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8.5.1直线与平面平行的判定与性质
一、知识要点
直线和平面平行的判定
1）定义：直线和平面没有公共点，则称直线平行于平面；
2）判定定理：，且；
3）其他判定方法：，.
直线和平面平行的性质定理：
，，.
二、典型例题
【题干】给出下列关于互不相同的直线和平面的三个命题：
①若与为异面直线，，，则；
②若，，，则；
③若，，，，则.
其中真命题的个数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】①中当与不平行时，也能存在符台题意的，故①错误；②中与 也可能异面，故②错误；③中，同理，则，故③正确.
【题干】为三条不重合的直线，为三个不重合平面，现给出六个命题：
① ② ③
④ ⑤ ⑥
其中正确的命题是（ ）
A. ①②③ B. ①④⑤
C. ①④ D. ①③④
【答案】C
【解析】根据平行公理可知①正确；根据面面平行的判定定理可知④正确；对于②错在可能相交或异面.对于③错在与可能相交，对于⑤⑥错在可能在内.
【题干】下列命题正确的是（ ）
A. 直线与平面不平行，则直线与平面内的所有直线都不平行
B. 如果两条直线与平面所成的角相等，则这两条直线平行
C. 垂直于同一直线的两个平面平行
D. 直线与平面不垂直，则直线与平面内的所有直线都不垂直
【答案】C
【解析】A.直线与平面不平行，则直线与平面相交或，当时，与内的无数条直线平行，因此不正确；B.如果两条直线在平面内的射影平行，则这两条直线平行或为异面直线，因此不正确;C.垂直于同一直线的两个平面平行，正确；D.直线与平面不垂直，则直线可以与平面内的无数条直线垂直，因此D不正确.综上可知:正确的命题是C.
【题干】设平面平面，，，是的中点，当分别在内运动时，那么所有的动点（ ）
A. 不共面
B. 当且仅当在两条相交直线上移动时才共面
C. 当且仅当在两条给定的平行直线上移动时才共面
D. 不论如何移动都共面
【答案】D
【解析】本题考查空间想象力，因为平面平面，所以线段的中点到平面和平面的距离相等，从而动点构成的图形是到平面和平面的距离相等的一个平面.
根据平行平面的性质，不论如何运动，动点均在过且与平行的平面上
【题干】如图，正方体的棱长为，线段上有两个动点，且，则下列结论中错误的是（ ）
A.
B. 平面
C. 三棱锥的体积为定值
D. 的面积与的面积相等
【答案】D
【解析】A.，由题意及图形知，面，故可得出，此命题正确，不是正确选项；B.平面，由正方体的两个底面平行，在其一面上，故与平面无公共点，故有平面，此命题正确，不是正确选项；C.三棱锥的体积为定值，由几何体的性质及图形知，的面积是定值，点到面距离是定值，故可得三棱锥的体积为定值，此命题正确，不是正确选项；D.由图形可以看出，到线段的距离与到的距离不相等，故的面积与的面积相等不正确，故D是错误的.
【题干】如图，透明塑料制成的长方体容器内灌进一些水，固定容器底面一边于地面上，再将容器倾斜.随着倾斜度的不同，下面命题不正确的是（ ）
A. 有水的部分始终呈棱柱形
B. 始终与水面所在的平面平行
C. 容器倾斜如图（3）所示时， 为定值
D. 面所在四边形的面积为定值
【答案】D
【解析】由题意知有水部分左.右两个面一定平行，且由于水平固定，故水平面，由线面平行的性质可知，.又因为，故水平面.在题图（3）中，有水部分始终是以面和面为底面的三棱柱，且高确定，因此底面积确定，即为定值.选D.
【题干】一正四面体木块如图所示，点是棱的中点，过点将木块锯开，使截面平行于棱和，若木块的棱长为，则截面面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】在平面内作直线，交于，在平面内作直线，交于，过点作直线，交于，∵，所以匹点共面，且面与和都平行.易知四边形为边长为的正方形，故其面积为.
【题干】考查下列三个命题，在“________”处都缺少同一个条件，补上这个条件使其构成真命题（其中为不同的直线，为不重合的平面），则此条件为________．
① ，②，③
【答案】
【解析】①体现的是线面平行的判定定理，缺的条件是“为平面外的直线”，
即“”.它同样适合②③.
【题干】如图，在正四棱柱中，分别是棱...的中点，是的中点，点在四边形及其内部运动，则当满足条件___________时，有平面.
【答案】当在线段上运动时，有面
【解析】，由题意面，面，∴面面. ∴当在线段上运动时，有面.
【题干】下图中四个正方体图形，为正方体的两个顶点，分别为其所在棱的中点，能得出面的图形的序号是________.（写出所有符合要求的图形序号）
【答案】①③
【解析】①∵面面，∴面.②若下底面中心为，易知，面，∴与面不平行.③易知，∴面.④易知存在一直线，且平面，∴与面不平行.
