课件27张PPT。题型预测
圆的基本性质是中考必考考点之一,但这部分知识出现在解答题的可能性不大,一般以填空或选择的形式出现.相等弧优弧劣弧弦直径圆心角圆周角相等相等一组量相等相等平分弦垂直平分圆心弦相等一半圆周角直径考点1 圆周角与圆心角之间关系(考查频率:★★★★★)
命题方向:同弧所对的圆周角和圆心角之间的关系.1. 如图,点A、B、C在⊙O上,∠ABO=32°,∠ACO=38°,则∠BOC等于( )
A.60° B.70° C.120° D.140°2. 如图,在⊙O中圆心角∠BOC=78°,则圆周角∠BAC的大小为( )
A.156° B.78° C.39° D.12°3. 如图,△ABC内接于⊙O,∠ABC=71°,∠CAB=53°,点D在 上,则∠ADB的大小为( )
A.45° B.53° C.56° D.71°4. 如图,A、B、P是半径为2的⊙O上的三点,∠APB=45°,则弦AB的长为( )5. 如图,在⊙O中,弦BC=1,点A是圆上一点,且∠BAC=30°,则⊙O的半径是( )考点2 圆内接三角形和圆内接四边形(考查频率:★★★☆☆)
命题方向:(1)圆内接三角形的边角关系;
(2)圆内接四边形的计算问题.7. 如图,点P是等边△ABC外接圆⊙O上点,在以下判断中,不正确的是( )
A.当弦PB最长时,△APC是等腰三角形
B.当△APC是等腰三角形时,PO⊥AC
C.当PO⊥AC时,∠ACP=30°
D.当∠ACP=30°时,△BPC是直角三角形8. 如图,△ABC内接于⊙O,∠A=50°,则∠OBC的度数为( )
A.40° B. 50° C.80° D. 100°9. 如图,在⊙O中,已知∠OAB=22.5°,则∠C的度数为( )
A.135° B.122.5° C.115.5° D.112.5°10. 如图,已知A,B,C,D 是⊙O上的四点,延长DC,AB相交于点E.若BC=BE.求证:△ADE是等腰三角形.考点3 直径所对的圆周角(考查频率:★★★☆☆)
命题方向:(1)利用“直径所对的圆周角等于90°”进行角度的计算;
(2)利用“直径所对的圆周角等于90°”证明一个三角形是直角三角形.12.半径为3的圆中,一条弦长为4,则圆心到这条弦的距离是( )
A.3 B.4 C. D.考点4 垂径定理(考查频率:★★★★☆)
命题方向:(1)已知半径、弦长、弦心距中的两个量,求第三个量的值;
(2)利用垂径定理进行有关证明.13.如图,M是CD的中点,EM⊥CD,若CD=4,EM=8,则CED所在圆的半径为_____________.14.如图,AB是⊙O的直径,C是⊙O上一点,AB=10,AC=6,垂足为D,则BD的长为( )
A.2 B.3 C.4 D.615.如图,圆心在y轴的负半轴上,半径为5的⊙B与y轴的正半轴交于点A(0,1),过点P(0,-7)的直线l与⊙B相交于C、D两点,则弦CD的长所有可能的整数值有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个16.如图是一圆柱形输水管的横截面,阴影部分为有水部分,如果水面AB宽为8cm,水的最大深度为2cm,则该输水管的半径为( )
A.3cm B.4cm C.5cm D.6cm 例1:在平面直角坐标系xOy中,以原点O为圆心的圆过点A(13,0),直线y=kx-3k+4与⊙O交于B、C两点,则弦BC的长的最小值为 .【解题思路】直线y=kx-3k+4必过点(3,4),因此问题归结为过圆内一定点的弦长何时最小的问题,问题看似无法入手,但注意到直线y=kx-3k+4必过点(3,4),则利用垂直于过该点的直径的弦最短来解.【思维模式】求过圆内一点最短弦长的方法是先过该点作圆的直径,然后过该点作垂直于直径的弦,构造出垂径定理模型.例2: 如图,AB为⊙O的直径,点C在⊙O上,延长BC至点D,使DC=CB.延长DA与⊙O的另一个交点为E,连结AC,CE.
