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8.1.1棱柱、棱锥、棱台的结构特征
一、知识要点
1）多面体
① 多面体：围成多面体的各个多边形叫做多面体的面，相邻两个面的公共边叫做多面体的棱，棱与棱的公共点叫做多面体的顶点，连结不在同一个面上的两个顶点的线段叫做多面体的对角线．
② 多面体的分类
a. 按凹凸性分类：把一个多面体的任意一个面延展成平面，如果其余的各面都在这个平面的同一侧，则这样的多面体就叫做凸多面体．否则就叫做凹多面体．
b. 按面数分类：一个多面体至少有四个面．多面体按照它的面数分别叫做四面体、五面体、六面体等等．
③ 简单多面体
a. 定义：表面经过连续变形可以变成球体的多面体叫做简单多面体；
b. 欧拉公式：简单多面体的顶点数、面数和棱数有关系．
④ 正多面体：每个面都有相同边数的正多边形，每个顶点都有相同棱数的凸多面体，叫做正多面体；
2）棱柱
① 棱柱：由一个平面多边形沿某一确定方向平移形成的空间几何体叫做棱柱．
② 棱柱的性质：棱柱的两个底面是全等的多边形，且对应边互相平行，侧面都是平行四边形，侧棱平行且相等．
③ 棱柱的分类：
a. 按底面分类：底面是三角形、四边形、五边形……的棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱……；
b. 按侧棱是否与底面垂直分类：侧棱与底面不垂直的棱柱叫斜棱柱，侧棱与底面垂直的棱柱叫直棱柱；
c. 底面是正多边形的直棱柱叫正棱柱；
④ 特殊的四棱柱：
3）棱锥
① 棱锥：当棱柱的一个底面收缩为一个点时，得到的几何体叫做棱锥．
② 棱锥的分类：
a. 底面是三角形、四边形、五边形……的棱锥分别叫做三棱锥、四棱锥、五棱锥……；
b. 底面是正多边形，顶点与底面中心的连线垂直于底面的棱锥叫正棱锥．
4）棱台
① 棱台: 棱锥被平行于底面的一个平面所截后，截面和底面之间的部分叫做棱台．
② 棱台的性质：棱台的各侧棱延长后交于一点，即棱台的上下底面平行且对应边成比例；
③ 正棱台：由正棱锥截得的棱台叫做正棱台．正棱台的各个侧面都是全等的等腰梯形，这些等腰梯形的高叫做棱台的斜高．
④ 解决正棱锥与正棱台问题时需要注意的性质
正棱锥的性质很多，要特别注意的是：平行于底面截面的性质：如果一个棱锥被平行于底面的一个平面所截，那么：
a. 棱锥的侧棱和高被这个平面分成比例线段．
b. 所得的截面和底面是对应边互相平行的相似正多边形．
典型例题
【题干】以三棱台的顶点为三棱锥的顶点，这样可以把一个三棱台分成三棱锥的个数（ ）.
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】如图所示，在三棱台中，分别连接，，，则将三棱台分成个三棱锥，即三棱锥，，.
【点评】考查棱台. 棱锥的定义，及空间想象力，较容易.
【题干】在棱柱中满足（ ）.
A. 只有两个面平行 B. 所有棱都平行
C. 所有面都是平行四边形 D. 两底面平行，且各侧棱也相互平行
【答案】D
【解析】对于A，如果是长方体，可能不止有两个面平行，故错；对于B，如果是长方体，不可能所有的棱都平行，只是所有的侧棱都平行，故错；对于C，如果是底面是梯形的棱柱，不是所有的面都是平行四边形，故错；对于D，据棱柱的定义知其正确，故对.
【点评】考查棱柱的定义，易错选C，题目容易.
【题干】如图所示的几何体中，棱柱是________（填序号）.
【答案：】①③④
【解析】棱柱关键是有两个平面平行且全等的底面，图①左右两个面为底面，为三棱柱；图③上下两个面为底面，为四棱柱；图④上下两个面为底面，为四棱柱.
