数学人教A版（2019）必修第二册8.3.1棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积 课件（共24张ppt）

(共24张PPT)
8.3.1棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积
1.几何体的展开图与其表面积的关系
在初中已经学过了正方体和长方体的表面积，你知道正方体和长方体的展开图与其表面积的关系吗？
几何体表面积
展开图
平面图形面积
空间问题
平面问题
棱柱,棱锥,棱台的表面积
一般地,多面体的表面积就是各个面的面积之和
棱柱
棱锥
棱台
棱柱的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？
h
棱柱的展开图：
棱锥的展开图
棱台的展开图
侧面展开
h'
h'
它们的侧面展开图还是平面图形，计算它们的表面积就是计算它的各个侧面面积和底面面积之和．
h
h
在本节中我们会涉及到常用平面多边形面积，你能熟练地计算它们的面积吗
矩形
正方形
三角形
┐
┐
┐
平行四边形
正六边形
例题讲解
例1. 已知棱长为a，各面均为等边三角形的四面体S-ABC，求它的表面积 ．
D
B
C
A
S
分析：四面体的展开图是由四个全等的正三角形组成．
因为BC=a，
所以：
因此，四面体S-ABC 的表面积为 ．
交BC于点D．
解：先求 的面积，过点S作 ，
新知探究
问题1：同一摞白纸，当改变摆放白纸的形状时（如图所示），这摞白纸的总体积是否会改变？
新知探究
祖暅原理：幂势既同，则积不容异。怎么理解这句话呢？
祖暅
中国南北朝时期算学家、天文学家，祖冲之之子。他运用祖暅原理和由他创造的开立圆术，发展了他父亲的研究成果，巧妙地证得球的体积公式。他求得这一公式比意大利数学家卡瓦列利（Bonaventura Cavalieri，1589年—1647年）至少要早1100年。
夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.
问题1：正方体、长方体都是一种特殊的棱柱，从棱柱的底和高的角度来看，以上体积公式可以怎样写，由此你能猜想出一般棱柱的体积公式吗
新知探究
柱体的体积公式V柱体＝Sh
S
S
S
S
h
问题2：四棱柱的体积解决了，那圆柱、五棱柱....任意棱柱的体积该怎么求？
棱柱的体积
一般地，如果棱柱的底面面积为S，高为h，那么这个棱柱的体积
说明：
(1)棱柱的高是指两底面之间的距离，即从上底面上任意一点向下底面作垂线，这点与垂足(垂线与底面的交点)之间的距离.
(2)对直棱柱而言，由于侧棱垂直于底面，因此直棱柱的侧棱长即为直棱柱的高.
新知探究
问题3：等底等高锥体的体积有什么关系呢？
新知探究
问题4：等底等高的锥体和柱体体积有什么关系呢？
A
B
C
A’
B’
C’
A
B
C
A’
B’
C’
C
A’
B’
A
B
A’
C
1
2
3
如果一个棱柱和一个棱锥的底面积相等，高也相等，那么，棱柱的体积是棱锥的体积的3倍．
一般地，如果棱锥的底面面积为S，高为h，那么这个棱锥的体积为
由于棱台是由棱锥截成的，因此可以利用两个棱锥的体积差，得到棱台的体积公式.
棱锥的高是指从顶点向底面作垂线，顶点与垂足之间的距离.
棱台的高是指两底面之间的距离，即从上底面上任意一点向下底面作垂线，这点与垂足之间的距离.
一般地，如果棱台的上底面面积为S′，下底面面积为S，高为h，那么这个棱台的体积为
返回
台体
柱锥台体积关系
思考：棱柱、棱锥、棱台的体积公式之间有什么关系？你用棱柱、棱锥、棱台的结构特征来解释这种关系吗？
返回
例题讲解
例2.如图，一个漏斗的上面部分是一个长方体，下面部分是一个四棱锥，两部分的高都是0.5 m，公共面ABCD是边长为1 m的正方形，那么这个漏斗的容积是多少立方米？(精确到0.01m3)
思考: 你能画出这个几何体的直观图吗？其容体该如何求呢？
由于这个几何体由一个长方体和一个四棱锥组合而成，因此其容积为长方体和四棱锥的体积之和.
解：
由题意得
即这个漏斗的容积约为0.67m3.
例题讲解
例3.如图，正四棱台ABCD-A1B1C1D1的上底面边长为10，下底面边长为20，侧面的高(斜高)为13. 求：(1)四棱台表面积; (2)四棱台的体积.
思考1: 一般地，正棱锥、正棱台侧面的高称为它们斜高(一般用h′表示)，你能作出此正四棱台的一条斜高吗？
注: 空间几何体中的辅助线，看得见的画成实线，被遮住的画成虚线。
（1）1280 （2）2800
思考2: 你能作出此正四棱台的一条高吗？如何计算？
课堂练习
1. 正六棱台的上，下底面边长分别是2cm和6cm，侧棱长是5cm，求它的表面积.
解：
如图，棱台ABCDEF-A′B′B′C′D′E′F′为正六棱台，且
AB=6cm，A′B′=2cm，AA′=5cm.
过A′作A′H AB于H，则
∴此棱台的表面积为
2. 如图是一个表面被涂上红色的棱长是4cm的立方体，将其适当
分割成棱长为1cm的小立方体.
(1) 共得到多少个棱长为1cm的小立方体？
(2) 三面是红色的小立方体有多少个 它们的表面积之和是多少
(3) 两面是红色的小立方体有多少个 它们的表面积之和是多少
(4) 一面是红色的小立方体有多少个 它们的表面积之和是多少
(5) 六面均没有颜色的小立方体有多少个 它们的表面积之和是多
少 它们占有多少立方厘米的空间
解：
(1) 共有64个
(2) 有8个,
它们的表面积之和是48cm2.
(3) 有24个,
它们的表面积之和是144cm2.
(4) 有24个,
它们的表面积之和是144cm2.
(5) 六面均没有颜色的小立方体有8个,
它们的表面积之和是32cm2，
它们占有的空间是8cm3.
3. 某广场设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截
去八个一样的四面体得到的. 如果被截正方体的棱长是50cm，
那么石凳的体积是多少m3？
解：
如图所示，正方体ABCD-A′B′B′C′D′的棱长AB=50cm=0.5m, 则
AE=AF=AG=0.25m
∴ 这个石凳的体积为
延伸结论
4. 求证：直三棱柱的任意两个侧面的面积和大于第三个侧面
的面积.
解：
如图示，直三棱柱ABC-A′B′C′中，设底面ABC 的三边分别为a,b,c，棱柱的高为h，则有
A
C
B
A′
C′
B′
a
h
c
b
∴直三棱柱的任意两个侧面的面积和大于第三个侧面的面积.