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8.6.1直线与平面垂直的判定与性质
1）证明直线和平面垂直的常用方法有：
① 判定定理（注意相交）；
② ，；
③ ；
④ 面面垂直的性质．
⑤ 利用线面垂直的定义
2）线面垂直的性质，常用来证明线线垂直．
【题干】设是两个不同的平面，是一条直线，以下命题正确的是（ ）
A. 若，，则 B. 若，，则
C. 若，，则 D. 若，，则
【答案】B
【解析】若，，则或，故A错误；若，，则或，故B错误；若，，由平面平行的性质，我们可得，故C正确；若，，则或，故D错误；
【题干】如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，， ，为的中点，平面，证明：平面.
【答案】见解析
【解析】证明：因为，且 ，即，
又因为平面，平面，∴，而，
∴平面.
【点评】只需证，再利用线面垂直的判定定理即可．
【题干】在空间五面体中，四边形是正方形，平面，.点是的中点. 求证：
（1）平面（2）平面
【答案】见解析
【解析】（1）因为点是的中点，，为的中位线
.又因为平面，平面，所以平面
（2）因为平面，平面，，因为，，，，平面，平面，，又因为四边形是正方形，，，平面
【点评】只需证明垂直于，再利用线面垂直的判定定理即可.
【题干】如图，已知平面，， ，是的中点．求证：.
【答案】见解析
【解析】因为平面，平面，.又因为，是的中点. . 又因为，平面.而平面，.
【题干】如图，已知四棱柱的底面是菱形，侧棱底面，是侧棱的中点.
（1）求证：平面；（2）求证：平面.
【答案】见解析
【解析】证明：（1）因为是菱形，所以，因为底面，所以，所以平面.
（2）设交于点，取的中点，连接，则，且，又因为是侧棱的中点，，，，
所以，且，所以四边形 为平行四边形，，
又平面，平面，所以平面.
【题干】如图，在三棱柱中，每个侧面均为正方形，为底边的中点，为侧棱的中点，与的交点为.
（1）求证：平面；
（2）求证：平面.
【答案】见解析
【解析】（1）设和的交点为，连接，连接.因为为的中点，为的中点，所以且. 又因为是中点，则且，即且，则四边形为平行四边形.所以.又因为平面，平面，则平面.
（2）因为三棱柱各侧面都是正方形，所以，，所以平面.
因为平面，所以.又因为已知得，所以，所以平面.由（1）可知，所以平面，所以.因为侧面是正方形，所以，又，平面，平面，所以平面.
【题干】如图，已知直三棱柱，，，
．.分别是棱，中点．
（1）求证：；
（2）求四棱锥的体积；
（3）判断直线和平面的位置关系，并加以证明．
【答案】（1）见解析 （2）4 （3）见解析
【解析】如图，（1）证明：∵三棱柱是直接柱，∴平面；
又因为平面，.
（2）因为平面，.因为，，
且，平面，∴四棱锥的体积为.由于是棱的中点，...
（3）平面，现证明：取的中点，连接，∵分别是棱.中点，，且.又因为，且，，且，∴四边形是平行四边形，. 又因为平面，平面，平面.
【题干】如图：在四棱锥中，底面是菱形，，平面，点，分别为，的中点，且.
（1）证明：⊥平面；
（2）求三棱锥的体积；
（3）在线段上是否存在一点，使得平面；若存在，求出的长；若不存在，说明理由.
【答案】（1）见解析（2）；（3）见解析
【解析】（1）证明：因为为菱形，，又因为，，又为中点，，而平面，平面，，又因为，平面
（2）因为，又因为底面，，，所以三棱锥的体积
（3）存在点，取中点，连接，，，因为分别为，中点，，又因为在菱形中，，，即是平行四边形，，又因为平面，平面，平面，即在上存在一点，使得平面，此时.
【题干】如图，在直三棱柱中，，，分别为，的中点，四边形是正方形．
（1）求证：平面；
（2）求证：平面．
【答案】见解析
【解析】（1）连接，与交于点，连接.因为中，分别为和的中点，.又因为平面，平面，平面.
（2）证明：在直三棱柱中，平面，平面，
.因为中，为中点，，又因为， 平面，平面.因为平面，.
因为四边形为正方形，.分别为.的中点，，可得，，可得.因为，平面，平面.又因为平面，平面平面.
