2009年中考数学复习教材回归知识讲解+例题解析+强化训练-二次函数与方程（组）或不等式

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2009年中考数学复习教材回归知识讲解+例题解析+强化训练
二次函数与方程（组）或不等式
◆知识讲解
（1）最大值或最小值的求法
第一步确定a的符号：a>0有最小值，a<0有最大值；第二步求顶点，顶点的纵坐标即为对应的最大值或最小值．
（2）y轴与抛物线y=ax2+bx+c的交点为（0，c）．
（3）与y轴平行的直线x=h与抛物线y=ax2+bx+c有且只有一个交点（h，ah2+bh+c）．
（4）抛物线与x轴的交点．
二次函数y=ax2+bx+c的图像与x轴的两个交点的横坐标x1，x2是对应的一元二次方程ax2+bx+c=0的两个实数根．抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：
①有两个交点△>0抛物线与x轴相交．
②有一个交点（顶点在x轴上）△=0抛物线与x轴相切；
③没有交点△<0抛物线与x轴相离．
（5）平行于x轴的直线与抛物线的交点．
同（4）一样可能有0个交点，1个交点，2个交点．当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k，则横坐标是ax2+bx+c=k的两个实数根．
（6）一次函数y=kx+n（k≠0）的图像L与二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图像G的交点，由方程组的解的数目确定：①当方程组有两组不同的解时L与G有两个交点；②方程组只有一组解时L与G只有一个交点；③方程组无解时L与G没有交点．
（7）利用函数图像求不等式的解集，先观察图像，找出抛物线与x轴的交点，再根据交点坐标写出不等式的解集．注意：观察图像时不要看漏了其中的部分．
◆例题解析
例1 如图所示，已知抛物线y=－x2+（5－）x+m－3与x轴有两个交点A，B，点A在x轴的正半轴上，点B在x轴的负半轴上，且OA=OB．（1）求m的值；（2）求抛物线的解析式，并写出抛物线的对称轴和顶点C的坐标；（3）问在抛物线上是否存在一点M，△MAC≌△OAC，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】抛物线与x轴交于A，B两点，OA=OB，故A，B两点关于y轴对称，就可求得m的值，由抛物线交y轴的正半轴，得m的确定值．
【解答】（1）∵抛物线与y轴交于正半轴，且OA=OB．
∴
由②得m=±5，由①m>3，故m=－5应舍去．∴m=5．
（2）抛物线的解析式为y=－x2+2，对称轴是y轴，顶点C的坐标为C（0，2）．
（3）令y=0得 －x2+2=0，∴x=±2．
∴A（2，0），B（－2，0），C（0，2），△OAC是等腰直角三角形．
若存在一点M，使△MAC≌△OAC，∵AC为公共边，OA=OC，
∴点M与O关于直线AC对称，∴M点的坐标为（2，2）．
当x=2时，－x2+2=0≠2．
∴M（2，2）不在抛物线上，即不存在一点M，使△MAC≌△OAC．
【点评】存在性问题，通常是先假定存在，若能找出具备某种条件或性质的对象，就说明存在，其叙述过程就是理由；若不存在，就需要进一步说明理由．
例2 已知二次函数y=x2－（2m+4）x+m2－4（x为自变量）的图像与y轴的交点在原点下方，与x轴交于A，B两点，点A在点B的左边，且A，B两点到原点的距离AO，OB满足3（OB－AO）=2AO·OB，直线y=kx+k与这个二次函数图像的一个交点为P，且锐角∠POB的正切值4．
（1）求m的取值范围；
（2）求这个二次函数的解析式；
（3）确定直线y=kx+k的解析式．
【分析】利用抛物线与x轴的交点A，B的位置及与y轴交点的位置和A，B两点到原点的距离可以求出m的值，再利用一元二次方程根与系数的关系可以求解．
【解答】（1）设点A，B的坐标分别为A（x1，0），B（x2，0）（x1∴△=[－（2m+4）] 2－4（m2－4）>0．
解得m>－2． ①
又∵函数的图像与y轴的交点在原点下方，
