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7.1 复数的概念
一、复数的概念
1）虚数单位
① 它的平方等于，即；
② 实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立.
③ 与的关系就是的一个平方根，即方程的一个根，方程的另一个根是.
④ 的周期性， ， ， .
数系的扩充：
a. 复数的定义形如的数叫复数，叫复数的实部，叫复数的虚部.全体复数所成的集合叫做复数集，用字母表示
b. 复数的代数形式: 通常用字母表示，即，把复数表示成的形式，叫做复数的代数形式.
c. 复数与实数、虚数、纯虚数及的关系：
d. 复数集与其它数集之间的关系
e. 两个复数相等的定义如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等.这就是说，如果，，，，那么，
二、 复数的几何意义
1）复平面、实轴、虚轴：复数与有序实数对是一一对应关系.建立一一对应的关系.点的横坐标是，纵坐标是，复数可用点表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，轴叫做实轴，轴叫做虚轴.实轴上的点都表示实数.
2）对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为，它所确定的复数是表示是实数.除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.
3）
这就是复数的一种几何意义.也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法.
典型例题
【题干】计算：________（表示虚数单位）.
【答案】
【解析】当时，，可得.可得.
【点评】本题干考查了复数的运算法则及其周期性，属于基础题干.
【题干】设，，则下列命题干中一定正确的是（ ）
A. 的对应点在第一象限 B. 的对应点在第四象限
C. 不是纯虚数 D. 是虚数
【答案】D
【解析】因为，
所以不能判断对应点的横坐标的正负，所以不能准确判断对应点的位置，只能判断出虚部不等于，得到这是一个虚数.
【点评】本题干考查复数的代数表示法及其集合含义，考查二次函数的性质，是一个复数同二次函数结合的题干目，题干目比较简单，是高考卷中出现较多的一种形式.
【题干】在下列命题干中，正确命题干的个数为（ ）
①两个复数不能比较大小；
②虚轴上的点表示的数都是纯虚数；
③若是纯虚数，则实数；
④是虚数的一个充要条件是
⑤若是两个相等的实数，则是纯虚数；
⑥的一个充要条件是.
A. B. C. D.
【答案】①③⑥
【解析】①两个复数如果不全是实数，则不能比较大小，因此①正确；
②因为原点也在虚轴上，而原点表示实数0，所以虚轴上的点表示的数都是纯虚数不正确；
③若是纯虚数，则，，解得，故正确；
④一方面：若z是虚数，设，则 ；另一方面：设，若，则z不一定是虚数.故是z是虚数的一个必要不充分条件，因此不正确；
⑤若，则不是纯虚数，因此不正确；
⑥一方面：；另一方面：设，若，则 ，化为，因为，所以为实数.所以的一个充要条件是.
【点评】熟练掌握复数的定义及其有关概念、充要重要是解题干的关键.
【题干】已知，复数的实部为，虚部为，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为复数的实部，虚部为，所以，因为，
所以.
【点评】本题干考查复数的模的性质和求法，是基础题干，解题干时认真审题干，仔细解答.
【题干】在复平面内，复数对应的点分别为，若为线段的中点，则点对应的复数是( ）.
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】两个复数对应的点的坐标分别为，，则其中点坐标为.
【点评】本题干考查复平面的基本知识及中点坐标公式，求解此类问题干要能够灵活准确的对复平面与复数进行相互转化.
【题干】设，为锐角三角形的两个内角，则复对应的点位于复平面的（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】B
【解析】复数，对应点为.
因为
因为，是锐角，所以，，，则.
因为
因，是锐角，所以，，，则
所以复数对应的点位于复平面的第二象限.
【题干】若，复数在复平面内所对应的点在（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】B
【解析】取得，则复数在第二象限.
【点评】本体的解答中，特殊值代入是很有效的方法
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7.1 复数的概念
一、复数的概念
1）虚数单位
① 它的平方等于，即；
② 实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立.
③ 与的关系就是的一个平方根，即方程的一个根，方程的另一个根是.
④ 的周期性， ， ， .
数系的扩充：
a. 复数的定义形如的数叫复数，叫复数的实部，叫复数的虚部.全体复数所成的集合叫做复数集，用字母表示
b. 复数的代数形式: 通常用字母表示，即，把复数表示成的形式，叫做复数的代数形式.
c. 复数与实数、虚数、纯虚数及的关系：
d. 复数集与其它数集之间的关系
e. 两个复数相等的定义如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等.这就是说，如果，，，，那么，
二、 复数的几何意义
1）复平面、实轴、虚轴：复数与有序实数对是一一对应关系.建立一一对应的关系.点的横坐标是，纵坐标是，复数可用点表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，轴叫做实轴，轴叫做虚轴.实轴上的点都表示实数.
2）对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为，它所确定的复数是表示是实数.除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.
3）
这就是复数的一种几何意义.也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法.
典型例题
【题干】计算：________（表示虚数单位）.
【题干】设，，则下列命题干中一定正确的是（ ）
A. 的对应点在第一象限 B. 的对应点在第四象限
C. 不是纯虚数 D. 是虚数
【题干】在下列命题干中，正确命题干的个数为（ ）
①两个复数不能比较大小；
②虚轴上的点表示的数都是纯虚数；
③若是纯虚数，则实数；
④是虚数的一个充要条件是
⑤若是两个相等的实数，则是纯虚数；
⑥的一个充要条件是.
A. B. C. D.
【题干】已知，复数的实部为，虚部为，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【题干】在复平面内，复数对应的点分别为，若为线段的中点，则点对应的复数是( ）.
A. B. C. D.
【题干】设，为锐角三角形的两个内角，则复对应的点位于复平面的（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【题干】若，复数在复平面内所对应的点在（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
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