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6.4.7正余弦定理应用举例
一、用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型
测量距离问题、高度问题、角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等．
二、实际问题中的常用角
1）仰角和俯角
在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角（如图（1））．
2）方位角
指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如点的方位角为（如图（2））．
3）方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东，北偏西，西偏东等．
4）坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数．
三、做题方法
解三角形应用题的一般方法与步骤：
解三角形实际应用问题的一般步骤是：审题——建模 准确地画出图形 ——求解——检验作答. 具体方法：
1）实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解．
2）实抽象概括后，已知量与未知量涉及到两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程（组），解方程（组）得出所要求的解．
典型例题
【题干】从处望处的仰角为，从处望处的俯角为，则，的关系为( )．
A. B.
C. D.
【题干】若点在点的北偏东，点在点的南偏东，且，则点在点的（ ）．
A. 北偏东 B. 北偏西
C. 北偏东 D. 北偏西
【题干】如图所示，为了测量河对岸两点间的距离，在这岸定一基线，现已测出和，，，，试求的长．
【题干】如图，都在同一个与水平面垂直的平面内，为两岛上的两座灯塔的塔顶，测量船于水面处测得点和点的仰角分别为，，于水面处测得点和点的仰角均为，.试探究图中间距离与另外哪两点间距离相等，然后求的距离．
【题干】如图，设两点在河的两岸，一测量者在所在的同侧河岸边选定一点，测出的距离为.，后，就可以计算出两点的距离为( )．
A. B.
C. D.
【题干】如图，游客从某旅游景区的景点处下山至处有两种路径．一种是从沿直线步行到，另一种是先从沿索道乘缆车到，然后从沿直线步行到．现有甲，乙两位游客从处下山，甲沿匀速步行，速度为.在甲出发后，乙从乘缆车到，在处停留后，再从匀速步行到．假设缆车匀速直线运行的速度为，山路长为，经测量，.
（1）求索道的长；
（2）问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？
（3）为使两位游客在处互相等待的时间不超过分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？
【题干】设两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在的同侧，在所在的河岸边选定一点，测出的距离是，，．求两点的距离.(精确到)?
【题干】两灯塔与海洋观察站的距离都等于，灯塔在观察站的北偏东，灯塔在观察站南偏东，则之间的距离为多少？（老师指导学生画图，建立数学模型）
【题干】下有一小塔，在塔底测得山顶的仰角为，在山顶测得塔顶的俯角为，已知塔高，求山高.
【题干】如图所示，测量河对岸的塔高时，可以选与塔底在同一水平面内的两个测点与，现测得，，，并在点测得塔顶的仰角为，求塔高.
【题干】一船向正北航行，看见正西方向相距海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西，另一灯塔在船的南偏西，则这艘船的速度是每小时（ ）
A. 海里 B. 海里
C. 海里 D. 海里
【题干】如图，甲船以每小时海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行. 当甲船位于处时，乙船位于甲船的北偏西方向的处，此时两船相距海里，当甲船航行分钟到达处时，乙船航行到甲船的北偏西方向的处，此时两船相距海里. 问：乙船每小时航行多少海里？
【题干】如图所示，位于处的信息中心获悉：在其正东方向相距海里的处有一艘渔船遇险，在原地等待营救. 信息中心立即把消息告知在其南偏西. 相距海里的处的乙船，现乙船朝北偏东的方向即沿直线前往处救援，求.
【题干】如图，是海面上位于东西方向相距海里的两个观测点. 现位于点北偏东点北偏西的点有一艘轮船发出求救信号，位于点南偏西且与点相距海里的点的救援船立即前往营救，其航行速度为海里/小时，该救援船到达点需要多长时间？
【题干】某人在汽车站的北偏西的方向上的处，观察到点处有一辆汽车沿公路向站行驶. 公路的走向是站的北偏东.开始时，汽车到的距离为千米，汽车前进千米后，到的距离缩短了千米. 问汽车还需行驶多远，才能到达汽车站？
【题干】有三个小岛，测得两岛相距海里，，，则间的距离是_________海里.
