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2023-2024学年初中数学湘教版八年级下学期
第2章 四边形 单元测试 B卷
一、选择题(共10题；共30分)
1．（3分）下列关于数字变换的图案中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】解：A、是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项符合题意；
B、不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不符合题意；
C、不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项不符合题意；
故答案为：A．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念对每一个选项进行判断即可．
2．（3分）七边形的对角线一共有（ ）条
A．14 B．21 C．28 D．42
【答案】A
【知识点】多边形的对角线
【解析】解：七边形的对角线条数为
故答案为：A.
【分析】根据多边形的对角线条数的计算公式计算即可
3．（3分）矩形、菱形、正方形都具有的性质是（ ）
A．对角线相等 B．对角线互相平分
C．对角线互相垂直 D．对角线互相平分且相等
【答案】B
【知识点】菱形的性质；矩形的性质；正方形的性质
【解析】解：平行四边形的对角线互相平分，而对角线相等、平分一组对角、互相垂直不一定成立．
故平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质是：对角线互相平分．
故答案为：B．
【分析】矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形，因而平行四边形的性质就是四个图形都具有的性质．
4．（3分）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AB=6，∠ACB=30°，则OD的长为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】A
【知识点】等边三角形的判定与性质；矩形的性质
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，OB=OA，OB=OD，
∵∠ACB=30°，
∴∠BAC=60°，
∴三角形AOB是等边三角形，
∴OB=AB=6，
∴OD=OB=6.
故答案为：A.
【分析】由矩形的性质和等边三角形的判定“有一个角为60度的等腰三角形是等边三角形”可得三角形AOB是等边三角形，然后根据矩形的性质并结合已知可求解.
5．（3分）如图，在菱形中，是的中点，，交于点，如果，那么菱形的周长为
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】菱形的性质；三角形的中位线定理
【解析】解：是中点，
又∵，交于点，
是的中位线，
，
，
菱形的周长是．
故答案为：．
【分析】根据三角形中位线定理并结合题意可得，再运用菱形的周长公式即可求解。
6．（3分）如图，在 ABCD中，O是对角线AC上一点，连结 BO，DO.若△COD，△AOD，△AOB，△BOC 的面积分别为 S1，S2，S3，S4，则下列关于 S1，S2，S3，S4的等量关系中，不一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】三角形的面积；平行四边形的性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】解：过点D作DE⊥AC于点E，过点B作BF⊥AC于点F，
∴∠AED=∠CFB=90°，
∵平行四边形ABCD，
∴AD=BC，AD∥BC，
∴∠DAE=∠BCF，
在△ADE和△CBF中
∴△ADE≌△CBF（AAS）
∴DE=BF，
A、∵S2=，S1=，S3=，S4=，
∴S2=S3，S1=S4，
∴S1+S3=S2+S4，故A不符合题意；
B、∵，
∴ ，故B不符合题意；
C、∵S2=S3，S1=S4，
∴， 故C不符合题意；
D、只有当AO=2CO时， ，故D符合题意；
故答案为：D.
【分析】过点D作DE⊥AC于点E，过点B作BF⊥AC于点F，利用垂直的定义可证得∠AED=∠CFB=90°，利用平行四边形的性质可得到AD=BC，AD∥BC，∠DAE=∠BCF，利用AAS证明△ADE≌△CBF，由此可推出DE=BF，利用三角形的面积公式可得到S2=S3，S1=S4，据此可对A，B，C作出判断；只有当AO=2CO时， ，可对D作出判断.
7．（3分）如图，F是正方形ABCD 对角线BD上一点，连结AF，CF，延长CF交AD 于点E.若∠AFC=140°，则∠DEC的度数为 （ ）
A．80° B．75° C．70° D．65°
【答案】D
【知识点】三角形的外角性质；正方形的性质；三角形全等的判定（SAS）；邻补角
【解析】解：在正方形ABCD中，∠ADF=∠ABF=∠CBF=45°，AB=BC，
∵BF=BF，
∴△ABF≌△CBF（SAS），
∴∠CFB=∠AFB，
∵ ∠AFC=140° ，
∴∠CFB=∠AFB=70°，
∴∠DFC=180°-∠CFB=110°，
∴ ∠DEC= ∠DFC-∠EDF=110°-45°=65°.
故答案为：D.
【分析】可证△ABF≌△CBF（SAS），可得∠CFB=∠AFB=70°，利用邻补角的定义可得∠DFC=180°-∠CFB=110°，再利用三角形外角的性质可得∠DEC=∠DFC-∠EDF，继而得解.
8．（3分）如图，在中，，以的各边为边作三个正方形，点G落在上，若，空白部分面积为10.5，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】解：∵四边形ABGF是正方形，
∴∠F=∠FAB=90°，AF=AB，
∵四边形ACDE是正方形，
∴∠ACE=90°，
∴∠FAM+∠FMA=∠FAM+∠ANC=90°，
∴∠ANC=∠FMA，
∴△FAM≌△ABN（AAS），
∴S△FAM=S△ABN，
∴S四边形FNCM+S△ACN=S△ABC+S△ACN
∴S四边形FNCM=S△ABC，
∴空白部分面积=正方形ABGF的面积-S四边形FNCM-S△ABC=正方形ABGF的面积-2S△ABC=10.5，
∴AB2-2AC·BC=10.5①，
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，
∴AC2+BC2=AB2，
∵AC+BC=6，
∴（AC+BC）2=AC2+BC2+2AC·BC=36，
∴AB2+2AC·BC=36②，
联立①②得3AB2=57，解得AB=.
故答案为：C.
【分析】利用AAS证明△FAM≌△ABN，可得S△FAM=S△ABN，从而得出S四边形FNCM=S△ABC，由勾股定理可得AC2+BC2=AB2，由空白部分面积=正方形ABGF的面积-S四边形FNCM-S△ABC=正方形ABGF的面积-2S△ABC=10.5，即得AB2-2AC·BC=10.5①，由AC+BC=6可得AB2+2AC·BC=36②，联立①②求出AB2即可求解.