【题干】如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，为的中点，为的中点．求证：平面.
【答案】见解析
【解析】证明：连接.在平行四边形中，因为为的中点，所以为的中点．又因为为的中点，所以.因为平面，平面，所以平面.
【点评】利用判定定理时关键是找平面内与已知直线平行的直线．可先直观判断平面内是否已有，若没有，则需作出该直线，常考虑三角形的中位线.平行四边形的对边或过已知直线作一平面找其交线．
【题干】如图，若平面，四边形是矩形，分别是的中点，求证：平面.
【答案】见解析
【解析】证明取的中点，连接，则且.
又∵且，∴，即四边形是平行四边形，
∴，又∵平面，平面，∴平面.
【点评】利用判定定理时关键是找平面内与已知直线平行的直线．可先直观判断平面内是否已有，若没有，则需作出该直线，常考虑三角形的中位线、平行四边形的对边或过已知直线作一平面找其交线．
【题干】如图，已知，异面直线和平面分别交于四点，分别是的中点．求证：
（1）共面；
（2）平面平面.
【答案】见解析
【解析】证明:（1）∵分别是的中点，∴且，同理，且，∴且，∴四边形是平行四边形，即共面.
（2）平面和平面有一个公共点，设两平面交于过点的直线，
∵，∴，又∵，∴，∴平面，同理，平面，又因为，平面，平面，
∴平面平面.
【题干】已知空间四边形，，分别是和的重心，求证：平面．
【答案】见解析
【解析】证明:∵分别是和的重心，
∴，∴
即，又因为平面，平面，∴平面.
【点评】重心分中线之比为关系，注意体会
【题干】如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，是的中点．
求证：平面.
【答案】见解析.
【解析】连结，设交于，连结，∵底面是平行四边形，
∴点是的中点，在中，是中位线，∴，∵平面，
且平面，∴平面.
【题干】已知空间四边形，、分别是和的重心，求证：平面.
【答案】见解析.
【解析】（法一）取的中点，∵是的重心，为的重心，
∴连结，，有，且有，在中，有，从而.又平面，平面，∴平面．
（法二）连结分别交于，连结，
∵，∴，又平面，∴平面.
【题干】已知分别是四面体的棱的中点，求证：面.
【答案】见解析.
【解析】连结交于，连结，因为是的中位线，所以点为的中点，又∵是的中点，∴是的中位线，故，
又平面，平面，∴面．
【题干】如图，在底面是平行四边形的四棱锥中，点在上，
且，为棱的中点．求证：平面
【答案】见解析.
【解析】（法一）取的中点，连结，则①，由，知是的中点.连结，，设，则为的中点，
∴②，由①，②知，平面平面，∵平面，
∴平面.
（法二）∵，∴、、共面．
又平面，从而平面.
【题干】如图，四棱锥中，四边形是平行四边形，、分别是、的中点.求证：平面．
【答案】见解析.
【解析】（法一：线线平行线面平行）取的中点，连结，，由为中点，知.又由已知有，∴∴四边形是平行四边形，∴，又平面，平面 ∴平面．
（法二：面面平行线面平行）取中点，连结，，，∵四边形是矩形，分别是的中点，∴，∵、分别是的中点，∴，又，面，面，
∴面面，∵平面，∴平面.
【题干】如图，四边形是矩形，面，过作平面交于，交于，求证：四边形是梯形．
【答案】见解析.
【解析】∵四边形是矩形，∴，又平面，∴平面，又∵平面，平面平面，∴．
又∵，∴，从而，又，∴，
∴四边形是梯形．
【题干】已知为空间四边形的边上的点，
（1）若都分别是所在边的中点，求证：四边形为平行四边形；
（2）若，求证：．
【答案】见解析.
【解析】（1）∵是的中点，是的中点，∴且，同理有，∴且，故四边形为平行四边形，
（2）证明：，面，面，∴面 又∵面，面面，∴．
【题干】如图，三棱柱中，是的中点.求证：平面.
【答案】见解析.
【解析】（法一：线线平行线面平行）连结，记，连接．
∵是三棱柱，∴四边形是平行四边形，∴是的中点，又是的中点，∴，∵平面，平面，∴平面．
（法二：面面平行线面平行）取中点，连结，，，
∵是三棱柱，∴，∵，分别为，的中点，
∴，，∴四边形是平行四边形，有，
又，且面，且面，∴面面，
∵面，∴平面.
【题干】已知正方体，，为与的交点，为与的交点，则的长度为_________．
【答案】.
【解析】，故．
【题干】如图，在正方体中，为的中点．求证：面.
【答案】见解析.
【解析】连结，与交于点，连结，∵在中，为的中点，为的中点，∴，平面，面，∴面.
【题干】如图，正方体中，点在上，点在上，且，
求证：平面.
【答案】见解析.
