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2023-2024学年初中数学湘教版八年级下学期
第1章 直角三角形 单元测试 B卷
一、选择题(共10题；共30分)
1．（3分）下列各组长度的线段，不能组成直角三角形的是（ ）
A．5，12，13 B． C．2，3，4 D．6，8，10
【答案】C
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】解：A、∵，∴是直角三角形，A不符合题意；
B、∵，∴ 是直角三角形，B不符合题意；
C、∵，∴ 不是直角三角形，C符合题意；
D、∵，∴ 是直角三角形，D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据勾股定理的逆定理，逐一判断即可.
2．（3分） 如图，O是△ABC的三条角平分线的交点，连接OA，OB，OC，若△OAB，△OBC，△OAC的面积分别为S1，S2，S3，则下列关系正确的是（ ）
A．S1＞S2+S3 B．S1＝S2+S3 C．S1＜S2+S3 D．无法确定
【答案】C
【知识点】三角形的面积；三角形三边关系；角平分线的性质
【解析】解：如图，过点O作OD⊥BC于点D，过点O作OE⊥AC于点E，过点O作OF⊥AB于点F，
∵O是△ABC的三条角平分线的交点， OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，
∴OE=OF=OD，
设OE=OF=OD=a，
∴S1=AB×a，S2=BC×a，S3=AC×a
∴S2+S3=BC×a+AC×a=a(BC+AC)，
∵BC+AC＞AB，
∴a×AB＜a(BC+AC)，
即 S1＜S2+S3 .
故答案为：C.
【分析】如图，过点O作OD⊥BC于点D，过点O作OE⊥AC于点E，过点O作OF⊥AB于点F，由角平分线上的点到角两边的距离相等得OE=OF=OD，设OE=OF=OD=a，由三角形的面积计算公式可得S2+S3=BC×a+AC×a=a(BC+AC)，进而根据三角形三边的关系得BC+AC＞AB，从而可得a×AB＜a(BC+AC)，即 S1＜S2+S3 .
3．（3分）如图，在中，，为上一点，且，，，则的面积为（ ）
A．6 B．7 C．10 D．9
【答案】C
【知识点】三角形的面积；勾股定理
【解析】解：在Rt△ABC中
，
∵AD=BD，
设AD=x，则CD=8-x，
∵BD2=DC2+BC2即x2=（8-x）2+42
解之：x=5，
∴AD=5，
∴.
故答案为：C.
【分析】在Rt△ABC中，利用勾股定理求出AC的长，设AD=x，则CD=8-x，利用勾股定理可得到关于x的方程，解方程求出x的值，然后利用三角形的面积公式求出△ABD的面积.
4．（3分）如图，嘉嘉在A时测得一棵高的树的影长为，若A时和B时两次日照的光线互相垂直，则B时的影长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】勾股定理的应用
【解析】解：∵ CD⊥EF，
∴ △CDF和△CDE为直角三角形，
由勾股定理得，CF2=CD2+DF2=42+82=80，
设DE=x m，由勾股定理得EC2=CD2+DE2=42+x2，
∵ CE⊥CF，
∴ △ECF为直角三角形，
由勾股定理得，EF2=CE2+CF2=42+x2+80=(8+x)2，
解得，x=2，即DE=2 m.
故答案为：A.
【分析】设DE=x m，在Rt△CDE和Rt△CDE中先根据勾股定理得CF2和EC2，在Rt△CEF中再根据勾股定理列出方程，解方程即可求得.
5．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的角平分线AD交BC于点D，BC＝7，BD＝4，则点D到AB的距离是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．7
【答案】A
【知识点】角平分线的性质
【解析】解：如图，过点D作DE⊥AB，
∵AD平分∠BAC，∠C=90°，
∴DE=CD，
∵BC＝7，BD＝4，
∴CD=7-4=3，
∴DE=CD=3，
即 点D到AB的距离是3.
故答案为：A.
【分析】过点D作DE⊥AB，由角平分线的性质可得DE=CD，继而得解.
6．（3分）如图，在中，于D，，则（ ）
A．2 B．3 C．2.5 D．1.5
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；含30°角的直角三角形
【解析】解：∵
∴∠A=30°，∠B=60°，
∴BC=2BD=2，
∴AB=2BC=4，
∴AD=AB-BD=4-1=3.
故答案为：B.
【分析】根据直角三角形两锐角互余可求出∠A、∠B的度数，再利用含30°角的直角三角形的性质进行解答即可.
7．（3分）如图，在中，，以，，为边作等边，等边，等边．设的面积为，的面积为，的面积为，四边形的面积为，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形的面积；等边三角形的性质；勾股定理
【解析】解：过点F作FM⊥BC于点M，
设AC=b，BC=a，AB=c，
△CBF是等边三角形，
∴BM=BC=a，
∴，
∴；
同理可知；
∵△ABC是直角三角形，
∴a2+b2=c2，
∴，
∴S△ACE+S△BCF=S△ABD，
∴.
故答案为：D.
【分析】过点F作FM⊥BC于点M，设AC=b，BC=a，AB=c，利用等边三角形的性质可证得BM=BC=a，利用勾股定理表示出FM的长，利用三角形的面积公式可表示出△BCF，ABD，△ACE的面积；再利用勾股定理可推出S△ACE+S△BCF=S△ABD，再观察图形，可得到正确结论的选项.
8．（3分）由四个全等的直角三角形和一个小正方形EFGH组成的大正方形ABCD如图所示．连结CF，并延长交AB于点N．若AB＝3，EF＝3，则FN的长为（ ）
A．2 B． C． D．3
【答案】C
【知识点】角平分线的性质；勾股定理
【解析】解：由题意可知EF=BF=3，CG = GF =3，
在Rt△AFB中，由勾股定理可知，
AF2+FB2=AB2，
∴AF=6，
∵∠GCF = ∠GFC = ∠BFN =45°
∴NF 为 ∠AFB 的角平分线，
由角平分线性质可知，
S△AFN ： S△BFN = AF ： FB =2：1，
∴AN ： NB =2：1，
∴NB =，
由勾股定理可知，
CN =， CF =，
∴FN = CN - CF =；
故答案为：C.