9．（3分）如图，正方形 的面积为 ， 是等边三角形，点 在正方形 内，在对角线 上有一点 ，使 的和最小，则这个最小值为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】正方形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】连接 、 、 关于 AC 对称．
∴ ．
∴ ，当 、 、 三点共线得 最小．
∴ ，选C．
【分析】连接 、 ，由于 关于 对称，可得PB=PD，由于，可得当 、 、 三点共线得 最小，最小值等于BE的长，据此解答即可.
10．（3分）如图，矩形的对角线相交于点O，F是上的一点，连接，将沿翻折，点C恰好与点O重合，延长交于点E，连接．则下列结论：①是等边三角形；②；③四边形是菱形；④，其中正确结论的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】A
【知识点】三角形的面积；三角形全等及其性质；等边三角形的判定与性质；矩形的性质
【解析】解：∵矩形的对角线相交于点O，
∴，
∵将沿翻折，点C恰好与点O重合，
∴，
∴，
∴，
∴是等边三角形，故①正确；
∵是等边三角形，，
∴，
∴，故②正确；
∵，
∴，，
∴，，
∴是等边三角形，
∴垂直平分，
∵，
∴四边形是菱形，故③正确；
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∴，，
∴，故④正确；
综上，①②③④都是正确的，
故选：A
【分析】①由矩形的性质可得OB=OC，由折叠的性质可得，进而可得，即可判定①；②由是等边三角形，得出，再利用特殊三角函数值即可得到AB与BC的数量关系，从而判断②；③先证是等边三角形，再根据菱形的判定定理即可判断③，④先证，设，则，分别表示出和，即可判断④.
二、填空题(共5题；共10分)
11．（2分）已知正n边形的一个外角是，则 ．
【答案】5
【知识点】多边形内角与外角
【解析】解： ∵正n边形的一个外角是，外角之和是360°，
360°÷72°=5
故n=5.
故答案为：5.
【分析】根据正n边形的一个外角是，利用360°÷72°即可得边数.
12．（2分）如图，在边长为2的正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD上的动点，M，N分别是EF，AF的中点，则MN的最大值为
【答案】
【知识点】正方形的性质；三角形的中位线定理
【解析】解：如图，连接、，
点、分别是、的中点，
，
正方形的边长为2，
，
点是边长的动点，
，
，
的最大值为.
故答案为：.
【分析】由点E是BC边长的动点可得，利用正方形的性质求得AC的边长，进而得到AE的取值范围，再通过三角形的中位线定理求得MN的最大值.
13．（2分）如图，将边长为 6 cm的正方形纸片 ABCD折叠，使点 D 落在AB边的中点 E 处，点 C 落在点Q处，折痕为 FH，则线段 AF的长为 cm.
【答案】
【知识点】勾股定理；正方形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】解：∵将边长为 6 cm的正方形纸片 ABCD折叠
∴DF=EF，∠A=90°，AD=AB=6，
∵点E为AB的中点，
∴AE=AB=×6=3，
设AF=x，则EF=6-x，
∵AF2+AE2=EF2，
∴x2+9=（6-x）2
解之：，
∴AF=.
故答案为：.
【分析】利用折叠的性质和正方形的性质可证得DF=EF，∠A=90°，AD=AB=6，利用线段中点的定义求出AE的长，设AF=x，则EF=6-x，利用勾股定理可得到关于x的方程，解方程求出x的值，可得到AF的长.
14．（2分）如图，边长为5的大正方形ABCD是由四个全等的直角三角形和一个小正方形EFGH组成，连结AF并延长交BC于点M．若AH＝HE，则CM的长为 ．
【答案】
【知识点】三角形全等及其性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质
【解析】解：过点M作于点N，设与交于点K，如图所示：
∵四边形是正方形，
∴，，
∵，
∴，
由题意得：，
∴，，∴，
∵，
∴，∴，
∴，
∵，∴．
∵，∴，
∴，
设，则，，
在中，由勾股定理得：
，解得：，
∴，
故答案为：．
【分析】先过点M作于点N，设与交于点K，根据正方形的性质证出，进而求出，再根据等腰三角形和平行线的性质得到，最后根据勾股定理求得CM即可.
15．（2分）如图，在中，，以为边向上作正方形，以为边作正方形，点D落在上，连接，．若，，则的面积为 ．
【答案】
【知识点】勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定（SAS）；三角形全等的判定（AAS）
【解析】解：∵四边形是正方形，
∴，，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
过点E作于点H，则，，，
∴，
∴，
已知：，
∴，
∴，
解得：，
∴．
故答案为：．
【分析】由正方形的性质及SAS可证明，可得，过点E作于点H，则，，再用AAS证明，可得，根据，结合勾股定理可建立方程，解得，即可得解．
三、作图题(共1题；共7分)
16．（7分）在平面直角坐标系中，已知四边形ABCD四个顶点坐标分别为A（0，4），B（1，0），C（3，0），D（4，4）．
（1）（2分）在如图所示的平面直角坐标系中画出四边形ABCD；
（2）（2分）画出四边形ABCD关于x轴对称的四边形A1B1C1D1，并直接写出点D的对称点D1的坐标；
（3）（3分）若四边形ABCD上的点P坐标为（x，y），则其关于x轴对称点坐标为 ．
【答案】（1）解：如图所示，四边形ABCD即为所求
（2）解：如图所示，四边形A1B1C1D1即为所求；
∴点D1的坐标为（4，﹣4）；
（3）（x，﹣y）
【知识点】平行四边形的性质；关于坐标轴对称的点的坐标特征；坐标与图形变化﹣对称；作图﹣轴对称
【解析】解：（3）∵ P坐标为（x，y），
∴ 点P关于x轴对称点坐标为 （x，﹣y）.
故答案为：（x，﹣y）.
