(共21张PPT)
第八章 一元二次方程
一元二次方程的定义
8.1.1
1
【点拨】
根据一元二次方程的定义，可知选项A是一元二次方程；选项B含有两个未知数，不是一元二次方程；选项C的左边不是整式，不是一元二次方程；选项D未知数的最高次数是3，不是一元二次方程．
【点方法】
【答案】A
判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．
. . .
.
写出一个关于x的一元二次方程，此方程可以为_____________________．
x2－1＝0(答案不唯一)
2
【2023·临沂兰山区月考】一元二次方程3x＋7＝x(x－1)化为一般形式为( )
A．x2－4x－7＝0 B．x2－2x－7＝0
C．x2－4x＋7＝0 D．x2－2x＋7＝0
3
【点拨】
【答案】A
∵3x＋7＝x(x－1)，∴3x＋7＝x2－x，∴x2－x－3x－7＝0，∴x2－4x－7＝0，即一元二次方程3x＋7＝x(x－1)化为一般形式为x2－4x－7＝0.
【母题：教材P52随堂练习T2】一元二次方程x2＋2x＝1的二次项系数、一次项系数与常数项的和等于________．
4
2
【点拨】
将原方程化为一般形式为x2＋2x－1＝0，∴二次项系数、一次项系数与常数项分别为1，2，－1， ∴1＋2－1＝2.
5
【点拨】
【答案】D
关于x的一元二次方程2x2＋(m＋1)x－1＝x(x－1)的一次项系数是3，则m＝________．
6
1
【点拨】
确定一元二次方程的各项系数时，必须先将方程化成一般形式，习惯上把二次项系数化为正数．
【点易错】
此题易出现把m＋1看成一次项系数的错误．
关于x的方程(m－2)xm2－2＋x＋1＝0是一元二次方程，则m的值是( )
A．±2 B．2
C．－2 D．0
7
【点拨】
【答案】C
∵关于x的方程(m－2)xm2－2＋x＋1＝0是一元二次方程，∴m－2≠0且m2－2＝2，解得m＝－2.
若关于x的一元二次方程(a－1)x2＋3x＋(a－1)(a－2)＝0的常数项为0，则a的值等于( )
A．1 B．2
C．1或2 D．0
8
【点拨】
【答案】B
一元二次方程a(x2＋1)＋b(x＋2)＋c＝0化为一般形式后为6x2＋10x－1＝0，求以a，b为两条对角线长的菱形的面积．
9
10
你认为上述两名同学的解法是否正确？为什么？如果都不正确，请给出正确的解法．(共19张PPT)
第八章 一元二次方程
直接开平方法
8.2.1
【2023·临沂兰山区月考】方程x2－4＝0的两个根是( )
A．x1＝2，x2＝－2 B．x＝－2
C．x＝2 D．x1＝2，x2＝0
1
【点拨】
【答案】A
移项，得x2＝4，两边直接开平方，得x＝±2，即x1＝2，x2＝－2.
用直接开平方法解下列一元二次方程，其中无实数解的方程为( )
A．x2－1＝0 B．x2＝0
C．x2＋4＝0 D．－x2＋5＝0
2
【点拨】
【答案】C
x2＋4＝0，x2＝－4，∵任何数的平方都是非负数，∴方程x2＋4＝0无实数解．
一元二次方程(x＋6)2＝16可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是x＋6＝4，则另一个一元一次方程是( )
A．x－6＝4
B．x－6＝－4
C．x＋6＝0
D．x＋6＝－4
3
D
【2023·枣庄薛城区期末】方程(x＋1)2＝4的解为( )
A．x1＝1，x2＝－3
B．x1＝－1，x2＝3
C．x1＝2，x2＝－2
D．x1＝1，x2＝－1
4
A
5
【点拨】
【答案】D
6
【点拨】
【答案】D
【2023·青岛市南区月考】已知一元二次方程a(x＋ m)2＋n＝0(a≠0)的两根分别为－3，1，则方程a(x＋ m－2)2＋n＝0(a≠0)的两根分别为( )
A．1，5 B．－1，3
C．－3，1 D．－1，5
7
【点拨】
∵一元二次方程a(x＋m)2＋n＝0(a≠0)的两根分别为－3，1，∴方程a(x＋m－2)2＋n＝0(a≠0)中x－2＝－3或 x－2＝1，解得x＝－1或3，即方程a(x＋m－2)2＋n＝0(a≠0)的两根分别为－1，3.
【点技巧】
【答案】B
解答此类题的方法：利用整体思想，把代数式x－2看成一个整体，它就等于原方程的两个根，从而可求出所求方程的根．
. . . .
关于x的方程(2x＋5)2＝m＋1无实数解，则m的取值范围为________．
8
m＜－1
【点拨】
∵关于x的方程(2x＋5)2＝m＋1无实数解，
∴m＋1＜0，解得m＜－1.
解方程：
(1)【2023·菏泽牡丹区期末】4(1－x)2－9＝0；
9
(2)(2x＋3)2＝(3x＋2)2；
(3)【母题：教材P56例1】y2－2y＋1＝4.
【解】开方得2x＋3＝3x＋2或2x＋3＝－3x－2，
解得x1＝1，x2＝－1；
方程变形得(y－1)2＝4，开方得y－1＝±2，
解得y1＝3，y2＝－1.