【分析】根据勾股定理求出 AE 的长，根据角平分线性质定理得到△ AFN 和△ BFN 的面积比，进而求出 AN 和 NB 的比，再由勾股定理求出 CF 和 FN ，作差即可．
9．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2，AB＝4，将△ABC绕点C按逆时针方向旋转一定的角度得到△DEC，使得A点恰好落在DE上，则线段BD的长为（ ）
A．2 B．5 C．2 D．3
【答案】C
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；旋转的性质
【解析】解：如图，连接，
∵，，，
在△ABC中， 由勾股定理得：，
，，
∵将绕点按逆时针方向旋转一定的角度得到，
∴，，，，，，
∴是等边三角形，
∴，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，
在△DBE中， 由勾股定理得：.
故答案为：C．
【分析】勾股定理得，，，由旋转的性质可求是等边三角形，是等边三角形，，在△DBE中， 根据勾股定理，即可得解.
10．（3分）如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，过点O作EFBC交AB于E，交AC于F，过点O作OD⊥AC于D．下列四个结论：①∠BOC＝90°∠A，②∠EBO∠AEF，③∠DOC+∠OCB＝90°，④设OD＝m，AE+AF＝n，则S△AEF．其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【知识点】平行线的性质；三角形的面积；三角形内角和定理；角平分线的性质；角平分线的定义
【解析】解：∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，
∴∠ABC=2∠OBC，∠ACB=2∠OCB，∠OBC=∠EBO，∠DCO=∠OCB，
∵2∠OBC+2∠OCB=180°-∠A，
∴∠OBC+∠OCB=90°-∠A；
∵∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-90°+∠A=90°+∠A，故①正确；
∵EF∥BC，
∴∠EOB=∠OBC=∠EBO，
∵∠AEF=∠EOB+∠EBO=2∠EBO
∴∠EBO=∠AEF，故②正确；
∵OD⊥AC，
∴∠ODC=90°，
∴∠DOC+∠DCO=90°，
∴∠DOC+∠OCB=90°，故③正确；
连接OA，过点O作OG⊥AB于点G，
∵OB，OC是△ABC的角平分线，
∴OA平分∠BAC，
∴OG=OD=m
∴S，故④正确；
∴正确结论有4个.
故答案为：D.
【分析】利用角平分线的定义可证得∠ABC=2∠OBC，∠ACB=2∠OCB，∠OBC=∠EBO，∠DCO=∠OCB，利用三角形的内角和定理可推出∠OBC+∠OCB=90°-∠A；再利用三角形的内角和定理可得到∠BOC和∠A的数量关系，可对①作出判断；利用平行线的性质去证明∠EOB=∠OBC=∠EBO，利用三角形的外角的性质可证得∠EBO和∠AEF的数量关系，可对②作出判断；利用垂直的定义可证得∠ODC=90°，利用直角三角形的两锐角互余，可证得∠DOC+∠OCB=90°，可对③作出判断；易证OA平分∠BAC，利用角平分线上的点到角两边的距离相等，可证得OG=OD=m，然后三角形的面积公式表示出△AEF的面积，可对④作出判断；综上所述可得到正确结论的个数.
二、填空题(共5题；共10分)
11．（2分）如图，，点是上一点，点与点关于对称，于点，若，则的长为 ．
【答案】3
【知识点】含30°角的直角三角形；轴对称的性质
【解析】解：连接，
∵点与点关于对称，
∴为的垂直平分线，
∴，，
∵，
∴，
故答案为：3．
【分析】连接OQ，根据轴对称的性质可得，再利用含30°角的直角三角形的性质可得。
12．（2分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，BF⊥AC于点F，DE＝1.3cm，则BF＝ cm．
【答案】2.6
【知识点】三角形的面积；直角三角形全等的判定（HL）
【解析】∵AB=AC，AD平分∠BAC，
∴AD⊥BC，∠ADB=∠ADC，
在Rt△ADB和Rt△ADC中，
，
∴Rt△ADB≌Rt△ADC（HL），
∴S△ABC=2S△ABD=2×AB×DE=AB×DE=3AB，
∵S△ABC=AC×BF，
∴AC×BF=3AB，
∵AB=AC，
∴BF=1.3，
解得：BF=2.6，
故答案为：2.6.
【分析】先利用“HL”证出Rt△ADB≌Rt△ADC可得S△ABC=2S△ABD=2×AB×DE=AB×DE=3AB，再结合S△ABC=AC×BF，AB=AC，求出BF的长即可.
13．（2分）在平面直角坐标系中，将一副三角板按如图所示的方式摆放，BO、DO分别与.动点在边上运动，动点在边上运动，的中点的坐标为，则的最小值是 .
【答案】
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理；轴对称的应用-最短距离问题；直角三角形的性质
【解析】解：∵点的坐标为，
∴
∵
∴
过点P作PM⊥OA于M交OC于N，
此时PM+PN最小求等于PM的长度，
∵
∴
∴
∴
则的最小值是，
故答案为：.
【分析】根据点P的坐标得到：求出∠AOD的度数，过点P作PM⊥OA于M交OC于N，此时PM+PN最小求等于PM的长度，根据三角形内角和定理和直角三角形的性质即可求出OM的长度，最后利用勾股定理即可求出PM的长度，即可求解.
14．（2分）如图，在中，，，，绕顶点逆时针旋转到处，此时线段与的交点为的中点，则线段的长度为 ．
【答案】
【知识点】三角形的面积；等腰三角形的性质；勾股定理；旋转的性质
【解析】∵∠AOB=90°，AO=3，BO=6，
∴AB=，
∵△AOB绕顶点O逆时针旋转到△A'OB'处，
∴AO=A'O=3，A'B'=AB=，
∵点E为BO的中点，
∴OE=BO=3，
∴OE=A'O，
过点O作OF⊥A'B'于点F，如图所示：
∵S△A'OB'=××OF=×3×6，
解得：OF=，
在Rt△EOF中，EF=，
∵OE=A'O，OF⊥A'B'，
∴A'E=2EF=2×=，
∴B'E=A'B'-A'E=，
故答案为：.
