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2023-2024学年初中数学湘教版八年级下学期
第2章 四边形 单元测试 A卷
一、选择题(共10题；共30分)
1．（3分） 下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．（3分） 如图所示的图形中，绕某点旋转180°后，不能与原来图形重合的是（ ）
A． B． C． D．
3．（3分）如图，已知菱形的周长为，，则对角线的长是（ ）
A． B． C． D．
4．（3分）一个正多边形的一个内角等于它的外角的3倍，则这个正多边形是正（ ）边形．
A．四 B．六 C．八 D．十
5．（3分）如图，在面积为S的菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E，F，G分别是BC，OB，OC的中点，则四边形EFOG的面积为（ ）
A． B． C． D．
6．（3分）下列平行四边形中，根据图中所标出的数据，不能判定是菱形的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（3分）如图，四边形为菱形，，，则的长为（ ）
A．2 B．4 C． D．
8．（3分）如图，两地被池塘隔开，小明先在外选一点，然后测出的中点．若的长为18米，则间的距离是（ ）
A．9米 B．18米 C．27米 D．36米
9．（3分）如图，把一张长方形纸条ABCD沿EF 折叠.若∠1=70°，则∠2的度数为（ ）
A．115° B．125° C．135° D．145°
10．（3分）如图，已知l1∥l2，AB∥CD，CE ⊥l1，FG⊥l2，则下列说法中，错误的是（ ）
A．l1与 l2之间的距离是线段 FG 的长度
B．CE=FG
C．线段 CD的长度小于l1与 l2之间的距离
D．AC=BD
二、填空题(共5题；共15分)
11．（3分）从五边形的一个顶点出发能画出 条对角线.
12．（3分）如图，是边长为6的等边三角形，E，F分别是边，上的动点，若，则周长的最小值为 ．
13．（3分）如图，在 中，点E在 上，且 平分 ，若 ， ，则 的面积为 .
14．（3分）在《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争踣，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几？”译文为：如图，秋千静止时踏板离地面的距离为1尺，将它往前面推送两步（即的长为10尺），秋千的踏板就和人一样高，知这个人的身高为5尺，则绳索的长度为 尺．
15．（3分）如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点O作OE⊥BC，垂足为点E，过点A作AF⊥OB，垂足为点F，若BC＝2AF，OD＝6，则BE的长为 ．
三、作图题(共1题；共7分)
16．（7分）如图：在平面直角坐标系中，网格中每一个小正方形的边长为1个单位长度；已知.
（1）（2分）作出以O为旋转中心，顺时针旋转的（只画出图形）.
（2）（2分）作出关于原点O成中对心称的，（只画出图形）；
（3）（3分）请在y轴上找一点P，使的值最小，并直接写出点P的坐标.
四、解答题(共3题；共19分)
17．（6分）如图，在△ABC中，AB＝AC，D、E、F分别是BC、AB、AC的中点，连结DE、DF，求证：DE＝DF．
针对这道题，三位同学进行了如下讨论﹣﹣ 小胡：“需要利用全等证明．” 小吴：“要证中线相等，我想到了直角三角形．” 小明：“我觉得你们都对，但还有别的方法．”
请你结合上述讨论，选择恰当的方法完成证明．
18．（6分）如图，直线 l1∥l2，∠A=135°，∠B=85°，求∠1+∠2 的度数.
19．（7分）如图，四边形是正方形，是等边三角形，连接．
（1）（3分）求证：；
（2）（4分）求的度数．
五、实践探究题(共3题；共24分)
20．（7分）如图，已知CE，BF分别是四边形ABCD的内角∠BCD和外角∠ABG的平分线，连结EF.
（1）（3分）已知∠A=150°，∠D=80°，求∠E+∠F的度数.
（2）（4分）直接写出∠E+∠F与∠A+∠D的关系.
21．（6分）如图1，DE 是△ABC 的中位线，李琳同学对这个图形进行了剪拼，先连结AD(如图2)，再沿 AD剪开(如图3)，然后将△ABD置于△ADC的下面，使 BD和CD重合，△ADC与△DCF共面(如图4).李琳同学对剪拼后的图形很感兴趣，于是自编了一道数学题：如图4，在四边形 ADFC 中，DE 是△ADC 的中线，∠DCF=∠DCA+∠DAC，FC=AD.求证
请你解答李琳自编的题.
22．（11分） 知识背景：
过中心对称图形的对称中心的任意一条直线都将其分成全等的两个部分.
