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8.1.2圆柱、圆锥、圆台和球
1）性质
圆柱、圆锥、圆台的性质：
① 平行于底面的截面都是圆；
② 过轴的截面（轴截面）分别是全等的矩形、等腰三角形、等腰梯形．
2）球与球面
① 两点间的球面距离
球面被经过球心的平面截得的圆叫做球的大圆，被不经过球心的平面截得的圆叫做球的小圆；
② 球的截面性质
球的小圆（指不过球心的截面圆）的圆心与球心的连线垂直于小圆所在平面，有，其中为截面圆的半径，为球的半径，为球心到截面圆的距离，即球心与截面圆圆心的距离．
典型例题
【题干】圆台的母线（ ）.
A. 平行 B. 相等
C. 与高相等 D. 与底面平行
【答案】B
【解析】圆台的母线延长线交于一点，则A项不正确;圆台的母线大于高，则C项不正确;圆台的母线与底面相交，则D项不正确;很明显B项正确.
【点评】本题考查圆台的性质.基础题.
【题干】下列说法不正确的是（ ）.
A. 圆柱的侧面展开图是一个矩形
B. 圆锥中过圆锥轴的截面是一个等腰三角形
C. 直角三角形绕它的一边旋转一周而形成的曲面所围成的几何体是一个圆锥
D. 用一个平面截一个圆柱，所得截面可能是矩形
【答案】C
【解析】当以斜边为轴旋转式，得到的几何体不是圆锥，故C说法不正确.
【点评】考查空间几何体的定义及性质，基础题，也考查空间想象力.
【题干】下列说法正确的是（ ）.
A. 圆锥的母线长等于底面圆直径 B. 圆柱的母线与轴垂直
C. 圆台的母线与轴平行 D. 球的直径必过球心
【答案】D
【解析】圆锥的母线长与底面直径的大小不确定，则A项不正确;圆柱的母线与轴平行，则B项不正确;圆台的母线与轴相交，则C项不正确;很明显D项正确.
【点评】考查圆锥，圆台，圆柱性质，基础题.
【题干】用一个平面去截一个几何体，得到的截面是圆面，这个几何体不可能是（ ）.
A. 圆锥 B. 圆柱 C. 球 D. 棱柱
【答案】D
【解析】由于棱柱的侧面与底面都是平行四边形，所以用一个平面去截一个几何体，得到的截面是圆面，这个几何体不可能棱柱.
【题干】有下列说法:
①球的半径是球面上任意一点与球心的连线;
②球的直径是球面上任意两点间的连线;
③用一个平面截一个球，得到的是一个圆.
其中正确说法的序号是________.
【答案】①③
【解析】根据球的定义直接判断①正确；②错误；③用一个平面截一个球面，得到的是一个圆；可以是小圆，也可能是大圆，正确；
【点评】考查球的结构特征判断，③不正确，因为得到的是一个圆面.基础题.
【题干】如下图所示，观察四个几何体，其中判断正确的是（ ）.
A. ①是棱台 B. ②是圆台 C. ③是棱锥 D. ④不是棱柱
【答案】C
【解析】利用几何体的结构特征进行分析判断，能够求出结果解：图①不是由棱锥截来的，所以①不是棱台；图②上.下两个面不平行，所以②不是圆台；图③是棱锥．图④前.后两个面平行，其他面是平行四边形，且每相邻两个四边形的公共边平行，所以④是棱柱．
【点评】本题考查几何体的结构特征，解题时要认真审题，注意熟练掌握基本概念．
【题干】若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为，则其母线与轴的夹角的大小为________.
【答案】
【解析】由题意得：母线与轴的夹角为
【点评】考查圆锥轴截面，掌握对应几何体的侧面积，轴截面面积计算方法.如 圆柱的侧面积，圆柱的表面积，圆锥的侧面积，圆锥的表面积，球体的表面积，圆锥轴截面为等腰三角形.
【题干】等腰三角形绕底边上的高旋转，所得几何体是________.