【分析】先利用勾股定理求出AB=，过点O作OF⊥A'B'于点F，再利用等面积法求出OF=，再利用勾股定理求出EF的长，利用等腰三角形的性质可得A'E=2EF=2×=，最后利用线段的和差求出的长即可.
15．（2分）如图，是等腰的角平分线，，，过点作的垂线，过点作的平行线，两线交于点与交于，与交于，连接，点是线段上的动点，点是线段上的动点，连接，，下列四个结论：；；；；其中正确的是 填写序号
【答案】
【知识点】平行线的性质；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质
【解析】解：∵，，
∴，
∵是的角平分线
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，，
由，则是的垂直平分线，
∴，
∴，
∴，②错误；
∵，
∴，
∴，①正确；
∵，
∴，
∵ ，，
∴，
∴，⑤正确；
∵，，
∴，
∵
∴，
∴，
∴，
即， ③错误；
连接、，过作于点，如图所示：
则点是的中点，且；
∵是的垂直平分线，
∴，
∴，
当与的中点重合时，最小，最小值为，④正确；
故答案为：①④⑤
【分析】先根据题意得到，进而根据角平分线的性质得到，再结合三角形全等的判定与性质证明即可得到，，，再根据垂直平分线的性质结合题意进行角的运算即可判断②；进而即可判断①；再根据平行线的性质得到，从而结合题意得到，进而根据等腰三角形的性质即可判断⑤；根据题意结合已知条件即可得到，进而根据三角形的三边关系即可判断③；连接、，过作于点，则点是的中点，且，再根据垂直平分线的性质得到，从而结合题意得到当与的中点重合时，最小即可求解。
三、作图题(共1题；共8分)
16．（8分）如图，在网格中，每个小正方形边长为1个单位长度，我们把每个小正方形的顶点称为格点，均为格点，请按要求仅用一把无刻度的直尺作图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示．
（1）（2分）在图1中，作（D在下方），且；
（2）（2分）在图1中；作的中点，在线段上作点，使得；
（3）（2分）在图2中；在线段上作点，使得；
（4）（2分）在图2中，已知，在上作点，使得．
【答案】（1）解：用一把无刻度直尺将直线平移至点处，即可满足条件，画图如下：
（2）解：由（1）图：连接，则与线段交点即为中点，
∵，
∴使得，即：作平分，
∴利用等腰三角形三线合一性质即可画出如下图所示：
（3）解：取格点S，连接，连接，则交于点即为所作，如下图所示：
（4）解：∵，，
∴是等腰三角形，
∴同（2）中画中点方法一样，找出的中点，连接，取格点，则，记与相交于点，连接并延长与交于点，
∴垂直平分，平分，
∴，
∴，
∴，如下图所示：
【知识点】平行线的性质；角平分线的性质；作图﹣轴对称；作图-线段垂直平分线
【解析】【分析】（1）根据平行线的判定画出图形即可；
（2）连接AD，则AD与BC线段交点即为中点O，再找到点D关于BC对称点，与点O连接后与AB相交于点P点P即为所求；
（3）构造等腰直角三角形ABS，AS交BC于点Q，点Q即为所求；
（4）找出AC的中点O，连接BO，取格点D，则，记AD与BO相交于点W，连接CW并延长与AB交于点M，点M即为所求.
四、解答题(共3题；共21分)
17．（7分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，点D在AC边上，BD＝AB．
（1）（3分）求△ABC的面积；
（2）（4分）求AD的长．
【答案】（1）解：过点A作AM⊥BC于点M，如图所示：
∵AB＝AC，AM⊥BC，
∴M是BC的中点，
∵AB＝5，BC＝6，
∴BM＝CM＝3，
∴AM＝＝4，
∴△ABC的面积＝BC AM＝×6×4＝12；
（2）解：过点B作BN⊥AC于点N，如图所示：
∵BD＝AB，
∴AN＝DN＝AD，
∵△ABC的面积＝AC BN＝×5 BN＝12；
∴BN＝，
AN＝
∴AD＝2AN＝．
【知识点】三角形的面积；等腰三角形的性质；勾股定理
【解析】【分析】（1）过点A作于点M，根据等腰三角形的性质可得M是中点，利用勾股定理求出，最后根据三角形的面积公式计算即可.
（2）过点B作于点N，先根据三角形的面积求出BN，再根据勾股定理求出AN即可.