（1）（3分）如图1，直线m 经过 ABCD对角线的交点 O，则 (填“〉”“〈”或“=”).
（2）（3分）将两个正方形按如图2 所示的方式摆放，O为小正方形对角线的交点，作过点 O 且将整个图形分成面积相等的两部分的直线.
（3）（5分）将8个大小相同的正方形按如图3 所示的方式摆放，作将整个图形分成面积相等的两部分的直线（用三种不同的方法）.
六、综合题(共3题；共25分)
23．（8分）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8．
（1）（3分）用尺规作图法作菱形AECF，使点E、F分别在BC和AD边上；
（2）（5分）求EF的长度．
24．（8分）如图，折叠长方形一边AD，点D落在BC边的点F处，BC=10cm，AB=8cm，求：
（1）（3分）FC的长；
（2）（5分）EF的长．
25．（9分）在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D为直线BC上一动点（点D不与B、C重合），以AD为边在AD的右侧作正方形ADEF，连接CF．
（1）（4分）观察猜想：如图（1），当点D在线段BC上时，
①BC与CF的位置关系是： ；
②BC、CD、CF之间的数量关系为： （将结论直接写在横线上）
（2）（5分）数学思考：如图（2），当点D在线段CB的延长线上时，上述①、②中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明，若不成立，请你写出正确结论再给予证明．
答案解析部分
1．B
2．B
3．C
4．C
5．B
6．C
7．B
8．D
9．B
10．C
11．2
12．12
13．50
14．
15．
16．（1）解：见解析；
（2）解：见解析；
（3）解：点P位置见解析，点P的坐标.
17．解：小胡的证明方法：如图，∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵D、E、F、分别是BC、AB、AC的中点，
∴BD＝CD，BE=AB，CF=AC，
∴BE=CF
∴△BED≌△CFD（AAS），
∴DE＝DF．
小吴的证明方法：如图，连结AD，
∵AB＝AC，D是BC的中点，
∴AD⊥BC，即△ABD和△ACD为直角三角形，
∵E、F、分别是AB、AC的中点，
∴DE＝DF．
小明的证明方法：如图，连结AD，EF，AD和EF交于点O，
∵AB＝AC，D是BC的中点，
∴AD是∠BAC的角平分线，
∵E、F、分别是AB、AC的中点，
∴AE=AB，AF=AC
∴AE=AF
∴AD是△AEF边EF的中垂线
∴DE＝DF．
18．解：方法一：如图所示：
过点A作AM//l1，过点B作BN//l2，
∴∠1=∠QAM，∠2=∠PBN，
∵l1//l2，
∴AM//l1//l2//BN.
∵∠MAB+∠ABN=180°.
∴∠QAB+∠ABP=∠1+∠MAB+∠ABN+∠2=135°+85°=220°.
∴∠1+∠2=40°.
方法二：如图所示：
连接PQ，
四边形AQPB的内角和为：180°×（4-2）=360°.
∠AQP+∠QPB+∠B+∠A=360°.
∵∠A=135°，∠B=85°，
∴∠AQP+∠QPB=140°.
∵l1//l2，
∴∠1+∠AQP+∠QPB+∠2=180°，
∴∠1+∠2=40°.
19．（1）证明：四边形是正方形，
，，
是等边三角形，
，，
，
，
在和中，
，
，
；
（2）解：由（1）得、、是等腰三角形，
设，依题意得
，
解得，
，
为度
20．（1）解：∵ 在四边形ABCD 中，∠A=150°，∠D=80°，
∴.
又∵ CE是∠BCD的角平分线，
∴.
又∵ BF是∠ABG的角平分线，
∴.
在四边形BCEF中，
∴∠E+∠F的度数为.
（2）解：2（∠E+∠F）=∠A+∠D+180°.
21．证明：延长CD到B使BD=CD，连接AB，如图
∵ ∠BDA=∠DCA+∠DAC， ∠DCF=∠DCA+∠DAC ，
∴ ∠BDA=∠DCF，
∵ BD=CD，AD=FC，
∴ △ABD≌△FDC（SAS），
∴ AB=FD，
∵ DE是△ADC的中线，
∴ DE=AB，
∴ DE=DF.