【分析】（1）在坐标系中描出A、B、C、D，再顺次连接即可；
（2）根据关于x轴对称点的横坐标相同，纵坐标互为相反数，先描出ABCD的对应点A1、B1、C1、D1的位置，再顺次连接，最后写出点D1的坐标即可；
（3）根据关于x轴对称点的横坐标相同，纵坐标互为相反数求解即可.
四、解答题(共3题；共22分)
17．（8分）如图，△ABC是等边三角形，点D是边BC上的一点，以AD为边作等边△ADE，过点C作CF∥DE交AB于点F．
（1）（2分）若点D是BC边的中点(如图①) ，求证：EF=CD．
（2）（2分）在(1)的条件下直接写出△AEF和△ABC的面积比．
（3）（4分）若点D是BC边上的任意一点(除B，C外，如图②) ，那么(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
【答案】（1）证明： ∵△ABC是等边三角形，D是BC的中点，
∴AD⊥BC，且∠ BAD=∠BAC= 30°．
∵△AED是等边三角形， ∴AD=AE，∠ADE= 60°，
∴∠EDB= 90°-∠ADE= 90° -60° = 30°．
∵ED∥CF，∴∠FCB=∠EDB=30°．
∵ ∠ACB=60°，∴∠ACF=∠ACB- C FCB= 30°，
∴∠ACF= ∠ BAD= 30°．
在△ABD和△CAF中，
∴△ABD≌∴CAF(ASA) ，∴AD=CF．
∵AD= ED，∴ED= CF．
又∵ED∥CF，∴四边形EDCF是平行四边形，∴EF=CD．
（2）解：△AEF和△ABC的面积比为1 ： 4.
（3）解：成立．证明：∵ED∥ FC，∴∠EDB= CFCB． ．
∵∠AFC=∠B+∠BCF= 60°+∠BCF，∠BDA= ∠ADE+∠EDB= 60°+∠EDB，∴∠AFC=∠BDA．
在△ABD和△CAF中，
△ABD≌△CAF(AAS)，∴AD=FC．∵AD=ED，．． ED= CF．
又∵ED∥CF，∴四边形EDCF是平行四边形，∴EF=CD．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；等边三角形的性质；平行四边形的性质；平行四边形的判定
【解析】解：（2）易知 AF=BF，延长EF交AD于点H，S△AEF=EF·AH=·CB·AD=
【分析】（1）要证EF=CD，可证出四边形EDCF是平行四边形，而已知CF∥DE，所以只需要证出ED=CF即可，根据△ABC和△AED是等边三角形，D是BC的中点，CF∥DE，求证△ABD≌△CAF，则AD=CF，而AD=ED，所以ED=CF；
（2）由△ABD≌△CAF，得知AF=BD，因为D是BC的中点，三角形ABC是等边三角形，所以E也是AB的中点，将EF延长后，AH=AD，而BF=BC，从而可得出答案；
（3）根据ED∥FC，结合∠ACB=60°，得出∠ACF=∠BAD，求证△ABD≌△CAF，得出ED=CF，进而求证四边形EDCF是平行四边形，即可证明EF=CD．
18．（6分）已知P是等边三角形ABC的边BC上的一点，若∠APC=104°，则在以线段AP，BP，CP为边的三角形中，求最小内角的度数.
【答案】解：如图，过点P分别作PE∥AC，PD∥AB，
∴四边形AEPD为平行四边形，
∴AE=PD，AD=EF，
∵△ABC为等边三角形，PE∥AC，PD∥AB，
∴△BEP、△DPC均为等边三角形，
∴BP=EP，DP=PC=AE，∠BPE=∠BEP=60°，
∴△AEP就是以AP、BP、CP为边的三角形 ，∠AEP=120°，
∵ ∠APC=104°，
∴∠APE=180°-∠BPE- ∠APC=180°-60°- 104° =16°，
∴∠EAP=∠BEP-∠APE=44°，
即以AP、BP、CP为边的三角形的三个内角分别为16°，44°，120°，
∴ 最小内角的度数为16°.
【知识点】三角形的外角性质；等边三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】过点P分别作PE∥AC，PD∥AB，则四边形AEPD为平行四边形，可得AE=PD，AD=EF，易得△BEP、△DPC均为等边三角形，可得BP=EP，DP=PC=AE，从而可知△AEP就是以AP、BP、CP为边的三角形 ，求出△AEP的三个内角即的结论.
19．（8分）如图，在 ABCD中，BE，DG分别平分∠ABC，∠ADC，点E，G在AC上.
（1）（3分）求证：BE∥DG，BE=DG.
（2）（5分）过点E作EF⊥AB，垂足为F.若 ABCD的周长为56，EF=6，求△ABC的面积.
【答案】（1）证明：在 ABCD中 ，AD∥BC，∠ABC=∠ADC，AD=BC，
∴∠DAC=∠BCA，
∵ BE，DG分别平分∠ABC，∠ADC ，
∴∠ADG=∠CBE，
∵AD=BC，
∴△DAG≌△BCE（ASA），
∴ BE=DG，∠AGD=∠BEC，
∴∠DGE=∠BEC，
∴ BE∥DG ；
（2）解：如图，过点E作EH⊥BC，
∵ BE平分∠ABC， EF⊥AB
∴EH=EF=6，
∵ ABCD的周长为56 ，
∴AB+BC=28，
∴ △ABC的面积=△ABE的面积+△BEC的面积=AB·EF+ BC·EH
=（AB+BC）·EF=×28×6=84.
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质；平行四边形的性质；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【分析】（1）用ASA证明△DAG≌△BCE，可得BE=DG，∠AGD=∠BEC，根据邻补角的定义可得∠DGE=∠BEC，再根据平行线的判定即证结论；
（2）过点E作EH⊥BC，由角平分线的性质可得EH=EF=6，由平行四边形的性质可得AB+BC=28，根据△ABC的面积=△ABE的面积+△BEC的面积=（AB+BC）·EF进行计算即可.