10
【点拨】
【答案】B
形如ax2＝b(ab>0)的方程的两根互为相反数，互为相反数的两个数和为0.(共30张PPT)
第八章 一元二次方程
用配方法解一元二次方程
8.2.2
【2023·新疆】用配方法解一元二次方程x2－6x＋8＝0，配方后得到的方程是( )
A．(x＋6)2＝28 B．(x－6)2＝28
C．(x＋3)2＝1 D．(x－3)2＝1
1
D
解方程：x2－2x－5＝0.
2
【母题：教材P59例3】用配方法解方程2x2－12x＝5时，先把二次项系数化为1，然后方程的两边都应加上( )
A．4 B．9 C．25 D．36
3
B
4
【点拨】
【答案】C
【2023·济南天桥区月考】解方程：
2x2－4x－1＝0.
5
把方程x2－4x－7＝0化成(x－m)2＝n的形式，下列变形正确的是( )
A．(x－2)2＝3 B．(x－2)2＝11
C．(x－4)2＝11 D．(x－2)2＝7
6
【点拨】
【答案】B
由x2－4x－7＝0得x2－4x＝7，方程两边同时加4，得x2－4x＋4＝7＋4，∴(x－2)2＝11.
【2023·东营垦利区期中】已知x2－kxy＋64y2是完全平方式，则k的值是( )
A．16 B．±16
C．±8 D．8
7
【点易错】
【答案】B
∵形如a2±2ab ＋b2的式子是完全平方式，∴求±2ab项的系数中所含字母时有两种情况．
8
【点拨】
【答案】B
将一元二次方程x2－8x－5＝0化成(x＋a)2＝b(a，b 为常数)的形式，则ab＝________．
9
－84
【点拨】
∵x2－8x－5＝0，∴x2－8x＝5，
∴x2－8x＋16＝5＋16，即(x－4)2＝21，
∴a＝－4，b＝21，
∴ab＝－84.
如果方程x2＋4x＋n＝0可以配方成(x＋m)2＝3，那么(n－m)2 024＝________．
1
10
【点拨】
∵x2＋4x＋n＝0，∴x2＋4x＝－n，
∴x2＋4x＋4＝4－n，即(x＋2)2＝4－n，
∴m＝2，4－n＝3，
∴n＝1，则(n－m)2 024＝(1－2)2 024＝1.
当x＝________时，x2－2x＋3取得最小值．
1
11
【点拨】
∵x2－2x＋3＝x2－2x＋1－1＋3＝(x－1)2＋2，
∴当x＝1时，x2－2x＋3取得最小值．
用配方法解方程：x(x－6)＝6.
12
下面是小明解一元二次方程2x2＋4x－8＝0的过程，请认真阅读并完成相应的任务．
解：二次项系数化为1，得x2＋2x－4＝0…第一步
移项，得x2＋2x＝4…第二步
配方，得x2＋2x＋4＝4＋4，即(x＋2)2＝8…第三步
13
(1)小明的解题过程中，从第________步开始出现错误．
(2)请给出正确的解题过程．
三
14
【点拨】
阅读下列材料：
利用完全平方公式，可以将多项式ax2＋bx＋c(a≠0)变形为a(x＋m)2＋n的形式，我们把这样的式子变形叫做多项式ax2＋bx＋c(a≠0)的配方．
运用多项式的配方及平方差公式能对一些多项式进行因式分解．例如：
15
根据以上材料，解答下列问题：
(1)用多项式的配方将x2＋8x－1变形为(x＋m)2＋n的形式.
【解】x2＋8x－1＝x2＋8x＋42－42－1＝(x＋4)2－17；
(2)下面是某名同学用多项式的配方及平方差公式把多项式x2－3x－40进行因式分解的解答过程：
x2－3x－40
＝x2－3x＋32－32－40
＝(x－3)2－49
＝(x－3＋7)(x－3－7)
＝(x＋4)(x－10)．
老师说，这名同学的解答过程中有错误，请你找出该同学解答中开始出现错误的地方，然后再写出完整的、正确的解答过程．
(3)求证：x，y取任何实数时，多项式x2＋y2－2x－4y＋16的值总为正数．
【证明】x2＋y2－2x－4y＋16
＝x2－2x＋1＋y2－4y＋4＋11＝(x－1)2＋(y－2)2＋11，
∵(x－1)2≥0，(y－2)2≥0，∴(x－1)2＋(y－2)2＋11＞0，
∴x，y取任何实数时，多项式x2＋y2－2x－4y＋16的值
总为正数．(共29张PPT)
第八章 一元二次方程
用公式法解一元二次方程
8.3.1
1
D
下列方程，最适合用公式法求解的是( )
A．(x－1)2＝4 B．2x2＝8
C．x2－x－1＝0 D．2(x＋1)2－20＝0
2
【点拨】
【答案】C
选项A，B，D最适合用直接开平方法求解，只有选项C最适合用公式法求解，故选C.
3
【点拨】
【答案】D
【2023·德州德城区期末】用公式法解方程2x2－1＝0，其中b2－4ac＝________．
4
8
【点拨】
∵a＝2，b＝0，c＝－1，
∴b2－4ac＝02－4×2×(－1)＝8.
解方程：
(1)【2023·青岛崂山区期末】x2－5x＋3＝0；
5
(2)【2023·无锡】2x2＋x－2＝0.