22．（1）=
（2）解：如图所示，
（3）解：如图所示，
23．（1）解：如图，连接AC，分别以为圆心，大于的长为半径画弧，连接两弧交点，即为线段AC的垂直平分线MN，与线段分别交于点，连接AE，CF，菱形AECF即为所求作．
（2）解：
AC交EF于点O
∵四边形ABCD是矩形
∴
由勾股定理得
∴
设，由勾股定理得
解得
∵
∴
∴
∴EF的长为．
24．（1）解：由题意可得，AF=AD=10cm，
在Rt△ABF中，∵AB=8，
∴BF=6cm，
∴FC=BC﹣BF=10﹣6=4cm
（2）解：由题意可得EF=DE，可设DE的长为x，
则在Rt△EFC中，
（8﹣x）2+42=x2，
解得x=5，
即EF的长为5cm
25．（1）BC⊥CF；BC=CF+CD
（2）解：CF⊥BC成立；BC=CD+CF不成立，CD=CF+BC．
∵正方形ADEF中，AD=AF，
∵∠BAC=∠DAF=90°，
∴∠BAD=∠CAF，
在△DAB与△FAC中，
∵ ，
∴△DAB≌△FAC，
∴∠ABD=∠ACF，
∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠ACB=∠ABC=45°．
∴∠ABD=180°﹣45°=135°，
∴∠BCF=∠ACF﹣∠ACB=135°﹣45°=90°，
∴CF⊥BC．
∵CD=DB+BC，DB=CF，
∴CD=CF+BC
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第2章 四边形 单元测试 A卷
一、选择题(共10题；共30分)
1．（3分） 下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】解：
A、是轴对称图形，不是中心对称图形，A不符合题意；
B、是轴对称图形，是中心对称图形，B符合题意；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形，C不符合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，D不符合题意；
故答案为：B
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义结合题意对选项逐一分析即可求解。
2．（3分） 如图所示的图形中，绕某点旋转180°后，不能与原来图形重合的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】A：是中心对称图形， 绕对称中心旋转180°后，能与原来图形重合，不符合题意；
B：不是中心对称图形， 旋转180°后，不能与原来图形重合，符合题意；
C：是中心对称图形， 绕对称中心旋转180°后，能与原来图形重合，不符合题意；
D：是中心对称图形， 绕对称中心旋转180°后，能与原来图形重合，不符合题意；
故答案为：B.
【分析】将各选项中的图形绕某点旋转180°后，进行逐一判断是否能与原图形重合，即可求解.
3．（3分）如图，已知菱形的周长为，，则对角线的长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】等边三角形的性质；菱形的性质
【解析】解：∵菱形ABCD的周长为8
∴ AB=AD=2
∵ ∠A=60°
∴为等边三角形
∴ BD=2
故答案为：C.
【分析】本题考查菱形的性质和等边三角形的判定。根据菱形的周长和性质可知AB=AD=2，结合∠A=60°可得等边三角形，可得BD。
4．（3分）一个正多边形的一个内角等于它的外角的3倍，则这个正多边形是正（ ）边形．
A．四 B．六 C．八 D．十
【答案】C
【知识点】多边形内角与外角
【解析】解：设多边形的外角为x°，可得x+3x=180，
解得x=45；
∵360°÷45°=8
∴该正多边形是正八边形
故答案为：C.
【分析】根据正多边形的内角和外角之和为180°，列一元一次方程，即可求出外角的度数；根据正多边形的外角和为360°除以外角的度数即可得多边形的边数.
5．（3分）如图，在面积为S的菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E，F，G分别是BC，OB，OC的中点，则四边形EFOG的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】菱形的性质
【解析】解：如图所示，连接OE，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠BOC＝90°，
又∵E是BC的中点，
∴OE＝BE＝CE，
又∵F，G分别是BO，CO的中点，
∴EF⊥OB，EG⊥OC，
∴四边形OGEF是矩形，
∵菱形ABCD的面积为S，
∴AC×BD＝S，即AC×BD＝2S，
∴四边形EFOG的面积＝OG×OF＝OC×OB＝AC×BD＝AC×BD＝×2S＝S．
故答案为：B．
【分析】连接OE，根据菱形的性质及等腰三角形的性质，即可得出EF⊥OB，EG⊥OC，推出四边形OGEF是矩形，再根据菱形的面积即可得出矩形的面积。
6．（3分）下列平行四边形中，根据图中所标出的数据，不能判定是菱形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】菱形的判定
【解析】解：A ∵ 平行四边形的邻边相等，
∴ 该四边形为菱形；
B ∵ 平行四边形的对角线相互垂直，
∴ 该四边形为菱形；
D ∵ 平行四边形的邻边相等，
∴ 该四边形为菱形.