五、实践探究题(共3题；共24分)
20．（8分）乐乐和数学小组的同学们研究多边形对角线的相关问题，邀请你也加入其中！请仔细观察下面的图形和表格，并回答下列问题：
多边形的顶点数 4 5 6 7 8 …… n
从一个顶点出发的对角线条数 1 2 3 4 5 ……
多边形对角线的总条数 2 5 9 14 20 ……
（1）（3分）观察探究：请观察上面的图形和表格，并用含n的代数式将上面的表格填写完整；
（2）（5分）实际应用：数学社团共分为6个小组，每组有3名同学．同学们约定，大年初一时不同组的两位同学之间要打一个电话拜年，请问，按照此约定，数学社团的同学们一共将拨打多少个电话？
【答案】（1）由题可得当多边形的顶点数为n时，从一个顶点出发的对角线的条数为n-3，多边形对角线的总条数为
（2）每个同学相当于多边形的一个顶点，则共有n个顶点；每人要给不同组的同学打一个电话，则每人要打(n-3)个电话；两人之间不需要重复拨打电话，故拨打电话的总数为个．
数学社团有18名同学，当n=18时，=135．
∴数学社团的同学们一共将拨打135个电话．
【知识点】多边形的对角线
【解析】【分析】(1)依据图形以及表格中的变换规律，即可得到结论;
(2)依据数学社团有18名同学，即可得到数学社团的同学们一共将拨打电话数量.
21．（8分）如图，在△ABC中，已知∠BAC =45°，AD⊥BC于点 D，BD=2，DC=3，求AD 的长.小萍同学灵活运用轴对称知识，将图形进行翻折变换，巧妙地解答了此题.
请按照小萍同学的思路，探究并解答下列问题：
（1）（3分）分别以 AB，AC 为对称轴，作出△ABD，△ACD的轴对称图形，点 D 的对称点分别为E，F，延长 EB，FC相交于点G.求证：四边形AEGF 是正方形.
（2）（5分）设 AD=x，利用勾股定理，建立关于 x的方程，求出 AD的长.
【答案】（1）证明：由题意可得：△ABD≌△ABE，△ACD≌△ACF，∴∠DAB＝∠EAB，∠DAC＝∠FAC．
又∵∠BAC＝45°，
∴∠EAF＝2∠BAD+2∠DAC＝2∠BAC＝90°．
又∵AD⊥BC，
∠ADB＝∠ADC＝90°，
∴∠E＝∠ADB＝90°，∠F＝∠ADC＝90°．
∴四边形AEGF是矩形．
又∵AE＝AD，AF＝AD，
∴AE＝AF，
∴四边形AEGF是正方形；
（2）解：设AD＝x，则AE＝EG＝GF＝x．
∵BD＝2，DC＝3，
∴BE＝2，CF＝3，
∴BG＝x﹣2，CG＝x﹣3．
在Rt△BGC中，BG2+CG2＝BC2，
∴（x﹣2）2+（x﹣3）2＝52，
解得x1＝6，x2＝﹣1（舍去），
∴AD＝6．
【知识点】勾股定理；正方形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【分析】（1）先根据△ABD≌△ABE，△ACD≌△ACF，得出∠EAF＝90°；从而可证明四边形AEGF是矩形，然后再根据轴对称的性质得到AE＝AF，即可证明四边形AEGF是正方形；
（2）在Rt△BGC中，利用勾股定理可得BG2+CG2＝BC2，然后建立关于x的方程（x﹣2）2+（x﹣3）2＝52，解方程可求得AD＝x＝6即可解答．
22．（8分）
（1）（3分）【探究问题】如图1，已知 l1∥l2，点 A，D在直线l1上，点 B，C在直线l2上，连结 AB，AC，BD，CD，AC 与BD 相交于点O.问：图中面积相等的三角形有几对 请分别将它们写出来.
（2）（5分）【拓展运用】如图2，请把四边形ABCD分成面积相等的两部分.
【答案】（1）解：过点A作AE⊥BC于点E，过点D作DF⊥BC于点F，
∴AE∥DF，∠AEF=90°，
∵l1∥l2，
∴四边形AEFD是矩形，
∴AE=DF
∵
∴S△ABC=S△DBC，
∴S△ABO=S△CDO，
同理可证S△ABD=S△DAC，
∴面积相等的三角形有3对，分别是△ABC 和△DBC，△ABD 和△ACD，△AOB和△COD
（2）解：如图，连接AC，分别作出△ABC和△ADC的两条中线，交于点E，F，过点E，F作直线EF.
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积；矩形的性质；矩形的判定
【解析】【分析】（1）过点A作AE⊥BC于点E，过点D作DF⊥BC于点F，易证AE∥DF，∠AEF=90°，结合已知条件可证得四边形AEFD是矩形，利用矩形的性质可证得AE=DF，利用三角形的面积公式可得到S△ABC=S△DBC，S△ABO=S△CDO，同理可证S△ABD=S△DAC，即可求解.
（2）利用三角形的中线分得的两个三角形的面积相等，因此连接AC，分别作出△ABC和△ADC的两条中线，交于点E，F，过点E，F作直线EF，即可求解.
