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8.5.2平面与平面平行的判定与性质
一、知识要点
两个平面平行的判定
1）定义：两个平面没有公共点，称这两个平面平行；
2）判定定理：，，，，；
3）推论：，，，，，
两个平面平行的性质定理
1），；
2），，.
二、典型例题
【题干】点是所在平面外一点，分别是，，的重心，求证：面面.
【答案】见解析
【解析】注：，，. 证明:如图，分别取的中点，连接， ∵，，分别是、、的重心，∴，，分别在上，. 在中，，
故，又因为为的边的中点，，
∴，∴平面，同理平面，∴平面平面.
【点评】重心分中线之比为关系的应用
【题干】如图，平面，线段分别交于两点，线段分别交于两点，线段分别交于，若，求的面积.
【答案】
【解析】∵，∴经过可确定平面，∴分别为平面与的交线，∵，∴.同理，.则.
因为，所以，，
所以；，
∴.
【题干】如图，为所在平面外一点，，，分别为，，的重心，则：
（1）求证：平面平面；
（2）求
【答案】（1）见解析（2）
【解析】（1）证明：连接BM，BN，BG并延长分别交AC，AD，CD于P，F，H.
∵M，N，G分别为△ABC，△ABD，△BCD的重心，则有BMMP=BNNF=BGGH=2，
∴点P，H，F分别为AC，CD，AD的中点.
连接PF，FH，PH，有MN∥PF.
又PF 平面ACD，MN 平面ACD，
∴MN∥平面ACD.
同理MG∥平面ACD，MG∩MN=M，
∴平面MNG∥平面ACD.
（2）由（1）可知MGPH=23，
∴MG=23PH.
又PH=12AD，
∴MG=13AD.
同理NG=13AC，MN=13CD.
∴△MNG∽△ACD，其相似比为1:3.
∴S△MNG:S△ACD=1:9.
根据已知给出了△ABC，△ABD，△BCD的重心，要求平面间的关系，则需要结合重心作出辅助线；
连接BM，BN，BG并延长分别交AC，AD，CD于P，F，H，由此可根据重心的性质得到P，H，F是中点，再结合中位线的平行关系即可推出线与面的平行关系，那么面与面的平行关系也就不难证明了；
【题干】如图，在正方体中，分别为所在边的中点．求证：平面平面.
【答案】证明：连接，则为的中位线，∴.又∵，
∴.同理，.而与相交，在平面内，，在平面内，∴平面平面.
【题干】如图，在三棱柱中，分别是的中点，求证：（1）四点共面；（2）平面平面.
【答案】证明：（1）∵是的中位线，∴.又∵，
∴，∴四点共面．
（2）∵分别为的中点，∴，∵平面，平面，∴平面. ∵，∴四边形是平行四边形，
∴. ∵平面，平面，∴平面.
∵，∴平面平面.
【点评】证明面面平行的方法有：（1）面面平行的定义；（2）面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行；（3）利用垂直于同一条直线的两个平面平行；（4）两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行；（5）利用“线线平行”、“线面平行”、“面面平行”的相互转化．
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8.5.2平面与平面平行的判定与性质
一、知识要点
两个平面平行的判定
1）定义：两个平面没有公共点，称这两个平面平行；
2）判定定理：，，，，；
3）推论：，，，，，
两个平面平行的性质定理
1），；
2），，.
二、典型例题
【题干】点是所在平面外一点，分别是，，的重心，求证：面面.
【题干】如图，平面，线段分别交于两点，线段分别交于两点，线段分别交于，若，求的面积.
【题干】如图，为所在平面外一点，，，分别为，，的重心，则：
（1）求证：平面平面；
（2）求
【答案】（1）见解析（2）
【题干】如图，在正方体中，分别为所在边的中点．求证：平面平面.
【题干】如图，在三棱柱中，分别是的中点，求证：（1）四点共面；（2）平面平面.
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