故答案为：C.
【分析】根据菱形的判定定理逐一分析即可判定.
7．（3分）如图，四边形为菱形，，，则的长为（ ）
A．2 B．4 C． D．
【答案】B
【知识点】菱形的性质
【解析】解：∵四边形为菱形，，
，
，
是等边三角形，
，
故答案为：B．
【分析】根据菱形的性质先求出，再求出是等边三角形，最后求解即可。
8．（3分）如图，两地被池塘隔开，小明先在外选一点，然后测出的中点．若的长为18米，则间的距离是（ ）
A．9米 B．18米 C．27米 D．36米
【答案】D
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】解：∵M、N分别为AC、BC的中点，
∴MN=AB，
∵MN=18，
∴AB=2MN=36.
故答案为：D.
【分析】根据三角形的中位线定理“三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半”可求解.
9．（3分）如图，把一张长方形纸条ABCD沿EF 折叠.若∠1=70°，则∠2的度数为（ ）
A．115° B．125° C．135° D．145°
【答案】B
【知识点】平行线的性质；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】解：∵四边形DEFC折叠得到四边形MEFN，
∴∠DEF=∠FEM.
∵∠1+∠DEF+∠FEM=180°，∠1=70°，
∴
∵四边形ABCE是矩形，
∴AD//BC.
∴∠DEF+∠2=180°.
∴∠2=180°－∠DEF=125°.
故答案为：B.
【分析】根据折叠和∠1度数可求出∠DEF的度数，根据矩形得到平行，根据平行线性质"l两直线平行，同旁内角互补"即可得∠2的度数.
10．（3分）如图，已知l1∥l2，AB∥CD，CE ⊥l1，FG⊥l2，则下列说法中，错误的是（ ）
A．l1与 l2之间的距离是线段 FG 的长度
B．CE=FG
C．线段 CD的长度小于l1与 l2之间的距离
D．AC=BD
【答案】C
【知识点】垂线段最短；平行线之间的距离；矩形的判定与性质
【解析】解：∵l1∥l2，AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AC=BD，故D不符合题意；
∵l1∥l2，CE ⊥l1，FG⊥l2，
∴CE∥FG，∠CEG=90°，
∴四边形CEFG是矩形，
∴CE=FG，故B不符合题意；
l1与 l2之间的距离是线段 FG 的长度，故A不符合题意；
∴线段CD的长度大于l1与 l2之间的距离，故C符合题意；
故答案为：C.
【分析】利用有两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可证得四边形ABCD是平行四边形，利用平行四边形的性质可对D作出判断；再利用l1∥l2，CE ⊥l1，FG⊥l2，可证得四边形CEFG是矩形，利用矩形的性质可对B作出判断；再利用平行线间的距离定义可对A作出判断；利用垂线段最短，可对C作出判断.
二、填空题(共5题；共15分)
11．（3分）从五边形的一个顶点出发能画出 条对角线.
【答案】2
【知识点】多边形的对角线
【解析】解：五边形有五个顶点，五边形的一个顶点出发能画出5-3=2条对角线.
故答案为：2.
【分析】连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线.
12．（3分）如图，是边长为6的等边三角形，E，F分别是边，上的动点，若，则周长的最小值为 ．
【答案】12
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；线段垂直平分线的性质；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；轴对称的应用-最短距离问题；三角形的中位线定理
【解析】解：作点C关于AD的对称点G，作点C关于AB的对称点H，连接GE，AC，HF，DG，BH，如图，
∵
∴AD为CG的垂直平分线，AB为HC的垂直平分线，
∴
∵
∴
在和中
∴
∴
∴
∴
∴
∴
∴为等边三角形，
∴
∴周长为
故答案为：12.
【分析】作点C关于AD的对称点G，作点C关于AB的对称点H，连接GE，AC，HF，DG，BH，根据题意得到：AD为CG的垂直平分线，AB为HC的垂直平分线，进而求出∠BCD的度数，进而利用"HL"证明得到：即可得到：即可证明为等边三角形，得到进而即可求解.
13．（3分）如图，在 中，点E在 上，且 平分 ，若 ， ，则 的面积为 .