6
【点易错】
一元二次方程(x＋1)(x－3)＝2x－5的根的情况是( )
A．无实数根
B．有一个正根，一个负根
C．有两个正根，且都小于3
D．有两个正根，且有一根大于3
7
【点拨】
【答案】D
8
【点拨】
【答案】D
【新情境题】小明设计了一个魔术盒，将任意实数对(a，b)放入其中，会得到一个新的实数a2－2b＋3，若将实数对(x，－3x)放入其中，得到一个新数为5，则 x＝________．
9
【点拨】
将图①的正方形纸片剪成四块，恰好拼成图②的矩形.
若x＝1，则y等于________．
10
【点拨】
解方程：
(1)【2023·青岛市北区期末】x2－4＝－2x；
11
(2)2x(x－2)＝1.
12
(1)求a，b的值．
13
如图，某小区居委会打算把一块长20 m，宽8 m的长方形空地修建成一个花圃，供居民休闲散步，若三面修成宽度相等的花砖路，中间花圃的面积是126 m2.请计算花砖路的宽度．
14
【解】设花砖路的宽度为x m，则中间花圃的长为(20－2x)m，宽为(8－x)m.由题意得(20－2x)(8－x)＝126，整理得x2－18x＋17＝0，解得x1＝1，x2＝17(不合题意，舍去).
答：花砖路的宽度为1 m.(共35张PPT)
第八章 一元二次方程
根的判别式
8.3.2
1
【点拨】
【答案】C
【2023·吉林改编】一元二次方程x2－5x＋2＝0根的判别式的值是________．
17
2
【点拨】
根据方程可知a＝1，b＝－5，c＝2，
∴Δ＝b2－4ac＝(－5)2－4×1×2＝25－8＝17.
【2023·滨州】一元二次方程x2＋3x－2＝0的根的情况为( )
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．不能确定
3
【点拨】
【答案】A
由题意得Δ＝32－4×1×(－2)＝17＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
若关于x的一元二次方程x2＋6x＋c＝0有两个相等的实数根，则c的值是( )
A．36 B．9
C．6 D．－9
4
【点拨】
【答案】B
∵关于x的一元二次方程x2＋6x＋c＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝62－4c＝0，解得c＝9.
【2023·长春】若关于x的方程x2－2x＋m＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是________．
5
m＜1
【点拨】
∵关于x的方程x2－2x＋m＝0有两个不相等的实数根，∴Δ＝(－2)2－4m＞0，解得m＜1.
【2022·东营】关于x的一元二次方程(k－1)x2－2x＋ 1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是___________．
6
k＜2且k≠1
【点拨】
根据题意得k－1≠0且Δ＝(－2)2－4×(k－1)＞0，解得k＜2且k≠1.
【点易错】
7
【点拨】
【答案】C
【新定义题】对于实数a，b定义运算“ ”为a b＝b2－ab，例如3 2＝22－3×2＝－2，则 关于x的方程(k－3) x＝k－1的根的情况，下列说法正确的是( )
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．无实数根
D．无法确定
8
【点拨】
【答案】A
∵(k－3) x＝k－1，∴x2－(k－3)x＝k－1，∴x2－ (k－3)x－k＋1＝0，∴Δ＝[－(k－3)]2－4×1×(－k＋1)＝(k－1)2＋4＞0，∴关于x的方程(k－3) x＝k－1有两个不相等的实数根．
【2023·菏泽牡丹区期末】若关于x的一元二次方程(k－5)x2－2x＋2＝0有实数根，则整数k的最大值为( )
A．4 B．5
C．6 D．7
9
【点拨】
【点方法】
【答案】A
当一元二次方程有两个实根时，Δ≥0.
10
【点拨】
【母题：教材P67随堂练习T2】已知方程□x2－4x＋2＝0，在□中添加一个合适的数字，使该方程有两个不相等的实数根，则添加的数字可以是_____________．
(填写一个符合要求的数字即可)
1(答案不唯一)
11
【点拨】
∵方程□x2－4x＋2＝0有两个不相等的实数根， ∴Δ＝b2－4ac＝(－4)2－8×□＞0，且□≠0，解得□＜2，且□≠0.故添加的数字可以是1.
已知T＝(a＋3b)2＋(2a＋3b)(2a－3b)＋a2.
(1)化简T；
【解】T＝(a＋3b)2＋(2a＋3b)(2a－3b)＋a2
＝a2＋6ab＋9b2＋4a2－9b2＋a2
＝6a2＋6ab；
12
(2)若关于x的方程x2＋2ax－ab＋1＝0有两个相等的实数根，求T的值．
【解】∵关于x的方程x2＋2ax－ab＋1＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝(2a)2－4(－ab＋1)＝0，∴a2＋ab＝1，∴T＝6a2＋6ab＝6(a2＋ab)＝6×1＝6.
【新考向】【2023·杭州】设一元二次方程x2＋bx＋c＝0.在下面的四组条件中选择其中一组b，c的值，使这个方程有两个不相等的实数根，并解这个方程．
①b＝2，c＝1；②b＝3，c＝1；③b＝3，c＝－1； ④b＝2，c＝2.
13
已知关于x的一元二次方程mx2－(3m＋2) x＋6＝0.
