中小学教育资源及组卷应用平台
☆重点难点剖析☆
17.2.2 函数图像
函数图像
定义：一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象．
函数图象的画法步骤
(1)列表：列表给出一些自变量和函数的对应值；
(2)描点：以表中各组对应值为坐标,在坐标平面内描出相应的点；
(3)连线：按照自变量由小到大的顺序,把所描各点用平滑的曲线依次连接起来.
函数的表示法
①解析式法；②列表法；③图像法。
题型一:从函数图像中获取信息
【例题1】．（2023·江苏淮安·二模）如图表示两种材料的电阻与温度的关系，下列说法错误的是（ ）
A．当时，两种材料的电阻大小相同
B．两种材料的电阻都是随着温度的增大而减小
C．当温度低于时，半导体热敏电阻的电阻值在以上
D．当铂热电阻的电阻值超过时，温度在以上
【变式1】．（八年级下·全国·课后作业）一艘轮船先从甲地航行到乙地，在乙地停留一段时间后，又从乙地航行返回到甲地，横坐标表示航行的时间，纵坐标表示轮船与甲地的距离，则下列说法错误的是（ ）
A．轮船从甲地到乙地的平均速度为
B．轮船在乙地停留了
C．轮船从乙地返回甲地的平均速度大于去时的速度
D．甲、乙两地相距
1．（八年级上·河南郑州·期末）飞飞在研究物理学科中的拉力F和重力G的关系时，利用滑轮组及相关器材进行实验，他用电脑把得到的拉力和所悬挂物体的重力的几组数据绘制成如上图象（不计绳重和摩擦，拉力F和重力G的单位是N），哪个选项是错误的（ ）
A．点表示的是当物体的重力是时，拉力F是 B．当滑轮组不悬挂物体时，所用拉力为
C．物体的拉力随着重力的增大而增大 D．拉力F与重力G成正比例函数关系
2．（七年级下·全国·课后作业）已知小明家、图书馆和学校在一条直线上，某天小明从家骑自行车去上学，先到图书馆挑选了一些学习资料后，再骑车去学校．若小明离家的距离用y表示，出发时间用x表示，y与x之间的关系如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．小明在图书馆停留了10分钟 B．小明家距离学校1 000米
C．小明从图书馆到学校用了25分钟 D．从图书馆到学校的速度是110米/分钟
3．（2023·甘肃平凉·模拟预测）小明从家里出发骑单车去上学，出发了一段时间后，想起今天考试需要带铅笔，于是赶紧折回到刚经过的文具店，买到铅笔后继续赶往学校．以下是他离家的距离（米）与所用的时间（分钟）之间的关系的图，根据图中的信息，则下列说法错误的是（ ）
A．小明家到学校的距离是米
B．小明在文具店停留了分钟
C．本次上学途中，小明一共行了米
D．若骑单车的速度大于米分就有安全隐患，在整个上学的途中，小明骑车有分钟的超速骑行，存在安全隐患
4．（八年级上·重庆沙坪坝·期末）小南家，小开家，学校依次在一条直线上．放学后，小南和小开相约回家取球拍后回学校打球，他们同时从学校出发匀速返回家中，两人同时到家，小南到家取完球拍后立即以另一速度返回学校，小开取完球拍在家休息了后按原速返回，且同时到达学校（两人找球拍时间忽略不计），小南和小开与学校的距离y（）与两人出发时间x（）的函数关系如图所示．下列描述中，错误的是（ ）
A．小南家距离学校
B．小开速度为
C．小南返回学校的速度为
D．两人出发时，小南与小开相距
5．（八年级下·河南南阳·阶段练习）已知A、B两地是一条直路，甲骑自行车从A地到B地，乙骑摩托车从B地到A地，两人同时出发，乙先到达目的地，两人之间的距离与运动时间的函数关系大致如图所示，则下列结论正确的有 ．
①两人出发后相遇；②甲骑自行车的速度为；③乙比甲提前到达目的地；④乙到达目的地时两人相距．
6．（七年级下·陕西西安·阶段练习）“唐时良辰，潮启长安”，西安新晋开放的“长安十二时辰”主题街区是宝藏唐风游玩打卡地．一个周末上午，网红张斌自驾小汽车从家出发，带全家人去“长安十二时辰”游玩，在去“长安十二时辰”主题街区的路上，汽车加油用了12分钟，张斌驾驶的小汽车离家的距离y（千米）与时间t（时）之间的关系如图所示：
①张斌家距离距离“长安十二时辰”主题街区120千米；
②张斌一家人在“长安十二时辰”主题街区游玩了5.5小时；
③张斌一家返回到家的时间恰好是17时20分；
④汽车加油前的速度是80千米/时； 正确的是 ．
题型二：函数图形的画法
【例题2】．（八年级下·广东江门·阶段练习）如图1，数轴上点O表示的数是0，点A表示的数是，点P是数轴上一动点，表示的数是x，它与点A之间的距离用y表示．
(1)填写下表，在平面直角坐标系内画出y关于x的图象（图2）；
… 0 …
… 2 1 0 1 2 3 …
(2)若，则x的值是______；
(3)下列说法正确的序号是______；
①变量x是变量y的函数；
②随x的增大而减小；
③图象经过第一、二、三象限；
④当时，y有最小值；
(4)若，则x的取值范围是______．
【变式2】．（八年级下·全国·随堂练习）画出函数的图象．
(1)列表：
x … 0 1 …
y … …
(2)描点并连线；
(3)判断点，，是否在函数的图象上；
(4)若点在函数的图象上，求出m的值．
1．（2023·山东临沂·二模）数学活动课上，老师提出一个探究问题：
