7.1复数的概念知识梳理+同步练习（含答案） 2023-2024学年高一下学期人教A版（2019）数学必修第二册

7.1复数的概念
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
1. 定义：复数是由实部和虚部组成的数，形式为a+bi，其中a为实数部分，bi为虚数部分，i为虚数单位，满足i =-1。
2. 实部和虚部：在复数a+bi中，a称为实部，b称为虚部。
3. 共轭复数：设复数z=a+bi，其共轭复数记为z*，则z*的实部与z相同，虚部的符号相反，即z*=a-bi。
4. 模：复数z=a+bi的模定义为|z|=√(a +b )，它表示复数在复平面上的点到原点的距离。
5. 辐角：复数z=a+bi的辐角定义为复数与正实轴正半轴的夹角，记作arg(z)。辐角描述了复数在复平面上的角度位置。
6. 三角形式：复数z=a+bi可以写成三角形式r(cosθ+isinθ)，其中r为模，θ为辐角。这种表示形式在复数运算和分析中经常用到。
复数与实数、虚数的关系也是复数概念中的重要内容。实数、虚数都是复数的子集。当复数的虚部等于0时，复数就是实数；当复数的实部等于0且虚部不等于0时，复数就是纯虚数。复数是实数、虚数判定的充要条件。
此外，复数的运算法则也是复数概念中的一部分，包括复数的加法和减法、乘法和除法等。这些运算法则与实数的运算法则类似，但需要注意虚数单位的运算规则。
一、单选题
1．若复数在复平面内所对应的点位于第四象限，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．已知复数z满足，则（ ）
A．1 B． C． D．5
3．在下列命题中，正确命题的个数是
①两个复数不能比较大小；
②复数对应的点在第四象限；
③若是纯虚数，则实数；
④若，则.
A．0 B．1 C．2 D．3
4．给出下列三个命题：①的实部是－；②2i－1的虚部是2i；③2i的实部是0.其中真命题的个数为（ ）
A．0 B．1
C．2 D．3
5．若，则复数在复平面内所对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
6．若复数（其中，i为虚数单位），则实数a值为（ ）
A．0 B．1 C． D．
7．设,且,在复平面内,z对应点Z,则Z点的轨迹图形的面积为
A． B． C． D．
8．已知复数在复平面内对应的点在第四象限，则实数的取值范围是（ ）.
A． B．
C． D．
9．设复数（，是实数）满足，则的值为
A． B． C． D．
10．设，则在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
11．若复数，则在复平面上的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
12．设复数，则（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．已知复数满足，则在复平面内对应的点形成区域的面积为 ．
14．设复数为实数，则实数m的值是 ．
15．下列说法中正确的是 .（填序号）
①若，其中，，则必有；
②；
③若一个数是实数，则其虚部不存在；
④若，则在复平面内对应的点位于第一象限.
16．若复数是纯虚数，则实数m= .
17．已知复数z满足实部为，虚部为，则复数z在复平面上对应的点关于虚轴对称的点所对应的复数是 ．
三、解答题
18．已知复数.
（1）化简：；
（2）如果，求实数的值.
19．（1）在复平面上画出与以下复数，，，分别对应的点，，，．，，，．
（2）求向量，，，的模．
（3）点，，，中是否存在两个点关于实轴对称？若存在，则它们所对应的复数有什么关系？
20．在复平面内复数、所对应的点为、，为坐标原点，是虚数单位.
（1），，计算与；
（2）设，（），求证：，并指出向量、满足什么条件时该不等式取等号.
21．已知复数，其中.
(1)当时，表示实数；当时，表示纯虚数.求的值.
(2)复数的长度记作，求的最大值.
参考答案：
1．D
2．B
3．A
4．B
5．C
6．C
7．C
8．A
9．D
10．C
11．D
12．C
13．
14．3
15．④
16．2
17．＃＃
18．（1）；（2）.
19．（1）略；（2）1；1；5；5；（3）略
20．（1），；（2）当时.
21．(1)
(2)3