六、综合题(共3题；共27分)
23．（9分）如图，在长方形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点E是BC边上一点，连接AE，将∠B沿直线AE折叠，使点B落在点B'处．
（1）（3分）如图1，当点E与点C重合时，CB'与AD交于点F，求证：FA＝FC；
（2）（6分）如图2，当点E不与点C重合，且点B'在对角线AC上时，求CE的长．
【答案】（1）证明：由折叠可知：△ABC≌△AB'C，
∴AB＝AB'，∠B＝∠B'，
在长方形ABCD中 AB＝CD，∠B＝∠D＝90°，
∴AB'＝CD，∠B'＝∠D＝90°，
在△AB'F和△CDF中，
，
∴△AB'F≌△CDF（AAS ），
∴FA＝FC；
（2）解：解：设CE＝x，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝90°，
∴AC2＝AB2+BC2＝32+42＝25，
∴AC＝5，
∴B'C＝5﹣3＝2，
由折叠可知：∠AB'E＝∠B＝90°，AB'＝AB＝3，EB'＝EB＝4﹣x，
在Rt△CEB'中，EC2＝EB'2+B'C2，
∴x2＝（4﹣x）2+22，
∴x＝，
∴CE＝．
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】（1）由折叠可知AB＝AB'，∠B＝∠B'，利用正方形的性质，根据AAS证明△AB'F≌△CDF，利用全等三角形的性质即可求解；
（2）由勾股定理求AC=5，B'C＝2，设CE＝x，由折叠可知：∠AB'E＝∠B＝90°，AB'＝AB＝3，EB'＝EB＝4﹣x，在Rt△CEB'中，利用勾股定理建立关于x方程并解之即可.
24．（9分）已知：AC是菱形ABCD的对角线，且AC=BC．
（1）（3分）如图①，点P是△ABC的一个动点，将△ABP绕着点B旋转得到△CBE．
①求证：△PBE是等边三角形；
②若BC=5，CE=4，PC=3，求∠PCE的度数；
（2）（6分）连结BD交AC于点O，点E在OD上且DE=3，AD=4，点G是△ADE内的一个动点如图②，连结AG，EG，DG，求AG+EG+DG的最小值．
【答案】（1）解：①∵四边形ABCD是菱形
∴AB=BC，
∵AC=BC，
∴AB=BC=AC，
∴△ABC等边三角形，
∴∠ABC=60°，
由旋转知BP=BE，∠PBE=∠ABC=60°，
∴△PBE是等边三角形；
②由①知AB=BC=5
∵由旋转知△ABP≌△CBE，
∴AP=CE=4，∠APB=∠BEC，
∵AP2+PC2=42+32=25=AC2，
∴△ACP是直角三角形，
∴∠APC=90°，
∴∠APB+∠BPC=270°，
∵∠APB=∠CEB，
∴∠CEB+∠BPC=270°，
∴∠PBE+∠PCE=90°，
∵∠PBE=∠ABC=60°，
∴∠PCE=90°-60°=30°
（2）解：如图，将△ADG绕着点D顺时针旋转60°得到△A'DG'，
由旋转知△ADG≌△A'DG'，
∴A'D=AD=4，G'D=GD，A'G'=AG，
∵∠G'DG=60°，G'D=GD，
∴△G'DG是等边三角形，
∴GG'=DG，
∴AG+EG+DG=A'G'+EG+GG'
∵当A'、G'、G、E四点共线时，A'G'+EG+G'G的值最小，
即AG+EG+DG的值最小，
∵∠A'DA=60°，∠ADE= ∠ADC=30°，
∴∠A'DE=90°，
∴AG+EG+DG=A'G'+EG+G'G=A'E= =5，
∴AG+EG+DG的最小值为5．
【知识点】三角形全等及其性质；等边三角形的判定；菱形的性质；旋转的性质
【解析】【分析】（1）①先判断出△ABC等边三角形，得出∠ABC=60°，再由旋转知BP=BE，∠PBE=∠ABC=60°，即可得出结论．②先用勾股定理的逆定理判断出△ACP是直角三角形，得出∠APC=90°，进而判断出∠PBE+∠PCE=90°，即可得出结论；（2）先判断出△G'DG是等边三角形，得出GG'=DG，即：AG+EG+DG=A'G'+EG+GG'得出当A'、G'、G、E四点共线时，A'G'+EG+G'G的值最小，即可得出结论．
25．（9分）综合与实践
问题：给你两个大小不等的正方形，你能通过切割把他们拼接成一个大正方形吗？
下面是某研究小组的研究过程：
（1）（3分）首先研究两个一样大小的正方形
把两个边长相等的正方形和正方形，按图1所示的方式摆放，沿虚线、剪开后，可按图1所示的移动方式拼接成四边形形，则四边形形是正方形，请说明理由；
（2）（6分）研究大小不等的两个正方形
把边长不等的两个正方形和正方形，按图2所示的方式摆放，连接，过点D作，交于点M，过点M作，过点E作，与相交于点N．
①证明四边形是正方形；
②在图2中，将正方形和正方形沿虚线剪开后，能够拼接为正方形，请简略说明你的拼接方法（类比图1，用数字表示对应的图形）．
【答案】（1）证明：四边形和四边形是正方形，且边长相等，
，
，
设边长为，则，
，
同理可求：，
∴四边形是正方形．
（2）解：①证明：，，，
，
∴四边形是矩形，
四边形是正方形，
，，
，
，
，
在和中
，
（ASA），
．
∴四边形是正方形．
②解：如图，沿着、、虚线剪开，
得到如图所标注的部分，摆放拼成如下图：
【知识点】正方形的判定与性质
【解析】【分析】
(1)证明四边相等，且有一个角是直角，可证得BNED是正方形。
(2)①先证明四边形MNED是矩形，再证明△ADM和△CDE全等得DM=DE，从而可证得四边形MNED是正方形。
②根据各部分形状及大小，确定对应的位置。
试题分析部分
1、试卷总体分布分析
总分：120分
分值分布 客观题（占比） 32.0(26.7%)
主观题（占比） 88.0(73.3%)
题量分布 客观题（占比） 11(44.0%)
主观题（占比） 14(56.0%)
2、试卷题量分布分析
大题题型 题目量（占比） 分值（占比）
选择题 10(40.0%) 30.0(25.0%)
填空题 5(20.0%) 10.0(8.3%)
解答题 3(12.0%) 22.0(18.3%)
作图题 1(4.0%) 7.0(5.8%)
实践探究题 3(12.0%) 24.0(20.0%)
综合题 3(12.0%) 27.0(22.5%)
3、试卷难度结构分析
序号 难易度 占比
1 普通 (48.0%)
2 困难 (52.0%)
4、试卷知识点分析
序号 知识点（认知水平） 分值（占比） 对应题号
1 关于坐标轴对称的点的坐标特征 7.0(5.8%) 16
2 三角形全等的判定 8.0(6.7%) 17