【点评】考查棱柱的定义，有两个面互相平行，其余各面是平行四边形，这些平行四边形面中，每相邻两个面的公共边都互相平行. 题目简单.
【题干】一个棱柱至少有________个面，面数最少的一个棱锥有________个顶点.
【答案】，
【解析】棱柱有两个底面，至少有三个侧面，故至少有个面，棱锥至少有个面，即三棱锥，此时有个顶点.
【点评】面最少的三棱柱是三棱柱，它有五个面；面数最少的棱锥是三棱椎，它有个顶点，题目较易.
【题干】集合，
它们之间的包含关系是________.
【答案】
【解析】正方体，长方体和正四棱柱都是直四棱柱，长方体的底面为长方体，正四棱柱的底面是正方形，正方体的侧棱和底面正方形的边长相等，所以它们之间包含的关系是
【点评】要掌握简单几何体的定义，直四棱柱是底面为四边形的直棱柱，正四棱柱是底面为正方形的直棱柱，长方体是底面是矩形的直棱柱，正方体是侧棱与底面边长相等的正四棱柱．
【题干】下列说法正确的是（ ）.
A. 有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱.
B. 有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱.
C. 有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体叫棱锥.
D. 棱台各侧棱的延长线交于一点.
【答案】D
【解析】A.有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱.不符合棱柱的定义，不正确；结合下图可知B.有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱.不正确；
棱锥有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形的几何体，故C不正确；
棱台是由棱锥截得的，故棱台各侧棱延长后要交与一点，故D正确.
【点评】本题主要考查常见几何体的定义及特征，基础题，根据多面体的性质和几何体的定义来判断，采用举反例的方法加以判断.
【题干】下列判断正确的是（ ）.
A. 棱柱中只能有两个面可以互相平行 B. 底面是正方形的直四棱柱是正四棱柱
C. 底面是正六边形的棱台是正六棱台 D. 底面是正方形的四棱锥是正四棱锥
【答案】B
【解析】在四棱柱中A不正确；正六棱台的底面是正六边形且上下底面中心的连线与两底面垂直C不正确；正四棱锥底面是正方形且顶点在底面的射影是底面的中心D不正确.
【点评】本题考查棱柱. 棱锥的性质.基础题，采用举反例的方法加以判断.
【题干】下列说法中正确的是（ ）.
A. 棱柱的侧面可以是三角形 B. 正方体和长方体都是特殊的四棱柱
C. 所有的几何体的表面都能展成平面图形 D. 棱柱的各条棱都相等
【答案】B
【解析】棱柱的侧面是平行四边形，不可能是三角形，所以A不正确；球的表面就不能展成平面图形，所以C不正确；棱柱的侧棱与底面边长不一定相等，所以D不正确.
【点评】本小题主要考查空间几何体的性质.解决此类问题的主要依据是空间几何体的性质，需要学生有较强的空间想象能力.
【题干】一个棱柱有个顶点，所有的侧棱长的和为，则每条侧棱长为______.
【答案】
【解析】棱柱有个顶点，因为此棱柱有个顶点，所以此棱柱为五棱柱.又棱柱的侧棱都相等，五条侧棱长的和为，可知每条侧棱长为.
【点评】本题考查棱柱的性质.基础题，注意棱柱的棱与顶点的关系.
【题干】下列命题中正确的是（ ）
A. 由五个平面围成的多面体只能是四棱锥
B. 棱锥的高线可能在几何体之外
C. 仅有一组对面平行的六面体是棱台
D. 棱长相等的直四棱柱是正方体
【答案】B.
【解析】五个平面可以围成三棱柱，A错误；棱台必须有四条侧棱相交于一点的限制，C错误；棱长相等的平行四边形可能只是菱形，不是正方形，故D错误，B正确．
【题干】下列说法正确是（ ）
A. 圆台是直角梯形绕其一边旋转而成
B. 圆锥是直角三角形绕其一边旋转而成
C. 圆柱的母线和它的底面不垂直．
D. 圆台可以看作是平行于底面的平面截一个圆锥而得到的．
【答案】D.
