H，G，则BG＝________．
1
10
【点拨】
连接AG，EG，∵四边形ABCD是正方形，∴∠B＝∠C＝90°.∵E是CD的中点，∴DE＝CE＝4，设CG＝x，则BG＝8－x.∵HG垂直平分AE，∴AG＝EG.∴根据勾股定理，得AB2＋BG2＝CE2＋CG2，即82＋(8－x)2＝42＋x2，解得x＝7，∴BG＝BC－CG＝8－7＝1.
5
11
【点拨】
如图，过点O作OF⊥BC于点F，过点A作AM⊥OF于点M，则∠OFC＝∠OFB＝∠AMF＝∠AMO＝90°.又∵∠ACB＝90°，∴四边形ACFM是矩形，
∴AM＝CF，MF＝AC＝3.
∵四边形ABDE为正方形，
∴∠AOB＝90°，OA＝OB，
∴∠AOM＋∠BOF＝90°.
【新考向】【2023·广东】综合与实践
主题：制作无盖正方体纸盒．
素材：一张正方形纸板．
步骤1：如图①，将
正方形纸板的边三等
分，画出九个相同的
小正方形，并剪去四个角上的小正方形；
步骤2：如图②，把剪好的纸板折成无盖正方体纸盒.
12
猜想与证明：
(1)直接写出纸板上∠ABC与纸盒上∠A1B1C1的大小关系.
【解】∠ABC＝∠A1B1C1.
(2)证明(1)中你发现的结论．
【证明】由正方形的性质可知A1C1＝B1C1，∠A1C1B1＝90°，∴∠A1B1C1＝45°.连接AC，设每个小正方形的边长为1，则AB2＝12＋32＝10，AC2＝BC2＝12＋22＝5，∴AC2＋BC2＝AB2，∴△ABC是等腰直角三角形，且∠ACB＝90°，∴∠ABC＝45°，∴∠ABC＝∠A1B1C1.
如图，已知正方形ABCD，点P在边BC的延长线上，连接AP交BD于F，过点C作CG∥AP交BD于点G，连接AG，CF.
13
(1)求证：△ADF≌△CBG.
(2)判断四边形AGCF是什么特殊四边形？请说明理由．
【解】四边形AGCF是菱形．理由如下：连接AC，交BD于点O. ∵四边形ABCD是正方形，∴OA＝OC， OB＝OD，AC⊥BD.由(1)知△ADF≌△CBG，∴DF＝BG，∴OB－BG＝OD－FD，∴OG＝OF.又∵OA＝OC，∴四边形AGCF为平行四边形．∵AC⊥FG，∴四边形AGCF是菱形．
如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，G是CD边上一点，连接BG交AC于点E，过点A作AM⊥BG，垂足为M，AM交BD于点F.
14
(1)求证：OE＝OF.
(2)若BG平分∠DBC，求证：DG＝2OE.
【证明】如图，在BG上取一点H，使BH＝GH，连接OH，∵O为BD的中点，∴OH是△BDG的中位线，∴DG＝2OH，OH∥DG，∴∠FOH＝∠CDB.
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠CDB＝∠CBD＝∠OCB＝45°，
∴∠FOH＝45°.∴∠OCB＝∠FOH.
∵BG平分∠DBC，∴∠CBG＝∠DBG，
∴∠CBG＋∠OCB＝∠DBG＋∠FOH，
∴∠OEH＝∠OHE，∴OH＝OE，∴DG＝2OE.(共28张PPT)
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第六章 特殊平行四边形
矩形的性质与判定的应用
6.2.3
【2023·济南市中区期末】下列说法中正确的是( )
A．对角线相等的四边形是矩形
B．对角线互相垂直的四边形是菱形
C．平行四边形的对角线平分一组对角
D．矩形的对角线相等且互相平分
1
D
2
【点拨】
【答案】D
【2023·济南章丘区期中】如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，∠AOB＝60°，AC＝2，则BC＝________．
3
【点拨】
4
【点拨】
连接DE，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∠C＝∠B＝90°，∴∠ADE＝∠DEC.∵DF⊥AE，∴∠DFE＝90°.∵FE＝CE，DE＝DE，∴Rt△DFE≌ Rt△DCE(HL)，∴DF＝DC，∠FED＝∠DEC，∴∠FED＝∠ADE， ∴AE＝AD.∵AD＝BC，∴BE＝BC－EC＝AE－EC.设AE为x，在Rt△ABE中，由勾股定理得AB2＋BE2＝AE2，即32＋(x－1)2＝x2，解得x＝5，∴AE＝5，∴AF＝AE－EF＝5－ 1＝4.
