中小学教育资源及组卷应用平台
8.3简单几何体的表面积与体积
知识要点
（一）表面积
1）直棱柱与圆柱的侧面积等于它的底面周长和高（母线）的乘积．
，其中为底面的周长，为直棱柱（圆柱）的高，也即侧棱（母线）长；
2）正棱锥（圆锥）的侧面积等于它的底面周长和斜高（母线）乘积的一半．
，其中为底面边长，为斜高；
，其中为底面周长，为圆锥的底面半径，为母线长；
3）正棱台（圆台）的侧面积等于它的上下底面周长之和与斜高（母线）乘积的一半．
，其中分别是正棱台上下底面的边长，为斜高；
，其中分别是圆台上下底面的半径，为母线长；
4）球面面积等于它的大圆面积的四倍，，为球的半径．
（二）、体积
1）柱体（棱柱，圆柱）体积公式：，其中为底面积，为高；
2）棱体（棱锥，圆锥）的体积公式：，其中为底面积，为高；
3）台体（棱台，圆台）的体积公式：，其中分别是台体上，下底面的面积，为台体的高；
4）球的体积公式：，为球的半径．
典型例题
【题干】 已知正四棱柱中，，为上底面中心．设正四棱柱与正四棱锥的侧面积分别为，，则 ．
【题干】一个底面半径为，高为的圆锥中有一个内接圆柱，该圆柱侧面积的最大值为（ ）
【题干】 一个圆台上、下底面半径分别为，高为，若其侧面积等于两底面面积之和，则下列关系正确的是( )
A．+ B．+ C．+ D．+
【题干】 正方形被对角线和以为圆心，为半径的圆弧分成三部分，绕旋转，所得旋转体的体积之比是( )
A． B． C． D．
【题干】 如图，圆锥形容器的高为，圆锥内水面的高为，且，若将圆锥的倒置，水面高为，则等于( )
A． B． C． D．
【题干】 已知球的直径，，是该球球面上的两点，，，则棱锥的体积 .
与球有关的切、接问题
【题干】 已知三棱锥的四个顶点在球的球面上，若，当三棱锥的体积取到最大值时，球的表面积为（ ）
【题干】 如图，在一个底面边长为2，侧棱长为的正四棱锥中，大球内切于该四棱锥，小球与大球及四棱锥的四个侧面相切，则小球的体积为 ．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
8.3简单几何体的表面积与体积
知识要点
（一）表面积
1）直棱柱与圆柱的侧面积等于它的底面周长和高（母线）的乘积．
，其中为底面的周长，为直棱柱（圆柱）的高，也即侧棱（母线）长；
2）正棱锥（圆锥）的侧面积等于它的底面周长和斜高（母线）乘积的一半．
，其中为底面边长，为斜高；
，其中为底面周长，为圆锥的底面半径，为母线长；
3）正棱台（圆台）的侧面积等于它的上下底面周长之和与斜高（母线）乘积的一半．
，其中分别是正棱台上下底面的边长，为斜高；
，其中分别是圆台上下底面的半径，为母线长；
4）球面面积等于它的大圆面积的四倍，，为球的半径．
（二）、体积
1）柱体（棱柱，圆柱）体积公式：，其中为底面积，为高；
2）棱体（棱锥，圆锥）的体积公式：，其中为底面积，为高；
3）台体（棱台，圆台）的体积公式：，其中分别是台体上，下底面的面积，为台体的高；
4）球的体积公式：，为球的半径．
典型例题
【题干】 已知正四棱柱中，，为上底面中心．设正四棱柱与正四棱锥的侧面积分别为，，则 ．
【解析】 如图，
正四棱柱中，，，
则正四棱柱的侧面积分别为；
正四棱锥的斜高为．
正四棱锥的侧面积．
．
【点评】注意侧面积和全面积的区别．
【题干】一个底面半径为，高为的圆锥中有一个内接圆柱，该圆柱侧面积的最大值为（ ）
【解析】
圆锥的底面半径为，高为，
内接圆柱的底面半径为时，它的上底面截圆锥得小圆锥的高为
因此，内接圆柱的高；
圆柱的侧面积为：
令，当时；
所以当时，．
即圆柱的底面半径为时，圆柱的侧面积最大，最大值为．
故选：C．
【题干】 一个圆台上、下底面半径分别为，高为，若其侧面积等于两底面面积之和，则下列关系正确的是( )
A．+ B．+ C．+ D．+
【解析】设圆台的母线长为，
根据题意可得圆台的上底面面积为，圆台的下底面面积为，
圆台的侧面面积等于两底面面积之和，
侧面积，解之得
=，
+．故选．
【题干】 正方形被对角线和以为圆心，为半径的圆弧分成三部分，绕旋转，所得旋转体的体积之比是( )
A． B． C． D．
【解析】 设正方形的边长为，可得
图旋转所得旋转体为以为轴的圆锥体，高且底面半径
该圆锥的体积为；
图旋转所得旋转体，是以为半径的一个半球，减去图1旋转所得圆锥体而形成，
该圆锥的体积为；
图3旋转所得旋转体，是以为轴的圆柱体，减去图2旋转所得半球而形成，
该圆锥的体积为
综上所述，
由此可得图中三部分旋转所得旋转体的体积之比为．故选．
【题干】 如图，圆锥形容器的高为，圆锥内水面的高为，且，若将圆锥的倒置，水面高为，则等于( )
A． B． C． D．
【解析】方法一 设圆锥形容器的底面积为，则未倒置前液面的面积为．
水的体积=．
设倒置后液面面积为S′，则，∴．
水的体积．
，解得．
故选 ．
方法二 设容器为圆锥1，高为,体积为;倒置前液面上的锥体为圆锥2，高为,体积为;倒置后液面以下的锥体为圆锥3，高为,体积为.
，
在倒置后，又有
【题干】 已知球的直径，，是该球球面上的两点，，，则棱锥的体积 .
【解析】由题可知一定在与直径垂直的小圆面上，作过的小圆交直径于，
如图所示，
设，则，
此时所求棱锥即分割成两个棱锥和，
在和中，由已知条件可得，
又因为为直径，所以，
所以，
所以在中，，
所以，解得，所以，
所以为正三角形，
所以.
与球有关的切、接问题
【题干】 已知三棱锥的四个顶点在球的球面上，若，当三棱锥的体积取到最大值时，球的表面积为（ ）
【解析】 如图，当三棱锥的体积取到最大值时，则平面平面，取的中点，连接，则分别取与的外心，分别过作平面与平面的垂线，相交于，则为四面体的球心，由，得正方形的边长为，则
四面体的外接球的半径
球的表面积为，故选：A．
【题干】 如图，在一个底面边长为2，侧棱长为的正四棱锥中，大球内切于该四棱锥，小球与大球及四棱锥的四个侧面相切，则小球的体积为 ．
【解析】设为正方形的中心，的中点为，连接，则，
3，2，
如图，在截面中，设为球与平面的切点，
则在上，且，设球的半径为，则，
因为，
所以，则，
，所以，
设球与球相切与点，
则，设球的半径为，
同理可得，所以，
故小球的体积，
故答案为 ．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