(1)求证：方程总有两个实数根．
【证明】∵mx2－ (3m＋2)x＋6＝0是关于x的一元二次方程，∴m≠0，Δ＝[－ (3m＋2)]2－4m×6＝9m2＋12m＋4－24m＝9m2－12m＋4＝(3m－2)2≥0，∴此方程总有两个实数根．
14
(2)如果方程的两个实数根都是整数，求正整数m的值.
15
探讨关于x的一元二次方程ax2＋bx－1＝0总有实数根的条件，下面三名同学给出建议：甲：a－b－1＝0；乙：a，b同号；丙：a＋b－1＝0.下列说法正确的是( )
A．甲，乙，丙都正确
B．只有乙不正确
C．甲，乙，丙都不正确
D．只有甲正确
16
【点拨】
【答案】B
Δ＝b2＋4a，若a－b－1＝0，即a＝b＋1，所以Δ＝ b2＋4(b＋1)＝(b＋2)2≥0，方程总有实数根，所以甲的条件满足方程总有实数根；若a，b同号，假设a＝－1，b＝－1，此时Δ＝1－4＝－3＜0，方程没有实数根，所以乙的条件不满足方程总有实数根；若a＋b－1＝0，即a＝－b＋1，所以Δ＝b2＋4(－b＋1)＝(b－2)2≥0，方程总有实数根，所以丙的条件满足方程总有实数根．
【2023·遂宁】我们规定：对于任意实数a，b，c，d，有[a，b]*[c，d]＝ac－bd，其中等式右边是通常的乘法和减法运算，如：[3，2]*[5，1]＝3×5－2×1＝13.
(1)求[－4，3]*[2，－6]的值．
【解】[－4，3]*[2，－6]＝－4×2－3×(－6)＝10；
17
(2)已知关于x的方程[x，2x－1]*[mx＋1，m]＝0有两个实数根，求m的取值范围．(共30张PPT)
第八章 一元二次方程
用因式分解法解一元二次方程
8.4
【2023·泰安泰山区期末】下列一元二次方程最适合用因式分解法来解的是( )
A．(x－2)(x＋5)＝1 B．3(x－2)2＝x2－4
C．x2－3x＋1＝0 D．9(x－1)2＝5
1
【点拨】
【点技巧】
【答案】B
用因式分解法解一元二次方程，应先把方程的右边变为0.
. . . . . .
. . . . .
方程x(x＋2)＝0的根是( )
A．x＝2 B．x＝0
C．x1＝0，x2＝－2 D．x1＝0，x2＝2
2
【点拨】
【答案】C
x(x＋2)＝0 x＝0或x＋2＝0，解得x1＝0，x2＝－2.
【2022·临沂】方程x2－2x－24＝0的根是( )
A．x1＝6，x2＝4 B．x1＝6，x2＝－4
C．x1＝－6，x2＝4 D．x1＝－6，x2＝－4
3
【点拨】
【答案】B
x2－2x－24＝0，(x－6)(x＋4)＝0，x－6＝0或x＋4＝0，解得x1＝6，x2＝－4.
解下列方程：①3x2－27＝0；②x2－3x－1＝0；③(x＋2)(x＋4)＝x＋2；④2(3x－1)2＝3x－1.较简便的方法是( )
A．依次为直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法
B．依次为因式分解法，公式法，配方法，直接开平方法
C．①用直接开平方法，②③用公式法，④用因式分解法
D．①用直接开平方法，②用公式法，③④用因式分解法
4
【点拨】
【答案】D
①3x2－27＝0适合用直接开平方法；②x2－3x－1＝0适合用公式法；③(x＋2)(x＋4)＝x＋2适合用因式分解法；④2(3x－1)2＝3x－1适合用因式分解法．
小红解方程(x－2)2＝2－x，只得到一个根为x＝1，其错误原因是_____________________________________，漏掉的根是____________．
5
方程两边直接除以(x－2)，未考虑x－2＝0
x＝2
【点拨】
用因式分解法解一元二次方程时，不能随意在方程两边约去含未知数的代数式，如(x－2)2＝2－x，若约去 x－2，则会导致漏掉x＝2这个根．
【点易错】
方程两边不能除以含有未知数的代数式，否则就会丢根．
. . . . . . . . . . . . . . . . .
解方程(5x－1)2＝3(5x－1)的适当方法是( )
A．开平方法 B．配方法
C．公式法 D．因式分解法
6
D
【新考法】老师设计了一个接力游戏，用合作的方式解一元二次方程，规则是：每人只能看到前一人计算的结果，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后得到方程的解．部分过程如图所示，接力中，谁负责的一步开始出现错误？( )
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
7
【点拨】
【答案】A
甲在解方程时，给方程两边同时除以(2x－1)，导致少了一个解，所以从甲开始就错了．
三角形两边长分别为2和4，第三边长是方程x2－6x＋ 5＝0的解，则这个三角形的周长是( )
A．1 B．7或11
C．11 D．7
8
【点拨】
【答案】C
由x2－6x＋5＝0，得x＝1或x＝5，当第三边长为1时，∵1＋2＝3<4，∴不能构成三角形；当第三边长为5时，∵4＋2＞5，∴能构成三角形，∴这个三角形的周长为2＋4＋5＝11.