(1)求证:∠B=∠D;
(2)若AB=4,BC-AC=2,求CE的长.【解题思路】(1)要证明∠B=∠D,只要证明AD=AB,结合AB是⊙O的直径,DC=CB的已知条件,可通过证明AC垂直平分DB,从而解决问题.(1)证明:∵AB为⊙O的直径,∴∠ACB=90°,
∴AC⊥BC,∵DC=CB,∴AD=AB,∴∠B=∠D.【解题思路】要求CE长,可通过证明CE=AB,转化为求AB长,结合∠E=∠B及等腰三角形的性质、勾股定理,可解决问题.【必知点】
圆周角定理:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半。
(1)半圆(或直径)所对的圆周角是直角,90°的圆周角所对的弦是直径;
(2)在同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧相等;
(3)如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形?是直角三角形.例1: 已知⊙O的直径CD=10 cm,AB是⊙O的弦,AB⊥CD,垂足为M,且AB=8 cm,则AC的长为( )【解题思路】分两种情况考虑:①当A、C两点位于圆心O两侧时,如图1所示,连接AC和AO,利用垂径定理得到点M是弦AB的中点,在Rt△AOM中,利用勾股定理求出OM的长,在Rt△AMC中,利用勾股定理求出AC的长;②当A、C两点位于圆心O同侧时.【解题思路】②当A、C两点位于圆心O同侧时,如图2所示,先求出CM,然后在Rt△AMC中,利用勾股定理求出AC的长即可.【易错点睛】本题需要分两种情况讨论,常见错误是只考虑其中一种情况而造成错误.课件28张PPT。题型预测
与圆有关的位置关系是圆的三大块之一,直线与圆的位置关系常常以解答题的形式出现,受课程标准的制约,这部分考题一般不难.点在圆外点在点在圆内>=<相离相切相交>=<圆上内含内切相交外切外离<=<<=>一个半径垂直半径垂直于切点圆心线段的长度两条切线长两条切线的夹角垂直等于考点1 相交、相切、相离(考查频率:★★☆☆☆)
命题方向:(1)给出圆的半径和圆心到直线的距离,判定直线与圆的位置关系;(2)需要分类讨论直线与圆的位置解决问题.1. 直线l与半径为r的⊙O相交,且点O到直线l的距离为6,则r的取值范围是( )
A.r<6 B.r=6 C.r>6 D.r≥6
2. 已知⊙O的半径是6,点O到直线l的距离为5,则直线l与⊙O的位置关系是( )
A.相离 B.相切 C.相交 D.无法判断3. 如图,直线 分别与x、y轴交于点B、C,点A(-2,0),P是直线BC上的动点.
(1)求∠ABC的大小;
(2)求点P的坐标,使∠APO=30°;
(3)在坐标平面内,平移直线BC,试探索:当BC在不同位置时,使∠APO = 30°的点P的个数是否保持不变?若不变,指出点 P的个数有几个?若改变,指出点 P的个数情况,并简要说明理由. 考点2 切线的定义及性质(考查频率:★★★☆☆)
命题方向:(1)运用“过切点的半径与切线互相垂直”得到90°的角;
(2)利用弦切角证明角度相等问题.4. 如图,已知线段OA交⊙O于点B,且OB=AB,点P是⊙O上的一个动点,那么∠OAP的最大值是( )
A.30° B.45° C.60° D.90°
5.如图,已知△ABC内接于⊙O,BC是⊙O的直径,MN与⊙O相切,切点为A,若∠MAB=30°.则∠B= 度.考点3 切线的判定(考查频率:★★★★☆)
命题方向:判定直线与圆是否相切.6. 在同一平面直角坐标系中有5个点:A(1,1),B(-3,-1),C(-3,1),D(-2,-2),E(0,-3).
