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8.4.3空间中直线与平面、平面与平面的位置关系
1）直线与平面位置关系的判定
① 直线在平面内——有无数公共点
② 直线与平面相交——有且只有一个公共点
③ 直线与平面平行——没有公共点
2）平面与平面位置关系的判定
① 平行：没有公共点
② 相交：有一条公共直线
【题干】三棱锥的四个面中，任两个面的位置关系是（ ）.
A. 相交 B. 平行
C. 异面 D. 不确定
【题干】若直线平面，直线平面，则与的位置关系是（ ）
A. 平行 B. 相交
C. 异面 D. 以上都有可能
【题干】若直线与平面不平行，则下列结论正确的是（ ）.
A. 内的所有直线都与直线异面
B. 内存在与平行的直线
C. 内的直线与都相交
D. 直线与平面有公共点
【题干】过平面外一点，作直线，则这样的直线有________条.
【题干】如果在两个平面内分别有一条直线，这两条直线互相平行，那么这两个平面的位置关系是________.
【题干】下列命题正确的有________.（填序号）
①若直线与平面有两个公共点，则直线在平面内;
②若直线上有无数个点不在平面内，则;
③若直线与平面相交，则与平面内的任意直线都是异面直线；
④如果两条异面直线中的一条与一个平面平行，则另一条直线一定与该平面相交；
⑤若直线与平面平行，则与平面内的直线平行或异面；
⑥若平面平面，直线，直线，则直线.
【题干】如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面上，且，则直线与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为________.
【题干】若直线不平行于平面，且，则下列结论成立的是（ ）.
A. 内的所有直线与异面 B. 内不存在与平行的直线
C. 内存在唯一的直线与平行 D. 内的直线与都相交
【题干】空间中，两条不重合的直线与一个平面所成的角相等，则这两条直线的位置关系是________.
【题干】设四棱锥的底面不是平行四边形，用平面去截此四棱锥（如图），使得截面四边形是平行四边形，则这样的平面（ ）.
A. 不存在 B．只有个
C. 恰有个 D．有无数多个
【题干】如图，平面平面，四边形与都是直角梯形，，，，，，分别为，的中点，.
（1）证明：四边形是平行四边形；
（2），，，四点是否共面？为什么？
【题干】已知点，直线，平面，
① ②
③ ④
以上命题表达正确，且是真命题的有________．
【题干】在正方体中，，分别是上，下底的中心，是的中点，则、、三点（ ）
A. 不共面共线 B. 共线 C. 共面不共线 D. 不共面
【题干】如图，已知在空间四边形中（即这四点不共面），分别是、、、上的点，且交于．求证：在直线上．
【题干】在棱长为的正方体中，分别是的中点，过点的截面与正方体的下底面相交于直线，
①请画出直线的位置；
②设，求的长．
【题干】在三棱锥中，作截面，若的延长线交于，的延长线交于点，的延长线交于点．求证：三点共线．
【题干】已知正方体，记与平面交于点．求证：，，三点共线．
【题干】在正方体中（如图）， 与截面 交于点，交于，求证：三点共线．
【题干】如图，在正方体中，为上底面的中心，是正方体对角线和截面的交点．求证：、、三点共线．
【题干】如果两两平行的三条直线都与另一条直线相交，那么这四条直线共面．
【题干】如图，直线是异面直线，为直线上三点，是直线上三点，分别为的中点，
求证：（1）；（2）共面．
【题干】正方体中，分别是，的中点，求证：这六点共面．
【题干】已知正方体，、分别为，的中点，记与平面交于点．
（1）求证：、、、四点共面；
（2）求证：，，三点共线．
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8.4.3空间中直线与平面、平面与平面的位置关系
1）直线与平面位置关系的判定
① 直线在平面内——有无数公共点
② 直线与平面相交——有且只有一个公共点
③ 直线与平面平行——没有公共点
2）平面与平面位置关系的判定
① 平行：没有公共点
② 相交：有一条公共直线
【题干】三棱锥的四个面中，任两个面的位置关系是（ ）.
A. 相交 B. 平行
C. 异面 D. 不确定
【答案】A
【点评】考查三棱锥的性质及面面的位置关系，基础题.