【2023·滨州滨城区期末】一元二次方程x2＝x的解是____________．
9
x1＝0，x2＝1
【2023·菏泽牡丹区三模】已知方程2x2＋bx＋c＝0的两根为2和－2，分解因式2x2＋bx＋c＝_____________.
2(x＋2)(x－2)
10
【点拨】
∵方程2x2＋bx＋c＝0的两根为2和－2，
∴2x2＋bx＋c＝2(x＋2)(x－2)．
【新考向】规定：在实数范围内定义一种运算“◎”，其规则为a◎b＝a(a＋b)，方程(x－2)◎7＝0的根为______________．
x1＝2，x2＝－5
11
【点拨】
由题意得(x－2)(x－2＋7)＝0，即(x－2)(x＋5)＝0，则x－2＝0或x＋5＝0，解得x1＝2，x2＝－5.
用因式分解法解方程：
(1)x(x－2)＋x－2＝0；
(2)【2023·齐齐哈尔】x2－3x＋2＝0.
【解】x(x－2)＋x－2＝0，(x－2)(x＋1)＝0，x－2＝0
或x＋1＝0，∴x1＝2，x2＝－1.
12
∵x2－3x＋2＝0，∴(x－1)(x－2)＝0，
∴x－1＝0或x－2＝0，∴x1＝1，x2＝2.
【2023·青岛市北区期末】选取适当的方法解方程：
(1)4x2－8x－1＝0；
13
(2)2(x－1)2＝3x－3.
【2023·山东东营调研】阅读下面的例题．
解方程：x2－|x|－2＝0.
解：①当x≥0时，原方程化为x2－x－2＝0，解得x＝2或－1(不合题意，舍去)．
②当x<0时，原方程化为x2＋x－2＝0，解得x＝－2或1(不合题意，舍去)．
∴原方程的解是x＝2或－2.
请参照上述方法解方程x2－|x－1|－1＝0.
14
【解】当x≥1时，原方程化为x2－(x－1)－1 ＝0，即x2－ x＝0，解得x1＝0(不合题意，舍去)，x2＝1.当x＜1时，原方程化为x2＋(x－1)－1 ＝0，即x2＋x－2 ＝0，解得x1＝－2，x2＝1(不合题意，舍去)．∴原方程的解是x1＝－2，x2＝1.
15
16
以上方法就叫换元法，达到简化或降次的目的，体现了转化的思想．
请仿照材料解下列方程：(1)x4－x2－6＝0；
(2)(x2－2x)2－5x2＋10x－6＝0.(共29张PPT)
第八章 一元二次方程
一元二次方程的根与系数的关系
8.5
1
【点拨】
【答案】A
∵x1，x2是方程x2－6x－7＝0的两个根，
∴x1＋x2＝6，x1x2＝－7.
【2023·德州禹城期末】若x1，x2是方程x2－3x＝0的两个实数根，下列结论错误的是( )
A．x1≠x2 B．x1·x2＝3
C．x1＋x2＝3 D．x12－3x1＝0
2
【点拨】
【答案】B
∵Δ＝(－3)2－4×1×0＝9＞0，∴关于x的一元二次方程x2－3x＝0有两个不相等的实数根，∴x1≠x2，A正确；∵x1，x2是一元二次方程x2－3x＝0的两个实数根，∴x12－3x1＝0，x1·x2＝0，x1＋x2＝3，则C，D正确，B错误．
【2023·衡阳】已知关于x的方程x2＋mx－20＝0的一个根是－4，则它的另一个根是________．
3
5
【点拨】
设方程的另一个根是t，根据根与系数的关系得－4t＝－20，解得t＝5，即方程的另一个根是5.
【2023·岳阳】已知关于x的一元二次方程x2＋2mx＋m2－m＋2＝0有两个不相等的实数根x1，x2，且x1＋ x2＋x1·x2＝2，则实数m＝________．
4
3
【点拨】
∵原方程有两个不相等的实数根，∴Δ＝(2m)2－4×1×(m2－m＋2)＞0，∴m＞2.∵x1，x2是关于x的一元二次方程x2＋2mx＋m2－m＋2＝0的两个实数根，∴x1＋x2＝－2m，x1·x2＝m2－m＋2，∵x1＋x2＋x1·x2＝2，∴－2m＋m2－m＋2＝2，解得m1＝0(不符合题意，舍去)，m2＝3，∴实数m的值为3.
设x1，x2是方程x2＋2x－3＝0的两个实数根，求x12＋x22的值．
5
【解】∵x1，x2是方程x2＋2x－3＝0的两个实数根，∴x1＋x2＝－2，x1·x2＝－3，∴x12＋x22＝(x1＋x2)2－2x1x2＝(－2)2－2×(－3)＝10.
下列方程两根之和是－2的是( )
A．x2＋2x＋3＝0 B．x2－2x－3＝0
C．x2＋2x－3＝0 D．x2－2x＋3＝0
6
【点易错】
【答案】C
利用根与系数的关系时，往往会犯单纯满足根与系数的关系式，而不考虑Δ≥0的错误．
. . . . . .
【2023·德州期末】已知α，β是一元二次方程x2－5x－2＝0的两个不相等的实数根，则α＋β＋αβ的值为( )
A．－1 B．5
C．3 D．－2
7
【点拨】
【答案】C
根据根与系数的关系得α＋β＝5，αβ＝－2，所以α＋β＋αβ＝5－2＝3.