【点方法】
【答案】B
求矩形中某线段的长，常用到勾股定理：一是利用勾股定理直接求线段的长；二是利用勾股定理列方程，通过解方程求线段的长．
【2023·菏泽期末】如图，矩形ABCD中，AB＝5， AD＝12，点P在对角线BD上，且BP＝BA，连接AP并延长，交DC的延长线于点Q，连接BQ，则BQ的长为________．
5
【点拨】
【新题型】如图，四边形ABCD是个活动框架，对角线AC，BD是两根皮筋．如果拉动这个框架(BC位置不变)得到矩形A′BCD′，A′C和BD′相交于点O.连接DD′，如果四边形OD′DC为菱形，则∠A′CB＝________°.
6
30
【点拨】
由题意得CD′＝CD.∵四边形OD′DC为菱形，∴∠OCD′＝∠DCD′，DD′＝CD，∴CD′＝DD′＝CD，∴△CDD′是等边三角形，∴∠DCD′＝60°，∴∠D′CO＝60°.∵四边形A′BCD′是矩形，∴∠BCD′＝90°，∴∠A′CB＝30°.
【2023·青岛平度市期末】如图，在Rt△ABC中， ∠C＝90°，AC＝3 cm，BC＝4 cm，D是AB上一点，DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F，连接EF，则EF的最小值为________cm.
7
2.4
【点拨】
如图，四边形ABCD是平行四边形，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，CF ＝AE ，连接AF , BF.
8
(1)求证：四边形 BFDE是矩形．
【证明】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，AB＝DC.∵CF＝AE，∴AB－AE＝DC－CF，即BE＝FD.∴四边形BFDE是平行四边形．∵DE⊥AB，∴∠DEB＝90°.∴四边形BFDE是矩形．
(2)若AF是∠DAB的平分线，且CF＝6，BF ＝8，求DC的长.
【2023·乐山】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D为AB边上任意一点(不与点A，B重合)，过点D作DE∥BC，DF∥AC，分别交AC，BC于点E，F，连接EF.
9
(1)求证：四边形ECFD是矩形．
【证明】∵FD∥CA，BC∥DE，
∴四边形ECFD为平行四边形．
又∵∠C＝90°，∴四边形ECFD为矩形．
(2)若CF＝2，CE＝4，求点C到EF的距离．
【2023·威海环翠区期中】如图，在 ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC至点F，使CF＝BE，连接DF.
10
(1)求证：四边形ADFE为矩形．
(2)连接OF，若AD＝3，EC＝2，∠ABF＝60°，求OF的长.
11
(1)求证：四边形EFGH是矩形．
(2)连接FC，EC，点F，E在运动过程中，△BFC与△DCE是否能够全等？若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由．(共32张PPT)
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第六章 特殊平行四边形
矩形的判定
6.2.2
在下列条件中，能够判定 ABCD为矩形的是( )
A．AB＝AC B．AC⊥BD
C．AB＝AD D．AC＝BD
1
D
2
【点拨】
【答案】A
如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AD∥BC，在不添加任何辅助线的前提下，要想四边形ABCD成为一个矩形，只需添加的一个条件是________．
3
∠A＝90°
(答案不唯一)
【2023·青岛市北区期末】如图，在 ABCD中，∠ACB＝90°，过点D作DE⊥BC交BC的延长线于点E.求证：四边形ACED是矩形．
4
【证明】∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，∴∠DAC＝∠ACB＝90°.