【题干】若直线平面，直线平面，则与的位置关系是（ ）
A. 平行 B. 相交
C. 异面 D. 以上都有可能
【答案】D
【解析】由题意可知：直线平面，直线平面，则与的位置关系是：图1是相交的；图2是平行的；图3是异面直线. 依据题意画出图形，判断选项即可.
【点评】空间中两条直线的位置关系．可借助于正方体中的直线来判断，基础题.
【题干】若直线与平面不平行，则下列结论正确的是（ ）.
A. 内的所有直线都与直线异面
B. 内存在与平行的直线
C. 内的直线与都相交
D. 直线与平面有公共点
【答案】D
【点评】考查线面的位置关系，基础题同时是易错题.
【题干】过平面外一点，作直线，则这样的直线有________条.
【答案】无数条
【点评】过平面外一点，可作该平面的无数条平行线，这无数条直线都在过该点且与该平面平行的平面内.
【题干】如果在两个平面内分别有一条直线，这两条直线互相平行，那么这两个平面的位置关系是________.
【答案】相交或平行
【解析】当两个平面相交时，在这两个平面内存在直线，使得这两条直线互相平行．故这两个平面有可能相交或平行．
【点评】可根据题意作图判断，要有想象力，把情况考虑全，易错题.
【题干】下列命题正确的有________.（填序号）
①若直线与平面有两个公共点，则直线在平面内;
②若直线上有无数个点不在平面内，则;
③若直线与平面相交，则与平面内的任意直线都是异面直线；
④如果两条异面直线中的一条与一个平面平行，则另一条直线一定与该平面相交；
⑤若直线与平面平行，则与平面内的直线平行或异面；
⑥若平面平面，直线，直线，则直线.
【答案】①⑤
【解析】①显然是正确的;②中，直线还可能与相交，所以②是错误的;③中，直线和平面内过与交点的直线都相交而不是异面，所以③是错误的;④中，异面直线中的另一条直线和该平面的关系不能具体确定，它们可以相交，可以平行，还可以在该平面内，所以④是错误的;⑤中，直线与平面没有公共点，所以直线与平面内的直线没有公共点，即它们平行或异面，所以⑤是正确的;⑥中，分别在两个平行平面内的直线可以平行，也可以异面，所以⑥是错误的.
【点评】概念性的考察，是易错题，同时考察空间想象力，难度一般.
【题干】如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面上，且，则直线与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为________.
【答案】
【解析】由题意可知直线与正方形的左右两个侧面平行，与正方形的上下底面相交，前后侧面相交，所以直线与正方形的六个面所在的平面相交的平面个数为.
【点评】判断与正方形表面的关系，即可推出正方形的六个面所在的平面与直线相交的平面个数即可. 考查学生的空间想象力，及动手作图能力，难度一般.
【题干】若直线不平行于平面，且，则下列结论成立的是（ ）.
A. 内的所有直线与异面 B. 内不存在与平行的直线
C. 内存在唯一的直线与平行 D. 内的直线与都相交
【答案】B
【点评】考查直线与平面的位置关系根据题意，，与平面过点的直线相交，与不过点的直线异面，所以正确．
【题干】空间中，两条不重合的直线与一个平面所成的角相等，则这两条直线的位置关系是________.
【答案】平行，相交或异面
【点评】考查空间中直线与平面的位置关系，在正方体中各侧面的面对角线与底面所成的都相等，在这些对角线中平行的， 相交的， 异面的都有，所以答案为平行或相交或异面．
【题干】设四棱锥的底面不是平行四边形，用平面去截此四棱锥（如图），使得截面四边形是平行四边形，则这样的平面（ ）.
A. 不存在 B．只有个
C. 恰有个 D．有无数多个
【答案】D
【解析】由侧面与侧面相交，侧面与侧面相交，设两组相交平面的交线分别为，，由，决定的平面为，作与且与四条侧棱相交，交点分别为，，，，则由面面平行的性质定理得：，，从而得截面必为平行四边形.由于平面可以上下移动，则这样的平面有无数多个.
【题干】如图，平面平面，四边形与都是直角梯形，，，，，，分别为，的中点，.
（1）证明：四边形是平行四边形；
（2），，，四点是否共面？为什么？
【答案】见解析
【解析】解法1：（1）由题意知，，所以，
又，故所以四边形是平行四边形.
（2），，，四点共面.理由如下：由，是的中点知，，所以.由（1）知，所以，故，共面，
又点在直线上，所以，，，四点共面.