18．（7分）如图，点F在线段AB上，点E，G在线段CD上，AB∥CD，∠1＝∠2．
（1）（3分）求证：FG∥AE；
（2）（4分）若FG⊥BC于点H，BC平分∠ABD，∠D＝120°，求∠1的度数．
【答案】（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠1＝∠FGC，
∵∠1＝∠2，
∴∠2＝∠FGC，
∴FG∥AE；
（2）解：∵FG⊥BC，
∴∠FHB＝90°，
∵AB∥CD，∠D＝120°，
∴∠ABD＝180°﹣∠D＝60°，
∵BC平分∠ABD，
∴∠ABH＝∠ABD＝30°，
∴∠1＝90°﹣∠ABH＝60°，
∴∠1的度数为60°．
【知识点】平行线的判定与性质；角平分线的性质
【解析】【分析】（1）根据平行线的性质求出 ∠1＝∠FGC， 再根据 ∠1＝∠2求出∠2＝∠FGC， 最后根据平行线的判定方法证明求解即可；
（2）根据垂直求出 ∠FHB＝90°，再根据平行线的性质求出 ∠ABD＝180°﹣∠D＝60°， 最后根据角平分线计算求解即可。
19．（7分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，DC⊥AC，垂足为C，AD交线段BC于F，E是AC边上一点，连接BE，交AD于点G且BE＝AD．
（1）（3分）猜猜BE与AD有怎样的位置关系？说说你的理由；
（2）（4分）若BE是∠ABC的角平分线，试说明△CFD是等腰三角形．
【答案】（1）解：BE⊥AD，理由如下：
∵∠BAC＝90°，DC⊥AC，
∴∠ACD＝∠BAE＝90°，
在Rt△ABE和Rt△CAD中，
，
∴Rt△ABE≌Rt△CAD（HL），
∴∠ABE＝∠CAD，
∴∠AGE＝∠ABE+∠BAG＝∠CAD+∠BAG＝∠BAC＝90°，
∴BE⊥AD．
（2）解：∵BE是∠ABC的角平分线，
∴∠ABE＝∠CBE，
∵∠ABE＝∠CAD，
∴∠CBE＝∠CAD，
∵∠AGE＝∠FGB，
∴∠AEB＝∠BFG，
∵Rt△ABE≌Rt△CAD，
∴∠AEB＝∠D，
∴∠BFG＝∠D，
∵∠BFG＝∠CFD，
∴∠CFD＝∠D，
∴CD＝CF，
∴△CFD是等腰三角形．
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；等腰三角形的判定
【解析】【分析】（1）先利用“HL”证出Rt△ABE≌Rt△CAD，可得∠ABE＝∠CAD，再利用角的运算和等量代换可得∠AGE＝∠ABE+∠BAG＝∠CAD+∠BAG＝∠BAC＝90°，即可得到BE⊥AD；
（2）利用角平分线的定义及等量代换可得∠AEB＝∠BFG，再利用全等三角形的性质可得∠AEB＝∠D，再利用等量代换可得∠CFD＝∠D， 即可得到 △CFD是等腰三角形．
五、实践探究题(共3题；共26分)
20．（10分）八年级学生芳芳放学后去幼儿园接弟弟回家，姐弟俩双手相牵在幼儿园门口开心地旋转起来．芳芳突然想起某天数学活动课上老师提出的一个问题：如图，在△AOB和△EOF中，OA＝OB，OE＝OF，且∠1＝∠2，连接AE，BF交于点M．试猜想AE与BF的数量关系，并加以证明．
（1）（2分）独立思考：如图①，请解决老师提出的问题。
（2）（4分）实践探究：如图②．当∠1＝45°时，∠AMB＝ 度；当∠OAB＝65°时，∠AMB＝ 度；
（3）（4分）解决问题：如图③，连接OM，MO平分∠BME吗？并加以说明．
【答案】（1）解：结论：AE=BF.
理由：∵∠1=∠2，
∴∠1+∠AOF=∠2+∠AOF，
∴∠AOE=∠BOF，
∵OA=OB，OE=EF，
∴△AOE≌△BOF（SAS），
∴AE=BF；
（2）45；50
（3）解：结论：MO平分∠BME；
理由：作OI⊥EM于点I，作OW⊥BM于点W，如图所示：
∵OI⊥EM，OW⊥BM，
∴∠BWO=∠AIO=90°，
由（2）可得∠EAO=∠FBO，
∵OA=OB，
∴△AIO≌△BWO（AAS），
∴OI=OW，
∴MO平分∠BME.
【知识点】角平分线的判定；三角形全等的判定（SAS）；三角形全等的判定（AAS）
【解析】解：（2）如图所示：
设OA与BF的交点为X，
由（1）可得△AOE≌△BOF，
∴∠EAO=∠FBO，
∵∠AXM=∠BXO，
∴∠AMB=∠1=45°，
∵OA=OB，∠OAB=65°，
∴∠OBA=∠OAB=65°，
∴∠1=180°-2×65°=50°，
∴∠AMB=∠1=50°，
故答案为：45；50；
【分析】（1）利用角的运算求出∠AOE=∠BOF，再结合OA=OB，OE=EF，利用“SAS”证出△AOE≌△BOF可得AE=BF；
（2）利用全等三角形的性质可得∠EAO=∠FBO，再结合∠AXM=∠BXO，求出∠AMB=∠1=45°，再利用角的运算求出∠1=180°-2×65°=50°，即可得到∠AMB=∠1=50°；
（3）作OI⊥EM于点I，作OW⊥BM于点W，先利用“AAS”证出△AIO≌△BWO可得OI=OW，再利用角平分线判定方法可得MO平分∠BME.
21．（9分）综合与实践
【动手操作】
数学活动课上，老师让同学们探究用尺规作图作一条直线的平行线．已知：如图1，直线l及直线l外一点A．求作：直线，使得．小明同学设计的做法如下：
①在直线l上取两点B、C，连接，以点B为圆心，小于的长度为半径作弧，交线段于点D，交线段于点E；
②分别以点D和E为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点F，作射线BF；
③以点A为圆心，的长为半径作弧，交射线于点P，作直线．
则直线平行于直线l．
（1）（2分）根据小明同学设计的尺规作图过程，在图2中补全图形；（要求：尺规作图并保留作图痕迹）
（2）（2分）【验证证明】
请证明直线；
（3）（2分）【拓展延伸】
已知：如果两条直线平行，则其中一条直线上任意两点到另外一条直线的距离相等．在图2中连接，，请直接写出与的面积关系 ；
（4）（3分）【应用实践】
某市政府为发展新能源产业，决定在如图3所示的四边形空地上划出20km2区域用于建设新能源产业发展基地．已知在四边形中，，km，km．为便于运营管理，某公司向政府提出在线段上取一点E使得四边形的面积为20km2，则 km．
【答案】（1）解：补全图形，如图所示：
（2）证明：由作图步骤可知BF为∠ABC的角平分线
∴，
∵以点A为圆心，的长为半径作弧，交射线于点P，
∴，
∴，
∴，
∴．
（3）
（4）3
【知识点】平行线的判定与性质；三角形的面积；等腰三角形的性质；等腰三角形的判定；角平分线的定义；作图-角的平分线
【解析】解：（3）∵ △ABC与△PBC为等底等高的三角形，
∴ S△ABC=S△PBC，
∴ △ABC与△PBC的面积关系为相等.
故答案为：相等；
（4）连接AC，过点C作CE∥AD，连接DE，如图，
∵ AB=8 km，BC=5 km，∠B=90°，
∴ S△ABC=20 km2，
∵ CE∥AD，
∴ S△ACE=S△DCE，
∴ S△ABC=S四边形BCDE=20 km2，
∵ ∠DAB=45°，
∴ ∠CEB=45°，
∴ △BCE是等腰直角三角形，
∴ BE=BC=5 km，
∴ AE=AB-BE=3 km.
