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8.4.1平面的基本性质
一、集合的语言
我们把空间看做点的集合，即把点看成空间中的基本元素，将直线与平面看做空间的子集，这样便可以用集合的语言来描述点、直线和平面之间的关系：
点在直线上，记作：；点在平面内，记作：；
直线在平面内（即直线上每一个点都在平面内），记作；
直线和相交于点，记作，简记为；
平面与平面相交于直线，记作．
二、平面的三个公理
1）公理一：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所
有的点都在这个平面内．图形语言表述：如图：
符号语言表述：，，，
2）公理二：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面，
也可以简单地说成，不共线的三点确定一个平面．图形语言表述：如图，
符号语言表述：、、三点不共线有且只有一个平面，使，，.
3）公理三：如果不重合的两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过这个点的公共直线．图形语言表述：如下图：
符号语言表述：．如果两个平面有一条公共直线，则称这两个平面相交，这条公共直线叫做两个平面的交线．
三、平面基本性质的推论
推论1：经过一条直线和直线外的一点，有且只有一个平面．
推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．
推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．
1）公理一反映了直线与平面的位置关系，由此公理我们知道如果一条直线与一个平面有公共点，那公共点要么只有一个，要么直线上所有点都是公共点，即直线在平面内．
2）公理二可以用来确定平面，只要有不在同一条直线上的三点，便可以得到一个确定的平面，后面的三个推论都是由这个公理得到的．要强调这三点必须不共线，否则有无数多个平面经过它们．确定一个平面的意思是有且仅有一个平面．
3）公理三反应了两个平面的位置关系，两个平面（一般都指两个不重合的平面）只要有公共点，它们的交集就是一条公共直线．此公理可以用来证明点共线或点在直线上，可以从后面的例题中看到．
4）平面基本性质的三个公理是不需要证明的，后面的三个推论都可以由这三个公理得到．推论与直接在直线上取点，利用公理与便可得到结论，推论是由平行的定义得到存在性的，再由公理二保证唯一性．
一、平面的有关问题
1）判断确定平面的个数，对应知识是公理2和三个推论.
2）数学语言的转换
【题干】下列说法中正确的是（ ）.
A. 镜面是一个平面 B. 一个平面长，宽
C. 一个平面的面积是另一个平面面积的倍 D. 所有的平面都是无限延展的
【题干】如图所示，下列符号表示错误的是（ ）.
A. B. C. D.
【题干】已知，是点，，，是直线，是平面，如果，，，，那么下列关系中成立的是（ ）.
A. B.
C. D.
【题干】空间中四点可确定的平面有（ ）.
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个或个或无数个
【题干】下列命题中正确的是（ ）.
A. 空间三点可以确定一个平面
B. 三角形一定是平面图形
C. 若，，，既在平面内，又在平面内，则平面和平面重合
D. 四条边都相等的四边形是平面图形
【题干】给出下列图形：① 角；② 三角形；③ 平行四边形；④ 梯形；⑤ 四边形．其中表示平面图形的个数为（ ）.
A. B. C. D.
【题干】在空间四边形各边、、、上分别取、、 、 四点，如果与能相交于点，那么（ ）.
A. 点必在直线上 B. 点必在直线上
C. 点必在平面内 D. 点必在平面外
【题干】下列叙述中，正确的是（ ）.
A. 四边形是平面图形 B. 有三个公共点的两个平面重合.
C. 两两相交的三条直线必在同一个平面内 D. 三角形必是平面图形.
【题干】以下四个命题中，正确命题的个数是（ ）.
①不共面的四点中，其中任意三点不共线；
②若点、、、共面，点、、、共面，则、、、、共面；
③若直线 、共面，直线 、共面，则直线、共面；
④依次首尾相接的四条线段必共面．
A. B.
C. D.
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8.4.1平面的基本性质
一、集合的语言
我们把空间看做点的集合，即把点看成空间中的基本元素，将直线与平面看做空间的子集，这样便可以用集合的语言来描述点、直线和平面之间的关系：
点在直线上，记作：；点在平面内，记作：；
直线在平面内（即直线上每一个点都在平面内），记作；
直线和相交于点，记作，简记为；
平面与平面相交于直线，记作．
二、平面的三个公理
1）公理一：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所
有的点都在这个平面内．图形语言表述：如图：
符号语言表述：，，，
2）公理二：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面，
也可以简单地说成，不共线的三点确定一个平面．图形语言表述：如图，
符号语言表述：、、三点不共线有且只有一个平面，使，，.