3 菱形的性质 15.0(12.5%) 3,5,24
4 三角形的中位线定理 5.0(4.2%) 5,12
5 轴对称的应用-最短距离问题 3.0(2.5%) 9
6 轴对称图形 3.0(2.5%) 1
7 三角形的角平分线、中线和高 8.0(6.7%) 22
8 矩形的性质 26.0(21.7%) 3,4,10,22,23
9 多边形的对角线 11.0(9.2%) 2,20
10 多边形内角与外角 2.0(1.7%) 11
11 角平分线的性质 8.0(6.7%) 19
12 三角形的外角性质 9.0(7.5%) 7,18
13 坐标与图形变化﹣对称 7.0(5.8%) 16
14 平行四边形的性质 26.0(21.7%) 6,16,17,19
15 翻折变换（折叠问题） 19.0(15.8%) 13,21,23
16 等边三角形的判定与性质 12.0(10.0%) 4,10,18
17 等边三角形的性质 8.0(6.7%) 17
18 中心对称及中心对称图形 3.0(2.5%) 1
19 线段垂直平分线的性质 2.0(1.7%) 14
20 矩形的判定 8.0(6.7%) 22
21 勾股定理 26.0(21.7%) 8,13,14,15,21,23
22 等腰三角形的判定与性质 2.0(1.7%) 14
23 旋转的性质 9.0(7.5%) 24
24 作图﹣轴对称 7.0(5.8%) 16
25 三角形全等的判定（AAS） 17.0(14.2%) 6,8,15,23
26 正方形的性质 20.0(16.7%) 3,7,8,9,12,13,14,15
27 平行四边形的判定 8.0(6.7%) 17
28 等边三角形的判定 9.0(7.5%) 24
29 三角形全等的判定（SAS） 5.0(4.2%) 7,15
30 三角形的面积 22.0(18.3%) 6,10,19,22
31 平行四边形的判定与性质 6.0(5.0%) 18
32 三角形全等的判定（ASA） 8.0(6.7%) 19
33 邻补角 3.0(2.5%) 7
34 正方形的判定与性质 17.0(14.2%) 21,25
35 三角形全等及其性质 22.0(18.3%) 10,14,17,24
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2023-2024学年初中数学湘教版八年级下学期
第2章 四边形 单元测试 B卷
一、选择题(共10题；共30分)
1．（3分）下列关于数字变换的图案中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．（3分）七边形的对角线一共有（ ）条
A．14 B．21 C．28 D．42
3．（3分）矩形、菱形、正方形都具有的性质是（ ）
A．对角线相等 B．对角线互相平分
C．对角线互相垂直 D．对角线互相平分且相等
4．（3分）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AB=6，∠ACB=30°，则OD的长为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
5．（3分）如图，在菱形中，是的中点，，交于点，如果，那么菱形的周长为
A． B． C． D．
6．（3分）如图，在 ABCD中，O是对角线AC上一点，连结 BO，DO.若△COD，△AOD，△AOB，△BOC 的面积分别为 S1，S2，S3，S4，则下列关于 S1，S2，S3，S4的等量关系中，不一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（3分）如图，F是正方形ABCD 对角线BD上一点，连结AF，CF，延长CF交AD 于点E.若∠AFC=140°，则∠DEC的度数为 （ ）
A．80° B．75° C．70° D．65°
8．（3分）如图，在中，，以的各边为边作三个正方形，点G落在上，若，空白部分面积为10.5，则的长为（ ）
A． B． C． D．
9．（3分）如图，正方形 的面积为 ， 是等边三角形，点 在正方形 内，在对角线 上有一点 ，使 的和最小，则这个最小值为（ ）．
A． B． C． D．
10．（3分）如图，矩形的对角线相交于点O，F是上的一点，连接，将沿翻折，点C恰好与点O重合，延长交于点E，连接．则下列结论：①是等边三角形；②；③四边形是菱形；④，其中正确结论的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
二、填空题(共5题；共10分)
11．（2分）已知正n边形的一个外角是，则 ．
12．（2分）如图，在边长为2的正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD上的动点，M，N分别是EF，AF的中点，则MN的最大值为
13．（2分）如图，将边长为 6 cm的正方形纸片 ABCD折叠，使点 D 落在AB边的中点 E 处，点 C 落在点Q处，折痕为 FH，则线段 AF的长为 cm.
14．（2分）如图，边长为5的大正方形ABCD是由四个全等的直角三角形和一个小正方形EFGH组成，连结AF并延长交BC于点M．若AH＝HE，则CM的长为 ．
15．（2分）如图，在中，，以为边向上作正方形，以为边作正方形，点D落在上，连接，．若，，则的面积为 ．
三、作图题(共1题；共7分)
16．（7分）在平面直角坐标系中，已知四边形ABCD四个顶点坐标分别为A（0，4），B（1，0），C（3，0），D（4，4）．
（1）（2分）在如图所示的平面直角坐标系中画出四边形ABCD；
（2）（2分）画出四边形ABCD关于x轴对称的四边形A1B1C1D1，并直接写出点D的对称点D1的坐标；
（3）（3分）若四边形ABCD上的点P坐标为（x，y），则其关于x轴对称点坐标为 ．
四、解答题(共3题；共22分)
17．（8分）如图，△ABC是等边三角形，点D是边BC上的一点，以AD为边作等边△ADE，过点C作CF∥DE交AB于点F．
（1）（2分）若点D是BC边的中点(如图①) ，求证：EF=CD．
（2）（2分）在(1)的条件下直接写出△AEF和△ABC的面积比．
（3）（4分）若点D是BC边上的任意一点(除B，C外，如图②) ，那么(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
18．（6分）已知P是等边三角形ABC的边BC上的一点，若∠APC=104°，则在以线段AP，BP，CP为边的三角形中，求最小内角的度数.