【题干】在三棱锥中，和都是边长为的等边三角形，，分别是的中点．
（1）求证：平面；
（2）求证：⊥平面；
（3）求三棱锥的体积
【答案】（1）见解析（2）见解析；（3）
【解析】（1）因为分别为的中点，，又因为平面，平面，平面.
（2）如图，连接，，为中点，，，且.同理，. 又因为，，得. . 平面，，平面.
（3）因为平面，为三棱锥的高，结合，得棱锥的体积为.
【题干】如图所示，正方形与直角梯形所在平面互相垂直，，，.
（1）求证：平面；
（2) 求四面体的体积求证；
（3）求证：平面.
【答案】（1）见解析；（2）；（3）见解析
【解析】（1）证明：平面平面，，平面，. 因为是正方形，，平面.
（2）因为平面平面，，平面，
∵，，，，四面体的体积.
（3）证明：如图所示，设，取的中点，连接.
则，又，四边形是平行四边形，.
又点是正方形的对角线与的交点，.在中，，
又，平面平面，平面.
【题干】如图，四棱锥的底面是边长为的正方形，侧棱底面，且，是侧棱上的动点.
（1）求四棱锥的体积；
（2）如果是的中点，求证平面；
（3）是否不论点在侧棱的任何位置，都有？证明你的结论．
【答案】（1）；（2）见解析；（3）见解析
【解析】（1）因为底面，平面，
.
（2）证明：连接交于，连接.因为四边形是正方形，是的中点.又因为是的中点，.因为平面，平面，平面.
（3）不论点在何位置，都有.因为四边形是正方形，.
因为底面，且平面，.又因为，
平面.因为不论点在何位置，都有平面，不论点在何位置，都有.
【题干】如图，正方形和四边形所在的平面互相垂直，，，
（1）求证：平面；
（2）求证：平面；
【答案】见解析
【解析】证明：（1）设与交于点.因为，且，，所以四边形为平行四边形，所以，因为平面，平面，所以平面.
（2）连接，因为，，且，所以平行四边形为菱形，所以. 因为四边形为正方形，所以.又因为平面平面，且平面平面，所以平面，所以，又，所以平面.
【题干】在正方体中，为的中点，为底面的中心．
求证：面．
【答案】见解析.
【解析】（法一）由于，且，∴面，且面，∴，连结，设，则，
∵，，，∴，∴，
又，∴平面.
（法二）由于，且，∴面，且面，
∴，取中点，连结，，则，在正方形中，
由，分别为，的中点，可知，又，且，∴面，又面，∴，∴面.
【题干】在四棱锥中，底面为矩形，底面，，分别为，的中点．（1）求证：平面；（2）若，求证：面．
【答案】见解析.
【解析】（1）取中点，连结，，∵，分别为，的中点，
∴且，∴，从而得到平面.
（2）（法一）∵底面，且面，∴，又由底面是矩形有，∴面，又面，∴，又∵，
∴，从而在等腰中，又，∴，又，
∴面，又，∴面.
（法二）∵底面，且面，∴，又由底面是矩形有，∴面，又面，∴，取中点，连结，，则，，∴，又，∴，
∴面，且面，∴，∵，∴，
且，∴，又，且，∴根据三角形全等可知，又，∴，∵，∴面.
【题干】已知平行六面体的底面是菱形，且．
求证：．
【答案】见解析.
【解析】∵底面是菱形，∴，连结，交于点，连结，，∵，由可知，∴为等腰三角形，
又，∴，又，∴面，又，
且面．∴.
【题干】如图，在直四棱柱中，当底面四边形满足条件________时，有．（注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情形）
【答案】.
【解析】（或更特殊的四边形是正方形或菱形）.
平面.故充要条件为，本题只要求写一个充分条件即可．
【题干】如图，、、、是空间四点，在中，，，等边所在的平面以为轴可转动．当转动过程中，是否总有？请证明你的结论
【答案】见解析.
【解析】当在转动过程中，总有，，∴平面，
∴，当转动到与共面时，仍然有，故转动过程中，总有.
【题干】在正方体中，是的中点，问当点位于上何处时，？
【答案】的四等分点处．
【解析】若想，只需，只需，只需，
位于处，即的四等分点处．
【题干】如图，直三棱柱中，，，，是的中点．
（1）求证平面；
（2）当点在上什么位置时，会使得平面？并证明你的结论．
【答案】见解析.