【答案】圆锥
【解析】根据等腰三角形的对称性可知，一个等腰三角形绕着底边上的高所在的直线旋转形成的封闭曲面所围成的图形，相当于一个直角三角形绕着一直角边所在的直线旋转形成的封闭曲面所围成的图形，符合圆锥的定义和结构特点，故几何体的名称为圆锥.
【点评】等腰三角形底边上的高是该旋转体的轴，绕此轴旋转，形成圆锥，等腰三角形的底边是此圆锥的底面直径，等腰三角形底边上的高是圆锥的高.
【题干】已知圆锥的底面半径为，求过圆锥的高的中点且垂直于轴的截面面积.
【答案】
【解析】如图所示，过圆锥的轴作截面，其中是的中点，则，.
∴是的中位线，∴.则所求截面圆的面积为.
【点评】考查圆锥轴截面，掌握对应几何体的侧面积，轴截面面积计算方法，基础题.
【题干】一个棱柱是正四棱柱的条件是（ ）
A. 底面是正方形，有两个侧面是矩形
B. 底面是正方形，有两个侧面垂直于底面
C. 每个侧面都是全等矩形的四棱柱
D. 底面是菱形，且有一个顶点处的三条棱两两垂直
【答案】D.
【解析】A、B选项中若两个侧面是相对的侧面，则不一定；C选项，若底面为菱形也
满足条件，但该四棱柱不是正四棱柱．D选项中有一个顶点处的三条棱两两垂直则侧棱垂直于底面，且底面为正方形．
【题干】平面内的一个四边形为平行四边形的充要条件有多个，如两组对边分别平行，类似地，写出空间中的一个四棱柱为平行六面体的两个充要条件：
充要条件①________；充要条件②________．（写出你认为正确的两个充要条件）
【答案】两组相对侧面分别平行；一组相对侧面平行且全等；对角线交于一点；底面是平行四边形．
【题干】设命题甲：“直四棱柱中，平面与对角面垂直”；命题乙：“直四棱柱是正方体”．那么甲是乙的（ ）
A. 充分必要条件 B. 充分非必要条件
C. 必要非充分条件 D. 既非充分又非必要条件
【答案】C.
【解析】若命题甲成立，命题乙不一定成立，如底面为菱形时．若命题乙成立，命题甲一定成立．
【题干】判断下列说法是否正确，并说明理由：
①四边相等的四边形是菱形；
②若四边形的两个对角都是直角，则这个四边形是圆内接四边形．
③将一个矩形沿竖直方向平移一段距离可形成一个长方体；
④平行四边形是一个平面．
⑤多面体至少有四个面．
【答案】⑤正确．
【解析】在立体几何的学习中，要注意这时提到的概念都是三维空间意义下了，比如垂直
不见得相交，也可能是异面垂直；四边形不一定是平面四边形，也可能是空间四边形．故①②错误；矩形不一定水平放置，故沿竖直方向平移，不一定是长方体，③错误；平面与平面图形是不同的概念，只能说平行四边形是一个平面图形，④错误；⑤正确，三个面无法围成一个封闭的几何体，四面体是存在的，即三棱锥．
【题干】下列命题不正确的有________．
（1）底面是矩形的平行六面体是长方体；
（2）棱长相等的直四棱柱是正方体；
（3）棱锥被平面分成的两部分不可能都是棱锥；
（4）有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥．
【答案】①②③④均不正确．
【解析】（1）不正确，可能是斜棱柱；
（2）不正确，底面可能不是正方形，只是菱形；
（3）不正确，若这个平面正好过棱锥的顶点，与底面的对角线的，可以将一个棱锥分成两个小棱锥；
（4）不正确，将两个相同棱锥的底面放在一起；也可以让它们一条边完全重合，并排放置，则底面连成一个大的四边形，满足题目中的要求，但不是棱锥；
【题干】下列命题正确的有________．
（1）棱柱的侧面都是平行四边形；
（2）有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫做棱柱；
（3）用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台；
（4）有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台．
【答案】①正确.
