7.3复数的三角表示知识梳理+同步练习（含答案） 2023-2024学年高一下学期人教A版（2019）数学必修第二册

7.3复数的三角表示
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1. 复数与向量的关系：在复平面中，每一个复数都可以被视为一个向量，其起点为原点，终点为复数对应的点。因此，复数的三角表示与向量的三角表示密切相关。
2. 复数的三角形式：任何一个复数 \(z = a + bi\)（其中 \(a, b \in \mathbb{R}\)）都可以表示为 \(r(\cos\theta + i\sin\theta)\) 的形式，其中 \(r\) 是复数 \(z\) 的模（即向量 \(OZ\) 的长度），\(\theta\) 是以 \(x\) 轴的非负半轴为始边，向量 \(OZ\) 为终边的角（即向量 \(OZ\) 的辐角）。这里，\(r\) 和 \(\theta\) 被称为复数的极坐标。
3. 代数形式与三角形式的转换：给定一个复数的代数形式，可以通过计算其模和辐角来得到其三角形式。反之，给定一个复数的三角形式，可以通过提取模和辐角来得到其代数形式。
4. 复数乘法的几何意义：通过复数的三角形式，可以更好地理解复数乘法的几何意义。具体地说，两个复数相乘，等于它们的模相乘，辐角相加。
5. 应用：复数的三角形式在许多领域都有应用，包括物理学、工程学、信号处理等。特别是在交流电路和信号处理中，复数的三角形式被广泛用于描述振幅和相位的变化。
一、单选题
1．若复数z在复平面内对应的点位于第二象限，则（ ）
A．不可能为纯虚数
B．在复平面内对应的点可能位于第二象限
C．在复平面内对应的点一定位于第三象限
D．在复平面内对应的点可能位于第四象限
2．欧拉公式（为虚数单位，）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数之间的关系，它被誉为“数学中的天桥”，根据此公式可知，在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．将代数形式的复数改写成三角形式为（　　）
A． B．
C． D．
4．复数的一个幅角为（ ）
A． B． C． D．
5．复数的辐角主值为（ ）
A． B． C． D．
6．设复数的辐角的主值是，则的辐角的主值为（ ）
A． B．
C． D．
7．欧拉公式（其中为虚数单位，）是由瑞士著名数学家欧拉创立的，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位.依据欧拉公式，下列选项正确的是（ ）
A．为虚数 B．函数不是周期函数
C．若，则 D．的共轭复数是
8．复数在复平面内对应的点在
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
9．在复平面内，复数对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
10．已知复数在复平面内对应的点为，O为坐标原点．若，则的面积为（ ）
A．1 B． C．2 D．
11．复数的三角形式是（ ）
A． B．
C． D．
12．若（为虚数单位），则是的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
二、填空题
13．已知复数满足，且，则的三角形式为 ．
14．复数(12+5i)2(239﹣i)的辐角主值是 .
15．复数的三角形式为 ．
16．若复数为虚数单位），则 ．
17．求复数的辐角的主值为 .
三、解答题
18．已知，且，试用多种解法求解．
19．画出下列复数对应的向量，并把这些复数表示成三角形式：
(1)；
(2)；
(3)；
(4).
20．求证：.
21．如图，向量与复数对应，把按逆时针方向旋转120°，得到．求向量对应的复数（用代数形式表示）．
参考答案：
1．D
2．B
3．D
4．B
5．A
6．D
7．D
8．B
9．B
10．A
11．D
12．A
13．
14．
15．
16．
17．
18．
19．(1)
(2)
(3)
(4)
20．略
21．