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8.6.3平行与垂直关系的综合应用
解答立体几何综合题时，要学会识图、用图与作图．图在解题中起着非常重要的作用，空间平行、垂直关系的证明，都与几何体的结构特征相结合，准确识图，灵活利用几何体的结构特征找出平面图形中的线线的平行与垂直关系是证明的关键．
【题干】如图，已知六棱锥的底面是正六边形，平面， 则下列结论正确的是（ ）
A. B. 平面平面
C. 直线平面 D. 直线与平面所成的角为
【答案】D
【解析】因为与在平面的射影不垂直，所以不成立，又因为平面平面，所以平面平面也不成立；平面，直线平面也不成立.在中，.
【题干】. 是两个不同的平面，. 是平面及之外的两条不同直线，给出四个论断：① ；② ；③ ；④ .以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题________．
【答案】②③④①
【解析】同垂直于一个平面的两条直线互相平行，同垂直于两个平行平面的两条直线也互相平行.（答案不唯一）
【题干】如图，四棱锥中，平面，底面为矩形，，，为的中点．
（1）求证：；
（2）求三棱锥的体积；
（3）边上是否存在一点，使得平面，若存在，求出的长；若不存在，请说明理由．
【难度】**
【答案】（1）见解析（2）（3）见解析
【解析】（1）证明:因为平面 ，所以又因为是矩形，所以.因为 所以平面 又因为平面，所以
（2）因为平面，所以是三棱锥的高.因为为的中点，且，所以.又因为，所以.
（3）取中点，连接，因为为的中点，是的中点，所以.又因为平面平面 所以平面
所以 即在边上存在一点，使得平面的长为.
【题干】如图梯形和正所在平面互相垂直，其中 ，且为中点.
（1） 求证：平面；
（2） 求证：.
【难度】***
【答案】
【解析】（1）因为为中点，所以，又因为，所以有，所以为平行四边形，所以，又因为平面平面，所以平面.
（2）连接.因为，所以为平行四边形，又因为，所以为菱形，所以，因为正三解形，为中点，所以，又因为平面平面，平面平面，所以平面， 而平面，所以，又，所以平面.又平面，所以.
【题干】如图，在四面体中，，，点.分别是.的中点．求证：
（1）直线平面；
（2）平面平面
【难度】***
【答案】见解析
【解析】（1）在中，因为.分别是.的中点，所以.又平面，平面，所以直线平面.
（2）在中，因为，，所以.在中，因为，为的中点，所以.因为平面平面 与交于点，所以平面.又因为平面，所以平面平面.
【题干】如图，正方形和四边形所在的平面互相垂直，， .
（1）求证：平面；
（2）求证：平面.
【难度】**
【答案】见解析
【解析】（1）设与交于点.因为，且 .所以四边形为平行四边形，所以.因为平面平面，所以平面.
（2）如图，连接.因为 ，且，所以四边形为菱形．所以.为四边形为正方形，所以.又因为平面平面，且平面平面，所以平面.
所以 又.所以平面.
【点评】解答立体几何综合题时，要学会识图、用图与作图．图在解题中起着非常重要的作用，空间平行、垂直关系的证明，都与几何体的结构特征相结合，准确识图，灵活利用几何体的结构特征找出平面图形中的线线的平行与垂直关系是证明的关键．
【题干】如图，在四棱台中，平面，底面是平行四边形，，，.
（1）证明：；
（2）证明：平面.
【难度】***
【答案】见解析
【解析】（1）因为平面，且平面，所以.
又因为，在中，由余弦定理得，所以，因此.又因为，所以平面.又因为平面，故.
（2）如图，连结，设，连结，因为四边形为平行四边形，所以.由棱台定义及知且，所以四边形为平行四边形，因此.又因为平面，平面，所以平面.
【点评】第（1）问转化为证明垂直所在平面；第（2）问在平面内寻找一条线与平行.
【题干】如图，在多面体中，四边形是正方形，，，，，，为的中点．
（1）求证：平面；
（2）求证：平面 ；
（3）求四面体的体积．
【难度】***
【答案】（1）见解析.（2）见解析.（3） .
【解析】（1）证明:设与交于点，则为的中点．连，由于为的中点，故.又因为，，四边形为平行四边形．，而平面，平面.