8
【点拨】
【答案】C
【2023·临沂兰山区月考】若x1＋x2＝3，x12＋x22＝5，则以x1，x2为根的一元二次方程是( )
A．x2－3x＋2＝0 B．x2＋3x－2＝0
C．x2＋3x＋2＝0 D．x2－3x－2＝0
9
【点拨】
【答案】A
∵x12＋x22＝5，∴(x1＋x2)2－2x1x2＝5，而x1＋x2＝3，∴9－2x1x2＝5，∴x1x2＝2，∴以x1，x2为根的一元二次方程为x2－3x＋2＝0.
10
【点拨】
11
已知关于x的一元二次方程x2＋(2k＋1)x＋k2＋1＝0有两个不相等的实数根x1，x2.
(1)求k的取值范围．
12
(2)若x1x2＝5，求k的值．
【2023·湖北】已知关于x的一元二次方程x2－(2m＋ 1)x＋m2＋m＝0.
(1)求证：无论m取何值时，方程都有两个不相等的实数根.
【证明】∵Δ＝[－(2m＋1)]2－4(m2＋m)＝4m2＋4m＋1－4m2－4m＝1＞0，∴无论m取何值时，方程都有两个不相等的实数根．
13
(2)设该方程的两个实数根为a，b，若(2a＋b)·(a＋2b)＝20，求m的值．
【解】∵该方程的两个实数根为a，b，∴a＋b＝2m＋1，ab＝m2＋m，∵(2a＋b)(a＋2b)＝2a2＋4ab＋ab＋2b2＝2(a2＋2ab＋b2)＋ab＝2(a＋b)2＋ab＝20，∴2(2m＋1)2＋m2＋m＝20，整理得m2＋m－2＝0，解得m1＝－2， m2＝1，∴m的值为－2或1.
设x1，x2是关于x的方程x2－4x＋k＋1＝0的两个实数根，是否存在实数k，使得x1x2＞x1＋x2成立？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．
【解】不存在．理由：由题意得Δ＝16－4(k＋1)≥0，解得k≤3.∵x1，x2是关于x的方程x2－4x＋k＋1＝0的两个实数根，∴x1＋x2＝4，x1x2＝k＋1.∵x1x2＞x1＋x2，∴k＋1＞4，∴k＞3，∴不存在实数k使得x1x2＞x1＋x2成立．
14
(1)求证：此方程有两个不相等的实数根．
15
(2)若方程的两个根是x1，x2，且x12＋x22＝12，求a∶b∶c.(共26张PPT)
第八章 一元二次方程
几何问题
8.6.1
【母题：教材P74随堂练习】【2023·黑龙江】如图，在长为100 m，宽为50 m的矩形空地上修筑四条宽度相等的小路，若余下的部分全部种上花卉，且花圃的面积是3 600 m2，则小路的宽是( )
A．5 m
B．70 m
C．5 m或70 m
D．10 m
1
【点拨】
【答案】A
设小路的宽是x m，则花圃的面积等于长为(100－2x)m，宽为(50－2x)m的矩形面积，根据题意得(100－2x)(50－2x)＝3 600，整理得x2－75x＋350＝0，解得x1＝5，x2＝70(不符合题意，舍去)，∴小路的宽是5 m.
【2022·德州改编】如图，某小区矩形绿地的长宽分别为35 m，15 m．现计划对其进行扩充，将绿地的长、宽增加相同的长度后，得到一个新的矩形绿地．设将绿地的长、宽增加x m，扩充后的矩形绿地面积为 800 m2，根据题意列方程为___________________．
(35＋x)(15＋x)＝800
2
【点拨】
将绿地的长、宽增加x m，则新的矩形绿地的长为 (35＋x)m，宽为(15＋x)m，根据扩充后的矩形绿地面积为800 m2，即可得出关于x的一元二次方程(35＋x)(15＋x)＝800.
【2022·泰州】如图，在长为50 m，宽为38 m的矩形地面内的四周修筑同样宽的道路，余下的铺上草坪．要使草坪的面积为1 260 m2，道路的宽应为多少？
3
【解】设道路的宽应为x m，根据等量关系列方程得(50－2x)(38－2x)＝1 260，解得x＝4或40(舍去)，所以x＝4.
答：道路的宽应为4 m.
【2023·枣庄滕州市期末】如图，把一块长为45 cm，宽为25 cm的矩形硬纸板的四角剪去四个相同的小正方形，然后把纸板沿虚线折起，做成一个无盖纸盒．若该无盖纸盒的底面积为625 cm2，设剪去小正方形的边长为x cm，则可列方程为( )
A．(45－2x)(25－2x)＝625
B．(45－x)(25－x)＝625
C．(45－x)(25－2x)＝625
D．(45－2x)(25－x)＝625
4
【点拨】
【答案】A
由剪去小正方形的边长可得该无盖纸盒的底面长为(45－2x)cm，宽为(25－2x)cm，根据该无盖纸盒的底面积为625cm2，列出一元二次方程为(45－2x)(25－2x)＝625.
如图是一块长12 cm，宽10 cm的矩形铁皮，将其剪去两个全等的正方形和两个全等的矩形，剩余部分(阴影部分)可制成底面积是24 cm2的有盖的长方体铁盒．则剪去的正方形的边长为________ cm.
