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7.2 复数的四则运算
一、知识要点
1）复数与的和的定义：
2）复数与的差的定义：
3）复数的加法运算满足交换律:
4）复数的加法运算满足结合律:
5）乘法运算规则：设，、、、是任意两个复数，那么它们的积.其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把换成，并且把实部与虚部分别合并.两个复数的积仍然是一个复数.
6）乘法运算律：
①
②
③
7）复数除法定义：满足的复数(、）叫复数除以复数的商，记为：或者.
8）除法运算规则：
① 设复数 (、），除以 (，），其商为（、），即因为所以，由复数相等定义可知，解这个方程组，得，于是有:
② 利用于是将的分母有理化得：
原式.
所以
点评: ①是常规方法，②是利用初中我们学习的化简无理分式时，都是采用的分母有理化思想方法，而复数与复数，相当于我们初中学习的的对偶式，它们之积为是有理数，而是正实数.所以可以分母实数化. 把这种方法叫做分母实数化法.
9）共轭复数：
当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数.虚部不等于的两个共轭复数也叫做共轭虚数.
典型例题
【题干】复数 (是虚数单位）的实部是（ ）.
A. B. C. D.
【题干】（天津）设是虚数单位，复数（ ）.
A. B. C. D.
【题干】（湖南）若，，为虚数单位，且，则（ ）.
A. B.
C. D.
【题干】已知（为虚数单位），那么实数的值分别为（ ）
A. ， B. ， C. ， D. ，
【题干】已知复数满足，复数的虚部为，且是实数，求.
【题干】已知，若，则等于（ ）
A. B. C. D.
【题干】设、为实数，且，则=________.
【题干】已知复数，，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【题干】关于的方程有实根，求实数的取值范围.
【题干】设方程的根分别为，，且，求实数的值.
【题干】已知是纯虚数，求在复平面内对应点的轨迹.
【题干】若，，试求.
【题干】设是虚数，是实数，且.
（1）求的值及的实部的取值范围；
（2）设，求证：为纯虚数；
（3）求的最小值.
【题干】已知，，对于任意，均有成立，试求实数的取值范围.
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7.2 复数的四则运算
一、知识要点
1）复数与的和的定义：
2）复数与的差的定义：
3）复数的加法运算满足交换律:
4）复数的加法运算满足结合律:
5）乘法运算规则：设，、、、是任意两个复数，那么它们的积.其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把换成，并且把实部与虚部分别合并.两个复数的积仍然是一个复数.
6）乘法运算律：
①
②
③
7）复数除法定义：满足的复数(、）叫复数除以复数的商，记为：或者.
8）除法运算规则：
① 设复数 (、），除以 (，），其商为（、），即因为所以，由复数相等定义可知，解这个方程组，得，于是有:
② 利用于是将的分母有理化得：
原式.
所以
点评: ①是常规方法，②是利用初中我们学习的化简无理分式时，都是采用的分母有理化思想方法，而复数与复数，相当于我们初中学习的的对偶式，它们之积为是有理数，而是正实数.所以可以分母实数化. 把这种方法叫做分母实数化法.
9）共轭复数：
当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数.虚部不等于的两个共轭复数也叫做共轭虚数.
典型例题
【题干】复数 (是虚数单位）的实部是（ ）.
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】 .
【题干】（天津）设是虚数单位，复数（ ）.
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】.
【题干】（湖南）若，，为虚数单位，且，则（ ）.
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】由题干意可知，，则 ，所以可得：.
【题干】已知（为虚数单位），那么实数的值分别为（ ）
A. ， B. ， C. ， D. ，
【答案】D
【解析】因为，所以
解得 .
【题干】已知复数满足，复数的虚部为，且是实数，求.
【答案】
【解析】，所以设，
所以，因为是实数所以解得.所以
【点评】本题干考查复数的除法、乘法运算法则、考查复数为实数的充要条件是虚部为0.
【题干】已知，若，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为，所以，.
【题干】设、为实数，且，则=________.
【答案】.
【解析】，
而，所以，且，解得，，所以，.
【题干】已知复数，，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
=，故的最大值为.
【题干】关于的方程有实根，求实数的取值范围.
【答案】.
【解析】设是其实根，带入原方程变形为，由复数相等的定义，得 解得.
【题干】设方程的根分别为，，且，求实数的值.
【答案】.
【解析】方程的根分别为，，所以，，，所以，所以.
【题干】已知是纯虚数，求在复平面内对应点的轨迹.
【答案】以为圆心，为半径的圆，并去掉点和点.
【解析】因为是纯虚数，所以（且，），所以，所以，，设，则.
【题干】若，，试求.
【答案】.
【解析】因为，所以，因为，所以.所以，.
【题干】设是虚数，是实数，且.
（1）求的值及的实部的取值范围；
（2）设，求证：为纯虚数；
（3）求的最小值.
【答案】（1），（2）见解析（3）
【解析】（1）由是虚数，设则因为所以且得即.此时，，因为，
所以即的实部的取值范围为.
（2）.因为
所以又，故是纯虚数.
（3）由知，故当且仅当，时的最小值为.
【题干】已知，，对于任意，均有成立，试求实数的取值范围.
【答案】.
【解析】，所以，所以，
对恒成立；当，即时，不等式成立；当，即时， ，解得；综上，.
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