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8.6.2平面与平面垂直的判定与性质
面面垂直的关键是线面垂直，线面垂直的证明方法主要有：判定定理法、平行线法（若两条平行线中一条垂直于这个平面，则另一条也垂直于这个平面）、面面垂直性质定理法.其实本质还是线面垂直.
关系：线线垂直线面垂直面面垂直（注意面面垂直与线线垂直没有直接关系）
【题干】如图，在正四面体中，分别是的中点，下面四个结论不成立的是（ ）
A. 平面 B. 平面
C. 平面平面 D. 平面平面
【题干】设是三个不重合的平面，是直线，给出下列四个命题：
①若，，则；
②若，，则；
③若上有两点到 的距离相等，则；
④若，，则.
其中正确命题的序号是（ ）
A. ①② B. ①④ C. ②④ D. ③④
【题干】如图所示，在四棱锥中，底面，且底面各边都相等，是上的一动点，当点满足________时，平面平面.（只要填写一个你认为是正确的条件即可）
【题干】如图，在正四面体中，分别是的中点，下面四个结论不成立的是 （ ）
A. 平面 B. 平面
C. 平面平面 D. 平面平面
【题干】如图，在三棱柱中，侧棱底面，底面是以为直角的等腰直角三角形，，，是的中点，点在线段上，当__________时，平面.
【题干】已知四棱锥 的底面是菱形．，为的中点．
（1）求证： 平面；
（2）求证：平面平面．
【题干】如图所示，在四棱锥中，平面平面，，是等边三角形，已知，.是上的一点，证明：平面⊥平面 .
【题干】如图，菱形的边长为，，.将菱形沿对角线折起，得到三棱锥，点是棱的中点，.
（1）求证：平面；
（2）求证：平面平面；
（3）求三棱锥的体积.
【题干】如图所示，在长方体 中，，，是棱的中点．证明：平面平面.
【题干】如图，在直四棱柱中，底面为等腰梯形，，，，，. 分别是棱，的中点．
（1）设是棱的中点，证明：直线平面，
（2）证明：平面⊥平面 .
【题干】在直平行六面体中，四边形是菱形，，，，
（1）求证：平面；
（2）求证：平面⊥平面 .
【题干】已知梯形中，，，，分别是的中点，且，沿将翻折到．
（1）求证：平面；
（2）求证：平面⊥平面．
【题干】已知三棱锥中，底面，，分别为的中点，于．
（1）求证：平面；
（2）求证：平面平面；
（3）若，求截面分三棱锥所成两部分的体积比．
【题干】在四棱锥中，，，平面，为的中点，．
（1）求四棱锥的体积；
（2）若为的中点，求证平面．
【题干】如图所示，正四棱柱中，底面边长为，侧棱长为．分别为棱的中点，．
（1）求证：平面平面；
（2）求点到平面的距离；
（3）求三棱锥的体积．
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8.6.2平面与平面垂直的判定与性质
面面垂直的关键是线面垂直，线面垂直的证明方法主要有：判定定理法、平行线法（若两条平行线中一条垂直于这个平面，则另一条也垂直于这个平面）、面面垂直性质定理法.其实本质还是线面垂直.
关系：线线垂直线面垂直面面垂直（注意面面垂直与线线垂直没有直接关系）
【题干】如图，在正四面体中，分别是的中点，下面四个结论不成立的是（ ）
A. 平面 B. 平面
C. 平面平面 D. 平面平面
【答案】D
【解析】由，可得平面，故A正确.若平面，垂足为，则在上，则，又，故平面可得，故B正确.
由平面可得，平面平面，故C正确.由平面可得，平面平面，平面平面为，故D错误.
【点评】面面垂直的本质是线面垂直.面面垂直的关键是线面垂直，线面垂直的证明方法主要有：判定定理法、平行线法（若两条平行线中一条垂直于这个平面，则另一条也垂直于这个平面）、面面垂直性质定理法，本题就是用的面面垂直性质定理法，这种方法是证明线面垂直、作线面角、二面角的一种核心方法
【题干】设是三个不重合的平面，是直线，给出下列四个命题：
①若，，则；
②若，，则；
③若上有两点到 的距离相等，则；
④若，，则.
其中正确命题的序号是（ ）
A. ①② B. ①④ C. ②④ D. ③④
【答案】C
【解析】①错误，可能在平面，则；②正确，，，则 ；③错误，直线可能与平面相交.
④，，故④正确
【题干】如图所示，在四棱锥中，底面，且底面各边都相等，是上的一动点，当点满足________时，平面平面.（只要填写一个你认为是正确的条件即可）
【答案】
【解析】由定理可知，.所以当或时，即有平面，而平面，所以平面平面.故选（或等）
【题干】如图，在正四面体中，分别是的中点，下面四个结论不成立的是 （ ）
A. 平面 B. 平面
C. 平面平面 D. 平面平面
【答案】D
【解析】由，可得平面，故A正确；若平面，垂足为，则在上，则，又，故平面 ，故B正确；由平面可得，平面平面，故C正确；由平面可得， 平面平面，平面平面为，
【题干】如图，在三棱柱中，侧棱底面，底面是以为直角的等腰直角三角形，，，是的中点，点在线段上，当__________时，平面.