（2）证明:由四边形为正方形，有.又因为，.而，平面，，.又因为，为的中点，. 平面. .又，.又，，平面.
（3）因为，，平面. 为四面体的高．又因为， .
【题干】如图，在四棱锥中，平面平面，，，分别是的中点．求证：
（1）直线平面 ；
（2）平面平面.
【难度】**
【答案】见解析
【解析】（1）在中，因为分别为 的中点，所以.又因为平面，平面，所以直线平面.
（2）如图，连结. 因为，，所以为正三角形．因为是的中点，所以.因为平面平面，平面，平面平面，所以平面.又因为平面，所以平面平面.
【点评】平面与平面垂直的性质：如果两平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面．
【题干】如图所示，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，.分别为.的中点，侧面底面，且.
（1）求证：平面；
（2）求证：平面平面
【难度】***
【答案】见解析
【解析】（1）连接，则是的中点，为的中点，故在中，，又因为平面，平面，平面.
（2）因为平面平面，平面平面，又因为，平面，.又因为，是等腰直角三角形，且，即.又因为，平面.又因为平面，平面平面.
【点评】线面平行关键是找到平行线，一般是中位线和平行四边形方法.证明垂直，找到两条相交直线都和某条直线垂直，但是往往有一条垂直条件是通过线面垂直的性质得到的，注意体会.
【题干】如图所示，在直角梯形 中，，，为线段的中点，将沿折起，使平面平面，得到几何体.
（1）若分别为线段的中点，求证：平面；
（2）求证：平面.
【难度】***
【答案】见解析
【解析】（1）证明：依题意，折叠前后，位置关系不改变， 因为分别为线段，的中点，在中，，.因为平面，面，平面.
（2）证明：将沿折起后，位置关系不改变，.因为平面平面，平面平面，面平面
【题干】如图所示，已知中，，，平面，，.分别是.上的动点，且
（1）求证：不论为何值，总有平面平面；
（2）当为何值时，平面平面
【难度】****
【答案】（1）见解析（2）
【解析】证明：（1）因为平面，，因为且 平面.又因为，不论为何值，恒有，平面平面，不论为何值恒有平面平面.
（2）由（1）知，，又因为平面平面，平面，.因为，，，由得，，故当时，平面平面.
【题干】如图，四棱锥中，平面，底面为矩形，，，为的中点．
（1）求证：；
（2）求三棱锥的体积；
（3）边上是否存在一点，使得平面，若存在，求出的长；若不存在，请说明理由．
【难度】***
【答案】见解析
【解析】（1）证明：因为平面，所以.又因为是矩形，
所以.因为，所以平面.所以.
（2）因为平面，所以是三棱锥的高.因为为的中点，
且，所以.又因为，
所以.
（3）取中点，连接，因为为的中点，是的中点，
所以.又因为平面，平面，所以平面.
所以.即在边上存在一点，使得平面的长为.
【题干】如图：在四棱锥中，底面是菱形，平面，点分别为的中点，且.
（1）证明：⊥平面；
（2）求三棱锥的体积；
（3）在线段上是否存在一点，使得平面；若存在，求出的长；若不存在，说明理由.
【难度】***
【答案】（1）见解析（2）见解析（3）存在
【解析】（1）证明：因为为菱形，，又因为，，又因为为中点，而平面，平面，，又因为，平面.
（2）因为.又因为底面，所以三棱锥的体积.
（3）存在点，取中点，连接，因为分别为中点 ，又在菱形中，，，即是平行四边形，，又因为平面平面，平面，即在上存在一点，使得平面，此时.
【题干】如图，四棱锥的底面是正方形，底面，点在棱上．
（1）求证：平面平面；
（2）当，且为的中点时，求与平面所成的角的大小．
【难度】****
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】（1）证明：因为四边形是正方形，.因为底面，.又因为，平面.又因为平面，平面平面.
（2）设，连接.由（1）知，平面于点，为与平面所成的角．因为点.分别为.的中点，，
且.又因为底面，底面，.
在中，，.即与平面所成的角为.