5
2
【点拨】
【新情境题】光明中学准备在校园里利用围墙(墙长 15 m)和42 m长的篱笆墙围建劳动实践基地．该校某数学兴趣小组设计了如下的围建方案(除围墙外，实线部分均为篱笆墙，且不浪费篱笆墙)：利用围墙和篱笆墙围成Ⅰ，Ⅱ两块矩形劳动实践基地，
且在Ⅱ区中留一个宽度EH＝1 m的水
池．已知CG＝2DG，劳动基地的总面
积(不包含水池)为100 m2，则DG的长
是多少？
6
【点易错】
【2023·东营】如图，老李想用长为70 m的栅栏，再借助房屋的外墙(外墙足够长)围成一个矩形羊圈ABCD，并在边BC上留一个2 m宽的门(另用其他材料建在EF处).
7
(1)当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为640 m2的羊圈？
【解】设矩形ABCD的边AB＝x m，则边BC＝70－2x＋2＝(72－2x)m.根据题意，得x(72－2x)＝640，化简，得x2－36x＋320＝0，解得x1＝16，x2＝20，当x＝16时，72－ 2x＝72－32＝40；当x＝20时，72－2x＝72－40＝32.
答：当羊圈的长为40 m，宽为16 m或长为32 m，宽为20 m时，能围成一个面积为640 m2的羊圈．
(2)羊圈的面积能达到650 m2吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由．
【解】不能，
理由：由题意，得x(72－2x)＝650，化简，得 x2－36x＋325＝0，则Δ＝(－36)2－4×325＝－4＜0，∴一元二次方程没有实数根．∴羊圈的面积不能达到650 m2.
【真实情境题】社区利用一块矩形空地建了一个小型的惠民停车场，其布局如图所示，已知停车场的长为52米，宽为28米，阴影部分设计为停车区，要铺花砖，其余部分是通道，且宽度相等．已知铺花砖的面积为640平方米．
8
(1)求通道的宽是多少米？
【解】设通道的宽为x米，根据题意，得(52－2x)(28－
2x)＝640，解得x＝6或x＝34(不符合题意，舍去)．
答：通道的宽是6米．
(2)该停车场共有车位64个，据调查分析，当每个车位的月租金为200元时，可全部租出；当每个车位的月租金每上涨10元时，就会少租出1个车位．为了维护消费者利益，物价部门规定，每个车位月租金不得超过500元，要想让停车场的月租金收入为14 400元，每个车位的月租金应上涨多少元？
某中学利用网络资源进行网上学习，九年级1班的全体同学在自主完成学习任务的同时，彼此关怀，全班每两名同学都通过一次电话，互相勉励，共同提高，如果该班共有48名同学，若每两名同学之间仅通过一次电话，那么全班同学共通过多少次电话呢？我们可以用下面的方式来解决问题．
9
用点A1，A2，A3…A48分别表示第1名同学、第2名同学、第3名同学……第48名同学，把该班人数x与通电话次数y之间的关系用如图模型表示，完成下列问题：
(1)第四个图中y的值为________，第五个图中y的值为________．
10
15
(2)通过探索发现，通电话次数y与该班人数x之间的关系式为__________，当x＝48时，对应的y＝________．
1 128
(3)若九年级1班全体女生相互之间共通话276次，问：该班共有多少名女生？(共28张PPT)
第八章 一元二次方程
平均增长(降低)率问题
8.6.2
【2023·无锡】2020年到2022年无锡居民人均可支配收入由5.76万元增长至6.58万元，设人均可支配收入的年平均增长率为x，下列方程正确的是( )
A．5.76(1＋x)2＝6.58
B．5.76(1＋x2)＝6.58
C．5.76(1＋2x)＝6.58
D．5.76x2＝6.58
1
A
某网络学习平台2021年的新注册用户数为100万，2023年的新注册用户数为169万，设新注册用户数的年平均增长率为x(x＞0)，则x＝________(用百分数表示)．
30%
2
【点拨】
依题意得100(1＋x)2＝169，解得x1＝0.3＝30%，x2＝－2.3(不合题意，舍去)．所以新注册用户数的年平均增长率为30%.
某商品经过两次降价，售价由原来的每件16元降到每件9元，已知两次降价的百分率相同，则每次降价的百分率为( )
A．20% B．25%
C．30% D．36%
3
【点拨】
【答案】B
设每次降价的百分率为x，根据题意得16(1－x)2＝9，解得x1＝0.25＝25%，x2＝1.75(不符合题意，舍去)，所以每次降价的百分率为25%.
【母题：教材P75随堂练习】某种品牌的手机经过7，8月份连续两次降价，每部售价由2 500元降到了1 600元.若每次降价的百分率相同，请解答下列问题：
(1)求每次降价的百分率．
4
【解】设每次降价的百分率为x，依题意，得2 500(1－x)2＝1 600，解得x1＝0.2＝20%，x2＝1.8(不合题意，舍去)．所以每次降价的百分率为20%.