制作一个体积为，底面为正方形的长方体包装盒，当底面边长为多少时，需要的材料最省（底面边长不超过，且不考虑接缝）.某小组经讨论得出：材料最省，就是尽可能使得长方体的表面积最小．
下面是他们的探究过程，请补充完整：
(1)设长方体包装盒的底面边长为，表面积为.可以用含x的代数式表示长方体的高为.根据长方体的表面积公式：长方体表面积底面积侧面积.得到y与x的关系式：______（）；
(2)列出y与x的几组对应值：
… 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0
… 80.5 42.0 31.2 a 28.5 31.3
（说明：表格中相关数值精确到十分位）
表中____________．
(3)在图2的平面直角坐标系中，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；
2．（2024·辽宁沈阳·一模）如图，在四边形中，，，点E是边上一动点，连接，过点E作的垂线交直线于点F．已知，，，设的长为，的长为．小东根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行探究．下面是小东的探究过程，请补充完整：
(1)通过取点、画图、测量，得到了x与y的几组值，如下表（说明：表格中的y值均保留一位小数）：
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
2.5 1.1 m 0.9 1.5 1.9 2.0 1.9 1.5 0.9 0.0
通过分析计算，m的值为 ；
(2)在图②中，建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；
(3)结合画出的函数图象，解决问题：当时，的长度约为 ．
3．（八年级上·河南郑州·期末）小张根据学习函数的经验，对函数 的图象与性质进行了探究，下面是小张的探究 过程，请你补充完整：
x … 0 1 2 3 4 …
y … 2 1 0 0 m 2 …
(1)表中的 ；
(2)在图中直接画出该函数的图象，并写出该函数的一条性质或特征：______；
(3)已知直线 与函数 的图象相交，则当 时，x 的值是 ．
4．（九年级下·福建福州·开学考试）小强用竹篱笆围一个面积为平方米的矩形小花园，他考虑至少需要几米长的竹篱笆（不考虑接缝），根据学习函数的经验，他做了如下的探究，请你补充完善他的思考过程．
1 2 3 4 5
10 6
(1)建立函数模型：设矩形小花园的一边长为米，则矩形小花园的另一边长为____米（用含的代数式表示），若总篱笆长为米，请写出总篱笆长（米）关于边长（米）的函数关系式____；
(2)列表：根据函数的关系式，得到了与的几组对应值，如表：表中____，____；
(3)描点、画出函数图象：如图，在平面直角坐标系中，将表中未描出的点，补充完整，并根据描出的点画出该函数的图象；
(4)解决问题：根据以上信息可得，当_____时，y有最小值．由此，小强确定篱笆长至少为____米．
5．（九年级上·山东济南·期中）阅读以下材料
通过列表描点我们可以画出的图象如图：
观察图象可以得出以下结论：
时，函数有最小值，最小值是0．
若y随x的增大而增大，x的取值范围是，若y随x的增大而减少，x的取值范围是．
提出问题：当时如何求函数最大值或最小值？
解决问题：
借鉴我们已有的研究函数的经验，我们利用观察函数的图像探索函数（）的最大（小）值．
(1)实践操作：填写下表，并用描点法画出函数（）的图象：
x … 1 2 3 4 …
y … …
(2)观察猜想：观察该函数的图象，
当______时，函数（）有最______值（填“大”或“小”），是______．
若y随x的增大而增大，x的取值范围是______，
若y随x的增大而减少，x的取值范围是______．
(3)知识能力运用：直接写出函数
当______时，该函数有最______值（填“大”或“小”），是______．
6．（七年级上·山东威海·期末）结合一次函数的学习经验，探究函数：的图像和性质，请完善下面的研究过程．
(1)自变量的取值范围为______；
(2)化简函数解析式：
①当时，______；
②当时______；
③当时______；
(3)请在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图像；
(4)若关于的方程：有两个解，请直接写出的取值范围是______．
题型三：用函数图形表示两个变量的变化规律
【例题3】．（七年级下·陕西西安·阶段练习）如图，边长分别为1和2的两个正方形，其中一条边在同一水平线上，小正方形沿该水平线自左向右匀速穿过大正方形，设穿过时间为，大正方形的面积为，小正方形与大正方形重叠部分面积为，若，则随变化的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【变式3】．（八年级下·全国·课后作业）亮亮每天都要坚持体育锻炼，某天他跑步到离家较近的体育场，在那里锻炼了一段时间，然后沿着原路散步走回家，下列最符合亮亮离家的距离s与时间t之间的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