3）公理三：如果不重合的两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过这个点的公共直线．图形语言表述：如下图：
符号语言表述：．如果两个平面有一条公共直线，则称这两个平面相交，这条公共直线叫做两个平面的交线．
三、平面基本性质的推论
推论1：经过一条直线和直线外的一点，有且只有一个平面．
推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．
推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．
1）公理一反映了直线与平面的位置关系，由此公理我们知道如果一条直线与一个平面有公共点，那公共点要么只有一个，要么直线上所有点都是公共点，即直线在平面内．
2）公理二可以用来确定平面，只要有不在同一条直线上的三点，便可以得到一个确定的平面，后面的三个推论都是由这个公理得到的．要强调这三点必须不共线，否则有无数多个平面经过它们．确定一个平面的意思是有且仅有一个平面．
3）公理三反应了两个平面的位置关系，两个平面（一般都指两个不重合的平面）只要有公共点，它们的交集就是一条公共直线．此公理可以用来证明点共线或点在直线上，可以从后面的例题中看到．
4）平面基本性质的三个公理是不需要证明的，后面的三个推论都可以由这三个公理得到．推论与直接在直线上取点，利用公理与便可得到结论，推论是由平行的定义得到存在性的，再由公理二保证唯一性．
一、平面的有关问题
1）判断确定平面的个数，对应知识是公理2和三个推论.
2）数学语言的转换
【题干】下列说法中正确的是（ ）.
A. 镜面是一个平面 B. 一个平面长，宽
C. 一个平面的面积是另一个平面面积的倍 D. 所有的平面都是无限延展的
【答案】D
【点评】考查平面性质，镜面可以抽象成平面，但不是平面，平面没有大小，题目容易.
【题干】如图所示，下列符号表示错误的是（ ）.
A. B. C. D.
【答案】A
【点评】考查数学语言与符号语言的转化，基本功训练，题目容易.
【题干】已知，是点，，，是直线，是平面，如果，，，，那么下列关系中成立的是（ ）.
A. B.
C. D.
【答案】A
【点评】考查公理的理解，基础题.
【题干】空间中四点可确定的平面有（ ）.
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个或个或无数个
【答案】D
【点评】当这四点共线时，可确定无数个平面；当这四点不共线且共面时，可确定一个平面;当这四点不共面时，其中任三点可确定一个平面，此时可确定个平面.要培养分类讨论的习惯.
【题干】下列命题中正确的是（ ）.
A. 空间三点可以确定一个平面
B. 三角形一定是平面图形
C. 若，，，既在平面内，又在平面内，则平面和平面重合
D. 四条边都相等的四边形是平面图形
【答案】B
【解析】A错，因为三点可能都在同一平面上.B对，因为两条相交直线确定一个平面，三角形的两条边确定一个平面，另外一条直线的两点都在这个平面中，而两点确定一条直线，所以第三条边与前两条边在同一平面中.C错，可能两平面相交，，，，都在相交线上.D错，把一张正方形的纸沿对角线折一定角度就会可以理解条边相等但是非平面的情况了.
【点评】考查公理，由于共线的三点可以确定无数个平面，基础题.
【题干】给出下列图形：① 角；② 三角形；③ 平行四边形；④ 梯形；⑤ 四边形．其中表示平面图形的个数为（ ）.
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】种图形中前种都是平面图形，第种，四边形有平面四边形和空间四边形，考点：确定平面的方法
【点评】考查确定平面的方法，中图形中前种都是平面图形，第种，四边形有平面四边形和空间四边形，易错题.
【题干】在空间四边形各边、、、上分别取、、 、 四点，如果与能相交于点，那么（ ）.
A. 点必在直线上 B. 点必在直线上
C. 点必在平面内 D. 点必在平面外
【答案】B
【解析】因为， 能相交于点，所以，且，又因为面，所以面，因为面，所以面，所以是平面 与面的公共点，因为面面，所以，即点必在直线 上，又因为面，所以点必在平面内.
【点评】考查平面的公理及三线共点的证明，基础题.
【题干】下列叙述中，正确的是（ ）.
A. 四边形是平面图形 B. 有三个公共点的两个平面重合.
C. 两两相交的三条直线必在同一个平面内 D. 三角形必是平面图形.
【答案】D
【解析】A中四边形可以是空间四边形；B中两个相交平面的交线上有无数个公共点；C中若三条直线有一个公共点的话，易知三条直线不一定在一个平面内.
【点评】考查平面的基本性质，易错题，要有空间想象力.
【题干】以下四个命题中，正确命题的个数是（ ）.
①不共面的四点中，其中任意三点不共线；
②若点、、、共面，点、、、共面，则、、、、共面；
③若直线 、共面，直线 、共面，则直线、共面；
④依次首尾相接的四条线段必共面．
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】①正确，可以用反证法证明，假设任意三点共线，则四个点必共面，与不共面的四点矛盾；②从条件看出两平面有三个公共点、、，但是若、、共线，则结论不正确；③不正确，共面不只有传递性，若直线 、共面，直线 、共面，则直线、可能异面；④不正确，因为此时所得的四边形四条边可以不在一个平面上，空间四边形的四个顶点就不共面.
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