∴m2－4<0，∴－2（2）∵图像交y轴于负半轴，与x轴交于A，B两点，且x1∴x1<0，x2>0．
由3（OB－AO）=2AO·OB可得
3[x2－（－x1）]=2（－x1）·x2
即3（x1+x2）=－2x1x2
由于x1，x2是方程x2－（2m+4）x+m2－4=0的两个根，所以x1+x2=2m+4，x1·x2=m2－4．
∴3（2m+4）=－2（m2－4）
整理，得m2+3m+2=0．
∴m=－1或m=－2（舍去）．
∴二次函数的解析式为y=x2－2x－3．
（3）由y=x2－2x－3，得A（－1，0），B（3，0）．
∵直线y=kx+k与抛物线相交，
∴由
解得 或
∵∠POB为锐角．
∴点P在y轴右侧，
∴点P坐标为（k+3，k2+4k），且k+3>0．
∵tan∠POB=4，
∴=4．
如图所示，当点P在x轴上方时．
=4．解得k1=2，k2=－2．
经检验，k1=2，k2=－2都是方程的解，但k2+3<0．
∴k2=－2舍去．
∴直线的解析式为y=2+2．
当点P在x轴下方时，=－4，
解得k3=－2，k4=－6．
经检验，k3=－2，k4=－6是方程的解，但k4+3<0．
∴k4=－6舍去．
∴y=－2x－2．
∴所求直线的解析式为y=2x+2，或y=－2x－2．
【点评】本题以求解析式为目标，综合了函数，一元二次方程根与系数的关系，三角函数等知识，综合性强，灵活性大，解题关键是认真审题，认真分析纷繁复杂的条件，从中找到解题的突破口，易错点是在第（3）小题中忽视分类讨论而失解．
◆强化训练
一、填空题
1．与抛物线y=2x2－2x－4关于x轴对称的图像表示的函数关系式是_______．
2．已知二次函数y=（a－1）x2+2ax+3a－2的图像最低点在x轴上，那么a=______，此时函数的解析式为_______．
3．（2006，湖北襄樊）某涵洞的截面是抛物线型，如图1所示，在图中建立的直角坐标系中，抛物线的解析式为y=－x2，当涵洞水面宽AB为12m时，水面到桥拱顶点O的距离为_______m．
图1 图2
4．（2006，山西）甲，乙两人进行羽毛球比赛，甲发出一颗十分关键的球，出手点为P，羽毛球飞行的水平距离s（m）与其距地面高度h（m）之间的关系式为h=－s2+s+．如图2，已知球网AB距原点5m，乙（用线段CD表示）扣球的最大高度为m，设乙的起跳点C的横坐标为m，若乙原地起跳，因球的高度高于乙扣球的最大高度而导致接球失败，则m的取值范围是_______．
5．若抛物线y=x2与直线y=x+m只有一个公共点，则m的值为_____．
6．设抛物线y=x2+（2a+1）x+2a+的图像与x轴只有一个交点，则a18+323a－6的值为_______．
7．已知直线y=－2x+3与抛物线y=x2相交于A，B两点，O为坐标原点，那么△OAB的面积等于______．
8．（2008，安徽）图3为二次函数y=ax2+bx+c的图像，在下列说法中：
①ab<0；②方程ax2+bx+c=0的根是x1=－1，x2=3；③a+b+c>0；④当x>1时，y随着x的增大而增大．
正确的说法有_______．（请写出所有正确说法的序号）
图3 图4 图5
二、选择题
9．（2006，绍兴）小敏在某次投篮球中，球的运动路线是抛物线y=－x2+3.5的一部分（图4），若命中篮圈中心，则他与篮底的距离是（ ）
A．3.5m B．4m C．4.5m D．4.6m
10．当m在可以取值范围内取不同的值时，代数的最小值是（ ）
A．0 B．5 C．3 D．9
11．二次函数y=ax2+bx+c的图像如图5所示，则下列结论：①a>0，②c>0，③b2－4ac>0，其中正确的个数是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
12．抛物线y=x2+（2m－1）x+m2与x轴有两个交点，则m的取值范围是（ ）
A．m> B．m>－ C．m< D．m<－
13．根据下列表格中二次函数y=ax2+bx+c的自变量x与函数y的对应值，判断方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的一个解x的范围是（ ）
x 6.17 6.18 6.19 6.20