19．（8分）如图，在 ABCD中，BE，DG分别平分∠ABC，∠ADC，点E，G在AC上.
（1）（3分）求证：BE∥DG，BE=DG.
（2）（5分）过点E作EF⊥AB，垂足为F.若 ABCD的周长为56，EF=6，求△ABC的面积.
五、实践探究题(共3题；共24分)
20．（8分）乐乐和数学小组的同学们研究多边形对角线的相关问题，邀请你也加入其中！请仔细观察下面的图形和表格，并回答下列问题：
多边形的顶点数 4 5 6 7 8 …… n
从一个顶点出发的对角线条数 1 2 3 4 5 ……
多边形对角线的总条数 2 5 9 14 20 ……
（1）（3分）观察探究：请观察上面的图形和表格，并用含n的代数式将上面的表格填写完整；
（2）（5分）实际应用：数学社团共分为6个小组，每组有3名同学．同学们约定，大年初一时不同组的两位同学之间要打一个电话拜年，请问，按照此约定，数学社团的同学们一共将拨打多少个电话？
21．（8分）如图，在△ABC中，已知∠BAC =45°，AD⊥BC于点 D，BD=2，DC=3，求AD 的长.
小萍同学灵活运用轴对称知识，将图形进行翻折变换，巧妙地解答了此题.
请按照小萍同学的思路，探究并解答下列问题：
（1）（3分）分别以 AB，AC 为对称轴，作出△ABD，△ACD的轴对称图形，点 D 的对称点分别为E，F，延长 EB，FC相交于点G.求证：四边形AEGF 是正方形.
（2）（5分）设 AD=x，利用勾股定理，建立关于 x的方程，求出 AD的长.
22．（8分）[创新意识]
（1）（3分）【探究问题】如图1，已知 l1∥l2，点 A，D在直线l1上，点 B，C在直线l2上，连结 AB，AC，BD，CD，AC 与BD 相交于点O.问：图中面积相等的三角形有几对 请分别将它们写出来.
（2）（5分）【拓展运用】如图2，请把四边形ABCD分成面积相等的两部分.
六、综合题(共3题；共27分)
23．（9分）如图，在长方形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点E是BC边上一点，连接AE，将∠B沿直线AE折叠，使点B落在点B'处．
（1）（3分）如图1，当点E与点C重合时，CB'与AD交于点F，求证：FA＝FC；
（2）（6分）如图2，当点E不与点C重合，且点B'在对角线AC上时，求CE的长．
24．（9分）已知：AC是菱形ABCD的对角线，且AC=BC．
（1）（3分）如图①，点P是△ABC的一个动点，将△ABP绕着点B旋转得到△CBE．
①求证：△PBE是等边三角形；
②若BC=5，CE=4，PC=3，求∠PCE的度数；
（2）（6分）连结BD交AC于点O，点E在OD上且DE=3，AD=4，点G是△ADE内的一个动点如图②，连结AG，EG，DG，求AG+EG+DG的最小值．
25．（9分）综合与实践
问题：给你两个大小不等的正方形，你能通过切割把他们拼接成一个大正方形吗？
下面是某研究小组的研究过程：
（1）（3分）首先研究两个一样大小的正方形
把两个边长相等的正方形和正方形，按图1所示的方式摆放，沿虚线、剪开后，可按图1所示的移动方式拼接成四边形形，则四边形形是正方形，请说明理由；
（2）（6分）研究大小不等的两个正方形
把边长不等的两个正方形和正方形，按图2所示的方式摆放，连接，过点D作，交于点M，过点M作，过点E作，与相交于点N．
①证明四边形是正方形；
②在图2中，将正方形和正方形沿虚线剪开后，能够拼接为正方形，请简略说明你的拼接方法（类比图1，用数字表示对应的图形）．
答案解析部分
1．A
2．A
3．B
4．A
5．A
6．D
7．D
8．C
9．C
10．A
11．5
12．
13．
14．
15．
16．（1）解：如图所示，四边形ABCD即为所求
（2）解：如图所示，四边形A1B1C1D1即为所求；
∴点D1的坐标为（4，﹣4）；
（3）（x，﹣y）
17．（1）证明： ∵△ABC是等边三角形，D是BC的中点，
∴AD⊥BC，且∠ BAD=∠BAC= 30°．
∵△AED是等边三角形， ∴AD=AE，∠ADE= 60°，
∴∠EDB= 90°-∠ADE= 90° -60° = 30°．
∵ED∥CF，∴∠FCB=∠EDB=30°．
∵ ∠ACB=60°，∴∠ACF=∠ACB- C FCB= 30°，
∴∠ACF= ∠ BAD= 30°．
在△ABD和△CAF中，
∴△ABD≌∴CAF(ASA) ，∴AD=CF．
∵AD= ED，∴ED= CF．
又∵ED∥CF，∴四边形EDCF是平行四边形，∴EF=CD．
（2）解：△AEF和△ABC的面积比为1 ： 4.
（3）解：成立．证明：∵ED∥ FC，∴∠EDB= CFCB． ．
∵∠AFC=∠B+∠BCF= 60°+∠BCF，∠BDA= ∠ADE+∠EDB= 60°+∠EDB，∴∠AFC=∠BDA．
在△ABD和△CAF中，
△ABD≌△CAF(AAS)，∴AD=FC．∵AD=ED，．． ED= CF．
又∵ED∥CF，∴四边形EDCF是平行四边形，∴EF=CD．
18．解：如图，过点P分别作PE∥AC，PD∥AB，
∴四边形AEPD为平行四边形，
∴AE=PD，AD=EF，
∵△ABC为等边三角形，PE∥AC，PD∥AB，
∴△BEP、△DPC均为等边三角形，
∴BP=EP，DP=PC=AE，∠BPE=∠BEP=60°，
∴△AEP就是以AP、BP、CP为边的三角形 ，∠AEP=120°，
∵ ∠APC=104°，
∴∠APE=180°-∠BPE- ∠APC=180°-60°- 104° =16°，
∴∠EAP=∠BEP-∠APE=44°，
即以AP、BP、CP为边的三角形的三个内角分别为16°，44°，120°，
∴ 最小内角的度数为16°.