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6.4.7正余弦定理应用举例
一、用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型
测量距离问题、高度问题、角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等．
二、实际问题中的常用角
1）仰角和俯角
在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角（如图（1））．
2）方位角
指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如点的方位角为（如图（2））．
3）方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东，北偏西，西偏东等．
4）坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数．
三、做题方法
解三角形应用题的一般方法与步骤：
解三角形实际应用问题的一般步骤是：审题——建模 准确地画出图形 ——求解——检验作答. 具体方法：
1）实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解．
2）实抽象概括后，已知量与未知量涉及到两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程（组），解方程（组）得出所要求的解．
典型例题
【题干】从处望处的仰角为，从处望处的俯角为，则，的关系为( )．
A. B.
C. D.
【答案】B.
【解析】从点看点的仰角与从点看点的俯角互为内错角，大小相等.仰角和俯角都是水平线与视线的夹角，故.
【点评】（1）仰角和俯角.在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角（如图（1））（2）方位角.指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如点的方位角为(如图（2）)．（3）方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东，北偏西，西偏东等．
【题干】若点在点的北偏东，点在点的南偏东，且，则点在点的（ ）．
A. 北偏东 B. 北偏西
C. 北偏东 D. 北偏西
【答案】B.
【解析】如图，∵，由图可知，，利用内错角相等可知，位于北偏西.
【题干】如图所示，为了测量河对岸两点间的距离，在这岸定一基线，现已测出和，，，，试求的长．
【答案】.
【解析】在中，已知，，.所以.①.在中，由正弦定理可得.②.在中，已经求得和，又因为，所以利用余弦定理可以求得两点之间的距离为.
【点评】航海、测量问题利用的就是目标在不同时刻的位置数据，这些数据反映在坐标系中就构成了一些三角形，根据这些三角形就可以确定目标在一定的时间内的运动距离，因此解题的关键就是通过这些三角形中的已知数据把测量目标归入到一个可解三角形中
【题干】如图，都在同一个与水平面垂直的平面内，为两岛上的两座灯塔的塔顶，测量船于水面处测得点和点的仰角分别为，，于水面处测得点和点的仰角均为，.试探究图中间距离与另外哪两点间距离相等，然后求的距离．
【答案】.
【解析】由题意得：，且：，故：，所以易得运用三角函数：记与相交于点，，，
【题干】如图，设两点在河的两岸，一测量者在所在的同侧河岸边选定一点，测出的距离为.，后，就可以计算出两点的距离为( )．
A. B.
C. D.
【答案】A.
【解析】由正弦定理得，
∴
【题干】如图，游客从某旅游景区的景点处下山至处有两种路径．一种是从沿直线步行到，另一种是先从沿索道乘缆车到，然后从沿直线步行到．现有甲，乙两位游客从处下山，甲沿匀速步行，速度为.在甲出发后，乙从乘缆车到，在处停留后，再从匀速步行到．假设缆车匀速直线运行的速度为，山路长为，经测量，.
（1）求索道的长；
（2）问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？
（3）为使两位游客在处互相等待的时间不超过分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？
【答案】（1）；（2）；（3）.
【解析】（1），，∴，，如图作于点，设，则，，，由.解得：，则；
（2）设乙出发后到达点，此时甲到达点，如图所示，则，，由余弦定理得：，其中，
当时，最小，此时乙在缆车上与甲的距离最短：
（3）由（1）知：，甲到用时为，若甲等乙分钟，则乙到用时为，在上同时为，此时乙的速度最小，且为；若乙等甲分钟，则乙到用时为，在上用时为.此时乙的速度最大，且为.则乙步行的速度控制在范围内.
【题干】设两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在的同侧，在所在的河岸边选定一点，测出的距离是，，．求两点的距离.(精确到)?
【答案】米.
【解析】根据正弦定理，得，?.