【答案】50
【知识点】等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形；平行四边形的性质；角平分线的定义
【解析】解：过点E作EF⊥BC，垂足为F，
∵∠EBC=30°，BE=10，
∴EF= BE=5，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DEC=∠BCE，
又EC平分∠BED，即∠BEC=∠DEC，
∴∠BCE=∠BEC，
∴BE=BC=10，
∴四边形ABCD的面积= = =50，
故答案为：50.
【分析】过点E作EF⊥BC，垂足为F，由含30°角的直角三角形的性质得出EF= BE=5，根据平行四边形的性质及角平分线的定义得出∠BCE=∠BEC，从而可得BE=BC=10，由平行四边形ABCD的面积= ，据此计算即可.
14．（3分）在《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争踣，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几？”译文为：如图，秋千静止时踏板离地面的距离为1尺，将它往前面推送两步（即的长为10尺），秋千的踏板就和人一样高，知这个人的身高为5尺，则绳索的长度为 尺．
【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质
【解析】解：如图，过点B作BE⊥OA于点E，
∴∠OEB=∠BED=90°，
∵∠C =∠CDE=90°，
∴四边形BCDE是矩形，
∴DE=BC=5，BE=CD=10，
设OA=OB=x，而AD=1，
∴OE=OA+AD-DE=x+1-5=x-4，
在Rt△OBE中，OB2=OE2+BE2，即：x2=(x-4)2+102，
解得：x==OA .
故答案为：.
【分析】过点B作BE⊥OA于点E，结合已知易证四边形BCDE是矩形，于是DE=BC，BE=CD，设OA=OB=x，在Rt△OBE中，用勾股定理可得关于x的方程，解方程即可求解.
15．（3分）如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点O作OE⊥BC，垂足为点E，过点A作AF⊥OB，垂足为点F，若BC＝2AF，OD＝6，则BE的长为 ．
【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的性质
【解析】 四边形 是矩形
，
，
，
OE⊥BC，
，
BC＝2AF，
，
是等边三角形
．
故答案为： ．
【分析】先求出，再利用勾股定理计算求解即可。
三、作图题(共1题；共7分)
16．（7分）如图：在平面直角坐标系中，网格中每一个小正方形的边长为1个单位长度；已知.
（1）（2分）作出以O为旋转中心，顺时针旋转的（只画出图形）.
（2）（2分）作出关于原点O成中对心称的，（只画出图形）；
（3）（3分）请在y轴上找一点P，使的值最小，并直接写出点P的坐标.
【答案】（1）解：见解析；
（2）解：见解析；
（3）解：点P位置见解析，点P的坐标.
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题；中心对称及中心对称图形；坐标与图形变化﹣旋转；作图﹣旋转
【解析】解：（1）如图，即为所求；
（2）如图，即为所求，
【分析】（1）根据网格结构找出点A、B、C以O为旋转中心顺时针旋转90°后的对应点A1、B1、C1的位置，然后顺次连接即可；
（2）根据网格结构找出点A、B、C关于原点O成中心对称的点A2、B2、C2的位置，然后顺次连接即可；
（3）找出B1关于y轴的对称点D，连接C1D，交y轴于点P，点P即为所求（将军饮马模型）．
四、解答题(共3题；共19分)
17．（6分）如图，在△ABC中，AB＝AC，D、E、F分别是BC、AB、AC的中点，连结DE、DF，求证：DE＝DF．
针对这道题，三位同学进行了如下讨论﹣﹣ 小胡：“需要利用全等证明．” 小吴：“要证中线相等，我想到了直角三角形．” 小明：“我觉得你们都对，但还有别的方法．”
请你结合上述讨论，选择恰当的方法完成证明．
【答案】解：小胡的证明方法：如图，∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵D、E、F、分别是BC、AB、AC的中点，
∴BD＝CD，BE=AB，CF=AC，
∴BE=CF
∴△BED≌△CFD（AAS），
∴DE＝DF．
小吴的证明方法：如图，连结AD，
∵AB＝AC，D是BC的中点，
∴AD⊥BC，即△ABD和△ACD为直角三角形，
∵E、F、分别是AB、AC的中点，
∴DE＝DF．
小明的证明方法：如图，连结AD，EF，AD和EF交于点O，
∵AB＝AC，D是BC的中点，
∴AD是∠BAC的角平分线，
∵E、F、分别是AB、AC的中点，
∴AE=AB，AF=AC
∴AE=AF
∴AD是△AEF边EF的中垂线
∴DE＝DF．
【知识点】角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；直角三角形的性质；三角形全等的判定（AAS）；三角形的中位线定理
【解析】【分析】小胡的证明方法根据AB=AC，得出∠B=∠C，然后根据D、E、F、分别是BC、AB、AC的中点，利用"AAS"证明即可求证；小吴的证明方法，连结AD，先证明△ABD和△ACD为直角三角形，再根据直角三角形的性质即可求证；小明的证明方法：连结AD，EF，AD和EF交于点O，先得出AD是∠BAC的角平分线，再根据中点得出AE=AF，进而得出AD是△AEF边EF的中垂线即可求证.