19．（1）证明：在 ABCD中 ，AD∥BC，∠ABC=∠ADC，AD=BC，
∴∠DAC=∠BCA，
∵ BE，DG分别平分∠ABC，∠ADC ，
∴∠ADG=∠CBE，
∵AD=BC，
∴△DAG≌△BCE（ASA），
∴ BE=DG，∠AGD=∠BEC，
∴∠DGE=∠BEC，
∴ BE∥DG ；
（2）解：如图，过点E作EH⊥BC，
∵ BE平分∠ABC， EF⊥AB
∴EH=EF=6，
∵ ABCD的周长为56 ，
∴AB+BC=28，
∴ △ABC的面积=△ABE的面积+△BEC的面积=AB·EF+ BC·EH
=（AB+BC）·EF=×28×6=84.
20．（1）由题可得当多边形的顶点数为n时，从一个顶点出发的对角线的条数为n-3，多边形对角线的总条数为
（2）每个同学相当于多边形的一个顶点，则共有n个顶点；每人要给不同组的同学打一个电话，则每人要打(n-3)个电话；两人之间不需要重复拨打电话，故拨打电话的总数为个．
数学社团有18名同学，当n=18时，=135．
∴数学社团的同学们一共将拨打135个电话．
21．（1）证明：由题意可得：△ABD≌△ABE，△ACD≌△ACF，∴∠DAB＝∠EAB，∠DAC＝∠FAC．
又∵∠BAC＝45°，
∴∠EAF＝2∠BAD+2∠DAC＝2∠BAC＝90°．
又∵AD⊥BC，
∠ADB＝∠ADC＝90°，
∴∠E＝∠ADB＝90°，∠F＝∠ADC＝90°．
∴四边形AEGF是矩形．
又∵AE＝AD，AF＝AD，
∴AE＝AF，
∴四边形AEGF是正方形；
（2）解：设AD＝x，则AE＝EG＝GF＝x．
∵BD＝2，DC＝3，
∴BE＝2，CF＝3，
∴BG＝x﹣2，CG＝x﹣3．
在Rt△BGC中，BG2+CG2＝BC2，
∴（x﹣2）2+（x﹣3）2＝52，
解得x1＝6，x2＝﹣1（舍去），
∴AD＝6．
22．（1）解：过点A作AE⊥BC于点E，过点D作DF⊥BC于点F，
∴AE∥DF，∠AEF=90°，
∵l1∥l2，
∴四边形AEFD是矩形，
∴AE=DF
∵
∴S△ABC=S△DBC，
∴S△ABO=S△CDO，
同理可证S△ABD=S△DAC，
∴面积相等的三角形有3对，分别是△ABC 和△DBC，△ABD 和△ACD，△AOB和△COD
（2）解：如图，连接AC，分别作出△ABC和△ADC的两条中线，交于点E，F，过点E，F作直线EF.
23．（1）证明：由折叠可知：△ABC≌△AB'C，
∴AB＝AB'，∠B＝∠B'，
在长方形ABCD中 AB＝CD，∠B＝∠D＝90°，
∴AB'＝CD，∠B'＝∠D＝90°，
在△AB'F和△CDF中，
，
∴△AB'F≌△CDF（AAS ），
∴FA＝FC；
（2）解：解：设CE＝x，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝90°，
∴AC2＝AB2+BC2＝32+42＝25，
∴AC＝5，
∴B'C＝5﹣3＝2，
由折叠可知：∠AB'E＝∠B＝90°，AB'＝AB＝3，EB'＝EB＝4﹣x，
在Rt△CEB'中，EC2＝EB'2+B'C2，
∴x2＝（4﹣x）2+22，
∴x＝，
∴CE＝．
24．（1）解：①∵四边形ABCD是菱形
∴AB=BC，
∵AC=BC，
∴AB=BC=AC，
∴△ABC等边三角形，
∴∠ABC=60°，
由旋转知BP=BE，∠PBE=∠ABC=60°，
∴△PBE是等边三角形；
②由①知AB=BC=5
∵由旋转知△ABP≌△CBE，
∴AP=CE=4，∠APB=∠BEC，
∵AP2+PC2=42+32=25=AC2，
∴△ACP是直角三角形，
∴∠APC=90°，
∴∠APB+∠BPC=270°，
∵∠APB=∠CEB，
∴∠CEB+∠BPC=270°，
∴∠PBE+∠PCE=90°，
∵∠PBE=∠ABC=60°，
∴∠PCE=90°-60°=30°
（2）解：如图，将△ADG绕着点D顺时针旋转60°得到△A'DG'，
由旋转知△ADG≌△A'DG'，
∴A'D=AD=4，G'D=GD，A'G'=AG，
∵∠G'DG=60°，G'D=GD，
∴△G'DG是等边三角形，
∴GG'=DG，
∴AG+EG+DG=A'G'+EG+GG'
∵当A'、G'、G、E四点共线时，A'G'+EG+G'G的值最小，
即AG+EG+DG的值最小，
∵∠A'DA=60°，∠ADE= ∠ADC=30°，
∴∠A'DE=90°，
∴AG+EG+DG=A'G'+EG+G'G=A'E= =5，
∴AG+EG+DG的最小值为5．
25．（1）证明：四边形和四边形是正方形，且边长相等，
，
，
设边长为，则，
，
同理可求：，
∴四边形是正方形．
（2）解：①证明：，，，
，
∴四边形是矩形，
四边形是正方形，
，，
，
，
，
在和中
，
（ASA），
．
∴四边形是正方形．
②解：如图，沿着、、虚线剪开，
得到如图所标注的部分，摆放拼成如下图：
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