【解析】（1）是棱柱的一个性质，正确；
（2）不正确，如下图（1）的几何体满足条件，但不是棱柱；
（3）不正确，截面必须与底面平行；
（4）不正确，这时侧棱的延长线不一定交于一点，如下图（2）的情况．
【题干】一个棱柱至少有________个面，面数最少的一个棱锥有________个顶点，顶点最少的一个棱台有________条侧棱．
【答案】.
【解析】.
【题干】一个正棱锥的侧棱长与底面边长相等，则该棱锥不可能是（ ）
A. 三棱锥 B. 四棱锥 C. 五棱锥 D. 六棱锥
【答案】D.
【解析】对于一个正棱锥来说，它的高、侧棱及侧棱在底面的射影构成了一个直角三角形，对六棱锥来说，侧棱在底面的射影即正六边形的中心与顶点的连线，它的长与底面边长相等，从而与侧棱长相等，故上述三角形的直角形与斜边等长，这不可能，故选D．
【题干】设有四个命题：
①底面是矩形的平行六面体是长方体；
②棱长相等的直四棱柱是正方体；
③有两条侧棱都垂直于底面一边的平行六面体是直平行六面体；
④对角线相等的平行六面体是直平行六面体．
以上四个命题中，真命题有__________．
【答案】④．
【解析】①错误，可能不是直平行六面体；②错误，可能底面是菱形；
③侧棱垂直于底面一边，可以不垂直于底面；④正确，对角线相等的平行四边形为矩形，故平行六面体的过相对侧棱的两个对角面都是矩形，从而侧棱垂直于底面的两条对角线，故垂直于底面．
【题干】下列命题中正确的是（ ）
A. 由五个平面围成的多面体只能是四棱锥
B. 棱锥的高线可能在几何体之外
C. 仅有一组对面平行的六面体是棱台
D. 棱长相等的直四棱柱是正方体
【答案】B.
【解析】五个平面可以围成三棱柱，A错误；棱台必须有四条侧棱相交于一点的限制，C错
误；棱长相等的平行四边形可能只是菱形，不是正方形，故D错误，B正确．
【题干】下列说法正确是（ ）
A. 圆台是直角梯形绕其一边旋转而成
B. 圆锥是直角三角形绕其一边旋转而成
C. 圆柱的母线和它的底面不垂直．
D. 圆台可以看作是平行于底面的平面截一个圆锥而得到的．
【答案】D.
【题干】如题图，模块①－⑤均由个棱长为的小正方体构成，模块⑥由个棱长为的小正方体构成．现从模块①－⑤中选出三个放到模块⑥上，使得模块⑥成为一个棱长为的大正方体．则下列选择方案中，能够完成任务的为（ ）
A. 模块①，②，⑤ B. 模块①，③，⑤
C. 模块②，④，⑥ D. 模块③，④，⑤
【答案】A.
【解析】易知①④⑤；②③④等也满足条件．
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8.1.2圆柱、圆锥、圆台和球
1）性质
圆柱、圆锥、圆台的性质：
① 平行于底面的截面都是圆；
② 过轴的截面（轴截面）分别是全等的矩形、等腰三角形、等腰梯形．
2）球与球面
① 两点间的球面距离
球面被经过球心的平面截得的圆叫做球的大圆，被不经过球心的平面截得的圆叫做球的小圆；
② 球的截面性质
球的小圆（指不过球心的截面圆）的圆心与球心的连线垂直于小圆所在平面，有，其中为截面圆的半径，为球的半径，为球心到截面圆的距离，即球心与截面圆圆心的距离．
典型例题
【题干】圆台的母线（ ）.
A. 平行 B. 相等
C. 与高相等 D. 与底面平行
【题干】下列说法不正确的是（ ）.
A. 圆柱的侧面展开图是一个矩形
B. 圆锥中过圆锥轴的截面是一个等腰三角形
C. 直角三角形绕它的一边旋转一周而形成的曲面所围成的几何体是一个圆锥
D. 用一个平面截一个圆柱，所得截面可能是矩形
【题干】下列说法正确的是（ ）.