故答案为：3.
【分析】（1）根据给出的步骤作图，即可求得；
（2）根据角平分线的定义得，根据等腰三角形的性质得，再根据内错角相等，即可判定平行；
（3）根据两个三角形为同底等高的三角形，即可求得；
（4）过点C作CE∥AD，连接DE，可知S△ACE=S△DCE，利用三角形的面积公式可得S△ABC=20 km2，从而可得 S△ABC=S四边形BCDE，再根据等腰直角三角形的性质可得BE，即可求得.
22．（7分）问题情境：在学习了《勾股定理》和《实数》后，某班同学们以“已知三角形三边的长度，求三角形面积”为主题开展了数学活动，同学们想到借助曾经阅读的数学资料进行探究：
材料1．古希腊的几何学家海伦（Heron，约公元50年），在他的著作《度量》一书中，给出了求其面积的海伦公式（其中a，b，c为三角形的三边长，，S为三角形的面积）．
材料2．我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边长求面积的秦九韶公式：S＝，其中三角形边长分别为a，b，c，三角形的面积为S．
（1）（3分）利用材料1解决下面的问题：当 时，求这个三角形的面积？
（2）（4分）利用材料2解决下面的问题：已知△ABC三条边的长度分别是，，，记△ABC的周长为C△ABC．
①当x＝2时，请直接写出△ABC中最长边的长度；
②若x为整数，当C△ABC取得最大值时，请用秦九韶公式求出△ABC的面积．
【答案】（1）解：当 时，
∴p﹣a＝
p﹣b＝
p﹣c＝
∴p（p﹣a）（p﹣b）（p﹣c）＝＝18×2＝36，
∴＝6，
∴三角形的面积为6；
（2）解：①△ABC中最长边的长度为3；
②∵x+1≥0，4﹣x≥0，
∴﹣1≤x≤4．
∵4﹣（）2＝4﹣（4﹣x）＝x，三角形的边为正值，
∴x＞0，
∴0＜x≤4．
∴＝5﹣x，4﹣（）2＝4﹣（4﹣x）＝x，
∴C△ABC＝
＝+5﹣x+x
＝+5，
∵C△ABC＝+5（﹣1≤x≤4），且x为整数，
当x＝4时，三边为，1，4，
∵+1＜4，
∴不合题意舍去，
当x＝3时，三边为2，2，3，
∴C△ABC＝2+2+3＝7，
∴S△ABC＝
＝
∴△ABC的面积为
【知识点】三角形的面积；三角形三边关系；勾股定理的应用
【解析】【分析】（1）利用材料1中所给公式，把a、b、c分别代入公式计算即可；
（2） ① 把 x＝2分别带入三边进行比较即可；
②考虑到根式要有意义及边长要大于零的情况，可得到x的取值范围为0≤x≤4，
然后对三边的根式值进行化简，求出 C△ABC＝+5，此时x的取值范围为
-1≤x≤4，又因为x为整数，需分类讨论：
当x=4时，三角形三边长分别为，1，4， 不满足三角形三边关系（任意两边之和大于第三边），应舍去；
当x=3时，三角形三边长分别为2，2，3，符合要求，
最后把三边分别带入秦九韶公式进行计算即可。
六、综合题(共3题；共25分)
23．（7分） 如图，以直线上一点为端点作射线，使，将一个直角三角形的直角顶点放在点O处．（注：）
（1）（2分）如图①，若直角三角板的一边放在射线上，则 ；
（2）（2分）如图②，将直角三角板绕点O逆时针方向转动到某个位置，若恰好平分，求的度数；
（3）（3分）如图③，将直角三角板绕点O转动，如果始终在的内部，试猜想和有怎样的数量关系？并说明理由．
【答案】（1）20°
（2）解：∵平分，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
（3）解：，
理由是：如图③，，，
，
即．
【知识点】余角、补角及其性质；角平分线的性质
【解析】解：（1）∵∠BOC=70°，∠DOE=90°；
∴∠COE=90°-70°=20°
故答案为：20°.
【分析】（1）根据余角的性质，直接列代数式计算即可；
（2）根据角平分线的性质，可得∠EOB的度数；根据角的和差性质，列代数式即可求解；
（3）根据角的和差性质，列代数式计算即可.
24．（7分）如图，在 中， ，点 在 内， ， ，点 在 外， ， .
（1）（2分）求 的度数；
（2）（2分）判断 的形状并加以证明；
（3）（3分）连接 ，若 ， ，求 的长.
【答案】（1）解：∵BD=BC，∠DBC=60°，
∴△DBC是等边三角形，∴DB=DC，∠BDC=∠DBC=∠DCB=60°，
在△ADB和△ADC中，
，
∴△ADB≌△ADC，∴∠ADB=∠ADC，∴∠ADB= （360°﹣60°）=150°.
（2）解：结论：△ABE是等边三角形.
理由：∵∠ABE=∠DBC=60°，∴∠ABD=∠CBE，
在△ABD和△EBC中，
，
∴△ABD≌△EBC，∴AB=BE，∵∠ABE=60°，∴△ABE是等边三角形.
（3）解：连接DE.
∵∠BCE=150°，∠DCB=60°，∴∠DCE=90°，∵∠EDB=90°，∠BDC=60°，
∴∠EDC=30°，∴EC= DE=4，∵△ABD≌△EBC，∴AD=EC=4.