18．（6分）如图，直线 l1∥l2，∠A=135°，∠B=85°，求∠1+∠2 的度数.
【答案】解：方法一：如图所示：
过点A作AM//l1，过点B作BN//l2，
∴∠1=∠QAM，∠2=∠PBN，
∵l1//l2，
∴AM//l1//l2//BN.
∵∠MAB+∠ABN=180°.
∴∠QAB+∠ABP=∠1+∠MAB+∠ABN+∠2=135°+85°=220°.
∴∠1+∠2=40°.
方法二：如图所示：
连接PQ，
四边形AQPB的内角和为：180°×（4-2）=360°.
∠AQP+∠QPB+∠B+∠A=360°.
∵∠A=135°，∠B=85°，
∴∠AQP+∠QPB=140°.
∵l1//l2，
∴∠1+∠AQP+∠QPB+∠2=180°，
∴∠1+∠2=40°.
【知识点】平行公理及推论；平行线的性质；多边形内角与外角
【解析】【分析】方法一：过点A作AM//l1，过点B作BN//l2，根据平行公理推论可得AM//l1//l2//BN，根据题意结合平行线的性质即可得∠1+∠MAB+∠ABN+∠2=220°，再结合∠MAB+∠ABN=180°，即可得∠1+∠2的值；
方法二：连接PQ，得到四边形的内角和，由l1//l2可得∠1+∠AQP+∠QPB+∠2=180°，再由∠A和∠B的度数即可得到∠1+∠2的值.
19．（7分）如图，四边形是正方形，是等边三角形，连接．
（1）（3分）求证：；
（2）（4分）求的度数．
【答案】（1）证明：四边形是正方形，
，，
是等边三角形，
，，
，
，
在和中，
，
，
；
（2）解：由（1）得、、是等腰三角形，
设，依题意得
，
解得，
，
为度
【知识点】等腰三角形的判定与性质；等边三角形的性质；正方形的性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】（1）利用正方形得AB=DC，∠ABC=∠DCB=90°；根据等边三角形的性质得BE=CE，∠EBC=∠ECB=60°，推出∠ABE=∠DCE，由SAS证△ABE≌△DCE，由全等三角形的性质可得AE=DE；
（2）设，由（1）得、、是等腰三角形，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理，列方程求解即可．
五、实践探究题(共3题；共24分)
20．（7分）如图，已知CE，BF分别是四边形ABCD的内角∠BCD和外角∠ABG的平分线，连结EF.
（1）（3分）已知∠A=150°，∠D=80°，求∠E+∠F的度数.
（2）（4分）直接写出∠E+∠F与∠A+∠D的关系.
【答案】（1）解：∵ 在四边形ABCD 中，∠A=150°，∠D=80°，
∴.
又∵ CE是∠BCD的角平分线，
∴.
又∵ BF是∠ABG的角平分线，
∴.
在四边形BCEF中，
∴∠E+∠F的度数为.
（2）解：2（∠E+∠F）=∠A+∠D+180°.
【知识点】多边形内角与外角；角平分线的定义
【解析】解：（2）由（1）可得，，
，
代入化简可得2（∠E+∠F）=∠A+∠D+180°.
【分析】(1)、根据四边形的内角和先求出，再根据角平分线的定义写出和，最后根据四边形BCEF的内角和求解即可.
(2)、由(1)得∠E+∠F与∠A+∠D的关系，化简即可.
21．（6分）如图1，DE 是△ABC 的中位线，李琳同学对这个图形进行了剪拼，先连结AD(如图2)，再沿 AD剪开(如图3)，然后将△ABD置于△ADC的下面，使 BD和CD重合，△ADC与△DCF共面(如图4).李琳同学对剪拼后的图形很感兴趣，于是自编了一道数学题：如图4，在四边形 ADFC 中，DE 是△ADC 的中线，∠DCF=∠DCA+∠DAC，FC=AD.求证
请你解答李琳自编的题.