y=ax2+bx+c －0.03 －0.01 0.02 0.04
A．614．若二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图像的顶点在第一象限且经过点（0，1）和（－1，0），则S=a+b+c的值的变化范围是（ ）
A．015．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的最大值是零，那么代数式│a│+的化简结果是（ ）
A．a B．－a C． D．0
16．（2006，甘肃兰州）已知y=2x2的图像是抛物线，若抛物线不动，把x轴，y轴分别向上，向右平移2个单位，那么在新坐标系下抛物线的解析式是（ ）
A．y=2（x－2）2+2 B．y=2（x+2）2－2
C．y=2（x－2）2－2 D．y=2（x+2）2+2
三、解答题
17．（2006，吉林省）如图，三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，两小孔形状，大小都相同．正常水位时，大孔水面宽度AB=20m，顶点M距水面6m（即MO=6m），小孔顶点N距水面4.5m（即NC=4.5m）．当水位上涨刚好淹没小孔时，借助图中的直角坐标系，求此时大孔的水面宽度EF．
18．（2008，安徽）杂技团进行杂技表演，演员从跷跷板右端A处弹跳到人梯顶端椅子B处，其身体（看成一点）的路线是抛物线y=－x2+3x+1的一部分，如图所示．
（1）求演员弹跳离地面的最大高度；
（2）已知人梯高BC=3.4m，在一次表演中，人梯到起跳点A的水平距离是4m，问这次表演是否成功？请说明理由．
19．（2006，沈阳市）某企业信息部进行市场调研发现：
信息一：如果单独投资A种产品，则所获利润yA（万元）与投资金额x（万元）之间存在正比例函数关系：yA=kx，并且当投资5万元时，可获利润2万元；
信息二：如果单独投资B种产品，则所获利润yB（万元）与投资金额x（万元）之间存在二次函数关系：yB=ax2+bx，并且当投资2万元时，可获利润2.4万元；当投资4万元时，可获得3.2万元．
（1）请分别求出上述的正比例函数表达式与二次函数表达式；
（2）如果企业同时对A，B两种产品共投资10万元．请你设计一个能获得最大利润的投资方案，并求出按此方案能获得的最大利润是多少．
20．（2008，烟台）如图所示，抛物线L1：y=－x2－2x+3交x轴于A，B两点，交y轴于M点．抛物线L1向右平移2个单位后得到抛物线L2，L2交x轴于C，D两点．
（1）求抛物线L2对应的函数表达式；
（2）抛物线L1或L2在x轴下方的部分是否存在点N，使以A，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形．若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若点P是抛物线L1上的一个动点（P不与点A，B重合），那么点P关于原点的对称点Q是否在抛物线L2上，请说明理由．
21．已知：二次函数y=ax2+bx+c的图像经过点A（0，4），顶点在x轴上，且对称轴在y轴的右侧．设直线y=x与二次函数图像自左向右分别交于P（x1，y1），Q（x2，y2）两点，且OP：PQ=1：3．
（1）求二次函数的解析式；
（2）求△PAQ的面积；
（3）在线段PQ上是否存在一点D，使△APD≌△QPA，若存在，求出点D坐标，若不存在，说明理由．
22．（2005，武汉市）已知二次函数y=ax2－ax+m的图像交x轴于A（x1，0），B（x2，0）两点，x1（1）求此二次函数的解析式；
（2）在第一象限，抛物线上是否存在点P，使S△PAC=6？若存在，请你求出点P的坐标； 若不存在，请你说明理由．
答案:
1．y=－2x2+2x+4 2．2；y=x2+4x+4 3．9 4．55．－ 6．5796 7．6 8．①②④ 9．B 10．B 11．C
12．C 13．C 14．A 15．B 16．B
17．设抛物线解析式为y=ax2+6，
依题意得，B（10，0）．
∴a×102+6=0，解得a=－0.06．
即y=－0.06x2+6，