1．（八年级下·全国·随堂练习）小明的父亲从家走了到一个离家的书店，在书店看了书后，用返回家，下列图中表示小明的父亲离家的距离与时间的函数图象的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（七年级下·全国·课后作业）用恒定不变的水速往某一容器里注水，该容器的水位高度h（dm）与注水时间t（min）的关系如图，则该容器的形状可能是（ ）
A． B． C． D．
3．（七年级下·全国·课后作业）一个温度计从一杯热茶中取出之后，立即被放入一杯凉水中，此时温度计所显示的温度随时间的变化而变化，下列可以近似地表示温度计所显示的温度与时间之间的关系的图象是（ ）
A． B． C． D．
4．（九年级下·河北邢台·阶段练习）如图，小亮在运动场上晨练，一段时间内沿着一扇形的轮廊（如图中箭号所示）匀速小跑，能近似刻画小亮离出发点的距离与时间之间关系的函数图象是（ ）
A． B．
C． D．
4．（八年级上·江苏常州·期末）如图，将一个圆柱形无盖小烧杯放置在一个圆柱形无盖大烧杯底部，杯底厚度忽略不计．已知大烧杯的底面半径是小烧杯的底面半径的2倍，现向小烧杯内匀速加水，当大烧杯内的水面高度与小烧杯顶部齐平时，就停止加水．在加水的过程中，小烧杯、大烧杯内水面的高度差随加水时间变化的图象可能是（ ）
B．
C． D．
题型四：函数图形中的动点问题
【例题4】．（2024七年级下·全国·专题练习）如图，在矩形中，动点从点出发，沿着方向运动至点处停止．设点运动的路程为，的面积为，如果关于的函数图象如图所示，那么下列说法不正确的是（ ）
A．当时， B．当时，
C．的最大值是 D．矩形的周长是
【变式4】．（七年级下·广东佛山·期中）如图（1），从矩形纸片中剪去矩形后，动点从点出发，沿、、、以的速度匀速运动到点停止，设点运动的时间为，的面积为，如果关于的函数图象如图5（2）所示，则图形的面积是（ ）．
A．32 B．34 C．48 D．36
1．（九年级上·浙江湖州·期末）如图，在等腰中，于点D．动点从点出发，沿着的路径以每秒个单位长度的速度运动到点停止，过点作于点，作于．在此过程中四边形的面积与运动时间的函数关系图象如图所示，则的长是（ ）
A． B． C． D．
2．（八年级上·浙江衢州·期末）如图1，在中，，点从点A出发，沿三角形的边以的速度运动，图2是点运动时，线段的长度随运动时间变化的图象．若点是曲线的最低点，则点的纵坐标为（ ）
A． B．4 C． D．6
3．（八年级上·安徽淮北·期末）如图1，在长方形中，，E是边上一点，且，点P从点B出发，沿折线匀速运动，运动到点C停止．点P的运动速度为，运动时间为，的面积为，y与t的函数关系图象如图2所示，则下列结论错误的是（ ）
A． B．
C． D．当时，
3．（九年级上·河北石家庄·期末）如图1，已知扇形，点从点出发，沿以的速度匀速运动，设点的运动时间为，，随变化的图象如图2所示，则的长为（ ）
A． B． C． D．
5．（九年级上·河南南阳·期末）如图1，点P从的顶点B出发，沿直线运动到三角形内部一点，再从该点沿直线运动到顶点A．作于点D，点P运动的路程为x，，图2是点P运动时y随x变化的关系图象，则的长为（ ）
A．2 B． C． D．
6．（2022·海南海口·二模）如图1，从长方形纸片中剪去长方形后，动点P从点B出发，沿运动到点F停止，设点P运动的路程为x，的面积为y，如果y关于x 的函数图象如图2所示，则图形的面积是（ ）
A．32 B．34 C．36 D．48
7．（九年级下·山东德州·阶段练习）如图1，在中，动点P从点A出发沿折线匀速运动至点A后停止．设点P的运动路程为x，线段的长度为y，图2是y与x的函数关系的大致图象，其中点F为曲线的最低点，则的高的长为 ．
8．（2023·贵州贵阳·二模）如图①，在中，，动点从点出发，沿折线匀速运动至点停止．若点的运动速度为，设点的运动时间为的长度为与的函数图象如图②所示．当点在上运动时，若的长度最短，此时的值为 ．
9．（七年级下·四川成都·期中）如图1，已知长方形，动点P沿长方形的边以B→C→D的路径运动，记的面积为y，动点P运动的路程为x，y与x的关系如图2所示，则图2中的m的值为 ．
10．（八年级上·河北保定·期末）如图①，在正方形中，点以每秒的速度从点出发，沿的路径运动，到点停止．过点作，与边（或边）交于点，的长度与点的运动时间（秒）的函数图象如图②所示，当点运动秒时，的长是 ．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
☆重点难点剖析☆
17.2.2 函数图像
函数图像
定义：一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象．
函数图象的画法步骤
(1)列表：列表给出一些自变量和函数的对应值；
(2)描点：以表中各组对应值为坐标,在坐标平面内描出相应的点；
(3)连线：按照自变量由小到大的顺序,把所描各点用平滑的曲线依次连接起来.