【解析】过点作，过点作，分别交和于、，
连结，∵，∴，又∵，∴，又已知，，∴，，从而有，
又∵，∴，∴是平行四边形，
∴．又平面，平面，∴平面．
【题干】如图所示，正方体中，棱长为，分别为和上的点，．
（1）求证：平面；
（2）求的最小值．
【答案】（1）见解析；（2）.
【解析】（1）作交于，作交于．连结，
则，∵，∴，又，∴，
∵，，∴，.又，
∴．∴四边形是平行四边形，且．又平面，平面，∴平面
（2）设，由（1）知，且，∴，，∴，从而，
∴当时，取得最小值．
【题干】设是单位正方体的面、的中心，如图，
（1）证明：平面；
（2）求线段的长．
【答案】（1）见解析；（2）.
【解析】（1）连结，∵是面的中心，∴必交交于点，
且是的中点．又是的中点，∴是的中位线，从而，又平面，平面，∴平面．
（2）∵是的中位线，∴．
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8.5.1直线与平面平行的判定与性质
一、知识要点
直线和平面平行的判定
1）定义：直线和平面没有公共点，则称直线平行于平面；
2）判定定理：，且；
3）其他判定方法：，.
直线和平面平行的性质定理：
，，.
二、典型例题
【题干】给出下列关于互不相同的直线和平面的三个命题：
①若与为异面直线，，，则；
②若，，，则；
③若，，，，则.
其中真命题的个数为（ ）
A. B. C. D.
【题干】为三条不重合的直线，为三个不重合平面，现给出六个命题：
① ② ③
④ ⑤ ⑥
其中正确的命题是（ ）
A. ①②③ B. ①④⑤
C. ①④ D. ①③④
【题干】下列命题正确的是（ ）
A. 直线与平面不平行，则直线与平面内的所有直线都不平行
B. 如果两条直线与平面所成的角相等，则这两条直线平行
C. 垂直于同一直线的两个平面平行
D. 直线与平面不垂直，则直线与平面内的所有直线都不垂直
【题干】设平面平面，，，是的中点，当分别在内运动时，那么所有的动点（ ）
A. 不共面
B. 当且仅当在两条相交直线上移动时才共面
C. 当且仅当在两条给定的平行直线上移动时才共面
D. 不论如何移动都共面
【题干】如图，正方体的棱长为，线段上有两个动点，且，则下列结论中错误的是（ ）
A.
B. 平面
C. 三棱锥的体积为定值
D. 的面积与的面积相等
【题干】如图，透明塑料制成的长方体容器内灌进一些水，固定容器底面一边于地面上，再将容器倾斜.随着倾斜度的不同，下面命题不正确的是（ ）
A. 有水的部分始终呈棱柱形
B. 始终与水面所在的平面平行
C. 容器倾斜如图（3）所示时， 为定值
D. 面所在四边形的面积为定值
【题干】一正四面体木块如图所示，点是棱的中点，过点将木块锯开，使截面平行于棱和，若木块的棱长为，则截面面积为（ ）
A. B. C. D.
【题干】考查下列三个命题，在“________”处都缺少同一个条件，补上这个条件使其构成真命题（其中为不同的直线，为不重合的平面），则此条件为________．
① ，②，③
【题干】如图，在正四棱柱中，分别是棱...的中点，是的中点，点在四边形及其内部运动，则当满足条件___________时，有平面.
【题干】下图中四个正方体图形，为正方体的两个顶点，分别为其所在棱的中点，能得出面的图形的序号是________.（写出所有符合要求的图形序号）
【题干】如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，为的中点，为的中点．求证：平面.
【题干】如图，若平面，四边形是矩形，分别是的中点，求证：平面.
【题干】如图，已知，异面直线和平面分别交于四点，分别是的中点．求证：
（1）共面；
（2）平面平面.
【题干】已知空间四边形，，分别是和的重心，求证：平面．
【题干】如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，是的中点．
求证：平面.
【题干】已知空间四边形，、分别是和的重心，求证：平面.
【题干】已知分别是四面体的棱的中点，求证：面.
【题干】如图，在底面是平行四边形的四棱锥中，点在上，
且，为棱的中点．求证：平面
【题干】如图，四棱锥中，四边形是平行四边形，、分别是、的中点.求证：平面．
【题干】如图，四边形是矩形，面，过作平面交于，交于，求证：四边形是梯形．
【题干】已知为空间四边形的边上的点，
（1）若都分别是所在边的中点，求证：四边形为平行四边形；
（2）若，求证：．
【题干】如图，三棱柱中，是的中点.求证：平面.
【题干】已知正方体，，为与的交点，为与的交点，则的长度为_________．
【题干】如图，在正方体中，为的中点．求证：面.
【题干】如图，正方体中，点在上，点在上，且，
求证：平面.
【题干】如图所示，正方体中，棱长为，分别为和上的点，．
（1）求证：平面；
（2）求的最小值．
【题干】设是单位正方体的面、的中心，如图，
（1）证明：平面；
（2）求线段的长．
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