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8.5.3线面平行中的探索问题
解决探究性问题一般要采用执果索因的方法，假设求解的结果存在，从这个结果出发，寻找使这个结论成立的充分条件，如果找到了符合题目结果要求的条件，则存在；如果找不到符合题目结果要求的条件（出现矛盾），则不存在．
【题干】如图所示，在三棱柱中，平面，若是棱的中点，问在棱上是否存在一点，使平面？若存在，请确定点的位置；若不存在，请说明理由．
【题干】如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，平面，点分别为、的中点．在线段上是否存在一点，使平面？若存在，请确定点的位置；若不存在，请说明理由．
【题干】如图，在直四棱柱中，底面为等腰梯形，，且，在棱上是否存在一点，使平面平面？若存在，求点的位置；若不存在，请说明理由.
【题干】如图所示，四棱锥的底面是边长为的正方形，侧棱底面，侧面内有于，且，试在上找一点，使平面.
【题干】如图，为平行四边形所在平面外一点，分别为的中点，平面平面 .
（1）判断与的位置关系，并证明你的结论;
（2）判断与平面的位置关系，并证明你的结论.
【题干】如图，已知直四棱柱的底面是直角梯形，，，，分别是棱，上的动点，且，，．
（1）证明：无论点怎样运动，四边形都为矩形；
（2）当时，求几何体的体积.
【题干】在如图所示的几何体中，四边形为平行四边形，，平面，，，，，且是的中点.
（1）求证：平面；
（2）在上是否存在一点，使得最大？若存在，请求出的正切值；若不存在，请说明理由.
【题干】在直三棱柱中，，.点分别是，的中点，是棱上的动点.
（1）求证：平面；
（2）若平面，试确定点的位置，并给出证明.
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8.5.3线面平行中的探索问题
解决探究性问题一般要采用执果索因的方法，假设求解的结果存在，从这个结果出发，寻找使这个结论成立的充分条件，如果找到了符合题目结果要求的条件，则存在；如果找不到符合题目结果要求的条件（出现矛盾），则不存在．
【题干】如图所示，在三棱柱中，平面，若是棱的中点，问在棱上是否存在一点，使平面？若存在，请确定点的位置；若不存在，请说明理由．
【答案】见解析
【解析】如图，取的中点，连接，则，∵的中点为，连接，则，与是相交直线，∴平面平面.而平面，∴平面. 存在点，且为的中点．
【点评】取， 的中点分别为，证明平面平面 即可．
【题干】如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，平面，点分别为、的中点．在线段上是否存在一点，使平面？若存在，请确定点的位置；若不存在，请说明理由．
【答案】在上存在一点，使得平面
【解析】证明如下：如图，取的中点，连接，，，因为分别为，的中点，所以. 又因为在平行四边形中，.
所以，即四边形是平行四边形．所以. 又因为平面，平面，所以平面，即在上存在一点，使得平面.
【题干】如图，在直四棱柱中，底面为等腰梯形，，且，在棱上是否存在一点，使平面平面？若存在，求点的位置；若不存在，请说明理由.
【答案】见解析
【解析】当为中点时，平面，因为些是 ，
是平行四边形，且是平行四边形，由此能证明平面
当为中点时，平面. 理由如下：在直四棱柱 中，底面 为等腰梯形，，且，为中点，，是平行四边形，且是平行四边形，，，又因为都在平面内，平面
【题干】如图所示，四棱锥的底面是边长为的正方形，侧棱底面，侧面内有于，且，试在上找一点，使平面.
【答案】见解析
【解析】画出图形，过作交于，连接，在上取点，使，要证明平面，只需证明即可；然后确定的位置
在平面内，过作 交于，连接，在上取点，使，则即为所求作的点. ，，四边形为平行四边形，，又因为平面 ，平面，平面，又因为在 中，，四棱锥的底面是边长为的正方形，侧棱底面，所以是直角三角形，在中，，，又因为，，，点为的一个三等分点.
【点评】解决探究性问题一般要采用执果索因的方法，假设求解的结果存在，从这个结果出发，寻找使这个结论成立的充分条件，如果找到了符合题目结果要求的条件，则存在；如果找不到符合题目结果要求的条件(出现矛盾)，则不存在．
【题干】如图，为平行四边形所在平面外一点，分别为的中点，平面平面 .
（1）判断与的位置关系，并证明你的结论;
（2）判断与平面的位置关系，并证明你的结论.
【答案】（1）；（2）平面
【解析】（1）结论：.证明：因为，平面，平面，平面，又因为平面，平面平面，
（2）结论：平面，证明：取的中点，连结 则，，又因为，平面平面.又因为平面，平面
【点评】此题重点是线面平行性质的应用，注意体会
【题干】如图，已知直四棱柱的底面是直角梯形，，，，分别是棱，上的动点，且，，．
（1）证明：无论点怎样运动，四边形都为矩形；
（2）当时，求几何体的体积.
【答案】（1）见解析（2）
【解析】（1）在直四棱柱中，，∵，
∴，又∵平面平面，平面平面，平面平面，∴，∴四边形为平行四边形，
∵侧棱底面，又因为平面内，∴，
∴四边形为矩形；
（2）证明：连结，∵四棱柱为直四棱柱，∴侧棱底面，又因为平面内，∴，在中，，，则； 在中，，，则；在直角梯形中，；∴，即，又∵，∴平面；由（1）可知，四边形为矩形，且，，∴矩形的面积为，∴几何体的体积为．
【题干】在如图所示的几何体中，四边形为平行四边形，，平面，，，，，且是的中点.
（1）求证：平面；
（2）在上是否存在一点，使得最大？若存在，请求出的正切值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）见解析（2）存在，正切值为.
【解析】（1）证明：取的中点，连接.在中，是的中点，是的中点，所以.又因为，，
所以 且，所以四边形为平行四边形，所以，
又因为平面，平面，故平面.
（2）假设在上存在一点，使得最大. 因为平面，
所以.又因为，所以平面. 在中，，因为为定值，且为锐角，则要使最大，只要最小即可. 显然，当时，最小. 因为，所以当点在点处时，使得最大. 易得： ，所以的正切值为 .
【题干】在直三棱柱中，，.点分别是，的中点，是棱上的动点.
（1）求证：平面；
（2）若平面，试确定点的位置，并给出证明.
【答案】（1）见解析（2）见解析
【解析】（1）证明：∵在直三棱柱中，，点是的中点，∴，，，，∴平面，平面，∴，即，又因为，∴平面
（2）当是棱的中点时，平面.证明如下:连结，取的中点，连接， 则为的中位线，∴，.
∵由已知条件，为正方形，∴，，∵为的中点，
∴，∴，且，∴四边形为平行四边形，
∴. 又∵平面，平面，∴平面.
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