【解析】（1）∵是直三棱柱，∴，且．
是的中点，∴，∵平面，平面，
∴，∴平面．
（2）作交于，延长交于，连结，则平面，
点即为所求．事实上，∵平面，平面，∴．
又，，∴平面．
【题干】如图已知平行六面体的底面是菱形，
且．
（1）证明；
（2）当的值为多少时，能使平面？请给出证明．
【答案】（1）见解析；（2）.
【解析】（1）连结、，和交于，连结，∵四边形是菱形，
∴，，又∵，，∴．
∴，∵，∴，又，，∴平面，又平面，∴．
（2）证法一：∵，∴．又，由此可推得，∴三棱锥是正三棱锥．设与相交于，
∵，且，∴．又是正的边上的高和中线，∴点是正的中心．∴平面，即平面．
证法二：由（1）知平面，∵平面，∴．当时，
平行六面体的六个面是全等的菱形，同证法可得．又，∴平面．
【题干】已知四面体，①若棱，求证，
②若，求证棱.
【答案】见解析.
【解析】①过作的垂线，垂足，连，∵，∴平面，
∴，∴、；又有、，∴，而．∴．
②过点作的垂线，垂足设为，于是有：，；，；∵；
∴，∴，
∴，∴，
∴，∴，∴、只能重合于一点，故有平面，∴．
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8.6.1直线与平面垂直的判定与性质
1）证明直线和平面垂直的常用方法有：
① 判定定理（注意相交）；
② ，；
③ ；
④ 面面垂直的性质．
⑤ 利用线面垂直的定义
2）线面垂直的性质，常用来证明线线垂直．
【题干】设是两个不同的平面，是一条直线，以下命题正确的是（ ）
A. 若，，则 B. 若，，则
C. 若，，则 D. 若，，则
【题干】如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，， ，为的中点，平面，证明：平面.
【题干】在空间五面体中，四边形是正方形，平面，.点是的中点. 求证：
（1）平面（2）平面
【题干】如图，已知平面，， ，是的中点．求证：.
【题干】如图，已知四棱柱的底面是菱形，侧棱底面，是侧棱的中点.
（1）求证：平面；（2）求证：平面.
【题干】如图，在三棱柱中，每个侧面均为正方形，为底边的中点，为侧棱的中点，与的交点为.
（1）求证：平面；
（2）求证：平面.
【题干】如图，已知直三棱柱，，，
．.分别是棱，中点．
（1）求证：；
（2）求四棱锥的体积；
（3）判断直线和平面的位置关系，并加以证明．
【题干】如图：在四棱锥中，底面是菱形，，平面，点，分别为，的中点，且.
（1）证明：⊥平面；
（2）求三棱锥的体积；
（3）在线段上是否存在一点，使得平面；若存在，求出的长；若不存在，说明理由.
【题干】如图，在直三棱柱中，，，分别为，的中点，四边形是正方形．
（1）求证：平面；
（2）求证：平面．
【题干】在三棱锥中，和都是边长为的等边三角形，，分别是的中点．
（1）求证：平面；
（2）求证：⊥平面；
（3）求三棱锥的体积
【题干】如图所示，正方形与直角梯形所在平面互相垂直，，，.
（1）求证：平面；
（2) 求四面体的体积求证；
（3）求证：平面.
【题干】如图，四棱锥的底面是边长为的正方形，侧棱底面，且，是侧棱上的动点.
（1）求四棱锥的体积；
（2）如果是的中点，求证平面；
（3）是否不论点在侧棱的任何位置，都有？证明你的结论．
【题干】如图，正方形和四边形所在的平面互相垂直，，，
（1）求证：平面；
（2）求证：平面；
【题干】在正方体中，为的中点，为底面的中心．
求证：面．
【题干】在四棱锥中，底面为矩形，底面，，分别为，的中点．（1）求证：平面；（2）若，求证：面．
【题干】已知平行六面体的底面是菱形，且．
求证：．
【题干】如图，在直四棱柱中，当底面四边形满足条件________时，有．（注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情形）
【题干】如图，、、、是空间四点，在中，，，等边所在的平面以为轴可转动．当转动过程中，是否总有？请证明你的结论
【题干】在正方体中，是的中点，问当点位于上何处时，？
【题干】如图，直三棱柱中，，，，是的中点．
（1）求证平面；
（2）当点在上什么位置时，会使得平面？并证明你的结论．
【题干】如图已知平行六面体的底面是菱形，
且．
（1）证明；
（2）当的值为多少时，能使平面？请给出证明．
【题干】已知四面体，①若棱，求证，
②若，求证棱.
【
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