6.3平面向量基本定理及坐标表示知识梳理+同步练习（含答案） 2023-2024学年高一下学期人教A版（2019）数学必修第二册

6.3平面向量基本定理及坐标表示
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1. 平面向量基本定理：如果e1和e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1和λ2，使得a = λ1e1 + λ2e2。这里的e1和e2被称为表示这一平面内所有向量的一组基底。这个定理保证了向量与坐标之间的一一对应关系，而零向量和共线向量不能作为基底。
2. 向量的坐标运算：在平面直角坐标系中，向量可以用坐标表示。如果a = (x1, y1)，b = (x2, y2)，那么向量的加法和减法运算可以表示为a ± b = (x1 ± x2, y1 ± y2)。此外，如果a = (x1, y1)，λ是一个实数，那么λa = (λx1, λy1)。
3. 坐标表示的意义：坐标表示使得平面中的向量与它的坐标建立起了一一对应的关系。这为通过“数”的运算处理“形”的问题搭起了桥梁。在学习中，需要准确理解平面向量坐标表示的概念与意义，并能够灵活、熟练地进行平面向量坐标运算。
一、单选题
1．若向量 ，，，且，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知点A(-1，-5)，向量=(-1，0)，=(1，-1)，当=+时，点B的坐标为（ ）
A．(2，6) B．(-1，-6) C．(0，-1) D．(-4，5)
3．已知点，，向量，则向量（ ）
A． B． C． D．
4．已知向量，，命题，命题使得成立，则命题是命题的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．非充分非必要条件
5．如图，点，，，均在正方形网格的格点上.若，则（ ）
A．1 B． C． D．2
6．在中，，则（ ）
A． B． C． D．6
7．在中，已知，， ，于，为的中点，若 ，则，的值分别是（ ）
A．， B．， C．， D．，
8．已知向量 ， ，则在方向上的投影是（ ）
A． B． C． D．
9．如图所示，在中，，，若，，则（ ）
/
A． B． C． D．
10．已知向量，，则与的夹角为（）
A． B． C． D．
11．已知向量，则下列叙述中正确的是（　　）
A．存在实数，使
B．存在实数，使
C．存在实数，使
D．存在实数，使
12．已知向量，且，则（ ）
A． B． C．6 D．8
二、填空题
13．已知中，，D为的中点，则 .
14．如图，在中，，是线段的两个三等分点，，则 ．
15．已知，，若，则实数 .
16．已知向量，，且，则 .
17．已知在梯形中,,且A,B,D三点的坐标分别为,则顶点C的横坐标的取值范围是 .
三、解答题
18．已知向量，，
(1)求函数的单调递减区间；
(2)若，，求的值.
19．在如图的方格纸（每个小方格边长为1）上有A，B，C三点，已知向量以A为始点．
(1)试以B为始点画出向量，使，且，并求向量的坐标；
(2)在（1）的条件下，求．
20．已知中.
（1）设，求证：是等腰三角形；
（2）设向量，，且，若，求的值.
21．一船以8 km/h的速度向东航行，船上的人测得风自北方来；若船速加倍，则测得风自东北方向来，求风速的大小及方向．
22．设向量
(1)求与垂直的单位向量；
(2)若向量与向量的夹角为钝角，求实数t的取值范围.
参考答案：
1．C
2．B
3．A
4．A
5．B
6．B
7．B
8．C
9．B
10．B
11．D
12．C
13．
14．
15．
16．
17．
18．(1)函数的单调递减区间为，
(2)
19．(1)
(2)
20．（1）略；（2）.
21．风速的方向为西北，大小为.
22．(1)或
(2)