【答案】或
【解析】由已知得平面，又平面，∴，故若平面，故必有.设，则，，又因为，
所以，解得：或.
【点评】（1）证明直线和平面垂直的常用方法有：①判定定理；②③；④面面垂直的性质．（2）线面垂直的性质，常用来证明线线垂直．
【题干】已知四棱锥 的底面是菱形．，为的中点．
（1）求证： 平面；
（2）求证：平面平面．
【解析】（1）设为.的交点，连接. ∵，分别是，的中点，
∴，∵平面 ，平面，∴平面.
（2）证明：连接，∵，为的中点，∴.
又∵在菱形中，，且，∴平面
∵平面，∴平面平面.
【题干】如图所示，在四棱锥中，平面平面，，是等边三角形，已知，.是上的一点，证明：平面⊥平面 .
【答案】见解析
【解析】在中，由于，，，所以.，又因为平面平面，平面平面＝， 平面，所以⊥平面. 又平面，故平面⊥平面.
【点评】证明⊥平面，根据已知平面平面，只要证明即可．
【题干】如图，菱形的边长为，，.将菱形沿对角线折起，得到三棱锥，点是棱的中点，.
（1）求证：平面；
（2）求证：平面平面；
（3）求三棱锥的体积.
【答案】见解析
【解析】（1）证明：因为点是菱形的对角线的交点，所以是的中点，
又点是棱的中点，所以是的中位线，因为平面，
平面，平面，所以平面
（2）证明：由题意，，因为 ，所以.
又因为菱形，因为，所以平面
因为平面，所以平面平面
（3）三棱锥的体积等于三棱锥的体积，由（2）知，平面，所以为三棱锥的高，的面积为 ，所求体积等于.
【点评】解答立体几何综合题时，要学会识图、用图与作图．图在解题中起着非常重要的作用，空间平行、垂直关系的证明，都与几何体的结构特征相结合，准确识图，灵活利用几何体的结构特征找出平面图形中的线线的平行与垂直关系是证明的关键．
【题干】如图所示，在长方体 中，，，是棱的中点．证明：平面平面.
【答案】见解析
【解析】∵平面，平面，∴，由已知易得，又 ，，∴，
∴. 又∵，∴平面. 而平面，
∴平面平面.
【题干】如图，在直四棱柱中，底面为等腰梯形，，，，，. 分别是棱，的中点．
（1）设是棱的中点，证明：直线平面，
（2）证明：平面⊥平面 .
【答案】见解析
【解析】证明：（1）证法一:取的中点为，连接，，由于，所以平面，因为平面即为，连接，，由于和和平行且相等，所以四边形 为平行四边形.因为，又因为，得.而平面， ，故 平面
证法二：因为位的中点，，， ，所以.
因此四边形为平行四边形，所以.又因为，
平面，平面，所以平面平面，又因为平面，所以平面.
（2）证明：连接，在中，，又为的中点，所以，因此 即. 又因为，且，所以平面，而平面，故平面平面.
【题干】在直平行六面体中，四边形是菱形，，，，
（1）求证：平面；
（2）求证：平面⊥平面 .
【答案】见解析
【解析】证明：（1）连接交于，连接 .平行四边形中，所以，，所以四边形为平行四边形，所以.又∵面， 面，∴平面；
（2）在直平行六面体中，平面 ，. ∵为菱形，∴，∵，平面，∴平面
∵平面，∴平面⊥平面.
【题干】已知梯形中，，，，分别是的中点，且，沿将翻折到．
（1）求证：平面；
（2）求证：平面⊥平面．
【答案】见解析
【解析】证明：（1）∵分别是的中点，为的中位线.
∴，又∵平面，平面，∴平面
（2）∵是的中点，，即，∴，又∵，，∴在中，，∴，∴，. ∵，又∵平面，∴平面平面.
【题干】已知三棱锥中，底面，，分别为的中点，于．
（1）求证：平面；
（2）求证：平面平面；
（3）若，求截面分三棱锥所成两部分的体积比．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）.
【解析】（1）∵，为中点，∴，又底面，
∴，∵，∴平面，∴．又，
∴平面．
（2）∵为的中点，∴．结合（1）可知平面．
（3）∵，∴，
因此两部分的体积比为．
【题干】在四棱锥中，，，平面，为的中点，．
（1）求四棱锥的体积；
（2）若为的中点，求证平面．
【答案】（1）；（2）见解析.
【解析】（1）在中，，，∴，．
在中，，，∴，，
∴，
则．
（2）∵，为的中点，∴，∵平面，
∴，∵，，∴平面，∴，∵为中点，为中点，∴．则，∵，∴平面．
【题干】如图所示，正四棱柱中，底面边长为，侧棱长为．分别为棱的中点，．
（1）求证：平面平面；
（2）求点到平面的距离；
（3）求三棱锥的体积．
【答案】（1）见解析；（2）；（3）.
【解析】（1）连接，∵正四棱柱的底面是正方形，∴，
又，故平面，∵分别为的中点，故，
∴平面，∴平面平面．
（2）连结，在对角面中，作，垂足为，∵平面平面，且平面平面，∴平面，且垂足为，
∴点到平面的距离．
法一：在中，，∵，，∴．
法二：∵，∴，∴．
法三：连接，则三角形的面积等于正方形面积的一半，
即，∴．
（3）．
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