数学人教A版（2019）必修第二册10.3频率与概率 课件（共48张ppt）

(共48张PPT)
10.3 频率与概率
对于结果是有限的( 样本空间包含n个样本点)且样本点等可能的试验，
问题1：
复习引入
计算有关事件(A)的概率，概率的范围是什么？
事件A包含其中的K个样本点个数
古典概型公式：
巩固应用
同时抛掷两枚质地均匀的硬币的试验，
设事件A=“一个正面朝上，一个反面朝上”，
Ω
A=
解：把硬币正面朝上记为1，
反面朝上记为0，则这个试验的样本空间为
所以 P(A)=
概率影响频率吗？
能计算出事件A发生的概率吗？
大胆猜想
（1）在重复试验中，频率的大小是否就决定了概率的大小？
（2）频率与概率之间是一种怎样的关系呢？
事件的概率越大，在重复试验中，相应的频率一般也越大
事件的概率越小，在重复试验中，相应的频率一般也越小；
问题2：
猜一猜？
延伸思考
对于现实中试验的样本点不是等可能的，
或者是否等可能不容易判断:
问题3：
我们能寻找到新的求概率的方法吗？
例如，抛掷一枚质地不均匀的骰子，或者抛掷一枚图钉，
此时无法通过古典概型公式计算有关事件的概率，
问题探究
同时抛掷两枚质地均匀的硬币的试验，
设事件A=“一个正面朝上，一个反面朝上”统计A出现的次数
并计算频率，再与其概率进行比较，你能发现什么规律？
抛掷次数（n) 2048 4040 12000 24000 30000
正面朝上次数(m) 1061 2048 6019 12012 14984
频率(m/n) 0.518 0.506 0.501 0.5005 0.4996
德 . 摩根
蒲 丰
皮尔逊
皮尔逊
维 尼
试验探究
效仿数学家分步实施试验，考察随着试验次数的增加，
事件A的频率的变化情况，并总结频率与概率的关系与区别．
试验探究
第一步．每人重复做25次试验，记录事件A（一正一反）发生的次数，计算频率；
填好后每四位同学为一组，比较试验结果是否相同，思考为什么会出现这样的情况？
试验序号 事件A是否发生？
1 　
2 　
3 　
4 　
5
...
25
合计 　
事件A发生的 频率
注：在相同的条件S下重复n次试验，
若某一事件A出现的次数为 ,
则称nA为事件A出现的频数，
那么事件A出现的频率 等于什么？
（表1）
第二步．每位组长统计各大组事件A发生的次数计算频率，并比较临近小组的试验结果一样吗？为什么会出现这样的情况？
试验次数 事件A发生的次数 事件A发生的频率
25 　
25 　
25 　
…
25 　
小组试验合计事件A发生的 频数与频率 　
试验探究
（表2）
第三步．全班试验总次数的情况计算事件A发生的频率，将结果填入表中．并与上述两种情况比较.思考随着试验次数的增加，
事件A发生的频率有什么变化规律？
小组序号 试验总次数 事件A发生的 次数 事件A发生的
频率
1 　 　
2 　 　
3 　 　
4 　 　
全班试验合计时事件A发生 的频率 　 　 　 试验探究
（表3）
模拟试验
序号 n=20 n=100 n=500 频数 频率 频数 频率 频数 频率
1 12 0.6 56 0.56 261 0.522
2 9 0.45 50 0.50 241 0.482
3 13 0.65 48 0.48 250 0.5
4 7 0.35 55 0.55 258 0.516
5 12 0.6 52 0.52 253 0.506
利用计算机模拟掷两枚硬币的试验：在重复试验次数为 时各做5组试验，得到事件A=“一个正面朝上，一个反面朝上”发生的频数 n和频率 如表4．
次数 1 2 3 4 5
100 0.56 0.50 0.48 0.55 0.52
500 0.522 0.482 0.5 0.516 0.506
1000
利用计算机模拟掷两枚硬币的试验：在重复试验次数为100，500，1000时各做5组试验用事件A=“一个正面朝上，一个反面朝上”发生的频率估计概率 ，在给定的误差范围内计算估计的可靠性．
模拟试验
发现：试验次数多的时候波动幅度并不全都比次数少的小；
但当试验次数足够多时，用频率估计概率误差较小的可能性大.