(1)画出△ABC的外接圆⊙P,并指出点D与⊙P的位置关系;
(2)若直线l经过点D(-2,-2),E(0,-3),判断直线l与⊙P的位置关系.考点4 圆与圆的位置关系(考查频率:★★★☆☆)
命题方向:由两圆和圆心距判定两圆的位置关系.7.已知⊙O1和⊙O2的半径分别为2cm和3cm,圆心距O1O2为5cm,则⊙O1和⊙O2的位置关系是( )
A.外离 B.外切 C.相交 D.内切
8.如图,已知⊙O1的半径为1cm,⊙O2的半径为2cm,将⊙O1,⊙O2放置在直线l上,如果⊙O1在直线l上任意滚动,那么圆心距O1O2的长不可能是( )
A.6cm B.3cm C.2cm D.0.5cm9.、如图,⊙O的半径为4cm,直线l与⊙O相交于A、B两点,AB= cm,P为直线l上一动点,以1cm为半径的,⊙P与⊙O没有公共点,设PO=dcm,则d的范围是
.
10.若⊙A和⊙B相切,它们的半径分别为8cm和2cm,则圆心距AB为_____________.考点5 方案设计问题(考查频率:★★☆☆☆)
命题方向:与圆有关的方案设计问题;11.(2013四川广安)雅安芦山发生7.0级地震后,某校师生准备了一些等腰直角三角形纸片,从每张纸片中剪出一个半圆制作玩具,寄给灾区的小朋友,已知如图10,是腰长为4的等腰Rt△ABC,要求剪出的半圆的直径在△ABC的边上,且半圆的弧与△ABC的其他两边相切,请作出所有不同方案的示意图,并求出相应半圆的半径(结果保留根号).例1: 如图,已知P是⊙O外一点,PO交⊙O于点C,OC=CP=2,弦AB⊥OC,劣弧AB的度数为120°,连结PB.
(1)求BC的长;
(2)求证:PB是⊙O的切线. 【解题思路】(1)由弦AB⊥OC,劣弧AB的度数为120°,劣弧CB的度数为60°,故连接OB,可得∠COB=60°,于是可证得△OBC是等边三角形,从而求得BC的长; 解:(1)连接OB,
∵弦AB⊥OC,劣弧AB的度数为120°,
∴∠COB=60°,又∵OC=OB.
∴△OBC是正三角形,∴.BC=OC=2.(2)证明:∵BC=CP,∴.∠CBP=∠CPB,
∵△OBC是正三角形,∴∠OBC=∠OCB=60°.
∴∠CBP=30°,∴∠OBP=∠CBP+∠OBC=90°,
∴OB⊥BP,∵点B在⊙O上,∴PB是⊙O的切线. 【解题思路】(2)由OC=CP=2,△OBC是等边三角形,可得BC=CP,于是∠P=∠CBP,再由等边三角形的性质得∠OBC=60°,∠CBP=30°,因而OB⊥BP,所以PB是⊙O的切线. 【思维模式】 本题第一问由弧的度数运用垂径定理等知识转化得到了圆心角度数,从而可利用等边三角形来线段长度,充分体现了数形结合思想的应用;第二问借助切线判定中“连半径证垂直”的思路,充分利用了等边三角形和等腰三角形性质得到直角,从而证得结论.