函数的表示法
①解析式法；②列表法；③图像法。
题型一:从函数图像中获取信息
【例题1】．（2023·江苏淮安·二模）如图表示两种材料的电阻与温度的关系，下列说法错误的是（ ）
A．当时，两种材料的电阻大小相同
B．两种材料的电阻都是随着温度的增大而减小
C．当温度低于时，半导体热敏电阻的电阻值在以上
D．当铂热电阻的电阻值超过时，温度在以上
【答案】B
【详解】
解：由图象可知：
当时，两种材料的电阻大小相同，故选项A说法正确，不符合题意；
铂热电阻的电阻值随着温度的增大而增大，故选项B说法错误，符合题意；
当温度低于时，半导体热敏电阻的电阻值在以上，故选项C说法正确，不符合题意；
当铂热电阻的电阻值超过时，温度在以上，故选项D说法正确，不符合题意．
故选：B．
【变式1】．（八年级下·全国·课后作业）一艘轮船先从甲地航行到乙地，在乙地停留一段时间后，又从乙地航行返回到甲地，横坐标表示航行的时间，纵坐标表示轮船与甲地的距离，则下列说法错误的是（ ）
A．轮船从甲地到乙地的平均速度为
B．轮船在乙地停留了
C．轮船从乙地返回甲地的平均速度大于去时的速度
D．甲、乙两地相距
【答案】C
【详解】、轮船从甲地到乙地的平均速度为，此选项不符合题意；
、轮船在乙地停留了，此选项不符合题意；
、轮船从乙地到甲地的平均速度为，则轮船从乙地到甲地的平均速度小于去时的速度，此选项符合题意；
、根据图象可知：甲、乙两地相距，此选项不符合题意；
故选：．
1．（八年级上·河南郑州·期末）飞飞在研究物理学科中的拉力F和重力G的关系时，利用滑轮组及相关器材进行实验，他用电脑把得到的拉力和所悬挂物体的重力的几组数据绘制成如上图象（不计绳重和摩擦，拉力F和重力G的单位是N），哪个选项是错误的（ ）
A．点表示的是当物体的重力是时，拉力F是 B．当滑轮组不悬挂物体时，所用拉力为
C．物体的拉力随着重力的增大而增大 D．拉力F与重力G成正比例函数关系
【答案】D
【详解】
解：点表示当时，，即当物体的重力是时，拉力F是，
A正确，不符合题意；
由图象可知，当时，，即当滑轮组不悬挂物体时，所用拉力为，
B正确，不符合题意；
根据图象可知，物体的拉力F随着重力G的增大而增大，
C正确，不符合题意；
正比例函数的图象必过原点，
D不正确，符合题意；
故选：D．
2．（七年级下·全国·课后作业）已知小明家、图书馆和学校在一条直线上，某天小明从家骑自行车去上学，先到图书馆挑选了一些学习资料后，再骑车去学校．若小明离家的距离用y表示，出发时间用x表示，y与x之间的关系如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．小明在图书馆停留了10分钟 B．小明家距离学校1 000米
C．小明从图书馆到学校用了25分钟 D．从图书馆到学校的速度是110米/分钟
【答案】D
【详解】解：A．小明在图书馆停留了分钟，故不正确；
B．小明家距离学校2100米，故不正确；
C．小明从图书馆到学校用了分钟，故不正确；
D．从图书馆到学校的速度是米/分钟，正确；
故选：D．
3．（2023·甘肃平凉·模拟预测）小明从家里出发骑单车去上学，出发了一段时间后，想起今天考试需要带铅笔，于是赶紧折回到刚经过的文具店，买到铅笔后继续赶往学校．以下是他离家的距离（米）与所用的时间（分钟）之间的关系的图，根据图中的信息，则下列说法错误的是（ ）
A．小明家到学校的距离是米
B．小明在文具店停留了分钟
C．本次上学途中，小明一共行了米
D．若骑单车的速度大于米分就有安全隐患，在整个上学的途中，小明骑车有分钟的超速骑行，存在安全隐患
【答案】D
【详解】解：A、根据函数图象，学校的纵坐标为1800，小明家的纵坐标为0，故小明家到学校的路程是1800米；故本选项不合题意；
B、根据题意，小明在书店停留的时间为从8分到12分，故小明在书店停留了4分钟；故本选项不合题意；
C、本次上学途中，小明一共行了米，故本选项不符合题意；
D、由图象可知：0～6分钟时，平均速度（米/分），
6～8分钟时，平均速度（米/分），
12～16分钟时，平均速度（米/分），
所以，若骑单车的速度大于320米/分就有安全隐患，在整个上学的途中，小明骑车有2分钟的超速骑行，存在安全隐患，故本选项符合题意；
故选；D.