∵DE⊥BC，∴∠E＝90°.
又∵∠ACE＝180°－∠ACB＝90°，
∴∠ACE＝∠DAC＝∠E＝90°，∴四边形ACED是矩形.
【2023·菏泽期末】如图，已知菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，CE∥OD，DE∥OC．求证：四边形OCED是矩形．
5
【证明】∵CE∥OD，DE∥OC，
∴四边形OCED是平行四边形．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，∴∠DOC＝90°，∴ OCED是矩形．
【点方法】
证明四边形是矩形的方法：(1)如果四边形是平行四边形，可考虑有一个角是直角或对角线相等；(2)如果四边形有一个角是直角或对角线相等，可考虑证明四边形是平行四边形；(3)证明四边形有3个角是直角．
在一组对边平行的四边形中，下列条件中，可判定这个四边形是矩形的是( )
A．另一组对边相等，对角线相等
B．另一组对边相等，对角线互相垂直
C．另一组对边平行，对角线相等
D．另一组对边平行，对角线互相垂直
6
【点易错】
【答案】C
此题易因对矩形的判定方法理解错误而出错．在一组对边平行的前提下，再找该组对边相等或另一组对边平行即可判定这个四边形为平行四边形，再结合对角线相等即可判定这个四边形是矩形．
【2023·上海】在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD．下列条件能使四边形ABCD为矩形的是( )
A．AB∥CD B．AD＝BC
C．∠A＝∠B D．∠A＝∠D
7
【点拨】
A.∵AB∥CD，AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，由AB＝CD不能判定四边形ABCD为矩形．B.∵AD＝BC，AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，由AB＝CD不能判定四边形ABCD为矩形．C.∵AD∥BC，∴∠A＋∠B＝180°.∵∠A＝∠B，∴∠A＝∠B＝90°，∴AB⊥AD，AB⊥BC，∴AB的长为AD与BC间的距离．∵AB＝CD，∴CD⊥AD，CD⊥BC，∴∠C＝∠D＝90°，∴四边形ABCD是矩形．
【答案】C
D.∵AD∥BC，∴∠A＋∠B＝180°，∠D＋∠C＝180°.∵∠A＝∠D，∴∠B＝∠C.∵AB＝CD，∴当AD≠BC时，四边形ABCD是等腰梯形．
【2022·聊城】要检验一个四边形的桌面是否为矩形，可行的测量方案是( )
A．测量两条对角线是否相等
B．度量两个角是否是90°
C．测量两条对角线的交点到四个顶点的距离是否相等
D．测量两组对边是否分别相等
8
【点拨】
【答案】C
A.对角线相等的四边形不一定是平行四边形，更不能判定其为矩形；B.两个角是90°的四边形不一定是矩形，三个角是90°的四边形才是矩形；C.由对角线的交点到四个顶点的距离相等，可知四边形的对角线互相平分且对角线相等，所以可判定是矩形；D.两组对边相等的四边形是平行四边形，不能判定其为矩形．
【母题：教材P17习题T1】如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，添加下列条件仍不能判定四边形ABCD是矩形的是( )
A．AB2＋BC2＝AC2
B．AB＝AD
C．OA＝OD
D．∠ABC＋∠ADC＝180°
9
【点拨】
【答案】B
A.∵AB2＋BC2＝AC2，∴∠ABC＝90°，∴ ABCD为矩形；B.∵AB＝AD，∴ ABCD为菱形；C.∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD.∵OA＝OD，∴AC＝BD, ∴ ABCD是矩形；D.∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ABC＝∠ADC.∵∠ABC＋∠ADC＝180°，∴∠ABC＝∠ADC＝90°，∴ ABCD为矩形．
如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，AD＝ 10 cm，BC＝8 cm，点P从点D出发，以1 cm/s的速度向点A运动，点M从点B同时出发，以相同的速度向点C运动，当其中一个动点到达终点时，两个动点同时停止运动．
10
设点P的运动时间为t(单位：s)，下列结论正确的是( )