【知识点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形
【解析】【分析】（1）根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形得出 △DBC是等边三角形 ，根据等边三角形的性质得出 DB=DC，∠BDC=∠DBC=∠DCB=60°， 从而利用SSS判断出 △ADB≌△ADC， 根据全等三角形的对应角相等及周角的定义得出 ∠ADB=∠ADC= （360°﹣60°）=150 ；
（2） △ABE是等边三角形 理由如下：根据等量减去等量差相等由 ∠ABE=∠DBC=60° 得出 ∠ABD=∠CBE ，从而利用AAS判断出 △ABD≌△EBC，根据全等三角形的对应边相等得出AB=BE，进而根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形得出：△ABE是等边三角形；
（3） 连接DE ，根据角的和差，由∠DCE=∠BCE-∠DCB算出∠DCE的度数，进而三角形的内角和算出∠EDC=30°，根据含30°角的直角三角形的边之间的关系得出 EC= DE=4 ，最后根据全等三角形的对应边相等得出AD=EC。
25．（11分）如图1，已知直线与相交于点O，平分，点G在射线上，点F在射线上，且，交于点P，若，．
（1）（3分）求与的面积之比；
（2）（3分）比较与的大小并说明理由；
（3）（5分）如图2，当点M在线段上，点N在射线上，且，试问的值是否为定值；如果是，求出这个值；如果不是，请说明理由．
【答案】（1）解：作于点I，作于点Q，如图1，
平分
又，，
（2）解：，理由如下：
由（1）可得：，
在和中，
，
；
（3）解：在上取点R，使如图2，
，
在和中，
，
，
，
所以，的值为定值3．
【知识点】三角形的面积；直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质
【解析】【分析】（1）作于点I，作于点Q，根据角平分线的性质得：根据三角形的面积公式，分别表示与的面积，即可解答；
（2）根据（1）得：，然后利用"HL"证明得到：最后根据角的等量代换即可；
（3）在上取点R，使根据已知条件得：，进而得到：然后利用"HL"证明，得到：进而得到：，由（2）中的得：最后根据线段的数量关系即可求解.
试题分析部分
1、试卷总体分布分析
总分：120分
分值分布 客观题（占比） 34.0(28.3%)
主观题（占比） 86.0(71.7%)
题量分布 客观题（占比） 12(48.0%)
主观题（占比） 13(52.0%)
2、试卷题量分布分析
大题题型 题目量（占比） 分值（占比）
选择题 10(40.0%) 30.0(25.0%)
填空题 5(20.0%) 10.0(8.3%)
解答题 3(12.0%) 21.0(17.5%)
作图题 1(4.0%) 8.0(6.7%)
实践探究题 3(12.0%) 26.0(21.7%)
综合题 3(12.0%) 25.0(20.8%)
3、试卷难度结构分析
序号 难易度 占比
1 普通 (56.0%)
2 困难 (44.0%)
4、试卷知识点分析
序号 知识点（认知水平） 分值（占比） 对应题号
1 角平分线的定义 12.0(10.0%) 10,21
2 三角形全等的判定 2.0(1.7%) 15
3 含30°角的直角三角形 12.0(10.0%) 6,11,24
4 轴对称的性质 2.0(1.7%) 11
5 轴对称的应用-最短距离问题 2.0(1.7%) 13
6 三角形内角和定理 8.0(6.7%) 6,10,13
7 全等三角形的判定与性质 7.0(5.8%) 24
8 平行线的判定与性质 16.0(13.3%) 18,21
9 余角、补角及其性质 7.0(5.8%) 23
10 等腰三角形的性质 18.0(15.0%) 14,17,21
11 直角三角形全等的判定（HL） 20.0(16.7%) 12,19,25
12 直角三角形的性质 2.0(1.7%) 13
13 角平分线的性质 47.0(39.2%) 2,5,8,10,15,16,18,23,25
14 作图-角的平分线 9.0(7.5%) 21
15 等边三角形的性质 3.0(2.5%) 7
16 等边三角形的判定与性质 10.0(8.3%) 9,24
17 线段垂直平分线的性质 2.0(1.7%) 15
18 平行线的性质 13.0(10.8%) 10,15,16
19 勾股定理 23.0(19.2%) 3,7,8,9,13,14,17
20 旋转的性质 5.0(4.2%) 9,14
21 作图﹣轴对称 8.0(6.7%) 16
22 三角形全等的判定（AAS） 10.0(8.3%) 20
23 三角形全等的判定（SAS） 10.0(8.3%) 20
24 三角形的面积 50.0(41.7%) 2,3,7,10,12,14,17,21,22,25
25 等腰三角形的判定 16.0(13.3%) 19,21
26 作图-线段垂直平分线 8.0(6.7%) 16
27 三角形三边关系 10.0(8.3%) 2,22
28 勾股定理的应用 10.0(8.3%) 4,22
29 角平分线的判定 10.0(8.3%) 20
30 三角形全等及其性质 2.0(1.7%) 15
31 勾股定理的逆定理 3.0(2.5%) 1
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2023-2024学年初中数学湘教版八年级下学期
第1章 直角三角形 单元测试 B卷
一、选择题(共10题；共30分)
1．（3分）下列各组长度的线段，不能组成直角三角形的是（ ）
A．5，12，13 B． C．2，3，4 D．6，8，10
2．（3分） 如图，O是△ABC的三条角平分线的交点，连接OA，OB，OC，若△OAB，△OBC，△OAC的面积分别为S1，S2，S3，则下列关系正确的是（ ）
A．S1＞S2+S3 B．S1＝S2+S3 C．S1＜S2+S3 D．无法确定
3．（3分）如图，在中，，为上一点，且，，，则的面积为（ ）
A．6 B．7 C．10 D．9
4．（3分）如图，嘉嘉在A时测得一棵高的树的影长为，若A时和B时两次日照的光线互相垂直，则B时的影长为（ ）
A． B． C． D．
5．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的角平分线AD交BC于点D，BC＝7，BD＝4，则点D到AB的距离是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．7
6．（3分）如图，在中，于D，，则（ ）
A．2 B．3 C．2.5 D．1.5
7．（3分）如图，在中，，以，，为边作等边，等边，等边．设的面积为，的面积为，的面积为，四边形的面积为，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
8．（3分）由四个全等的直角三角形和一个小正方形EFGH组成的大正方形ABCD如图所示．连结CF，并延长交AB于点N．若AB＝3，EF＝3，则FN的长为（ ）
A．2 B． C． D．3
9．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2，AB＝4，将△ABC绕点C按逆时针方向旋转一定的角度得到△DEC，使得A点恰好落在DE上，则线段BD的长为（ ）
A．2 B．5 C．2 D．3
10．（3分）如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，过点O作EFBC交AB于E，交AC于F，过点O作OD⊥AC于D．下列四个结论：①∠BOC＝90°∠A，②∠EBO∠AEF，③∠DOC+∠OCB＝90°，④设OD＝m，AE+AF＝n，则S△AEF．其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题(共5题；共10分)
11．（2分）如图，，点是上一点，点与点关于对称，于点，若，则的长为 ．
12．（2分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，BF⊥AC于点F，DE＝1.3cm，则BF＝ cm．
13．（2分）在平面直角坐标系中，将一副三角板按如图所示的方式摆放，BO、DO分别与.动点在边上运动，动点在边上运动，的中点的坐标为，则的最小值是 .