【点评】（1）转化为证明平面；（2）与平面所成的角即为与它在平面上的射影所成的角．
【题干】如图，已知平面，，，，分别为的中点．
（1）证明：平面；
（2）求与平面所成角的正弦值．
【答案】（1）见解析；（2）
【难度】****
【解析】（1）证明：因为分别为的中点，所以.又因为，因此，平面，平面，从而平面.
（2）如图，连接.因为为的中点，且，所以.因为平面，所以平面.因此，又因为，故平面.由（1）有，又因为，所以四边形为平行四边形，故，因此平面，为和平面所成的角，在中，， ，.因此和平面所成角的正弦值为.
【题干】如图，已知直四棱柱的底面是边长为的菱形，是侧棱延长线上的一点，过点作菱形截面交侧 于点，设截面 的面积为四面体的三个侧面，面积的和为.
（1）证明：；
（2）当取得最小值时，求的值，
【难度】***
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】（1）连.，则；因为底面，则，平面.而平面，.
（2）设是与的交点，，，则
.
所以令，则 ，
当即时，取得最小值.此时，，由余弦定量有.
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8.6.3平行与垂直关系的综合应用
解答立体几何综合题时，要学会识图、用图与作图．图在解题中起着非常重要的作用，空间平行、垂直关系的证明，都与几何体的结构特征相结合，准确识图，灵活利用几何体的结构特征找出平面图形中的线线的平行与垂直关系是证明的关键．
【题干】如图，已知六棱锥的底面是正六边形，平面， 则下列结论正确的是（ ）
A. B. 平面平面
C. 直线平面 D. 直线与平面所成的角为
【题干】. 是两个不同的平面，. 是平面及之外的两条不同直线，给出四个论断：① ；② ；③ ；④ .以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题________．
【题干】如图，四棱锥中，平面，底面为矩形，，，为的中点．
（1）求证：；
（2）求三棱锥的体积；
（3）边上是否存在一点，使得平面，若存在，求出的长；若不存在，请说明理由．
【题干】如图梯形和正所在平面互相垂直，其中 ，且为中点.
（1） 求证：平面；
（2） 求证：.
【题干】如图，在四面体中，，，点.分别是.的中点．求证：
（1）直线平面；
（2）平面平面
【题干】如图，正方形和四边形所在的平面互相垂直，， .
（1）求证：平面；
（2）求证：平面.
【题干】如图，在四棱台中，平面，底面是平行四边形，，，.
（1）证明：；
（2）证明：平面.
【题干】如图，在多面体中，四边形是正方形，，，，，，为的中点．
（1）求证：平面；
（2）求证：平面 ；
（3）求四面体的体积．
【题干】如图，在四棱锥中，平面平面，，，分别是的中点．求证：
（1）直线平面 ；
（2）平面平面.
【题干】如图所示，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，.分别为.的中点，侧面底面，且.
（1）求证：平面；
（2）求证：平面平面
【题干】如图所示，在直角梯形 中，，，为线段的中点，将沿折起，使平面平面，得到几何体.
（1）若分别为线段的中点，求证：平面；
（2）求证：平面.
【题干】如图所示，已知中，，，平面，，.分别是.上的动点，且
（1）求证：不论为何值，总有平面平面；
（2）当为何值时，平面平面
【题干】如图，四棱锥中，平面，底面为矩形，，，为的中点．
（1）求证：；
（2）求三棱锥的体积；
（3）边上是否存在一点，使得平面，若存在，求出的长；若不存在，请说明理由．
【题干】如图：在四棱锥中，底面是菱形，平面，点分别为的中点，且.
（1）证明：⊥平面；
（2）求三棱锥的体积；
（3）在线段上是否存在一点，使得平面；若存在，求出的长；若不存在，说明理由.
【题干】如图，四棱锥的底面是正方形，底面，点在棱上．
（1）求证：平面平面；
（2）当，且为的中点时，求与平面所成的角的大小．
【题干】如图，已知平面，，，，分别为的中点．
（1）证明：平面；
（2）求与平面所成角的正弦值．
【题干】如图，已知直四棱柱的底面是边长为的菱形，是侧棱延长线上的一点，过点作菱形截面交侧 于点，设截面 的面积为四面体的三个侧面，面积的和为.
（1）证明：；
（2）当取得最小值时，求的值，
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