【题干】两灯塔与海洋观察站的距离都等于，灯塔在观察站的北偏东，灯塔在观察站南偏东，则之间的距离为多少？（老师指导学生画图，建立数学模型）
【答案】.
【解析】由图知：，在中，，∴
【题干】下有一小塔，在塔底测得山顶的仰角为，在山顶测得塔顶的俯角为，已知塔高，求山高.
【答案】米.
【解析】先根据三角形内角和求得，进而根据正弦定理求得，最后在中，根据求得答案.在中，∵，，∴.又，由正弦定理，得，∴在中，.故山高为.
【点评】仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角（如图（1））．
【题干】如图所示，测量河对岸的塔高时，可以选与塔底在同一水平面内的两个测点与，现测得，，，并在点测得塔顶的仰角为，求塔高.
【答案】
【解析】在中，，由正弦定理得.在中，、.
【点评】（1）测量高度时，要准确理解仰、俯角的概念；（2）分清已知和待求，分析（画出）示意图，明确在哪个三角形内应用正、余弦定理．
【题干】一船向正北航行，看见正西方向相距海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西，另一灯塔在船的南偏西，则这艘船的速度是每小时（ ）
A. 海里 B. 海里
C. 海里 D. 海里
【答案】C.
【解析】依题意有，，所以，从而，在直角三角形中，得，于是这艘船的速度是（海里/小时）.
【题干】如图，甲船以每小时海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行. 当甲船位于处时，乙船位于甲船的北偏西方向的处，此时两船相距海里，当甲船航行分钟到达处时，乙船航行到甲船的北偏西方向的处，此时两船相距海里. 问：乙船每小时航行多少海里？
【答案】乙船每小时航行海里.
【解析】如图，连接，，，是等边三角形，，在中，由余弦定理得，.因此乙船的速度的大小为.
【点评】航海、测量问题利用的就是目标在不同时刻的位置数据，这些数据反映在坐标系中就构成了一些三角形，根据这些三角形就可以确定目标在一定的时间内的运动距离，因此解题的关键就是通过这些三角形中的已知数据把测量目标归入到一个可解三角形中.
【题干】如图所示，位于处的信息中心获悉：在其正东方向相距海里的处有一艘渔船遇险，在原地等待营救. 信息中心立即把消息告知在其南偏西. 相距海里的处的乙船，现乙船朝北偏东的方向即沿直线前往处救援，求.
【答案】.
【解析】如图所示，在中，，，，由余弦定理得，所以，由正弦定理得.由知为锐角，
故.
故.
【点评】（1）仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角（如图（1））.（2）方位角指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如点的方位角为（如图（2））．（3）方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东，北偏西，西偏东等．
【题干】如图，是海面上位于东西方向相距海里的两个观测点. 现位于点北偏东点北偏西的点有一艘轮船发出求救信号，位于点南偏西且与点相距海里的点的救援船立即前往营救，其航行速度为海里/小时，该救援船到达点需要多长时间？
【答案】救援船到达点需要小时.
【解析】由题意知海里，，，
∴，在中，由正弦定理得，
∴（海里），
又，海里，
在中，由余弦定理得，∴（海里），则需要的时间（小时）.
【点评】（1）利用示意图把已知量和待求量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解三角形的模型．（2）利用正、余弦定理解出所需要的边和角，求得该数学模型的解．
【题干】某人在汽车站的北偏西的方向上的处，观察到点处有一辆汽车沿公路向站行驶. 公路的走向是站的北偏东.开始时，汽车到的距离为千米，汽车前进千米后，到的距离缩短了千米. 问汽车还需行驶多远，才能到达汽车站？
【答案】千米.
【解析】设汽车前进千米后到达点，则在中，，，，由余弦定理得，
则.由已知，∴，.在中，由正弦定理得.从而有（千米），所以汽车还需行驶千米，才能到达汽车站.
【题干】有三个小岛，测得两岛相距海里，，，则间的距离是_________海里.
【答案】.
【解析】由题意可知， 根据正弦定理可得：.
∴，∴.
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