（表5）
次数 1 2 3 4 5
100 0.56 0.50 0.48 0.55 0.52
500 0.522 0.482 0.5 0.516 0.506
1000
组序
频率
频率
频率
频率
频率
1494年
帕奇欧里提出赌金分配问题
1654年
帕斯卡与费马通信探讨,概率论奠基人
1657年
惠更斯出版《论骰子游戏中的推理》
20世纪初
科尔莫戈罗夫建立严谨的概率论理论体系
概率论起源与发展
1713年
伯努利《猜度术》
大数理论
1812年
拉普拉斯
《分析概率论》
前世今生
01
03
05
02
04
06
用折线图表示频率的波动情况：
发现：
1．试验次数n相同，频率 可能不同，这说明随机事件发生的频率具有随机性．
2．从整体来看，频率在概率0.5附近波动．当试验次数较少时，波动幅度较大；当试验次数较大时，波动幅度较小，但试验次数多的波动幅度并不全都比次数少的小，只是波动幅度小的可能性更大．
试验小结
知识归纳
知识点三 频率与概率的区别和联系？
1. 事件A发生的频率fn(A)是（不变，变化）的；
事件A发生的概率P(A)是（不变，变化）的；
概率是一个确定的常数，是客观存在的，与每次试验结果无关，与试验次数无关，甚至与做不做试验无关.
而事件发生的频率具有随机性，试验次数不同频率可能不同，即使试验次数相同，不同的试验频率也可能不同.
2.随着试验次数的增加频率稳定于概率；用频率估计概率误差较小的可能性大.
3.概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值；
因此在实际中我们求一个事件的概率时,有时通过进行大量的重复试验，用这个事件发生的频率近似地作为它的概率.
知识归纳
解决问题
同时抛掷两枚质地均匀的硬币的试验，
设事件A=“一个正面朝上，一个反面朝上”，
频率的稳定值是0.5
Ω
A=
把硬币正面朝上记为1，
反面朝上记为0，则这个试验的样本空间为
所以 P(A)=
频率估计概率
概率影响频率
随堂检测
×
×
√
×
随堂检测
D
典例分析
解：（1）2014年男婴出生的频率为：
2015年男婴出生的频率为：
（2） 由于调查新生儿人数的样本非常大，根据频率的稳定性，上述对男婴出生率的估计具有较高的可信度．
因此，我们有理由怀疑“生男孩和生女孩是等可能的”的结论．
例1 新生婴儿性别比是每100名女婴对应的男婴数.通过抽样调查得知，我国 年， 年新出生的婴儿性别比分别为 和 ．
(1) 分别估计我国 年和 年男婴的出生率（新生儿中男婴的比率，精确到0.001）；
(2) 根据估计结果，你认为”生男孩和生女孩是等可能的”这个判断可靠吗？
（教材253页）
方法小结
典例分析
例2 一个游戏包含两个随机事件 和 ，规定事件 发生则甲获胜，事件 发生则乙获胜．判断游戏是否公平的标准是事件 和 发生的概率是否相等．
在游戏过程中甲发现：玩了10次时，双方各胜5次；但玩到1000次时，自己才胜300次，而乙却胜了700次．据此，甲认为游戏不公平，但乙认为游戏是公平的．你更支持谁的结论？为什么？
（教材253页）
典例分析
解：当游戏玩了 次时，甲乙获胜的频率都为 ；当游戏玩了 次时，甲获胜的频率为 ，乙获胜的频率为 ．
根据频率的稳定性，随着试验次数的增加，频率偏离概率很大的可能性会越来越小．相对 次游戏， 次游戏时的频率接近概率的可能性更大，因此我们更愿意相信 次时的频率离概率更近．而游戏玩到 次时，甲乙获胜的频率分别是 和 ，存在很大差距，所以有理由认为游戏是不公平的．因此，应该支持甲对游戏公平性的判断．
方法小结
建立古典概型并计算
解决问题
随机试验
样本空间
频率的稳定性
随机模拟
随机事件的概率
频率估计概率的应用
求解
实际问题的
概率
提出理论概率模型重复试验验证
重复试验发现规律建立概率模型
课堂检测
答：抛掷两枚硬币，同时出现正面或同时出现反面的概率是0.5，出现一个正面、一个反面的概率也为0.5，这个游戏是公平的.
课堂检测
血型 A B O AB
人数/人 7704 10765 8970 3049
频率
4.(教材第254页练习4)
0.253
0.353
0.294
0.100
0.294
素养培育
新课程标准解读 核心素养
1.结合具体实例，会用频率估计概率. 数学抽象、
数据分析
2.了解随机数的意义，会用模拟方法估计概 率，理解用模拟法估计概率的实质. 数学建模
10.3 频率与概率 （第二课时）
册 别：必修2
学 科：高中数学（人教A版）
复习引入
计算有关事件(A)的概率，
概率的范围是什么？
事件A包含其中的K个样本点个数
古典概率模型：
频率计算公式：
复习引入
1．试验次数n相同，频率 可能不同，
随机事件发生的频率具有随机性．
2.随着试验次数的增加频率稳定于概率；
用频率估计概率误差较小的可能性大.