当y=4.5时，－0.06x2+6=4.5，解得x=±5，
∴DF=5，EF=10，
即水面宽度为10m．
18．（1）y=－x2+3x+1=－（x－）2+．
∵－<0，∴函数的最大值是．
答：演员弹跳离地面的最大高度是m．
（2）当x=4时，y=－×42+3×4+1=3.4=BC，所以这次表演成功．
19．（1）当x=5时，yA=2，2=5k，k=0.4．
∴yA=0.4x，当x=2时，yB=2.4；
当x=4时，yB=3.2．
∴ 解得
∴yB=－0.2x2+1.6x．
（2）设投资B种商品x万元，则投资A种商品（10－x）万元，获得利润W万元，
根据题意可得W=－0.2x2+1.6x+0.4（10－x）=－0.2x2+1.2x+4．
∴W=－0.2（x－3）2+5.8．
当投资B种商品3万元时，可以获得最大利润5.8万元．
所以投资A种商品7万元，B种商品3万元，这样投资可以获得最大利润5．8万元．
20．（1）令y=0时，得－x2－2x+3=0，
∴x1=－3，x2=1，∴A（－3，0），B（1，0）．
∵抛物线L1向右平移2个单位长度得抛物线L2，
∴C（－1，0），D（3，0）．
∴抛物线L2为y=－（x+1）（x－3）．
即y=－x2+2x+3．
（2）存在．如图所示．
令x=0，得y=3，∴M（0，3）．
∵抛物线L2是L1向右平移2个单位长度得到的，
∴点N（2，3）在L2上，且MN=2，MN∥AC．
又∵AC=2，∴MN=AC．
∴四边形ACNM为平行四边形．
同理，L1上的点N′（－2，3）满足N′M∥AC，N′M=AC，
∴四边形ACMN′是平行四边形．
∴N（2，3），N′（－2，3）即为所求．
（3）设P（x1，y1）是L1上任意一点（y1≠0），
则点P关于原点的对称点Q（－x1，－y1），
且y1=－x12－2x1+3，
将点Q的横坐标代入L2，得yQ=－x12－2x1+3=y1≠－y1．
∴点Q不在抛物线L2上．
21．（1）抛物线过（0，4）点．
∴c=4，
∴y=ax2+bx+4
又OP：PQ=1：3，
∴x1：x2=1：4
由得ax2+（b－1）x+4=0，
∵x1，x2是该方程的两个根，
∴x1+x2=－，x1·x2=．
消去x1得25a=（b－1）2．
∵抛物线的对称轴在y轴右侧
∴－>0，
∴<0，又抛物线的顶点在x轴上，
∴b2=16a得a=1，b=－4（b=舍去）．
∴y=x2－4x+4．
（2）如图所示，
S△PAQ=S△AQO －S△APO
=×4×x2－×4×x1=2（x2－x1）=2=2=2=6．
（3）存在点D，设D（m，n）易得P（1，1），Q（4，4），
由△APD∽△QPA得PA2=PQ·PD，运用勾股定理得│m－1│=，得m=或．
∵1∴D（，）．
22．（1）∵AB=3，x1∵x2－x1=3．
由根与系数的关系有x1+x2=1，
∴x1=－1，x2=2．
∴OA=1，OB=2，x1·x2==－2．
∵tan∠BAC－tan∠ABC=1，
∴=1，
∴OC=2
∴m=－2，a=1．
∴此二次函数的解析式为y=x2－x－2．
（2）在第一象限，抛物线上存在一点P使S△APC=6．
解法一：过点P作直线MN∥AC交x轴于点M，交y轴于点N，连接PA，PC，MC，NA，如图所示．
∵MN∥AC，
∴S△MAC =S△NAC =S△PAC =6．
由（1）有OA=1，OC=2
∴×AM×2=×CN×1=6，
∴AM=6，CN=12．
∴M（5，0），N（0，10）．
∴直线MN的解析式为y=－2x+10．
由 得（舍去）．
∴在第一象限，抛物线上存在点P（3，4），使S△PAC =6．
解法二：设AP与y（0，n）（n>0）．
∴直线AP的解析式为y=nx+n．
∴x2－（n+1）x－n－2=0，
∴xA+xP=n+1，
∴xP=n+2．
又S△PAC =S△ADC +S△PDC =CD·AO+CD·xp=CD（AO+xp）．
∴（n+2）（1+n+2）=6，n2+5n－6=0．
∴n=－6（舍去）或n=1．
∴在第一象限，抛物线上存在点P（3，4），使S△PAC =6．
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