【题干】如题图，模块①－⑤均由个棱长为的小正方体构成，模块⑥由个棱长为的小正方体构成．现从模块①－⑤中选出三个放到模块⑥上，使得模块⑥成为一个棱长为的大正方体．则下列选择方案中，能够完成任务的为（ ）
A. 模块①，②，⑤ B. 模块①，③，⑤
C. 模块②，④，⑥ D. 模块③，④，⑤
【答案】A.
【解析】A；易知①④⑤；②③④等也满足条件．
【题干】将一个边长为和的矩形纸片卷成一个圆柱，则圆柱的底面半径为________．
【答案】或.
【解析】将一个矩形纸片卷成圆柱的方式有两种，所得圆柱的底面周长分别为和，故圆柱的半径为或；
【题干】根据图中所给的图形制成几何体后，哪些点重合在一起．
【答案】重合的点有：、与；与；与；与；与．
【题干】下面是一多面体的展开图，每个面内都给了字母，请根据要求回答问题：
①如果在多面体的底面，那么哪一面会在上面？
②如果面在前面，从左边看是面，哪一个面会在上面？
③如果从左面看是面，面在后面，哪一个面会在上面？
【答案】①；②或；③或．
【题干】如图，右边哪一个长方体是由左边的平面图形围成的（ ）
【答案】D
【题干】右图是一个正方体，它的展开图可能是下面四个展开图中的（ ）
【答案】A.
【题干】圆锥的侧面展开图是半径为的半圆面，求圆锥的母线与轴的夹角的大小，轴截面的面积．
【答案】母线与轴的夹角为，轴截面面积为.
【解析】∵圆锥的侧面展开图是半径为的半圆面，∴圆锥的母线长为，底面周长为，故底面半径为．从而它的轴截面为正三角形，边长为，故母线与轴的夹角为，轴截面面积为．
【难度】**
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8.1.1棱柱、棱锥、棱台的结构特征
一、知识要点
1）多面体
① 多面体：围成多面体的各个多边形叫做多面体的面，相邻两个面的公共边叫做多面体的棱，棱与棱的公共点叫做多面体的顶点，连结不在同一个面上的两个顶点的线段叫做多面体的对角线．
② 多面体的分类
a. 按凹凸性分类：把一个多面体的任意一个面延展成平面，如果其余的各面都在这个平面的同一侧，则这样的多面体就叫做凸多面体．否则就叫做凹多面体．
b. 按面数分类：一个多面体至少有四个面．多面体按照它的面数分别叫做四面体、五面体、六面体等等．
③ 简单多面体
a. 定义：表面经过连续变形可以变成球体的多面体叫做简单多面体；
b. 欧拉公式：简单多面体的顶点数、面数和棱数有关系．
④ 正多面体：每个面都有相同边数的正多边形，每个顶点都有相同棱数的凸多面体，叫做正多面体；
2）棱柱
① 棱柱：由一个平面多边形沿某一确定方向平移形成的空间几何体叫做棱柱．
② 棱柱的性质：棱柱的两个底面是全等的多边形，且对应边互相平行，侧面都是平行四边形，侧棱平行且相等．
③ 棱柱的分类：
a. 按底面分类：底面是三角形、四边形、五边形……的棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱……；
b. 按侧棱是否与底面垂直分类：侧棱与底面不垂直的棱柱叫斜棱柱，侧棱与底面垂直的棱柱叫直棱柱；
c. 底面是正多边形的直棱柱叫正棱柱；
④ 特殊的四棱柱：
3）棱锥
① 棱锥：当棱柱的一个底面收缩为一个点时，得到的几何体叫做棱锥．
② 棱锥的分类：
a. 底面是三角形、四边形、五边形……的棱锥分别叫做三棱锥、四棱锥、五棱锥……；
b. 底面是正多边形，顶点与底面中心的连线垂直于底面的棱锥叫正棱锥．
4）棱台
① 棱台: 棱锥被平行于底面的一个平面所截后，截面和底面之间的部分叫做棱台．
② 棱台的性质：棱台的各侧棱延长后交于一点，即棱台的上下底面平行且对应边成比例；
③ 正棱台：由正棱锥截得的棱台叫做正棱台．正棱台的各个侧面都是全等的等腰梯形，这些等腰梯形的高叫做棱台的斜高．
④ 解决正棱锥与正棱台问题时需要注意的性质
正棱锥的性质很多，要特别注意的是：平行于底面截面的性质：如果一个棱锥被平行于底面的一个平面所截，那么：
a. 棱锥的侧棱和高被这个平面分成比例线段．
b. 所得的截面和底面是对应边互相平行的相似正多边形．
典型例题
【题干】以三棱台的顶点为三棱锥的顶点，这样可以把一个三棱台分成三棱锥的个数（ ）.