3.概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值；
因此在实际中我们求一个事件的概率时,有时通过进行大量的重复试验，用这个事件发生的频率近似地作为它的概率.
复习小结
如何求解实际问题
的概率？
古典概率模型
公式求解.
非古典概率模型
重复试验以频率估计概率.
试验验证.
新课学习
问题1：用频率估计概率，需要做大量的重复试验.
有没有其他的方法可以替代试验呢？
利用计算器或计算机软件可以产生随机数，实际上，
我们可以根据不同的随机试验构建相应的随机数模拟试验，
这样就可以快速地进行大量重复试验了.
问题2：计算器或计算机软件产生的随机数是
真正的随机数吗？
计算器或计算机软件产生的随机数，是按照确定的算法产生的数，具有周期性（周期很长），它们具有类似随机数的性质.因此，计算器或计算机产生的随机数不是真正的随机数，我们称它们为伪随机数.
新课学习
问题3：你能举例说明随机数的产生方法吗？
例：我们要产生0—9的随机整数，像彩票摇奖那样，
把10个质地和大小相同的号码球放入摇奖器中，充分搅拌后摇出一个球，这个球上的号码就称为随机数.
问题4：抛掷一枚质地均匀的硬币100次，
计算反面朝上的频率，你认为便捷的方法是什么？
答：由于次数较多，计算机产生随机数更便捷；
虽然有周期性产生的是伪随机数，但周期较长；
且频率本身也是概率的估计值.所以可以用计算机模拟试验.
试验探究
问题5：抛掷一枚质地均匀的硬币100次，计算反面朝上的频率， 你认为可以如何操作呢？
答：结合excel 中RANDBETWEEN函数，产生取值于集合
的随机数（或0-1之间的随机整数），
用0表示正面朝上，用1表示反面朝上.
这样不断产生0，1两个随机数，
相当于不断地做抛掷硬币的试验.
并用COUNTIF函数计算出表格中1的个数，除以100，
即能得到反面朝上的频率.
试验1
0.59
试验探究
问题6：当试验的元素变多时，你还能用类似的方法计算频率吗？
答：用1，2表示红球，用3，4，5表示白球.
结合excel 中RANDBETWEEN函数，产生于1-5之间的整数随机数
相当于不断地从袋中摸球的试验.
算出表格中1，2的个数，除以100，
即能得到试验次数100次时摸出红球的频率.
试验2
例：一个袋中装有2个红球和3个白球，这些球除颜色不同外没有其他差别.对于从袋中摸出一个球，如何计算试验次数为100时，摸到红球的频率呢？
0.39
试验探究
问题7：
答：频率具有随机性，试验次数较少时波动也较大.
比较同学们的试验数据发现与书本第255页表格10.3-3中的数据有所差异，请思考并回答为什么会出现这样的情况呢？
10 20 50 100 150 200 250 300
6 7 20 45 66 77 104 116
0.6 0.35 0.4 0.45 0.44 0.385 0.416 0.39
(表10.3-3)
试验探究
问题8：
答：
(1)随着试验次数的增加摸到红球的频率接近0.4.
根据表格中的数据请你画出试验中（摸到红球)频率的折线图，你能发现什么规律吗？并阐述所发现的规律的理由.
(2)这个试验可以应用古典概型计算公式得到摸出红球的概率为
(3)当试验次数增加时，频率值稳定于概率值.
构造或描述
概率过程
实现从已知概率分布抽样
建立各种估计量
通过某种“实验”的方法，以事件出现的频率估计随机事件的概率，或得到这个随机变量的某些数字特征，用统计方法把模型的数字特征估计出来，将其作为问题的解.
大数理论
主要应用在金融工程学，
宏观经济学，生物医学，
计算物理学等.
前世今生
01
04
05
02
03
模拟试验
例3(课本256页)
解：方法1：根据假设，每个人的出生月份在12个月中是等可能的，
而且相互之间没有影响，所以观察6个人的出生月份可以看成可重复试验．
因此，可以构建如下有放回摸球试验进行模拟：在袋子中装人编号为1,2...12的12个球，这些球除编号外没有什么差别.