【答案】证明：延长CD到B使BD=CD，连接AB，如图
∵ ∠BDA=∠DCA+∠DAC， ∠DCF=∠DCA+∠DAC ，
∴ ∠BDA=∠DCF，
∵ BD=CD，AD=FC，
∴ △ABD≌△FDC（SAS），
∴ AB=FD，
∵ DE是△ADC的中线，
∴ DE=AB，
∴ DE=DF.
【知识点】三角形全等的判定（SAS）；三角形的中位线定理
【解析】【分析】延长CD到B使BD=CD，依据SAS判定△ABD≌△FDC推出AB=FD，再根据三角形的中位线的性质即可求得.
22．（11分） 知识背景：
过中心对称图形的对称中心的任意一条直线都将其分成全等的两个部分.
（1）（3分）如图1，直线m 经过 ABCD对角线的交点 O，则 (填“〉”“〈”或“=”).
（2）（3分）将两个正方形按如图2 所示的方式摆放，O为小正方形对角线的交点，作过点 O 且将整个图形分成面积相等的两部分的直线.
（3）（5分）将8个大小相同的正方形按如图3 所示的方式摆放，作将整个图形分成面积相等的两部分的直线（用三种不同的方法）.
【答案】（1）=
（2）解：如图所示，
（3）解：如图所示，
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】解：（1）∵ 点O为 ABCD的对称中心，且直线m经过点O，
∴ 则；
故答案为：=；
【分析】（1） 过中心对称图形的对称中心的任意一条直线都将其分成全等的两个部分，即可求得；
（2）先找到正方形的中心，然后过中心作直线即可；
（3）先分成两个矩形，分别找到中心，过两个中心作直线即可；找到图形的对称轴.
六、综合题(共3题；共25分)
23．（8分）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8．
（1）（3分）用尺规作图法作菱形AECF，使点E、F分别在BC和AD边上；
（2）（5分）求EF的长度．
【答案】（1）解：如图，连接AC，分别以为圆心，大于的长为半径画弧，连接两弧交点，即为线段AC的垂直平分线MN，与线段分别交于点，连接AE，CF，菱形AECF即为所求作．
（2）解：
AC交EF于点O
∵四边形ABCD是矩形
∴
由勾股定理得
∴
设，由勾股定理得
解得
∵
∴
∴
∴EF的长为．
【知识点】勾股定理；菱形的性质；作图-线段垂直平分线
【解析】【分析】（1）连接AC，分别以为圆心，大于的长为半径画弧，连接两弧交点，即为线段AC的垂直平分线MN，与线段分别交于点，连接AE，CF，菱形AECF即为所求作；
（2）利用勾股定理求出AC、CF，在利用勾股定理求出OF即可。
24．（8分）如图，折叠长方形一边AD，点D落在BC边的点F处，BC=10cm，AB=8cm，求：
（1）（3分）FC的长；
（2）（5分）EF的长．
【答案】（1）解：由题意可得，AF=AD=10cm，
在Rt△ABF中，∵AB=8，
∴BF=6cm，
∴FC=BC﹣BF=10﹣6=4cm
（2）解：由题意可得EF=DE，可设DE的长为x，
则在Rt△EFC中，
（8﹣x）2+42=x2，
解得x=5，
即EF的长为5cm
【知识点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【分析】（1）由于△ADE翻折得到△AEF，所以可得AF=AD，则在Rt△ABF中，第一问可求解；（2）由于EF=DE，可设EF的长为x，进而在Rt△EFC中，利用勾股定理求解直角三角形即可．
25．（9分）在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D为直线BC上一动点（点D不与B、C重合），以AD为边在AD的右侧作正方形ADEF，连接CF．
（1）（4分）观察猜想：如图（1），当点D在线段BC上时，
①BC与CF的位置关系是： ；
②BC、CD、CF之间的数量关系为： （将结论直接写在横线上）
（2）（5分）数学思考：如图（2），当点D在线段CB的延长线上时，上述①、②中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明，若不成立，请你写出正确结论再给予证明．
【答案】（1）BC⊥CF；BC=CF+CD
（2）解：CF⊥BC成立；BC=CD+CF不成立，CD=CF+BC．
∵正方形ADEF中，AD=AF，
∵∠BAC=∠DAF=90°，
∴∠BAD=∠CAF，
在△DAB与△FAC中，
∵ ，
∴△DAB≌△FAC，
