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6.4.5三角形个数与形状专题
知识要点
已知三角形的两边和其中一边的得对角,不能唯一确定三角形的形状,解决这类三角形问题将出现无解、一解和两解的情况,
1)几何法:如下图表示在中,已知和时解三角形的各种情况.
① 当为锐角时,
② 当为直角或钝角时:画图先画已知角,使未知边水平,顶点在上边,以为圆心以边长为半径做圆,看射线交点的个数,即三角形解得个数.
2)代数法
用代数方法来讨论三角形的情况:如下:若已知,由正弦定理得:.
① 当时,则这样的角不存在,即三角形无解.
② 当时,则在内存在角,使,但此时三角形不一定有解.即
a. 当时,,若时,则三角形有一解;若时,则无解.
b. 当时,设满足的锐角,钝角为,则当时三角形无解;则当时,三角形有解,且当时有两解,当时有一解.
典型例题
【题干】在中内,角的对边分别是,若满足的恰有两解,则的取值范围是( )
A. B.
C. D.
【题干】在中,由已知条件解三角形,其中有两解的是( )
A. B.
C. D.
【题干】根据下列条件解三角形:
(1);(2);(3);
(4)
其中有唯一解的个数( )
A. B. C. D.
【题干】,是等腰直角斜边上的三等分点,则( )
A. B. C. D.
【题干】在中,为边上一点,,,,
若的面积为,则_________ .
【题干】在中,内角,,的对边分别是,,,若,则( ).
A. B. C. D.
【题干】某人要制作一个三角形,要求它的三条高的长度分别为,,,则( )
A. 不能作出这样的三角形 B. 作出一个锐角三角形
C. 作出一个直角三角形 D. 作出一个钝角三角形
【题干】中,,试判断的形状.
【题干】中,若且,则的形状是( )
A. 等边三角形 B. 直角三角形
C. 等腰三角形 D. 等腰直角三角形
【题干】在中,若,则是( )
A. 等腰三角形 B. 直角三角形
C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角形或直角三角形
【题干】在中,,判断这个三角形的形状.
【题干】根据所给条件,判断的形状:
(1);(2).
【题干】证明:在中,若,则此三角形必是等腰三角形.
【题干】在中,若,则的形状一定是( )
A. 等腰直角三角形 B. 直角三角形
C. 等腰三角形 D. 等边三角形
【题干】在中,已知,
且,则是( )
A. 正三角形 B. 正三角形或直角三角形
C. 直角三角形 D. 等腰三角形
【题干】在中,若,则的形状一定是( ).
A. 等腰直角三角形 B. 直角三角形
C. 等腰三角形 D. 等边三角形
【题干】在中,若,则是( ).
A. 等腰三角形 B. 直角三角形
C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角形或直角三角形
【题干】在中,已知且,则是( ).
A. 正三角形 B. 正三角形或直角三角形
C. 直角三角形 D. 等腰三角形
【题干】在中,,判断这个三角形的形状.
【题干】在中,所对的边分别为,若成等比数列,
且,求角的大小并判断的形状.
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6.4.5三角形个数与形状专题
知识要点
已知三角形的两边和其中一边的得对角,不能唯一确定三角形的形状,解决这类三角形问题将出现无解、一解和两解的情况,
1)几何法:如下图表示在中,已知和时解三角形的各种情况.
① 当为锐角时,
② 当为直角或钝角时:画图先画已知角,使未知边水平,顶点在上边,以为圆心以边长为半径做圆,看射线交点的个数,即三角形解得个数.
2)代数法
用代数方法来讨论三角形的情况:如下:若已知,由正弦定理得:.
① 当时,则这样的角不存在,即三角形无解.
② 当时,则在内存在角,使,但此时三角形不一定有解.即
a. 当时,,若时,则三角形有一解;若时,则无解.
b. 当时,设满足的锐角,钝角为,则当时三角形无解;则当时,三角形有解,且当时有两解,当时有一解.
典型例题
【题干】在中内,角的对边分别是,若满足的恰有两解,则的取值范围是( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】由三角形有两角的重要条件可知,即,解得,即的取值范围为.
【题干】在中,由已知条件解三角形,其中有两解的是( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】A项中,由正弦定理可求得,进而可推出三角形只有一个解;B项中 为定值,故三角形有一解.C项中由及正弦定理,得,所以,因而B有两个值,D项中,进而可知,则不符合题意,故三角形无解.
