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6.4.6正余弦定理综合题型
解斜三角形和证明三角形全等或相似类似,已知条件必须能确定这个三角形,才能求出唯一的其他未知条件的解.如果已知条件不能确定一个三角形,则可能无解或有两解,如两边和一个非两边夹角.大致可以把解斜三角形用下面的表格来概括:
已知条件 定理选用 一般解法
一边和二角 (如) 正弦定理 由,求角,由正弦定理求出与,,在有解时只有一解
两边和夹角 (如) 余弦定理 由余弦定理求第三边,由正弦定理求出小边所对的角,再由,求出另一角..在有解时只有一解
三边 (如) 余弦定理 由余弦定理求出角,,再利用求出角,,在有解时只有一解
两边和其中一边的对角(如) 正弦定理 由正弦定理求出角由,求出角.再利用正弦定理求出边..可有两解,一解,或无解.
【题干】在中,内角,,的对边分别是,,.若,,则( )
A. B.
C. D.
【题干】在中,角,,所对的边分别是,,,且BC边上的高为,则的最大值为( )
A. B.
C. D.
【题干】在,角所对的边分别是,若三角形的面积,则的度数是_________.
【题干】在中,为边上一点,,,,
若的面积为,则_________.
【题干】已知,,分别是的三个内角,,所对的边,若,,,则_________.
【题干】在锐角中,角,,的对边分别为,,.
若,则的值是_________.
【题干】如图,在四边形中,,,.
(1)求的值;
(2)求的面积.
【题干】如图,已知是边长为的正三角形,,分别是边,上的点,线段经过的中心,设.
(1)试将,的面积(分别记为与)表示为的函数;
(2)求的最大值与最小值.
【题干】在中,内角,,的对边长分别为,已知,
且,求.
【题干】设的内角,,的对边长分别为,,,求.
【题干】在中,.
(1)求角的大小;
(2)若,,求.
【题干】在中,角的对边分别是,, 的面积为, 则中最大角的正切值是_________.
【题干】在中,角,,所对的边分别为,,,已知.
(1)求的值;
(2)当,时,求及的长.
【题干】在中,角所对的边分别为,且满足,.
(1)求的面积
(2)若,求的值.
【题干】设是锐角三角形,,,分别是内角,,所对边长,并且
.
(1)求角的值;
(2),,求,(其中).
【题干】已知向量,,函数.
(1)求函数的最小正周期;
(2)已知,,分别为内角,,的对边,其中为锐角,,且,求,和的面积.
.
【题干】在中,,,的对边分别为,,,
已知
(1)求的大小;
(2)若求的值.
【题干】在平面四边形中,,,则的取值范围是________.
【题干】中,是上的点,平分,的面积是面积的倍.
(1)求;
(2)若求和的长.
【题干】已知,,分别是的三个内角,,所对的边,若,,,则_________.
【题干】在中,,,,则( ).
A. B. C. D.
【题干】设是锐角三角形,,,分别是内角,,所对边长,并且
.
(1)求角的值;
(2),,求,(其中).
【题干】某兴趣小组测量电视塔的高度(单位),如示意图,垂直放置的标杆高度,仰角,
(1)该小组已经测得一组、的值,,,请据此算出的值;
(2)该小组分析若干测得的数据后,发现适当调整标杆到电视塔的距离(单位),使与之差较大,可以提高测量精度,若电视塔实际高度为,试问为多少时,最大?
【题干】在中,分别为内角,,的对边,.
(1)求的大小;
(2)求的最大值.
【题干】已知的内角,及其对边,.满足,求内角.
【题干】中,为边上的一点,,,,
求.
【题干】如图,,是海面上位于东西方向相聚海里的两个观测点,现位于点北偏东,点北偏西的点有一艘轮船发出求救信号,位于点南偏西且与点相距海里的点的救援船立即前往营救,其航行速度为海里/小时,该救援船达到点需要多长时间?
【题干】在中,角、、所对的边分别为,,,已知.
(1)求的值;
(2)当,时,求及的长.