∴∠ABD=∠ACF，
∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠ACB=∠ABC=45°．
∴∠ABD=180°﹣45°=135°，
∴∠BCF=∠ACF﹣∠ACB=135°﹣45°=90°，
∴CF⊥BC．
∵CD=DB+BC，DB=CF，
∴CD=CF+BC
【知识点】三角形全等及其性质；正方形的性质
【解析】解：（1）①正方形ADEF中，AD=AF，
∵∠BAC=∠DAF=90°，
∴∠BAD=∠CAF，
在△DAB与△FAC中，
∵ ，
∴△DAB≌△FAC，
∴∠B=∠ACF，
∴∠ACB+∠ACF=90°，即BC⊥CF；
故答案为：BC⊥CF；
②△DAB≌△FAC，
∴CF=BD，
∵BC=BD+CD，
∴BC=CF+CD；
故答案为：BC=CF+CD；
【分析】（1）①根据正方形的性质得到∠BAC=∠DAF=90°，推出△DAB≌△FAC，根据全等三角形的性质即可得到结论；②由正方形ADEF的性质可推出△DAB≌△FAC，根据全等三角形的性质得到CF=BD，∠ACF=∠ABD，根据余角的性质即可得到结论；（2）根据正方形的性质得到∠BAC=∠DAF=90°，推出△DAB≌△FAC，根据全等三角形的性质以及等腰直角三角形的角的性质可得到结论．
试题分析部分
1、试卷总体分布分析
总分：120分
分值分布 客观题（占比） 39.0(32.5%)
主观题（占比） 81.0(67.5%)
题量分布 客观题（占比） 13(52.0%)
主观题（占比） 12(48.0%)
2、试卷题量分布分析
大题题型 题目量（占比） 分值（占比）
选择题 10(40.0%) 30.0(25.0%)
填空题 5(20.0%) 15.0(12.5%)
解答题 3(12.0%) 19.0(15.8%)
作图题 1(4.0%) 7.0(5.8%)
实践探究题 3(12.0%) 24.0(20.0%)
综合题 3(12.0%) 25.0(20.8%)
3、试卷难度结构分析
序号 难易度 占比
1 普通 (84.0%)
2 容易 (16.0%)
4、试卷知识点分析
序号 知识点（认知水平） 分值（占比） 对应题号
1 角平分线的定义 10.0(8.3%) 13,20
2 含30°角的直角三角形 6.0(5.0%) 12,13
3 菱形的性质 17.0(14.2%) 3,5,7,23
4 三角形的中位线定理 18.0(15.0%) 8,12,17,21
5 轴对称的应用-最短距离问题 10.0(8.3%) 12,16
6 轴对称图形 3.0(2.5%) 1
7 矩形的性质 14.0(11.7%) 9,15,24
8 等腰三角形的性质 3.0(2.5%) 13
9 直角三角形全等的判定（HL） 3.0(2.5%) 12
10 直角三角形的性质 6.0(5.0%) 17
11 多边形的对角线 3.0(2.5%) 11
12 多边形内角与外角 16.0(13.3%) 4,18,20
13 矩形的判定与性质 6.0(5.0%) 10,14
14 角平分线的性质 6.0(5.0%) 17
15 翻折变换（折叠问题） 11.0(9.2%) 9,24
16 平行四边形的性质 3.0(2.5%) 13
17 等边三角形的性质 10.0(8.3%) 3,19
18 等边三角形的判定与性质 3.0(2.5%) 12
19 中心对称及中心对称图形 24.0(20.0%) 1,2,16,22
20 线段垂直平分线的性质 9.0(7.5%) 12,17
21 平行线的性质 9.0(7.5%) 9,18
22 垂线段最短 3.0(2.5%) 10
23 作图﹣旋转 7.0(5.8%) 16
24 菱形的判定 3.0(2.5%) 6
25 勾股定理 14.0(11.7%) 14,15,23
26 等腰三角形的判定与性质 7.0(5.8%) 19
27 三角形全等的判定（AAS） 6.0(5.0%) 17
28 正方形的性质 16.0(13.3%) 19,25
29 平行线之间的距离 3.0(2.5%) 10
30 平行公理及推论 6.0(5.0%) 18
31 三角形全等的判定（SAS） 13.0(10.8%) 19,21
32 坐标与图形变化﹣旋转 7.0(5.8%) 16
33 作图-线段垂直平分线 8.0(6.7%) 23
34 三角形全等及其性质 9.0(7.5%) 25
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