数学人教A版（2019）必修第二册7.2复数的四则运算 课件（共41张ppt）

(共41张PPT)
复数的四则运算
问题1:结合实数系推广到复数系的过程，你觉得实数的加、减、乘、除四则运算可以推广到复数吗？
1.复习回顾
自然数
整数
有理数
实数
复数
负整数
分数
无理数
虚数
问题2:我们学习了复数的几何意义，那么复数的运算法则与向量运算法则会不会有联系？
探究1：阅读教材75页，探究复数的加法法则。
设两个任意复数,
2.加法法则
①复数的和仍然是一个复数; ②加法法则对实数也成立.
设两个任意复数,
①复数的和仍然是一个复数; ②加法法则对实数也成立.
追问1：复数的加法与多项式的加法有无共通点？
把复数中的实部虚部看作常数，看作“变元”
复数可以看作“一次二项式”，所以复数相加类似于多项式相加，都可以看作“合并同类项”。
2.加法法则
探究1：阅读教材75页，探究复数的加法法则。
追问2：复数的加法满足交换律、结合律吗？
2.加法法则
探究1：阅读教材75页，探究复数的加法法则。
设两个任意复数,
（加法结合律）
设两个任意复数,
追问2：复数的加法满足交换律、结合律吗？
所以复数的加法交换律成立.
类似的可得 （加法结合律）
2.加法法则
小结：复数的加法可以按照向量的加法进行。
设,
探究2：复数与复平面内以原点为起点的向量一一对应，而我们讨论过向量加法的几何意义，你能由此出发讨论复数加法的几何意义吗？
2.加法法则
追问1：能用复数加法的几何意义来说明复数加法的运算律吗？
2.加法法则
结合律同理可得。
探究2：复数与复平面内以原点为起点的向量一一对应，而我们讨论过向量加法的几何意义，你能由此出发讨论复数加法的几何意义吗？
探究3：我们知道，实数的减法是加法的逆运算，类比实数减法的意义，你认为该如何定义复数的减法？
复数减法：若满足 的差。
实数减法：若满足则称为减去的差。
3.减法法则
即把满足
的复数叫做复数减去的差，记作
探究3：我们知道，实数的减法是加法的逆运算，类比实数减法的意义，你认为该如何定义复数的减法？
所以
小结：①与多项式的减法类似，②利用了待定系数法的思想。
即
3.减法法则
即把满足
的复数叫做复数减去的差，记作
所以
探究4：类比复数加法的几何意义，复数减法有怎样的几何意义？
小结：①复数的减法可以按照向量的减法进行。
②.
3.减法法则
例1：计算：
解：
4.例题巩固
小结：复数的加减运算无需特别记忆法则，类比多项式加减运算即可
例2：根据复数及其运算的几何意义，求复平面内的两点之间的距离.
综上 .
解：
4.例题巩固
小结：复平面上两点间的距离公式类似于平面上的两点距离公式，也可以转化为，反之亦然。
角度1(代数)：
4.例题巩固
当取得最大值
.
例3：若复数,求的最大值。
角度2(几何)：
4.例题巩固
例3：若复数,求的最大值。
角度2(几何)：
4.例题巩固
小结：借助复平面，通过数形结合解决复数问题
当共线时， 取得最大值
例3：若复数,求的最大值。
回顾本节课的学习过程，思考以下问题：
（1）复数加法、减法的运算法则及它们的几何意义是什么？（2）我们是如何研究复数的加法运算与减法运算的？
（3）学习了加法与减法，还有什么运算法则？该如何研究？
（1） .
复数的加减法可以按照向量的加减法进行。
（2）结合实数运算、多项式运算来分析复数代数意义下的运算法则；
通过类比向量的加减法来分析复数几何意义下的运算法则。
5.总结反思
复数加减
平面向量加减
复平面的点坐标运算
6.作业练习，迁移应用
设 , 则 在复平面内对应的点位于第____象限.
2. 复数 , 分别表示向量 与 , 则表示向量 的复数为____.
3. 完成教科书第77页练习1、2、4题；第80页习题7.2第1、2题。
4. 完成教科书第81页习题7.2第9题，并与同学交流。
5. 自学课本第81~82页“阅读思考：代数基本定理”,并思考其中的问题。
复数的四则运算（第二课时）
年 级：高一年级 学 科：数学（统编版）
主讲人：何 及 学 校：瑞安市塘下中学
问题1：我们已经学习了哪些复数运算法则？是如何研究的？
温故知新
（1） .