14．（2分）如图，在中，，，，绕顶点逆时针旋转到处，此时线段与的交点为的中点，则线段的长度为 ．
15．（2分）如图，是等腰的角平分线，，，过点作的垂线，过点作的平行线，两线交于点与交于，与交于，连接，点是线段上的动点，点是线段上的动点，连接，，下列四个结论：；；；；其中正确的是 填写序号
三、作图题(共1题；共8分)
16．（8分）如图，在网格中，每个小正方形边长为1个单位长度，我们把每个小正方形的顶点称为格点，均为格点，请按要求仅用一把无刻度的直尺作图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示．
（1）（2分）在图1中，作（D在下方），且；
（2）（2分）在图1中；作的中点，在线段上作点，使得；
（3）（2分）在图2中；在线段上作点，使得；
（4）（2分）在图2中，已知，在上作点，使得．
四、解答题(共3题；共21分)
17．（7分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，点D在AC边上，BD＝AB．
（1）（3分）求△ABC的面积；
（2）（4分）求AD的长．
18．（7分）如图，点F在线段AB上，点E，G在线段CD上，AB∥CD，∠1＝∠2．
（1）（3分）求证：FG∥AE；
（2）（4分）若FG⊥BC于点H，BC平分∠ABD，∠D＝120°，求∠1的度数．
19．（7分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，DC⊥AC，垂足为C，AD交线段BC于F，E是AC边上一点，连接BE，交AD于点G且BE＝AD．
（1）（3分）猜猜BE与AD有怎样的位置关系？说说你的理由；
（2）（4分）若BE是∠ABC的角平分线，试说明△CFD是等腰三角形．
五、实践探究题(共3题；共26分)
20．（10分）八年级学生芳芳放学后去幼儿园接弟弟回家，姐弟俩双手相牵在幼儿园门口开心地旋转起来．芳芳突然想起某天数学活动课上老师提出的一个问题：如图，在△AOB和△EOF中，OA＝OB，OE＝OF，且∠1＝∠2，连接AE，BF交于点M．试猜想AE与BF的数量关系，并加以证明．
（1）（2分）独立思考：如图①，请解决老师提出的问题。
（2）（4分）实践探究：如图②．当∠1＝45°时，∠AMB＝ 度；当∠OAB＝65°时，∠AMB＝ 度；
（3）（4分）解决问题：如图③，连接OM，MO平分∠BME吗？并加以说明．
21．（9分）综合与实践
【动手操作】
数学活动课上，老师让同学们探究用尺规作图作一条直线的平行线．已知：如图1，直线l及直线l外一点A．求作：直线，使得．小明同学设计的做法如下：
①在直线l上取两点B、C，连接，以点B为圆心，小于的长度为半径作弧，交线段于点D，交线段于点E；
②分别以点D和E为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点F，作射线BF；
③以点A为圆心，的长为半径作弧，交射线于点P，作直线．
则直线平行于直线l．
（1）（2分）根据小明同学设计的尺规作图过程，在图2中补全图形；（要求：尺规作图并保留作图痕迹）
（2）（2分）【验证证明】
请证明直线；
（3）（2分）【拓展延伸】
已知：如果两条直线平行，则其中一条直线上任意两点到另外一条直线的距离相等．在图2中连接，，请直接写出与的面积关系 ；
（4）（3分）【应用实践】
某市政府为发展新能源产业，决定在如图3所示的四边形空地上划出20km2区域用于建设新能源产业发展基地．已知在四边形中，，km，km．为便于运营管理，某公司向政府提出在线段上取一点E使得四边形的面积为20km2，则 km．
22．（7分）问题情境：在学习了《勾股定理》和《实数》后，某班同学们以“已知三角形三边的长度，求三角形面积”为主题开展了数学活动，同学们想到借助曾经阅读的数学资料进行探究：
材料1．古希腊的几何学家海伦（Heron，约公元50年），在他的著作《度量》一书中，给出了求其面积的海伦公式（其中a，b，c为三角形的三边长，，S为三角形的面积）．
材料2．我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边长求面积的秦九韶公式：S＝，其中三角形边长分别为a，b，c，三角形的面积为S．
（1）（3分）利用材料1解决下面的问题：当 时，求这个三角形的面积？
（2）（4分）利用材料2解决下面的问题：已知△ABC三条边的长度分别是，，，记△ABC的周长为C△ABC．
①当x＝2时，请直接写出△ABC中最长边的长度；
②若x为整数，当C△ABC取得最大值时，请用秦九韶公式求出△ABC的面积．
六、综合题(共3题；共25分)
23．（7分） 如图，以直线上一点为端点作射线，使，将一个直角三角形的直角顶点放在点O处．（注：）
（1）（2分）如图①，若直角三角板的一边放在射线上，则 ；
（2）（2分）如图②，将直角三角板绕点O逆时针方向转动到某个位置，若恰好平分，求的度数；
（3）（3分）如图③，将直角三角板绕点O转动，如果始终在的内部，试猜想和有怎样的数量关系？并说明理由．
24．（7分）如图，在 中， ，点 在 内， ， ，点 在 外， ， .
（1）（2分）求 的度数；
（2）（2分）判断 的形状并加以证明；
（3）（3分）连接 ，若 ， ，求 的长.