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6.4.6正余弦定理综合题型
解斜三角形和证明三角形全等或相似类似,已知条件必须能确定这个三角形,才能求出唯一的其他未知条件的解.如果已知条件不能确定一个三角形,则可能无解或有两解,如两边和一个非两边夹角.大致可以把解斜三角形用下面的表格来概括:
已知条件 定理选用 一般解法
一边和二角 (如) 正弦定理 由,求角,由正弦定理求出与,,在有解时只有一解
两边和夹角 (如) 余弦定理 由余弦定理求第三边,由正弦定理求出小边所对的角,再由,求出另一角..在有解时只有一解
三边 (如) 余弦定理 由余弦定理求出角,,再利用求出角,,在有解时只有一解
两边和其中一边的对角(如) 正弦定理 由正弦定理求出角由,求出角.再利用正弦定理求出边..可有两解,一解,或无解.
【题干】在中,内角,,的对边分别是,,.若,,则( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由及正弦定理可得,再由,
可得,再由余弦定理可得.
【题干】在中,角,,所对的边分别是,,,且BC边上的高为,则的最大值为( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由余弦定理:①;由的面积可得:,即②;将②代入①得:,,当时取得最大值.
【题干】在,角所对的边分别是,若三角形的面积,则的度数是_________.
【答案】
【解析】由余弦定理可知,,
∵,,,∵,.
【题干】在中,为边上一点,,,,
若的面积为,则_________.
【答案】
【解析】解由的面积为可得:,解得,则,由于,,∵,可得,
则,故.
【题干】已知,,分别是的三个内角,,所对的边,若,,,则_________.
【答案】
【解析】,且,得,,,根据余弦定理可得:,因式分解得:,解得(舍去),又,根据正弦定理得:.
【题干】在锐角中,角,,的对边分别为,,.
若,则的值是_________.
【答案】
【解析】∵,由余弦定理可得:,则.
【题干】如图,在四边形中,,,.
(1)求的值;
(2)求的面积.
【答案】(1)(2)
【解析】(1)已知,由余弦定理得:,解得,由正弦定理,.
(2)在中,,解得:,
∵,,.
【题干】如图,已知是边长为的正三角形,,分别是边,上的点,线段经过的中心,设.
(1)试将,的面积(分别记为与)表示为的函数;
(2)求的最大值与最小值.
【答案】(1),.
(2)最大值,最小值.
【解析】(1)因为是边长为的正三角形的中心,所以,
∵,由正弦定理得,
则,同理可求得.
(2),∵,当或时,
取最大值,当时,取最小值.
【题干】在中,内角,,的对边长分别为,已知,
且,求.
【答案】
【解析】在中,∵,则由正弦定理及余弦定理有:,化简并整理得:,又由已知,,解得:或(舍去).
【题干】设的内角,,的对边长分别为,,,求.
【答案】
【解析】由及,得:,,,
又由及正弦定理得:,故,
或(舍去).于是或,又由,知或,
所以.
【点评】正弦定理、余弦定理、三角形面积公式对任意三角形都成立,通过这些等式就可以把有限的条件纳入到方程中,通过解方程组获得更多的元素,再通过这些新的条件解决问题.
【题干】在中,.
(1)求角的大小;
(2)若,,求.
【答案】(1) (2)见解析
【解析】(1)由已知得:,,
∵,.
(2)由可得:,,
∵,.
【题干】在中,角的对边分别是,, 的面积为, 则中最大角的正切值是_________.
【答案】
【解析】∵的面积为,,,若为最大角,此时,若不为最大角,,又,为最大角,由余弦定理得:,,再由正弦定理得:,又,.
【题干】在中,角,,所对的边分别为,,,已知.
(1)求的值;
(2)当,时,求及的长.
【答案】(1) (2)或,
【解析】(1)∵,,.
(2)当时,由正弦定理,解得:,
由,及 得:,由余弦定理得:,解得:或.
【题干】在中,角所对的边分别为,且满足,.
(1)求的面积
(2)若,求的值.
【答案】(1) (2)
【解析】(1)∵,,,
又由,得,,.