（2）结合实数运算、多项式运算来分析复数代数意义下的运算法则；
通过类比向量的加减法来分析复数几何意义下的运算法则。
探究1：结合复数系的引入，在保持运算律不变的情况下，该如何探究复数的乘法法则？
设两个任意复数 ,
则它们的积
1.乘法法则
类似多项式的乘法:
探究1：结合复数系的引入，在保持运算律不变的情况下，该如何探究复数的乘法法则？
设两个任意复数 ,
则它们的积
追问1：复数的乘法与多项式的乘法有哪些联系？
把复数中的实部和虚部看作常数，看作“变元”复数相当于一个“一次二项式”，复数相乘相当于两个“一次二项式”相乘，令后合并同类项后的结果。
1.乘法法则
追问2：复数的乘法是否满足交换律、结合律？乘法对加法满足分配律吗？
交换律：
结合律：
分配律：
1.乘法法则
求证: 分配律：
追问2：类比实数乘法运算律，复数的乘法有怎么样的运算律？
设,
求证: 分配律：
证明：
;
.
所以 .
1.乘法法则
例4 计算：
解：
.
注意：.
1.乘法法则
例5 计算：
（1）； （2）
解：
;
1.乘法法则
例5 计算：
（1）； （2）
解：
;
.
变式：若共轭复数，则是一个怎样的数？
设,所以,
,
所以是一个实数，且
解：
小结：实数系中的乘法公式在复数系中也有类似公式。
1.乘法法则
变式2：共轭复数还有哪些性质呢？设
（1）
（2），
（3）
探究2：类比实数的除法是乘法的逆运算，我们规定复数的除法是乘法的逆运算，请探究复数除法的法则。
2.除法法则
复数除法：若满足 为
即把满足
的复数叫做复数 除以的商，记作或
探究2：类比实数的除法是乘法的逆运算，我们规定复数的除法是乘法的逆运算，请探究复数除法的法则
所以
所以
即
2.除法法则
即把满足
的复数叫做复数 除以的商，记作或
思路2：
所以
小结：①除法写成分数形式
②分子与分母同时乘上分母的共轭复数
③分母“实数化”，化简结果
2.除法法则
探究2：类比实数的除法是乘法的逆运算，我们规定复数的除法是乘法的逆运算，请探究复数除法的法则
由于
例5(3).计算
解：
2.除法法则
小结：①除法写成分数形式
②分子与分母同时乘上分母的共轭复数
③分母“实数化”，化简结果
解：
（1）
（2）其中
分析：（1）移项得,在实数集范围内无解，
依据复数的乘法法则寻找合适的复数。
因为,
所以的根为.
小结：方程的根为.
2.除法法则
例6：在复数范围内解下列方程：
解：
分析:（2）一元二次方程,在实数集范围内无解，利用配方法转化为小题类型
将的二次项系数化为1，得
配方得
例6：在复数范围内解下列方程：
（1）
（2）其中
由 , 知 . 类似 (1), 可得
所以原方程的根为 .
2.除法法则
小结：例6解决了复数范围内的一元二次方程的问题.
（1）
（2）其中.
在复数范围内, 实系数一元二次方程 的求根公式为:
（1）当 时, ;
（2）当 时, .
补充：一元二次方程根可以超过两个吗？参考阅读81页“阅读与思考：代数基本定理”和91页“阅读与思考：1的次方根”。
例6：在复数范围内解下列方程：
2.除法法则
（1）
（2）其中.
例6：在复数范围内解下列方程：
2.除法法则
追问：在复数范围内，你能对进行因式分解吗？
思路1：由于是的两个根，
所以
思路2：由于
所以
小结：实数范围内无法因式分解分解的实系数多项式，复数范围内可以因式分解。
例7：已知是关于的方程的一个根，求实数的值。
2.除法法则
思路1：代入,从复数相等的定义求解。
解：
由，
化简得
于是有
解得
例7：已知是关于的方程的一个根，求实数的值。
2.除法法则
追问2：实系数一元多项式方程的两个虚根有没有特殊关系？
解：
思路2：能不能将方程因式分解？
由于是一个根，所以存在实数使
结合求根公式：对于
当 时, 或.
所以如果是该方程的根，也是方程的根。
例7：已知是关于的方程的一个根，求实数的值。
2.除法法则
解：
思路2（虚根的“成对”出现）
由于是实数，是方程的一个根，方程的根.
所以
化简得
解得
回顾本节课的学习过程，思考以下问题：
（1）复数的乘、除法法则的代数形式分别是什么？
（2）简述复数的乘、除法的大致思路与方法。
（3）根据复数的加法法则、乘法法则，你能说明实数系通过扩充后的新数集就是复数集吗？
除法
乘法
（1）
（2）
乘法法则可以类比多项式及其运算，除法法则可以结合“实数化”的方法
除法
3.总结反思
4.作业练习，迁移应用
课本第80页练习第2、3、4题。
2. 课本第81页练习第6、8、10题
3. 已知关于的方程的一个根，求实数的值。
4. 自学课本第81~82页“阅读思考：代数基本定理”，分别用求根公式和因式分解来求解。