25．（11分）如图1，已知直线与相交于点O，平分，点G在射线上，点F在射线上，且，交于点P，若，．
（1）（3分）求与的面积之比；
（2）（3分）比较与的大小并说明理由；
（3）（5分）如图2，当点M在线段上，点N在射线上，且，试问的值是否为定值；如果是，求出这个值；如果不是，请说明理由．
答案解析部分
1．C
2．C
3．C
4．A
5．A
6．B
7．D
8．C
9．C
10．D
11．3
12．2.6
13．
14．
15．
16．（1）解：用一把无刻度直尺将直线平移至点处，即可满足条件，画图如下：
（2）解：由（1）图：连接，则与线段交点即为中点，
∵，
∴使得，即：作平分，
∴利用等腰三角形三线合一性质即可画出如下图所示：
（3）解：取格点S，连接，连接，则交于点即为所作，如下图所示：
（4）解：∵，，
∴是等腰三角形，
∴同（2）中画中点方法一样，找出的中点，连接，取格点，则，记与相交于点，连接并延长与交于点，
∴垂直平分，平分，
∴，
∴，
∴，如下图所示：
17．（1）解：过点A作AM⊥BC于点M，如图所示：
∵AB＝AC，AM⊥BC，
∴M是BC的中点，
∵AB＝5，BC＝6，
∴BM＝CM＝3，
∴AM＝＝4，
∴△ABC的面积＝BC AM＝×6×4＝12；
（2）解：过点B作BN⊥AC于点N，如图所示：
∵BD＝AB，
∴AN＝DN＝AD，
∵△ABC的面积＝AC BN＝×5 BN＝12；
∴BN＝，
AN＝
∴AD＝2AN＝．
18．（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠1＝∠FGC，
∵∠1＝∠2，
∴∠2＝∠FGC，
∴FG∥AE；
（2）解：∵FG⊥BC，
∴∠FHB＝90°，
∵AB∥CD，∠D＝120°，
∴∠ABD＝180°﹣∠D＝60°，
∵BC平分∠ABD，
∴∠ABH＝∠ABD＝30°，
∴∠1＝90°﹣∠ABH＝60°，
∴∠1的度数为60°．
19．（1）解：BE⊥AD，理由如下：
∵∠BAC＝90°，DC⊥AC，
∴∠ACD＝∠BAE＝90°，
在Rt△ABE和Rt△CAD中，
，
∴Rt△ABE≌Rt△CAD（HL），
∴∠ABE＝∠CAD，
∴∠AGE＝∠ABE+∠BAG＝∠CAD+∠BAG＝∠BAC＝90°，
∴BE⊥AD．
（2）解：∵BE是∠ABC的角平分线，
∴∠ABE＝∠CBE，
∵∠ABE＝∠CAD，
∴∠CBE＝∠CAD，
∵∠AGE＝∠FGB，
∴∠AEB＝∠BFG，
∵Rt△ABE≌Rt△CAD，
∴∠AEB＝∠D，
∴∠BFG＝∠D，
∵∠BFG＝∠CFD，
∴∠CFD＝∠D，
∴CD＝CF，
∴△CFD是等腰三角形．
20．（1）解：结论：AE=BF.
理由：∵∠1=∠2，
∴∠1+∠AOF=∠2+∠AOF，
∴∠AOE=∠BOF，
∵OA=OB，OE=EF，
∴△AOE≌△BOF（SAS），
∴AE=BF；
（2）45；50
（3）解：结论：MO平分∠BME；
理由：作OI⊥EM于点I，作OW⊥BM于点W，如图所示：
∵OI⊥EM，OW⊥BM，
∴∠BWO=∠AIO=90°，
由（2）可得∠EAO=∠FBO，
∵OA=OB，
∴△AIO≌△BWO（AAS），
∴OI=OW，
∴MO平分∠BME.
21．（1）解：补全图形，如图所示：
（2）证明：由作图步骤可知BF为∠ABC的角平分线
∴，
∵以点A为圆心，的长为半径作弧，交射线于点P，
∴，
∴，
∴，
∴．
（3）
（4）3
22．（1）解：当 时，
∴p﹣a＝
p﹣b＝
p﹣c＝
∴p（p﹣a）（p﹣b）（p﹣c）＝＝18×2＝36，
∴＝6，
∴三角形的面积为6；
（2）解：①△ABC中最长边的长度为3；
②∵x+1≥0，4﹣x≥0，
∴﹣1≤x≤4．
∵4﹣（）2＝4﹣（4﹣x）＝x，三角形的边为正值，
∴x＞0，
∴0＜x≤4．
∴＝5﹣x，4﹣（）2＝4﹣（4﹣x）＝x，
∴C△ABC＝
＝+5﹣x+x
＝+5，
∵C△ABC＝+5（﹣1≤x≤4），且x为整数，
当x＝4时，三边为，1，4，
∵+1＜4，
∴不合题意舍去，
当x＝3时，三边为2，2，3，
∴C△ABC＝2+2+3＝7，
∴S△ABC＝
＝
∴△ABC的面积为
23．（1）20°
（2）解：∵平分，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
（3）解：，
理由是：如图③，，，
，
即．
24．（1）解：∵BD=BC，∠DBC=60°，
∴△DBC是等边三角形，∴DB=DC，∠BDC=∠DBC=∠DCB=60°，
在△ADB和△ADC中，
，
∴△ADB≌△ADC，∴∠ADB=∠ADC，∴∠ADB= （360°﹣60°）=150°.
（2）解：结论：△ABE是等边三角形.
理由：∵∠ABE=∠DBC=60°，∴∠ABD=∠CBE，
在△ABD和△EBC中，
，
∴△ABD≌△EBC，∴AB=BE，∵∠ABE=60°，∴△ABE是等边三角形.
（3）解：连接DE.
∵∠BCE=150°，∠DCB=60°，∴∠DCE=90°，∵∠EDB=90°，∠BDC=60°，
∴∠EDC=30°，∴EC= DE=4，∵△ABD≌△EBC，∴AD=EC=4.
25．（1）解：作于点I，作于点Q，如图1，
平分
又，，
（2）解：，理由如下：
由（1）可得：，
在和中，
，
；
（3）解：在上取点R，使如图2，
，
在和中，
，
，
，
所以，的值为定值3．
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