【必知点】切线的判定方法:
①过圆的半径外端作半径的垂线,此垂线即圆的切线(简记为“连半径,证垂直”);
②过圆心作某一条直线的垂线,若垂线段等于半径长,则该直线是圆的切线(简记为“作垂线,证相等”);
③利用切线长定理的逆命题证明(若PA是圆的切线,A是切点,B是圆上的另一点,且PA=PB,则PB是圆的切线).【解题思路】(1)连接OD,直线PD垂直平分⊙O的半径OA于点B且⊙O的半径为8得出OB=4,OD=8,利用勾股定理求BD,再根据垂径定理知,CD=2BD可求CD;【解题思路】(2)要证明PE=PF,只需证明∠PEF=∠PFE即可,利用等角的余角相等可证明∠PEF=∠PFE;(2)∵PE是⊙O的切线,
∴ ∠PEO=90° ,
∴∠PEF=90°-∠AEO,
∠PFE=∠AFB=90°-∠A
∵OE=OA,∴∠A=∠AEO,
∴∠PEF=∠PFE,∴PE=PF;【思维模式】
(1)在圆中,已知半径、弦心距、弦长中的两个量求第三个量用勾股定理来求;
(2)证明线段相等的方法很多,例如利用全等三角形、等腰三角形的判定以及利用相似三角形等,本题是利用“等角对等边”来证明线段相等的;
(3)利用锐角三角函数求线段长,通常是用转化的方法,把利用已知角的三角函数代换与之相等角的三角函数.例3: 如图,⊙O是△ABC的外接圆,AB为直径, ∠BAC的平分线交⊙O于点D,过点D的切线分别交AB、AC的延长线于点E、F.
(1)求证:AF⊥EF.
(2)小强同学通过探究发现:AF+CF=AB,请你帮忙小强同学证明这一结论.【解题思路】(1)证OD⊥EF,OD∥AF.(2)构造等腰三角形ABG,证CF=GF.(1)连接OD,则OD⊥EF.
∵OA=OD,∴∠OAD=∠ODA.
∵∠OAD=∠DAC,∴∠DAC =∠ODA.
∴OD∥AF. ∴ AF⊥EF.(2)延长BD、CF交于点G,连接CD、BD.
∵AB为直径,∠ADB=90°.
∵AD平分∠BAC, ∴AB=AG,CD=DB.
∴GD=DB. ∴CD=GD.
∵AF⊥EF, ∴CF=GF. ∴AF+CF=AB.【方法规律】(1)过切点连半径是圆中添加辅助线时常见的一种.(2)AD既是∠BAC的平分线,又是三角形ADB的高线,联想到等腰三角形的“三线合一”性质,由此构造等腰三角形.例1:在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=4,若以C为圆心,R为半径的圆与斜边AB只有一个公共点,求R的值.【易错点睛】当⊙C与AB相切时,只有一个交点,同时要注意AB是线段,当圆的半径R在一定范围内时,AB与⊙C相交且只有一个公共点. 例2:已知⊙O1和⊙O2相切,两圆的圆心距为9cm,⊙O1的半径为4cm,则⊙O2的半径为( )
A.5cm B.13cm C.9cm 或13cm D.5cm 或13cm【易错点睛】题目没有画图,在圆中,两圆相切要考虑两种情况,外切、内切,外切时,d=R+r,内切时,d=R-r,本题容易考虑问题不全面.课件23张PPT。题型预测
弧长和扇形面积、正多边形的计算问题是中考热点,可能出现在填空、选择或解答题中,特别是由正多边形、弧长组成的不规则图形的面积.2πrπr2.2πrh2πrhπrlπrl考点1 弧长(考查频率:★★★☆☆)
命题方向:(1)已知半径和弦长(圆心角),求弧长;
(2)正多边形滚动所经过的路径长.1. 如图,一条公路的转变处是一段圆弧(即图中弧CD,点O是弧CD的圆心),其中CD=600米,E为弧CD上一点,且OE⊥CD,垂足为F,OF= 米,则这段弯路的长度为( )A.200π米 B.100π米 C.400π米 D.300π米2.如图,某厂生产横截面直径为7cm的圆柱形罐头,需将“蘑菇罐头”字样贴在罐头侧面,为了获得较佳视觉效果,字样在罐头侧面所形成的弧的度数为90°,则“蘑菇罐头”字样的长度为( )3. 如图,在直角坐标系中放置一个边长为1的正方形ABCD,将正方形ABCD沿x轴的正方向无滑动的在x轴上滚动,当点A离开原点后第一次落在x轴上时,点A运动的路径线与x轴围成图形的面积为看( )考点2 扇形面积(考查频率:★★☆☆☆)
命题方向:已知半径和圆心角,求扇形面积.4 . 钟面上的分针的长为1,从9点到9点30分,分针在钟面上扫过的面积是( )5. 用一个圆心角为120°,半径为2的扇形做一个圆锥的侧面,则这个圆锥的底面圆半径为( )6.已知圆锥的底面半径为6cm,高为8cm,则这个圆锥的母线长为( )
A.12cm B.10cm C.8cm D.6cm9.如图,⊙O的外切正六边形ABCDEF的边长为1,则图中阴影部分的面积为( )