有放回地随机从袋中摸6次球，得到6个数代表6个人的出生月份，这就完成了一次模拟试验.如果这6个数中至少有2个相同，表示事件 A 发生了.重复以上模拟试验20次，就可以统计出事件 A 发生的频率.
模拟试验
例3(课本256页)
解：方法2：利用电子表格软件模拟试验。在A1, Bl , C1 ,D1, EL ,F1单元格分别输“=RANDBETWEEN (1,12)”，得到6个数，代表6个人的出生月份，完成一次模拟试验．选中A1,B1, Cl ,D1, El , Fl 单元格，将鼠标指向右下角的黑点，按住鼠标左键拖动到第20行，相当于做20次重复试验.统计其中有相同数的频率，得到事件 A 的概率的估计值.
试验3
表10.34是20次模拟试验的结果，事件 A 发生了14次，事件 A 的概率估计值为0.70，与事件 A 的概率（约0.78）相差不大．
模拟试验
例4(课本256页)
分析：奥运会羽毛球比赛规则是3局2胜制，甲获得冠军的结果可能是2:0或2：1.显然，甲连胜2局或在前2局中赢一局输一局，并赢得第3局的概率，与打满3局，甲胜
2局或3局的概率相同.每局比赛甲可能胜，也可能负，3局比赛所有可能结果有8种，但是每个结果不是等可能出现的，因此不是古典概型，可以用计算机模拟比赛结果.
模拟试验
例4(课本256页)
解：设事件 A =“甲获得冠军”，事件 B =“单局比赛甲胜”，则 P ( B )=0.6．
用计算器或计算机产生1-5的随机数，当出现随机数1、2、3时，表示一局比赛甲获胜，
其概率为0.6.由于要比赛3局，所以每3个随机数为一组.例如，产生20组随机数：
423 123 423 344 114 453 525 332 152 342
534 443 512 541 125 432 334 151 314 354
当于做了20次重复试验，其中事件 A 发生了13次，对应的
数组分别是423,123,423,114,332,152,342,512,
125,432,334,151,314，用频率估计事件 A 的概率的近似为
试验4（1）
试验4（2）
试验总结
随机模拟试验
频率的稳定性
随机事件的频率
频率估计概率
实际问题的概率求解
分析试验可能结果
建立对应的模型设计试验方法
课堂练习
练习1(课本257页)
解：（1）抛掷4次硬币，有16个等可能的样本点，其中 A =“恰好两次正面朝上”包含6个样本点.由古典概率概型计算公式，得
(2）利用电子表格软件模拟试验，在A1,B1,C1,D1单元格分别输入
“= RANDBETWEEN ( O ,1)”，在 El 单元格输人“=A1+B1+C1+D1”，按 Enter 键，选中A1, Bl , Cl ,D1, El 单元格，将鼠标指向右下角的黑点，按住鼠标左键拖动到第80行，数出El-E80中“2”出现的次数 m ，则 就是事件 A 发生的频率.
试验5
课堂练习
练习2(课本257页)
解：
(1)“取出的球是黄球”是不可能事件，概率为0;
(2)“取出的球是白球”是随机事件，概率为
(3)“取出的球是白球或黑球”是必然事件，概率为1;
(4)用1,2,3,4表示摸到白球，用5,6,7,8,9表示摸到黑球．
在A1单元格输人“= RANDBETWEEN (1,9)”，按 Enter 键，选中 Al 单元格，将鼠标指向右下角的黑点，按住鼠标左键拖动到A100．数出A1一A100单元格中1,2,3,4出现的次数m.
为白球出现的频率，据此估计“取出白球的概率”的概率约为
试验6
课堂练习
练习3(课本257页)
解：(1）掷两颗骰子，共有36种等可能的结果，其中点数之和为7的结果有6个，所以“点数之和为7的概率是
（3）重复试验次数为120，不够多，频率与概率可能有比较大的差异，由于频率的不确定性，频率和概率会有一定的差异．
试验7（2）
（2）利用电子表格软件模拟试验，在A1, Bl 单元格内分别输人“= RANDBTWEEN（1,6） 在C1单元格输人“=A1+B1”，按 Enter 键，选中A1, Bl ,C1单元格，将鼠标指向右角的黑点，按住鼠标左键拖动到第120行数出C1-C120中“7”出现的次数 m ,则 就是“点数之和为7”的频率.
试验7（1）
素养培育
新课程标准解读 核心素养
1.结合具体实例，会用频率估计概率. 数学抽象、
数据分析
2.了解随机数的意义，会用模拟方法估计概 率，理解用模拟法估计概率的实质. 数学建模