4．（八年级上·重庆沙坪坝·期末）小南家，小开家，学校依次在一条直线上．放学后，小南和小开相约回家取球拍后回学校打球，他们同时从学校出发匀速返回家中，两人同时到家，小南到家取完球拍后立即以另一速度返回学校，小开取完球拍在家休息了后按原速返回，且同时到达学校（两人找球拍时间忽略不计），小南和小开与学校的距离y（）与两人出发时间x（）的函数关系如图所示．下列描述中，错误的是（ ）
A．小南家距离学校
B．小开速度为
C．小南返回学校的速度为
D．两人出发时，小南与小开相距
【答案】D
【详解】解：由函数图象可知，小南家距离学校，
∴A正确，不符合题意；
小开的速度为，
∴B正确，不符合题意；
小南返回学校的速度为，
∴C正确，不符合题意；
由C可知，小南返回学校的速度为，
∴当两人出发时，小南与学校的距离为；
由B可知，小开的速度为，
∴当两人出发时，小开与学校的距离为；
∴两人出发时，小南与小开相距，
∴D不正确，符合题意，
故选：D．
5．（八年级下·河南南阳·阶段练习）已知A、B两地是一条直路，甲骑自行车从A地到B地，乙骑摩托车从B地到A地，两人同时出发，乙先到达目的地，两人之间的距离与运动时间的函数关系大致如图所示，则下列结论正确的有 ．
①两人出发后相遇；②甲骑自行车的速度为；③乙比甲提前到达目的地；④乙到达目的地时两人相距．
【答案】①②④
【详解】解：∵在一开始时，两人的距离为，
∴A、B两地的距离为，
∵乙先到底目的地，
∴甲到目的地花费的时间为，
∴甲的速度为，故②正确；
∵在出发后，两人相距为，即此时两人相遇，故①正确；
∵两人出发2h相遇，
∴两人的合速度为，
∴乙的速度为，
∴乙到目的地花费的时间为，
∴乙比甲提前到达目的地，故③错误；
∵，
∴乙到达目的地时两人相距，故④正确；
∴正确的有①②④，
故答案为：①②④．
6．（七年级下·陕西西安·阶段练习）“唐时良辰，潮启长安”，西安新晋开放的“长安十二时辰”主题街区是宝藏唐风游玩打卡地．一个周末上午，网红张斌自驾小汽车从家出发，带全家人去“长安十二时辰”游玩，在去“长安十二时辰”主题街区的路上，汽车加油用了12分钟，张斌驾驶的小汽车离家的距离y（千米）与时间t（时）之间的关系如图所示：
①张斌家距离距离“长安十二时辰”主题街区120千米；
②张斌一家人在“长安十二时辰”主题街区游玩了5.5小时；
③张斌一家返回到家的时间恰好是17时20分；
④汽车加油前的速度是80千米/时； 正确的是 ．
【答案】④
【详解】
解：①张斌家距离距离“长安十二时辰”主题街区200千米，说法错误；
②张斌一家人在“长安十二时辰”主题街区游玩了小时，说法错误；
③张斌一家返回的速度为千米/小时，
即所用时间为小时，
张斌一家返回到家的时间恰好是17时30分，说法错误；
④汽车加油前的速度是千米/时，说法正确，
故答案为：④．
题型二：函数图形的画法
【例题2】．（八年级下·广东江门·阶段练习）如图1，数轴上点O表示的数是0，点A表示的数是，点P是数轴上一动点，表示的数是x，它与点A之间的距离用y表示．
(1)填写下表，在平面直角坐标系内画出y关于x的图象（图2）；
… 0 …
… 2 1 0 1 2 3 …
(2)若，则x的值是______；
(3)下列说法正确的序号是______；
①变量x是变量y的函数；
②随x的增大而减小；
③图象经过第一、二、三象限；
④当时，y有最小值；
(4)若，则x的取值范围是______．
【答案】(1)画图见详解
(2)2或
(3)④
(4)或
【详解】（1）将表格中得坐标标出，画图如下：
（2）∵，点表示的数是，
∴，
∴或，
∴或，
故答案为：2或；
（3）∵变量取一个数值，变量有两个数值与之对应，不符合函数定义，故①不正确；
∵在所画图象中，随的增大而减小和增大而增大均有，故②不正确；
∵距离不为负数，即不经过第三象限，故③不正确；
∵通过观察图象可知，当时，有最小值，故④正确，
故答案为：④；
（4）∵，
∴ 根据题意知：，，
∴，
解得：或，
故答案为：或．
【变式2】．（八年级下·全国·随堂练习）画出函数的图象．
(1)列表：
x … 0 1 …
y … …
(2)描点并连线；
(3)判断点，，是否在函数的图象上；
(4)若点在函数的图象上，求出m的值．
【答案】(1)3，1，-1
(2)见解析
(3)点A、B不在函数的图象上，点C在其图象上
(4)-4
【详解】（1）解：当时，，
当时，，
当时，，
故答案为：3，1，；
（2）解：如图：
（3）解：∵当时，；
当时，；
当时，，
∴点不在函数的图象上，点C在其图象上．
（4）解：∵点在函数的图象上，
∴，解得．
1．（2023·山东临沂·二模）数学活动课上，老师提出一个探究问题：
制作一个体积为，底面为正方形的长方体包装盒，当底面边长为多少时，需要的材料最省（底面边长不超过，且不考虑接缝）.某小组经讨论得出：材料最省，就是尽可能使得长方体的表面积最小．
下面是他们的探究过程，请补充完整：
(1)设长方体包装盒的底面边长为，表面积为.可以用含x的代数式表示长方体的高为.根据长方体的表面积公式：长方体表面积底面积侧面积.得到y与x的关系式：______（）；
(2)列出y与x的几组对应值：
… 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0
… 80.5 42.0 31.2 a 28.5 31.3
（说明：表格中相关数值精确到十分位）
表中____________．