解法2：（1）由平面平面，，得面，以为坐标原点，射线为轴正半轴，建立如图所示的直角坐标系（1）设，，，则由题设得，，，，，，，所以，，于是，又因为点不在直线上，所以四边形是平行四边形.
（2），，，四点共面，理由如下：由题设知，
所以，，，又因为，，
故，，，四点共面.
【题干】已知点，直线，平面，
① ②
③ ④
以上命题表达正确，且是真命题的有________．
【答案】见解析.
【解析】直线不在平面内，可以与平面有一个交点，故①错误；直线是点集，故只能用，②错误；直线是平面的真子集，故不在直线上的点可以在平面内，③错误；
一条直线在一个平面内，则直线上任一点都在平面内，故④正确．
【题干】在正方体中，，分别是上，下底的中心，是的中点，则、、三点（ ）
A. 不共面共线 B. 共线 C. 共面不共线 D. 不共面
【答案】B.
【解析】连结、、，在矩形中，易知、、三点共线．
【题干】如图，已知在空间四边形中（即这四点不共面），分别是、、、上的点，且交于．求证：在直线上．
【答案】见解析.
【解析】∵直线，∵平面，∵直线，∴平面，
∴（平面平面），又是平面与平面的交线，
∴．
【题干】在棱长为的正方体中，分别是的中点，过点的截面与正方体的下底面相交于直线，
①请画出直线的位置；
②设，求的长．
【答案】见解析.
【解析】①延长交的延长线于，连结，如图所示，直线即为所求的截面与底面的交线．
②因为为的中点，故，又点为的中点，故，
故．
【题干】在三棱锥中，作截面，若的延长线交于，的延长线交于点，的延长线交于点．求证：三点共线．
【答案】见解析.
【解析】直线和为相交直线，故它们确定一个平面，记为，则直线，故，又，故平面，故（平面平面），故在它们的交线上，从而知三点共线．
【题干】已知正方体，记与平面交于点．求证：，，三点共线．
【答案】见解析.
【解析】连结，，∵，∴，确定平面交平面于，∵，∴平面，又平面，而面平面，∴点必落在上，∴，，三点共线．
【题干】在正方体中（如图）， 与截面 交于点，交于，求证：三点共线．
【答案】见解析.
【解析】三点共线问题的证法是：证明此三点同在两个相交平面内，从而在它们的交线上．∵平面．又∵平面，根据公理2知：在平面与平面的交线上，即三点共线．
【题干】如图，在正方体中，为上底面的中心，是正方体对角线和截面的交点．求证：、、三点共线．
【答案】见解析.
【解析】连结，，∵，∴，确定平面交平面于．∵，∴平面．又平面，而面平面，∴点必落在上，∴，，三点共线．
【题干】如果两两平行的三条直线都与另一条直线相交，那么这四条直线共面．
【答案】见解析.
【解析】已知：，，求证：直线共面，
证明：确定一个平面，确定一个平面，，同理有，又确定一个平面．而既在平面内，又在平面内，故，是同一个平面，所以这四条直线共面．
【题干】如图，直线是异面直线，为直线上三点，是直线上三点，分别为的中点，
求证：（1）；（2）共面．
【答案】见解析.
【解析】（1）是的中点，所以．同理，于是．同理，即的两边和的两边平行且方向相同，
因此．
（2），于是共面，同理共面，于是都经过点．因为异面，所以三点不共线，因此过有且只有一个平面，综上知重合，从而共面．
【题干】正方体中，分别是，的中点，求证：这六点共面．
【答案】见解析.
【解析】连结和，∵是的中点 ∴，又∵矩形中，∴，∴可确定平面，从而在同一个平面内，同理，故共面．又∵平面与平面都经过不共线的三点，故平面与平面重合，所以共面于平面．同理可证，∴六点共面．
【题干】已知正方体，、分别为，的中点，记与平面交于点．
（1）求证：、、、四点共面；
（2）求证：，，三点共线．
【解析】见解析.
【答案】如图，连结；
（1）∵、分别为，的中点，∴是的中位线，∴．又∵在正方体中，，∴，∴，可以确定一个平面，即、、、四点共面．
（2）连结，，∵，∴，确定平面交平面于，∵，∴平面，又平面，而面平面，∴点必落在上，∴，，三点共线．
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