【点评】
为锐角 为钝角或直角
图形
关系 式
解的 个数 无解 一解 两解 一解 一解 无解
【题干】根据下列条件解三角形:
(1);(2);(3);
(4)
其中有唯一解的个数( )
A. B. C. D.
【答案】C
【题干】,是等腰直角斜边上的三等分点,则( )
A. B. C. D.
【答案】D
【题干】在中,为边上一点,,,,
若的面积为,则_________ .
【答案】
【题干】在中,内角,,的对边分别是,,,若,则( ).
A. B. C. D.
【答案】A;
【题干】某人要制作一个三角形,要求它的三条高的长度分别为,,,则( )
A. 不能作出这样的三角形 B. 作出一个锐角三角形
C. 作出一个直角三角形 D. 作出一个钝角三角形
【答案】D
【解析】设三边分别为利用面积相等可知,∴令,,由余弦定理得,所以角为钝角.
【题干】中,,试判断的形状.
【答案】等腰三角形或直角三角形
【解析】∵,∴,根据正弦定理,
可得,化简整理的,得,
∴即,又,∴或,解得或,因此是等腰三角形或直角三角形.
【点评】判断三角形的形状的基本思想是;利用正、余弦定理进行边角的统一.即将条件化为只含角的三角函数关系式,然后利用三角恒等变换得出内角之间的关系式;或将条件化为只含有边的关系式,然后利用常见的化简变形得出三边的关系.
【题干】中,若且,则的形状是( )
A. 等边三角形 B. 直角三角形
C. 等腰三角形 D. 等腰直角三角形
【答案】D
【解析】∵,∴,,∵
∴ ,,
∴,化为,∵,,∴,∴等腰直角三角形.
【题干】在中,若,则是( )
A. 等腰三角形 B. 直角三角形
C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角形或直角三角形
【答案】D
【解析】
,∴已知等式变形得:,∴或,则是等腰三角形或直角三角形.
【点评】(1)根据所给等式的结构特点利用余弦定理将角化边进行变形是迅速解答本题的关键.(2)熟练运用余弦定理及其推论,同时还要注意整体思想、方程思想在解题过程中的运用.
【题干】在中,,判断这个三角形的形状.
【答案】直角三角形
【解析】应用正弦定理和余弦定理,可得,∴,
∴,∴ ,∴是直角三角形.
【题干】根据所给条件,判断的形状:
(1);(2).
【答案】(1)等腰三角形或直角三角形;(2)等边三角形.
【解析】(1)中,∵,由正弦定理可得,故,∴或,即或,解得或.若,为等腰三角形;
若,为直角三角形;综上可得,为等腰三角形或直角三角形.
(2)中,∵,则由正弦定理可得,即,所以,故等边三角形.
【点评】判断三角形的形状的基本思想是;利用正、余弦定理进行边角的统一.即将条件化为只含角的三角函数关系式,然后利用三角恒等变换得出内角之间的关系式;或将条件化为只含有边的关系式,然后利用常见的化简变形得出三边的关系.
【题干】证明:在中,若,则此三角形必是等腰三角形.
【答案】见解析
【解析】由,得到
∴,又,
∴,即,
整理的,又和都为三角形的内角
∴,∴,即.则此三角形必是等腰三角形.
【题干】在中,若,则的形状一定是( )
A. 等腰直角三角形 B. 直角三角形
C. 等腰三角形 D. 等边三角形
【答案】C
【解析】等式即,展开化简得,
由得,故是等腰三角形.
【题干】在中,已知,
且,则是( )
A. 正三角形 B. 正三角形或直角三角形
C. 直角三角形 D. 等腰三角形
【答案】A
【解析】∵,
即,∴,
由与都为三角形的内角,∴,即,
∵,∴,
∴,则为等边三角形.
【题干】在中,若,则的形状一定是( ).
A. 等腰直角三角形 B. 直角三角形
C. 等腰三角形 D. 等边三角形
【答案】C
【解析】由得,∴.
【题干】在中,若,则是( ).
A. 等腰三角形 B. 直角三角形
C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角形或直角三角形
【答案】D
【解析】由已知得,
即:所以,或
【题干】在中,已知且,则是( ).
A. 正三角形 B. 正三角形或直角三角形
C. 直角三角形 D. 等腰三角形
【答案】A
【解析】本题要注意
【题干】在中,,判断这个三角形的形状.
【答案】直角三角形.
【解析】应用正弦定理、余弦定理,可得
,所以.
所以.所以.所以.
所以是直角三角形.
【题干】在中,所对的边分别为,若成等比数列,
且,求角的大小并判断的形状.
【答案】,为等边三角形.
【解析】由 得,解得:或(舍去),又,所以,∵成等比数列∴,
,化简得:,,
所以为等边三角形.
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