(3)在图2的平面直角坐标系中，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；
【答案】(1)
(2)
(3)见解析
【详解】（1）
解：由题意，；
故答案为：；
（2）
解：当时，；
故答案为：28.0；
（3）解：函数图像如图所示：
2．（2024·辽宁沈阳·一模）如图，在四边形中，，，点E是边上一动点，连接，过点E作的垂线交直线于点F．已知，，，设的长为，的长为．小东根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行探究．下面是小东的探究过程，请补充完整：
(1)通过取点、画图、测量，得到了x与y的几组值，如下表（说明：表格中的y值均保留一位小数）：
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
2.5 1.1 m 0.9 1.5 1.9 2.0 1.9 1.5 0.9 0.0
通过分析计算，m的值为 ；
(2)在图②中，建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；
(3)结合画出的函数图象，解决问题：当时，的长度约为 ．
【答案】(1)0
(2)见解析
(3)
【详解】（1）解：根据图象的对称性，时，，
故答案为：0；
（2）解：根据题意作图得：
（3）解：根据题意，当时，即，则，
所以所画图象与直线交点即为所求数值．故测量数据在之间．
故答案为：．
3．（八年级上·河南郑州·期末）小张根据学习函数的经验，对函数 的图象与性质进行了探究，下面是小张的探究 过程，请你补充完整：
x … 0 1 2 3 4 …
y … 2 1 0 0 m 2 …
(1)表中的 ；
(2)在图中直接画出该函数的图象，并写出该函数的一条性质或特征：______；
(3)已知直线 与函数 的图象相交，则当 时，x 的值是 ．
【答案】(1)1
(2)画图见解析．函数的最小值为 ；当时，y随x增大而增大；当时，y随x增大而减小
(3)或2
【详解】（1）把代入，得，
∴，
故答案为：1．
（2）如图．
函数的最小值为 ；当时，y随x增大而增大；当时，y随x增大而减小．
（3）由图象可知，当，即为两图象交点的横坐标，
∴或．
故答案为：2或．
4．（九年级下·福建福州·开学考试）小强用竹篱笆围一个面积为平方米的矩形小花园，他考虑至少需要几米长的竹篱笆（不考虑接缝），根据学习函数的经验，他做了如下的探究，请你补充完善他的思考过程．
1 2 3 4 5
10 6
(1)建立函数模型：设矩形小花园的一边长为米，则矩形小花园的另一边长为____米（用含的代数式表示），若总篱笆长为米，请写出总篱笆长（米）关于边长（米）的函数关系式____；
(2)列表：根据函数的关系式，得到了与的几组对应值，如表：表中____，____；
(3)描点、画出函数图象：如图，在平面直角坐标系中，将表中未描出的点，补充完整，并根据描出的点画出该函数的图象；
(4)解决问题：根据以上信息可得，当_____时，y有最小值．由此，小强确定篱笆长至少为____米．
【答案】(1)，
(2)，
(3)见解析
(4)，
【详解】（1）解：∵用竹篱笆围一个面积为平方米的矩形小花园，小花园的一边长为米，
∴小花园的另一边长为，
∵总篱笆长为米，
∴，
故答案为：，；
（2）由（1）可知：，
当时，，
当时，，
故答案为：，；
（3）在坐标系中描点和，并用平滑的曲线连接点，如图所示：
（4）由图像可知：当时，有最小值为．
∴小强确定篱笆长至少为米．
故答案为：，．
5．（九年级上·山东济南·期中）阅读以下材料
通过列表描点我们可以画出的图象如图：
观察图象可以得出以下结论：
时，函数有最小值，最小值是0．
若y随x的增大而增大，x的取值范围是，若y随x的增大而减少，x的取值范围是．
提出问题：当时如何求函数最大值或最小值？
解决问题：
借鉴我们已有的研究函数的经验，我们利用观察函数的图像探索函数（）的最大（小）值．
(1)实践操作：填写下表，并用描点法画出函数（）的图象：
x … 1 2 3 4 …
y … …
(2)观察猜想：观察该函数的图象，
当______时，函数（）有最______值（填“大”或“小”），是______．
若y随x的增大而增大，x的取值范围是______，
若y随x的增大而减少，x的取值范围是______．
(3)知识能力运用：直接写出函数
当______时，该函数有最______值（填“大”或“小”），是______．
【答案】(1)见解析
(2)1，小，2，，
(3)2，大，
【详解】（1）解：当时，．
当时，．
当时，．
当时，．
当时，．
当时，．
当时，．
将上述的对应值填入表格如下：
1 2 3 4
2
将表格中， 的对应值作为点的坐标在直角坐标系中描出各点，再按照横坐标由小到大用一条光滑的曲线连接起来，就得到函数的图象如图所示，
（2）观察该函数的图象，当时，函数有最小值，最小值是2，
若随的增大而增大，的取值范围是，若随的增大而减少，的取值范围是．
故答案为：1，小，2，，；
（3）解：画出函数的图象如图所示：
观察函数的图象得：当时，该函数有最大值，最大值是．
故答案为：2，大，．
6．（七年级上·山东威海·期末）结合一次函数的学习经验，探究函数：的图像和性质，请完善下面的研究过程．
(1)自变量的取值范围为______；
(2)化简函数解析式：
①当时，______；
②当时______；
③当时______；
