中小学教育资源及组卷应用平台
7.2.2复数的几何意义
复数的几何意义可以让我们运用数形结合思想把复数、向量、解析几何有机的结合在一起，能够更加灵活的解决问题干.高考中对复数几何意义的考查主要集中在复数对应点的位置、加减法的几何意义、模的意义等.
【题干】在复平面内，复数对应的点分别为，若为线段的中点，则点对应的复数是( ）.
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】两个复数对应的点的坐标分别为，，则其中点坐标为.
【点评】本题干考查复平面的基本知识及中点坐标公式，求解此类问题干要能够灵活准确的对复平面与复数进行相互转化.
【题干】复数对应的点位于复平面内的第________象限.
【答案】一
【解析】复数的分子与分母同乘分母的共轭复数，化简为的形式，同时的幂函数，得到复数对应的点的坐标即可.
【点评】本题干考查复数的代数形式的混合运算，复数的分母实数化以及的幂运算时解题干的关键.
【题干】复数（，为虚数单位）在复平面上对应的点不可能在（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】A
【解析】由已知，
在复平面对应点如果在第一象限，则 ，因此不等式无解.即在复平面对应的点不可能位于第一象限.
【点评】本题干考查复数的除法运算法则：分子、分母、同乘以分母的共轭复数；考查复数的几何意义：复数与复平面的以实部为横坐标，虚部为纵坐标的点一一对应.
【题干】若，复数在复平面内所对应的点在（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】B
【解析】取得，则复数在第二象限.
【点评】本体的解答中，特殊值代入是很有效的方法
【题干】如果复数满足，那么的最小值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】复数满足，则复数表示的点到，两点的距离之和为，而，两点间的距离为，设，，则表示的点的集合为线段，的几何意义为点到点的距离，分析可得，在点时，取得最小值，且其最小值为.
【点评】本题干考查复数的模的计算，一般有两种方法，①利用复数的几何意义，转化点与点之间的距离，②设出复数的代数形式，由模的计算公式进行求解.
【题干】满足及的复数的集合是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】设，依题干意，得，
解得，所以，.
【点评】灵活运用复数的模的知识点进行解题干，是本题干的重点.
【题干】已知复数的模为，则的最大值为_______.
【答案】
【解析】由复数的模为，得：，即，求的最大值，就是求圆，上的点与远点连线的斜率的最大值，设过原点的直线的斜率为，直线方程为，即，
由，及，由，得：，所以，
则的最大值是.
【题干】复数满足条件：，那么对应的点的轨迹是（ ）
A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线
【答案】A
【解析】设复数，，因为，所以，
所以，化简可得，
满足，表示圆.
【题干】复数，满足，，证明：.
【答案】见解析
【解析】用大写字母表示的共轭复数，因为，
所以，所以
所以，所以，所以是纯虚数，设为
所以
【题干】已知复数，满足，，且，求与的值.
【答案】
【解析】因为，，三者间的模恰好构成勾股定理，所以，可以看做矩形的两条边.用坐标法，以为轴，为Y轴，则为，为；所以，可以表示为，，故
【题干】已知，，，求.
【答案】
【解析】设，，由题干设知，，， 又由，
可得，又，所以.
【题干】若是方程的解，求证：.
【答案】见解析.
【解析】将解代入原方程得：，
将此式两边同除以，则有：，
即，，由复数相等的定义得.
【点评】在预习题中，我们看到，单位圆上的点逆时针旋转角度后即得到点.，左边称为复数的代数形式，右边称为复数的三角形式，上面就是复数三角形式的乘法的几何意义.其中称为复数的辐角.，从而我们得到复数可以表示复数逆时针旋转后得到的点对应的复数.我们有：两个非零复数所对应向量互相垂直.
【题干】复数，满足，，证明：.
【答案】见解析.
【解析】设复数，在复平面上对应的点为，，由知，
以，为邻边的平行四边形为矩形，，故可设，所以.也可设，则由向量与向量垂直知，，故.
【题干】已知复数，满足，，且，
求与的值.
【答案】.
【解析】设复数，在复平面上对应的点为，，由于，故，故以，为邻边的平行四边形是矩形，从而，则；.
【题干】已知复数满足，且，求证：.
【答案】.
【解析】设复数在复平面上对应的点为，，由条件知，以，为邻边的平行四边形为正方形，而在复平面上对应的向量为正方形的一条对角线，所以.
【题干】已知，，，求．
【答案】.
【解析】设复数，在复平面上对应的点为，由知，以，为邻边的平行四边形是菱形，记所对应的顶点为，由知， （可由余弦定理得到），故，从而.
【点评】理解了复数及其运算对应的几何意义有利于更好地理解，并快速解决一些复数中的问题．但对一般学生只要求理解复数的加减法与复数的模长的几何意义即可.
【题干】已知复数满足，求的最大值与最小值.
【答案】；.
【解析】设，则满足方程．，
又，故当时，；当时，有.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
7.2.2复数的几何意义
复数的几何意义可以让我们运用数形结合思想把复数、向量、解析几何有机的结合在一起，能够更加灵活的解决问题干.高考中对复数几何意义的考查主要集中在复数对应点的位置、加减法的几何意义、模的意义等.
【题干】在复平面内，复数对应的点分别为，若为线段的中点，则点对应的复数是( ）.
A. B. C. D.
【题干】复数对应的点位于复平面内的第________象限.
【题干】复数（，为虚数单位）在复平面上对应的点不可能在（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【题干】若，复数在复平面内所对应的点在（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【题干】如果复数满足，那么的最小值是（ ）
A. B. C. D.
【题干】满足及的复数的集合是（ ）
A. B.
C. D.
【题干】已知复数的模为，则的最大值为_______.
【题干】复数满足条件：，那么对应的点的轨迹是（ ）
A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线
【题干】复数，满足，，证明：.
【题干】已知复数，满足，，且，求与的值.
【题干】已知，，，求.
【题干】若是方程的解，求证：.
【题干】复数，满足，，证明：.
【题干】已知复数，满足，，且，
求与的值.
【题干】已知复数满足，且，求证：.
【题干】已知，，，求．
【题干】已知复数满足，求的最大值与最小值.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