(2)∵,又,或.由余弦定理得:.
【题干】设是锐角三角形,,,分别是内角,,所对边长,并且
.
(1)求角的值;
(2),,求,(其中).
【答案】(1) (2)
【解析】(1)∵,.
(2),可得,,由余弦定理可得,.
【题干】已知向量,,函数.
(1)求函数的最小正周期;
(2)已知,,分别为内角,,的对边,其中为锐角,,且,求,和的面积.
【答案】(1) (2),,
【解析】(1),∵,.
(2),∵,,,则,则,.
【题干】在中,,,的对边分别为,,,
已知
(1)求的大小;
(2)若求的值.
【答案】(1) (2)
【解析】(1)由,得,又由,将上式整理得,,解得或(舍去),∵,得.
(2)设三角形外接圆半径为,据正弦定理及,有,
又,
得.
【题干】在平面四边形中,,,则的取值范围是________.
【答案】
【解析】如图所示,延长,交于点,则,,,设,,,,∵,,,,
的取值范围为:.
【题干】中,是上的点,平分,的面积是面积的倍.
(1)求;
(2)若求和的长.
【答案】(1) (2),
【解析】(1)如图:过作于,∵,,∵平分,,, ,.
(2)由(1)知,过作于,作于,平分,,,,
令,则,∵,,,.
【题干】已知,,分别是的三个内角,,所对的边,若,,,则_________.
【答案】1;
【题干】在中,,,,则( ).
A. B. C. D.
【答案】D;
【题干】设是锐角三角形,,,分别是内角,,所对边长,并且
.
(1)求角的值;
(2),,求,(其中).
【答案】(1)(2),
【解析】(1)因为
,所以,又为锐角,所以.
(2)由可得,.①,由(1)知,
所以 ②,由余弦定理知,将及代入,
得③,③+②,得,所以.因此,,是一元二次方程的两个根.解此方程并由知,.
【题干】某兴趣小组测量电视塔的高度(单位),如示意图,垂直放置的标杆高度,仰角,
(1)该小组已经测得一组、的值,,,请据此算出的值;
(2)该小组分析若干测得的数据后,发现适当调整标杆到电视塔的距离(单位),使与之差较大,可以提高测量精度,若电视塔实际高度为,试问为多少时,最大?
【答案】(1)(2)
【解析】(1)由,及,,
得,解得:,因此,算出的电视塔的高度是.
(2)由题设知,得,由,
得,所以,当且仅当,即时,上式取等号)所以当时,最大.因为,则,
所以当时,最大.故所求的是.
【题干】在中,分别为内角,,的对边,.
(1)求的大小;
(2)求的最大值.
【答案】(1)(2)
【解析】(1)由已知,根据正弦定理得,即
由余弦定理得,故,
(2)由(1)得:.故当时,取得最大值.
【题干】已知的内角,及其对边,.满足,求内角.
【答案】
【解析】由及正弦定理得,
,
从而,
.又,故,,
所以,.
【题干】中,为边上的一点,,,,
求.
【答案】
【解析】由知 ,由已知得:,,
从而 ,由正弦定理得,所以
【题干】如图,,是海面上位于东西方向相聚海里的两个观测点,现位于点北偏东,点北偏西的点有一艘轮船发出求救信号,位于点南偏西且与点相距海里的点的救援船立即前往营救,其航行速度为海里/小时,该救援船达到点需要多长时间?
【答案】救援船到达点需要1小时.
【解析】由题意知海里,,,∴,在中,由正弦定理得,
∴
(海里),
又,海里.在中,由余弦定理得:
,
∴(海里), 则需要的时间(小时).答:救援船到达点需要1小时.注:如果认定为直角三角形,根据勾股定理正确求得亦可.
【题干】在中,角、、所对的边分别为,,,已知.
(1)求的值;
(2)当,时,求及的长.
【答案】(1)(2)或
【解析】(1)因为,及,所以
(2)当,时,由正弦定理,得
由及得由余弦定理,得,解得或,
所以或
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