A．当t＝4时，四边形ABMP为矩形
B．当t＝5时，四边形CDPM为平行四边形
C．当CD＝PM时，t＝4
D．当CD＝PM时，t＝4或6
【点拨】
∵∠A＝∠B＝90°，∴AD∥BC.根据题意，得DP＝ t cm，BM＝t cm，∵AD＝10 cm，BC＝8 cm，∴AP＝ (10－t) cm，CM＝(8－t) cm.当四边形ABMP为矩形时，AP＝BM，即10－t＝t，解得t＝5，故A错误；当四边形CDPM为平行四边形时，DP＝CM，即t＝8－t，解得t＝4，故B错误；当CD＝PM时，分两种情况：①四边形CDPM是平行四边形，此时CM＝PD，即8－t＝t，解得t＝4；
【答案】D
【开放题】【2023·岳阳】如图，点M在 ABCD的边AD上，BM＝CM.请从以下三个条件①∠1＝∠2；②AM＝DM；③∠3＝∠4中，选择一个合适的条件作为已知条件，使 ABCD为矩形．
(1)你添加的条件是________(填序号)．
①
11
(2)添加条件后，请证明 ABCD为矩形．
【点拨】
本题答案不唯一．
【2023·青岛期中】如图， ABCD的对角线AC，BD交于点O，E为OC的中点，过点C作CF∥BD交BE的延长线于F，连接DF.
12
(1)求证：△FCE≌△BOE.
(2)当△ADC满足什么条件时，四边形OCFD为矩形？请说明理由．
【解】当△ADC满足AD＝CD时，四边形OCFD为矩形.
理由如下：∵△FCE≌△BOE，∴CF＝OB.∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD. ∴CF＝OD.又∵CF∥BD，∴四边形OCFD为平行四边形．
∵AD＝CD，OA＝OC，∴OD⊥AC.∴∠COD＝90°.
∴四边形OCFD为矩形．
如图， ABCD中，AC，BD相交于点O，E，F分别是OA，OC的中点．
13
(1)求证：BE＝DF.(共37张PPT)
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第六章 特殊平行四边形
矩形的性质
6.2.1
【2023·济南月考】如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的顶点A(－6，2)，B(2，2)，C(2，－3)，则点D的坐标为( )
A．(－6，3)
B．(3，－6)
C．(－6，－3)
D．(－3，－6)
1
【点拨】
【答案】C
∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥DC，AD∥BC. ∵A(－6，2)，B(2，2)，C(2，－3)，∴点D的横坐标与点A的横坐标相同，为－6，点D的纵坐标与点C的纵坐标相同，为－3，∴点D的坐标为(－6，－3)．
【2023·台州】如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6.在边AD上取一点E，使BE＝BC，过点C作CF⊥BE，垂足为点F，则BF的长为________．
2
【点拨】
【2023·菏泽模拟】如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AC＝10，P，Q分别为AO，AD的中点，则PQ的长度为( )
A．10
B．5
C．2.5
D．2.25
3
【点拨】
【答案】C
4
【点拨】
【答案】C
如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC的平分线交BC于点D，E为AC的中点，若AB＝10，则DE的长是( )
A．8
B．6
C．5
D．4
5
C
6
【点拨】
【点技巧】
【答案】D
如果已知条件中出现中点，一般要考虑三角形的中位线定理；如果既有中点又有直角，就要考虑“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”．
【情境题】【2022·日照】如图，矩形ABCD为一个正在倒水的水杯的截面图，杯中水面与CD的交点为E，当水杯底面BC与水平面的夹角为27°时，
∠AED的度数为( )
A．27° B．53°
C．57° D．63°
7
【点拨】
【答案】D
如图，∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∠ABC＝90°，∴∠ABF＝180°－90°－27°＝63°.