(3)请在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图像；
(4)若关于的方程：有两个解，请直接写出的取值范围是______．
【答案】(1)全体实数
(2)①；②；③
(3)见解析
(4)
【详解】（1）解：根据题意，得自变量取值范围是全体实数，
故答案为：全体实数．
（2）解：∵，
∴①当时，，
故答案为：．
②当时，
故答案为：．
③当时．
故答案为：．
（3）解：根据题意，画图像如下：
．
（4）解：根据题意，方程有两个解的条件是函数值大于2，即，
故m的取值范围是．
题型三：用函数图形表示两个变量的变化规律
【例题3】．（七年级下·陕西西安·阶段练习）如图，边长分别为1和2的两个正方形，其中一条边在同一水平线上，小正方形沿该水平线自左向右匀速穿过大正方形，设穿过时间为，大正方形的面积为，小正方形与大正方形重叠部分面积为，若，则随变化的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】
解：由题意得：的最小值是3，的最大值是4，
的值由4逐渐减小到3，一段时间后，再由3逐渐增加到4，
所以选项A中的函数图象符合题意，
故选：A．
【变式3】．（八年级下·全国·课后作业）亮亮每天都要坚持体育锻炼，某天他跑步到离家较近的体育场，在那里锻炼了一段时间，然后沿着原路散步走回家，下列最符合亮亮离家的距离s与时间t之间的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】解：图象应分三个阶段，第一阶段：跑步到离家较近的体育场，在这个阶段，离家的距离随时间的增大而增大；
第二阶段：在那里锻炼了一段时间，这一阶段离家的距离不随时间的变化而改变．故A错误；
第三阶段：沿着原路散步走回家，这一阶段，离家的距离随时间的增大而减小，故D错误，并且这段的速度小于第一阶段的速度，则B错误．
故选：C．
1．（八年级下·全国·随堂练习）小明的父亲从家走了到一个离家的书店，在书店看了书后，用返回家，下列图中表示小明的父亲离家的距离与时间的函数图象的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】解：依题意，0~20分钟去书店，离家的距离增加到900米，这段是正比例函数；
20~30分钟看书，离家的距离不变，是一段平行与x轴的线段；
30~45分钟返回家，离家的距离减少为0米．
故选：B．
2．（七年级下·全国·课后作业）用恒定不变的水速往某一容器里注水，该容器的水位高度h（dm）与注水时间t（min）的关系如图，则该容器的形状可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：图象可知，相同注水速度下，水面上升的速度随着注水时间的增加而减小，
∴容器的形状可能是下窄上宽，
故选D．
3．（七年级下·全国·课后作业）一个温度计从一杯热茶中取出之后，立即被放入一杯凉水中，此时温度计所显示的温度随时间的变化而变化，下列可以近似地表示温度计所显示的温度与时间之间的关系的图象是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
解：温度计从一杯热茶中取出之后，温度较高，立即放入一杯凉水中，温度快速下降，所以符合要求的是C选项，
故选：C．
4．（九年级下·河北邢台·阶段练习）如图，小亮在运动场上晨练，一段时间内沿着一扇形的轮廊（如图中箭号所示）匀速小跑，能近似刻画小亮离出发点的距离与时间之间关系的函数图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】解：由扇形的特点可知，一开始时，小亮离出发点的距离越来越远，当小亮到达扇形的弧形上时直至离开弧形离出发点的距离保持不变，而后离出发点的距离越来越近，
∴四个选项中，只有C选项符合题意，
故选：C．
4．（八年级上·江苏常州·期末）如图，将一个圆柱形无盖小烧杯放置在一个圆柱形无盖大烧杯底部，杯底厚度忽略不计．已知大烧杯的底面半径是小烧杯的底面半径的2倍，现向小烧杯内匀速加水，当大烧杯内的水面高度与小烧杯顶部齐平时，就停止加水．在加水的过程中，小烧杯、大烧杯内水面的高度差随加水时间变化的图象可能是（ ）
B．
C． D．
【答案】C
【详解】解：大烧杯的底面半径是小烧杯的底面半径的2倍，
小烧杯的容积是大烧杯与小烧杯顶部齐平时下部容积的，
注满小烧杯的所需时间是大烧杯下部注水时间的，
小烧杯、大烧杯内水面的高度差随加水时间变化的图象可能是选项C．
故选：C
题型四：函数图形中的动点问题
【例题4】．（2024七年级下·全国·专题练习）如图，在矩形中，动点从点出发，沿着方向运动至点处停止．设点运动的路程为，的面积为，如果关于的函数图象如图所示，那么下列说法不正确的是（ ）
A．当时， B．当时，
C．的最大值是 D．矩形的周长是
【答案】B
【详解】解：由图象可知，四边形的边长，，，
、当时，点在线段上，，此选项正确，不符合题意；
、当时，点在线段或 上，或，此选项答案不全，符合题意；
、的最大值是，此选项正确，不符合题意；
、矩形的周长是，此选项正确，不符合题意；
故选：．
【变式4】．（七年级下·广东佛山·期中）如图（1），从矩形纸片中剪去矩形后，动点从点出发，沿、、、以的速度匀速运动到点停止，设点运动的时间为，的面积为，如果关于的函数图象如图5（2）所示，则图形的面积是（ ）．
A．32 B．34 C．48 D．36