A. B. C. D.8.正六边形的边心距与边长之比为( )
A. :3 B. :2 C.1∶2 D. :2 7. 在学校组织的实践活动中,小新同学用纸板制作了一个圆锥模型,它的底面半径为1,高为2 ,则这个圆锥的侧面积是( ).
A.4π B.3π C.2 π D.2π考点3 正多边形(考查频率:★★☆☆☆)
命题方向:(1)求正多边形边心距和边长问题;
(2)正多边形的内接圆和外切圆问题.10若正方形的边长为6,则其外接圆半径与内切圆半径的大小分别为( ).
A.6, B. ,3 C.6,3 D. ,考点4 组合图形的面积(考查频率:★★★☆☆)
命题方向:(1)圆弧与圆弧的组合图形;(2)三角形与圆弧的组合问题;(3)正多边形与圆弧的组合问题.【解题思路】先连接BD、BE,根据两圆外切及切线长定理得出三个等腰三角形PCD、PDE、PCE,再利用等腰三角形的性质得到∠BDE=y°,从而利用三角形内角和得到∠DBE=180°-2y°,最后根据弧长公式求出 的长度.解:连接BD、BE,因为PC、PD、PE分别是圆的切线,C、D、E是切点,所以∠BDP= 90°,PC=PD=PE,设∠PCE=z°,所以∠PCD=∠PDC=y°+z°,∠PCE=∠PEC=z°,∠PED=∠PDE=x°+ z°,在△CDE中,由三角形内角和定理得∠ECD+∠CDE+∠CED=180°,所以y°+y°+z°+x°+z°+x°=180°,所以y°+z°+x°=90°,因此z°+x°=90°-y°,所以∠BDE=90°-∠PDE=90°-(90°-y°)=y°,从而∠DBE=180°-2y°,所以【思维模式】当直线与圆相切时,连接圆心与切点,得到一个直角,在圆外一点引圆的两条切线,切线长相等,由此可得等腰三角形,根据等腰三角形性质转化为利用三角形内角和定理求出相关的圆心角,结合弧长公式进行求解.【解题思路】将阴影部分面积转化为几个规则图形面积的和或差的性质,在本题中S阴影=S△ABC-S△ABE-S弓形OBE=S△ABC-S△OBE-S弓形OBE.例2:如图,以AD为直径的半圆O经过Rt△ABC斜边AB的两个端点,交直角边AC于点E. B,E是半圆弧的三等分点,弧BE的长为 ,则图中阴影部分的面积为( )【思维模式】在同圆(或等圆)中,相等的弧所对的圆心角相等,由此求得∠BOE=60°;
在弧长公式中,当圆心角与弧长是已知数时,可求得半径,这是解答本题的关键点;
由于直径所对的圆周角是直角,所以可以在圆中构建直角三角形,利用锐角三角函数或勾股定理求相关线段的长度;
再结合一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半,扇形的面积等于扇形弧长与半径乘积的一半,等底等高的三角形面积相等,一步一步的即可求得问题的答案.
这些都是常见的问题,当它们一起出现时,应找准突破口,循序渐进、各个击破,最终用面积割补法求得阴影部分的面积.例1:已知扇形的半径为3cm,圆心角为120°,则次扇形的面积为_______cm2,周长为_______cm.(结果保留π)【易错点睛】弧长公式与扇形面积公式从形式上看比较相似,应正确记忆它们,防止出错.解答过程:扇形的面积计算公式为 =3π;而弧长公式为l= =2π.