(2)若9月份继续保持相同的百分率降价，则这种品牌的手机每部售价为多少元？
【解】1 600×(1－20%)＝1 280(元)．
答：若9月份继续保持相同的百分率降价，则这种品牌的手机每部售价为1 280元．
【2023·济南历城区期末】某农机厂四月份生产零件50万个，第二季度共生产零件182万个．设该厂第二季度平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是( )
A．50(1＋x)2＝182
B．50＋50(1＋x)＝182
C．50(1＋x)＋50(1＋x)2＝182
D．50＋50(1＋x)＋50(1＋x)2＝182
5
【点拨】
【答案】D
因为该厂第二季度平均每月的增长率为x，所以五、六月份的产量分别为50(1＋x)万个、50(1＋x)2万个．由题意知第二季度共生产零件182万个，则列出一元二次方程为50＋50(1＋x)＋50(1＋x)2＝182.
【2023·青岛市北区期末】某种品牌运动服经过两次降价，每件零售价由560元降为315元，已知第二次降价的百分率是第一次的2倍，求第一次降价的百分率.设第一次降价的百分率为x，下面所列的方程中正确的是( )
A．560(1＋x)2＝315 B．560 (1－x)2＝315
C．560(1－2x)2＝315 D．560 (1－x)(1－2x)＝315
6
D
某市积极响应国家的号召“房子是用来住的，不是用来炒的”，在宏观调控下，商品房成交价由去年9月份的每平方米10 000元下降到11月份的每平方米8 100元，且去年房价在10月份、11月份、12月份的下降率保持一致，则去年12月份的房价为每平方米________元．
7
7 290
【点拨】
设去年房价在10月份、11月份、12月份的下降率为x，根据题意得10 000(1－x)2＝8 100，解得x1＝0.1＝10%， x2＝1.9(不符合题意，舍去)，∴8 100(1－x)＝8 100×(1－10%)＝7 290，∴去年12月份的房价为每平方米7 290元．
【点技巧】
下降率x应满足0＜x＜1.
某商品原来每件的售价为60元，经过两次降价后每件的售价为48.6元，并且每次降价的百分率相同．
(1)求该商品每次降价的百分率；
8
【解】设该商品每次降价的百分率为x.
由题意得60(1－x)2＝48.6，
解得x1＝0.1＝10%，x2＝1.9(舍去)．
答：该商品每次降价的百分率是10%.
(2)若该商品每件的进价为40元，计划通过以上两次降价的方式，将库存的该商品20件全部售出，并且确保两次降价销售的总利润不少于200元，那么第一次降价至少售出多少件后，方可进行第二次降价？
【2023·郴州】随旅游旺季的到来，某景区游客人数逐月增加，2月份游客人数为1.6万人，4月份游客人数为2.5万人．
(1)求这两个月中该景区游客人数的月平均增长率．
9
(2)预计5月份该景区游客人数会继续增长，但增长率不会超过前两个月的月平均增长率．已知该景区5月1日至5月21日已接待游客2.125万人，则5月份后10天日均接待游客人数最多是多少万人？
【解】设5月份后10天日均接待游客人数是a万人，由题意可得2.125＋10a≤2.5(1＋25%)，解得a≤0.1.
答：5月份后10天日均接待游客人数最多是0.1万人．
2021年，某户的家庭年人均纯收入为2 500元，通过政府产业扶持，发展了养殖业后，到2023年，家庭年人均纯收入达到了4 900元．
(1)求该户2021年到2023年家庭年人均纯收入的年平均增长率．
10
【解】设该户2021年到2023年家庭年人均纯收入的年平均增长率为x，依题意，得2 500(1＋x)2＝4 900，解得x1＝ 0.4＝40%，x2＝－2.4(不合题意，舍去)．
答：该户2021年到2023年家庭年人均纯收入的年平均增长率为40%.
(2)若年平均增长率保持不变，2024年该户的家庭年人均纯收入是否能达到6 800元？
【解】4 900×(1＋40%)＝6 860(元)，
∵6 860＞6 800，
∴2024年该户的家庭年人均纯收入能达到6 800元．
小明同学在寒假社会调查实践活动中，对某罐头加工厂进行采访，获得了该厂去年的部分生产信息如下：①该厂一月份罐头加工量为a吨；②该厂三月份的加工量比一月份增长了44%；③该厂第一季度共加工罐头182吨(第一季度加工量的月增长率相同)；④该厂从四月份开始设备整修更新，加工量每月按相同的百分率开始下降；⑤六月份设备整修更新完毕，此月加工量为一月份的2.1倍，与五月份相比增长了46.68 吨．
11
利用以上信息求：
(1)该厂第一季度加工量的月增长率．
【解】设第一季度加工量的月增长率为x.
由题意得(1＋x)2＝1.44，
解得x1＝0.2＝20%，x2＝－2.2(不合题意，舍去)．
答：该厂第一季度加工量的月增长率为20%.
(2)该厂一月份的加工量a的值．
【解】由题意得a＋1.2a＋1.44a＝182，
解得a＝50.
则a的值是50.
(3)该厂第二季度的总加工量．
【解】六月份的加工量为50 ×2.1＝105(吨)，
五月份的加工量为105－46.68 ＝58.32(吨)．
设从三月份到五月份加工量逐月下降的百分率为y.
由题意得50×1.44×(1－y)2＝58.32，
解得y1＝0.1＝10%，y2＝1.9(不合题意，舍去)，
∴从三月份到五月份加工量逐月下降的百分率为10%，
∴四月份的加工量为50×1.44×(1－10%)＝64.8(吨)，
∴第二季度的总加工量为64.8 ＋58.32＋105＝228.12(吨).
答：该厂第二季度的总加工量是228.12吨．