A. 圆锥的母线长等于底面圆直径 B. 圆柱的母线与轴垂直
C. 圆台的母线与轴平行 D. 球的直径必过球心
【题干】用一个平面去截一个几何体，得到的截面是圆面，这个几何体不可能是（ ）.
A. 圆锥 B. 圆柱 C. 球 D. 棱柱
【题干】有下列说法:
①球的半径是球面上任意一点与球心的连线;
②球的直径是球面上任意两点间的连线;
③用一个平面截一个球，得到的是一个圆.
其中正确说法的序号是________.
【题干】如下图所示，观察四个几何体，其中判断正确的是（ ）.
A. ①是棱台 B. ②是圆台 C. ③是棱锥 D. ④不是棱柱
【题干】若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为，则其母线与轴的夹角的大小为________.
【题干】等腰三角形绕底边上的高旋转，所得几何体是________.
【题干】已知圆锥的底面半径为，求过圆锥的高的中点且垂直于轴的截面面积.
【题干】一个棱柱是正四棱柱的条件是（ ）
A. 底面是正方形，有两个侧面是矩形
B. 底面是正方形，有两个侧面垂直于底面
C. 每个侧面都是全等矩形的四棱柱
D. 底面是菱形，且有一个顶点处的三条棱两两垂直
【题干】平面内的一个四边形为平行四边形的充要条件有多个，如两组对边分别平行，类似地，写出空间中的一个四棱柱为平行六面体的两个充要条件：
充要条件①________；充要条件②________．（写出你认为正确的两个充要条件）
【题干】设命题甲：“直四棱柱中，平面与对角面垂直”；命题乙：“直四棱柱是正方体”．那么甲是乙的（ ）
A. 充分必要条件 B. 充分非必要条件
C. 必要非充分条件 D. 既非充分又非必要条件
【题干】判断下列说法是否正确，并说明理由：
①四边相等的四边形是菱形；
②若四边形的两个对角都是直角，则这个四边形是圆内接四边形．
③将一个矩形沿竖直方向平移一段距离可形成一个长方体；
④平行四边形是一个平面．
⑤多面体至少有四个面．
【题干】下列命题不正确的有________．
（1）底面是矩形的平行六面体是长方体；
（2）棱长相等的直四棱柱是正方体；
（3）棱锥被平面分成的两部分不可能都是棱锥；
（4）有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥．
【题干】下列命题正确的有________．
（1）棱柱的侧面都是平行四边形；
（2）有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫做棱柱；
（3）用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台；
（4）有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台．
【题干】一个棱柱至少有________个面，面数最少的一个棱锥有________个顶点，顶点最少的一个棱台有________条侧棱．
【题干】一个正棱锥的侧棱长与底面边长相等，则该棱锥不可能是（ ）
A. 三棱锥 B. 四棱锥 C. 五棱锥 D. 六棱锥
【题干】设有四个命题：
①底面是矩形的平行六面体是长方体；
②棱长相等的直四棱柱是正方体；
③有两条侧棱都垂直于底面一边的平行六面体是直平行六面体；
④对角线相等的平行六面体是直平行六面体．
以上四个命题中，真命题有__________．
【题干】下列命题中正确的是（ ）
A. 由五个平面围成的多面体只能是四棱锥
B. 棱锥的高线可能在几何体之外
C. 仅有一组对面平行的六面体是棱台
D. 棱长相等的直四棱柱是正方体
【题干】下列说法正确是（ ）
A. 圆台是直角梯形绕其一边旋转而成
B. 圆锥是直角三角形绕其一边旋转而成
C. 圆柱的母线和它的底面不垂直．
D. 圆台可以看作是平行于底面的平面截一个圆锥而得到的．
【题干】如题图，模块①－⑤均由个棱长为的小正方体构成，模块⑥由个棱长为的小正方体构成．现从模块①－⑤中选出三个放到模块⑥上，使得模块⑥成为一个棱长为的大正方体．则下列选择方案中，能够完成任务的为（ ）
A. 模块①，②，⑤ B. 模块①，③，⑤
C. 模块②，④，⑥ D. 模块③，④，⑤
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