【答案】D
【详解】解：根据函数图象可以知道，从0到4，随的增大而增大，因而，在段时，底边不变，高不变，因而面积不变，由图象可知；同理：，；则，
则图形的面积是：矩形的面积矩形的面积．
图形的面积是．
故选：D．
1．（九年级上·浙江湖州·期末）如图，在等腰中，于点D．动点从点出发，沿着的路径以每秒个单位长度的速度运动到点停止，过点作于点，作于．在此过程中四边形的面积与运动时间的函数关系图象如图所示，则的长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：∵动点从点出发，沿着的路径运动，
∴第一个拐点的位置在点处，此时点运动到点，
∵图中拐点的纵坐标，
∴四边形的面积为，
∵，，
∴，
∵，
∴ 四边形是矩形，
∵是等腰直角三角形，，
∴，，，
∴，，
∴四边形是正方形，，
∴是等腰直角三角形，
∵四边形的面积为，
∴，
∴，
∴，
故选：．
2．（八年级上·浙江衢州·期末）如图1，在中，，点从点A出发，沿三角形的边以的速度运动，图2是点运动时，线段的长度随运动时间变化的图象．若点是曲线的最低点，则点的纵坐标为（ ）
A． B．4 C． D．6
【答案】C
【详解】解：图（2）中图象有三段，正好对应图（1）中的线段，
由图象可知，，
，
；
如图，过点A作于点P，
∴当时，最小，
即当点P运动到图（2）所示点D位置时，对应图（1），
∵，
，
的纵坐标为，
故选：C．
3．（八年级上·安徽淮北·期末）如图1，在长方形中，，E是边上一点，且，点P从点B出发，沿折线匀速运动，运动到点C停止．点P的运动速度为，运动时间为，的面积为，y与t的函数关系图象如图2所示，则下列结论错误的是（ ）
A． B．
C． D．当时，
【答案】C
【详解】解：∵四边形为长方形，
∴，，
A．当时点P运动到点E，此时，解得，则A正确，故本选项不符合题意；
B．由，，得，结合点P的运动速度为，得，那么，则B正确，故本选项不符合题意；
C．由，点P的运动速度为，得，则，C错误，故本选项符合题意；
D．当时，，则D正确，故本选项不符合题意；
故选：C．
3．（九年级上·河北石家庄·期末）如图1，已知扇形，点从点出发，沿以的速度匀速运动，设点的运动时间为，，随变化的图象如图2所示，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：由图象可知：点P从点B运动到点O的时间为，
∴，即扇形的半径为，
∴点P从点O运动到点A的时间为3，
由图象可知，点P从点O运动到点B的时间为，
∴点P从点A运动到点B的时间为，
∴的长为．
故选：B．
5．（九年级上·河南南阳·期末）如图1，点P从的顶点B出发，沿直线运动到三角形内部一点，再从该点沿直线运动到顶点A．作于点D，点P运动的路程为x，，图2是点P运动时y随x变化的关系图象，则的长为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】B
【详解】设点为点所在运动路径中的转折点，根据题意画出点运动的路径图如图所示，
根据图2可知，当时，，
即此时，，
，
又由图2知，当时，，
此时，
，
，
，
，
．
故选B．
6．（2022·海南海口·二模）如图1，从长方形纸片中剪去长方形后，动点P从点B出发，沿运动到点F停止，设点P运动的路程为x，的面积为y，如果y关于x 的函数图象如图2所示，则图形的面积是（ ）
A．32 B．34 C．36 D．48
【答案】C
【详解】解：由函数图象可知，当时，点P在上运动，在时，点P在上运动，当时，点P在上运动，当时，点P在上运动，
∴，
∴，
∴图形的面积，
故选C．
7．（九年级下·山东德州·阶段练习）如图1，在中，动点P从点A出发沿折线匀速运动至点A后停止．设点P的运动路程为x，线段的长度为y，图2是y与x的函数关系的大致图象，其中点F为曲线的最低点，则的高的长为 ．
【答案】
【详解】解：如图过点A作于点Q，当点P与Q重合时，在图2中F点表示当时，点P到达点Q，此时当P在上运动时，最小，
，，，
在中，，，
，
，
故答案为：.
8．（2023·贵州贵阳·二模）如图①，在中，，动点从点出发，沿折线匀速运动至点停止．若点的运动速度为，设点的运动时间为的长度为与的函数图象如图②所示．当点在上运动时，若的长度最短，此时的值为 ．
【答案】//
【详解】解：根据函数图像可得：点P运动4秒时即为点P运动到B点，点P运动9秒即为点P运动到C点，
，
，
，
当点在上运动时，的长度最短时，此时，如图，
设，则，
，即，
，
，
，
，
故答案为：．
9．（七年级下·四川成都·期中）如图1，已知长方形，动点P沿长方形的边以B→C→D的路径运动，记的面积为y，动点P运动的路程为x，y与x的关系如图2所示，则图2中的m的值为 ．
【答案】12
【详解】解：从图（2）看，，，
则当时，点P在点C处，
则．
故答案为：12．
10．（八年级上·河北保定·期末）如图①，在正方形中，点以每秒的速度从点出发，沿的路径运动，到点停止．过点作，与边（或边）交于点，的长度与点的运动时间（秒）的函数图象如图②所示，当点运动秒时，的长是 ．
【答案】
【详解】解：∵正方形，
∴是等腰直角三角形，
由题意知，当运动到时，最长，，
由图象可知，当时，，
∴，
当时，，
∵，
∴是等腰直角三角形，，
由勾股定理得，，
故答案为：．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)