∵AE∥BF，∴∠EAB＝∠ABF＝63°.
∵AB∥CD，
∴∠AED＝∠EAB＝63°.
【2023·宁波】如图，以钝角三角形ABC的最长边BC为边向外作矩形BCDE，连接AE，AD，设△AED，△ABE，△ACD的面积分别为S，S1，S2，若要求出 S－S1－S2的值，只需知道( )
A．△ABE的面积
B．△ACD的面积
C．△ABC的面积
D．矩形BCDE的面积
8
【点拨】
作AG⊥ED于点G，交BC于点F，则∠FGE＝90°. ∵四边形BCDE是矩形，∴∠FBE＝∠BEG＝∠CDE＝90°，BC∥ED，BC＝ED，BE＝CD，∴四边形BFGE是矩形，∠AFB＝∠FGE＝90°，∴FG＝BE＝CD，AF⊥BC，
【答案】C
【2023·河南】矩形ABCD中，M为对角线BD的中点，点N在边AD上，且AN＝AB＝1.当以点D，M，N为顶点的三角形是直角三角形时，AD的长为__________．
9
【点拨】
以点D，M，N为顶点的三角形是直角三角形，分两种情况：①如图①，当∠MND＝90°时，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝90°，∴MN∥AB.∵M为对角线BD的中点，∴易得AN＝DN.∵AN＝AB＝1，∴AD＝2AN＝2.
【2023·陕西】如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4.点E在边AD上，且ED＝3，M，N分别是边AB，BC上的动点，且BM＝BN，P是线段CE上的动点，连接PM，PN.若PM＋PN＝4.则线段PC的长为________．
10
【点拨】
在矩形ABCD中，∠D＝∠BCD＝90°，CD＝AB＝3.∵DE＝3，∴DE＝CD，∴△CDE是
等腰直角三角形，∴∠DCE＝∠BCE＝
45°.作点N关于EC的对称点N′，则N′在
直线CD上，连接PN′，∴PN′＝PN，
NC＝N′C.
【2023·滨州】如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是线段OB，OA上的点，若 AE＝BF，AB＝5，AF＝1，BE＝3，则BF的长为________.
11
【点拨】
如图，将矩形ABCD沿对角线AC折叠，点B的对应点为点E，AE与CD交于点F.
12
(1)求证：△DAF≌△ECF.
(2)若∠FCE＝40°，求∠CAB的度数．
【解】∵△DAF≌△ECF，∴∠DAF＝∠ECF＝40°.
∵四边形ABCD是矩形，∴∠DAB＝90°，
∴∠EAB＝∠DAB－∠DAF＝90°－40°＝50°.
∵∠EAC＝∠CAB，∴∠CAB＝25°.
【2023·随州】如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，DE∥AC，CE∥BD．
13
(1)求证：四边形OCED是菱形．
(2)若BC＝3，DC＝2，求四边形OCED的面积．
如图，在矩形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，点E，F分别为OA，OD的中点．
14
(1)求证：△BOE≌△COF.
(2)连接AF和DE，在不添加任何辅助线的情况下，请写出图中面积是△ABE面积的3倍的三角形．
∵OB＝OD，
∴S△BOE＝S△DOE＝S△ABE，
∴S△CDE＝S△DOE＋S△COD＝3S△ABE.
同理可得S△ABF＝3S△ABE.
综上所述，面积是△ABE面积的3倍的三角形有△BCE，
△BCF，△ABF，△CDE.(共32张PPT)
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第六章 特殊平行四边形
菱形的性质与判定的应用
6.1.3
1
【点拨】
【答案】A
【母题：教材P8做一做】如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，重合部分构成一个四边形ABCD，在其中一张纸条转动的过程中，下列结论一定成立的是( )
A．AD＝CD
B．四边形ABCD的面积不变
C．AC＝BD
D．四边形ABCD的周长不变
2
【点拨】
【答案】A
设两张等宽的纸条的宽为h，∵纸条的对边平行，∴AD∥BC，AB∥DC，∴四边形ABCD是平行四边形．
∵S ABCD＝AD·h＝CD·h，∴AD＝CD.