A. B. C. D.
【题干】在棱柱中满足（ ）.
A. 只有两个面平行 B. 所有棱都平行
C. 所有面都是平行四边形 D. 两底面平行，且各侧棱也相互平行
【题干】如图所示的几何体中，棱柱是________（填序号）.
【题干】一个棱柱至少有________个面，面数最少的一个棱锥有________个顶点.
【题干】集合，
它们之间的包含关系是________.
【题干】下列说法正确的是（ ）.
A. 有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱.
B. 有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱.
C. 有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体叫棱锥.
D. 棱台各侧棱的延长线交于一点.
【题干】下列判断正确的是（ ）.
A. 棱柱中只能有两个面可以互相平行 B. 底面是正方形的直四棱柱是正四棱柱
C. 底面是正六边形的棱台是正六棱台 D. 底面是正方形的四棱锥是正四棱锥
【题干】下列说法中正确的是（ ）.
A. 棱柱的侧面可以是三角形 B. 正方体和长方体都是特殊的四棱柱
C. 所有的几何体的表面都能展成平面图形 D. 棱柱的各条棱都相等
【题干】一个棱柱有个顶点，所有的侧棱长的和为，则每条侧棱长为______.
【题干】下列命题中正确的是（ ）
A. 由五个平面围成的多面体只能是四棱锥
B. 棱锥的高线可能在几何体之外
C. 仅有一组对面平行的六面体是棱台
D. 棱长相等的直四棱柱是正方体
【题干】下列说法正确是（ ）
A. 圆台是直角梯形绕其一边旋转而成
B. 圆锥是直角三角形绕其一边旋转而成
C. 圆柱的母线和它的底面不垂直．
D. 圆台可以看作是平行于底面的平面截一个圆锥而得到的．
【题干】如题图，模块①－⑤均由个棱长为的小正方体构成，模块⑥由个棱长为的小正方体构成．现从模块①－⑤中选出三个放到模块⑥上，使得模块⑥成为一个棱长为的大正方体．则下列选择方案中，能够完成任务的为（ ）
A. 模块①，②，⑤ B. 模块①，③，⑤
C. 模块②，④，⑥ D. 模块③，④，⑤
【题干】将一个边长为和的矩形纸片卷成一个圆柱，则圆柱的底面半径为________．
【题干】根据图中所给的图形制成几何体后，哪些点重合在一起．
【题干】下面是一多面体的展开图，每个面内都给了字母，请根据要求回答问题：
①如果在多面体的底面，那么哪一面会在上面？
②如果面在前面，从左边看是面，哪一个面会在上面？
③如果从左面看是面，面在后面，哪一个面会在上面？
【题干】如图，右边哪一个长方体是由左边的平面图形围成的（ ）
【题干】右图是一个正方体，它的展开图可能是下面四个展开图中的（ ）
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