如图，四边形ABCD是菱形，E，F是对角线AC上的两点，且AE＝CF，连接BF，FD，DE，EB．求证：四边形DEBF是菱形.
3
【新考法】【2023·枣庄滕州市月考】如图，在 ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线交BC于点E，连接EF.
4
(1)求证：四边形ABEF为菱形.
【证明】由作图可知AB＝AF，∠BAE＝∠FAE.
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，
∴∠FAE＝∠AEB，∴∠BAE＝∠AEB，∴AB＝BE，
∴BE＝FA，∴四边形ABEF为平行四边形．
∵AB＝AF，∴四边形ABEF为菱形．
(2)AE，BF相交于点O，若BF＝6，AB＝5，求AE的长.
【2023·泰安泰山区期中】如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，BD平分∠ABC，AC⊥BD，垂足为O.
5
(1)求证：四边形ABCD是菱形.
【证明】∵AB＝AD，
∴∠ABD＝∠ADB.
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，∴∠ADB＝∠CBD.
∵AB＝AD，AC⊥BD，∴BO＝DO.
(2)若CD＝3，BD＝4，求四边形ABCD的面积.
如图，在 ABCD中，BD＝AD，延长CB到点E，使 BE＝BD，连接AE.
6
(1)求证：四边形AEBD是菱形.
【证明】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，∴AD∥BE.∵
BD＝AD，BE＝BD，∴AD＝BE，
∴四边形AEBD是平行四边形．
又∵BD＝AD，∴四边形AEBD是菱形．
(2)连接DE交AB于点F，若DC＝6，DC∶DE＝3∶4，求AD的长.
【2023·云南改编】如图，平行四边形ABCD中，AE，CF分别是∠BAD，∠BCD的平分线，且E，F分别在边BC，AD上，AE＝AF.
7
(1)求证：四边形AECF是菱形.
(2)若∠ABC＝60°，AB＝4，求平行线AB与DC间的距离.
【解】连接AC，由(1)知∠DAE＝∠AEB，
∠BAE＝∠DAE，∴∠BAE＝∠AEB，∴AB＝EB.
∵∠ABC＝60°，∴△ABE是等边三角形，
∴∠BAE＝∠AEB＝60°，AB＝AE＝EB＝4.
由(1)知四边形AECF是菱形，
∴AE＝CE＝4，∴∠EAC＝∠ECA.
如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AC平分∠DAB，AB＝2CD，E为AB的中点，连接CE.
8
(1)求证：四边形AECD是菱形.
【证明】∵E为AB的中点，∴AB＝2AE.
又∵AB＝2CD，∴CD＝AE.又∵AB∥CD，即AE∥CD，
∴四边形AECD是平行四边形．
∵AC平分∠DAB，∴∠DAC＝∠EAC.
∵AB∥CD，∴∠DCA＝∠EAC.∴∠DCA＝∠DAC.
∴AD＝CD.∴四边形AECD是菱形．
(2)若∠D＝120°，CD＝2，求△ABC的面积.
【2023·青岛莱西市期末】如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠ADC＝∠ABC，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE.
9
(1)求证：四边形ABCD是菱形.
(2)若AB＝5，BD＝2，求OE的长.
【母题：教材P11习题T4】如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB≠CD，BD＝AC．
10
(1)求证：AD＝BC．
【证明】如图，过点B作BM∥AC交DC的延长线于点M，则∠ACD＝∠M.∵AB∥CD，∴四边形ABMC为平行四边形．∴AC＝BM.又∵AC＝BD，∴BD＝BM.
∴∠BDC＝∠M，∴∠BDC＝∠ACD.
又∵CD＝DC，AC＝BD，
∴△ACD≌△BDC.
∴AD＝BC.
(2)若E，F，G，H分别是AB，CD，AC，BD的中点，求证：线段EF与线段GH互相垂直平分.
