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比例教学设计
课题 正比例 单元 4 学科 数学 年级 六年级
学习目标 1.学习目标描述：初步理解正比例的意义及字母表达式，学会根据正比例的意义来判断两种相关联的量是不是成正比例关系。2.学习内容分析：让学生在认识成正比例的量的过程中，学会用“函数”的眼光去理解数量关系中量与量的变化规律，发现两个变量背后的不变量，培养学生的分析能力和抽象概括能力。3.学科核心素养分析：让学生进一步体会数学和日常生活的密切联系，增强从生活现象中探索数学知识和规律的意识。
重点 理解正比例的意义
难点 会判断两种量是否成正比例关系。
教学环节 教师活动 设计意图
导入新课 一、复习导入1.师课件展示：已知路程和时间，怎样求速度？已知总价和数量，怎样求单价？已知工作总量和工作时间，怎样求工作效率？师：你能快速回答这三个问题吗？生：:速度=路程÷时间。生：总价÷数量=单价生：工作总量÷工作时间=工作效率师：我们把路程和时间这样有关系的两种量叫做“相关联的量”。你还能举出相关联的量的例子吗？生：总价和数量是两种相关联的量；生：工作总量和工作时间是两种相关联的量；2.引入课题。师：这节课我们一起来研究有关两种相关联的量的知识。（板书课题：正比例） 充分利用学生的认知经验，在熟悉的数量关系中导入新课，理解“两种相关联的量”的意义，为后续的学习作铺垫。
讲授新课 二、新知探索任务一：合作学习，探究成正比例的量(1)课件出示教科书P43例1。(2)学生独立思考后，小组交流。(3)汇报交流。生：总价和数量两种量。生：彩带销售的数量增加，总价就相应增加；彩带销售的数量减少，总价就相应减少。生：相应的总价和数量的比值都是3.5。师小结:我们发现总价和数量是两种相关联的量，总价是随着数量的变化而变化的，而且总价与相应数量的比值都是3.5，因此我们就说它们的比值总是一定的。师：你知道总价与数量的比值3.5表示什么吗？生：3.5表示彩带的单价。师：对，=单价，现在单价一定（板书），那么总价与数量这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。任务二：对比辨析，深入理解正比例的意义。师：两个表中的量你发现了什么？把你的想法跟同学交流一下。学生分享生：表1表2 有时间和路程这两种量； 生：汽车行驶、自行车的路程随时间的变化而变化；生：表1的路程和时间比值也就是速度一定。 表2的总路程和时间比值也就是速度不一定。生：汽车的速度不变，可以判断6小时行480km；而自行车的速度不确定，6小时行的路程也就不确定。师：根据我们的分析，知道了表1中汽车行驶的时间和路程是两种相关联的量，并且路程和时间的比值也就是速度一定，所以表1中路程与时间成正比例关系；而表2中自行车行驶的时间和路程虽然是两种相关联的量，但路程和时间的比值不一样，也就是路程与时间的比值不一定，所以表2中路程与时间不成正比例关系。师：你是怎么判断两种量成正比例关系呢？学生先独立思考，再组内交流。学生汇报。师：成正比例的两种量的数量关系，如果用字母y和x表示两种相关联的量，用k表示它们的比值(一定)，你能概括出正比例关系的表达式吗？（一定）
课堂练习 三、实践应用，巩固提升。1.课件出示教科书P47“练习九”第1题。学生完整解答问题后，再交流分享。课件出示正确答案2.课件出示教科书P47“练习九”第4题。师：你能用所学的知识完成这个表格吗？学生独立解答后交流。课件出示正确解答。师小结：这是已知两种量成正比例关系，利用两种量中的已知量来求未知量。我们可能按照正比例关系的定义来列出比例式，最后解比例。3.学生独立完成教科书P47“练习九”第2题。师：判断每题中的两种量是否成正比例关系，并说明理由。你会依据什么条件来判断？学生先独立判断然后组内交流。课件展示正确答案。师小结：首先判断两种量是否相关联，然后再看两种量对应的数的比值是否为定值。 习题设计有针对性，层次性，加强学生对成正比例的量的认识及正比例意义的理解，在对知识的实际应用中获得成功的体验，实现对新知的巩固。
课堂小结 通过本节课你有何收获？
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《比例》单元整体设计
一、单元主题解读
（一）课程标准要求分析
《比例》单元是数与代数领域第三学段“数与代数”中的重要内容。
《课程标准》在“内容要求”提出了：
1.在实际情境中理解比和比例以及按比例分配的含义，能解决简单的问题。
2.通过具体情境，认识成正比的量(如=5)(例 20);能探索规律或变化趋势(如y=5x)(例 21)
《课程标准》在“学业要求”中指出：
1.能在具体情境中判断两个量的比，会计算比值，理解比值相同的量，能解决按比例分配的简单问题。
2.能在具体情境中描述成正比的量 =(k≠0)，能找出生活中成正比的量的实例;能根据给出的成正比关系的数据在方格纸上画图了解y=kx(k≠0)的形式，能根据其中一个量的值计算另一个量的值。
（二）单元教材内容分析
本单元的内容主要包括比例的意义和基本性质、正比例和反比例、比例的应用三个部分。
（三）学生认知情况
学生在学习比例这一单元时，已经学习了比、除法的意义和分数的意义,以及分数的基本性质、分数与除法的关系、分数乘除法的计算方法等，这些都是学习本单元内容的基础知识。
二、单元目标拟定
1.理解比例的意义和比例的基本性质。
2.理解相关联的量，理解正比例、反比例的意义， 掌握成正比例的量和反比例的量的变化规律。
3.认识正比例关系图象，能根据给出的正比例关系的数据在坐标系的方格纸上画出图像，会根据其中一个量在图象中找出另一个量的值。
4.理解比例尺的意义，数值比例尺和线段比例尺能互相转化。能正确地求图上距离、实际距离和比例尺。
5.能利用方格纸按一定的比例将简单图形放大与缩小，发现放大与缩小变与不变的特点。
6.运用比例的相关知识，分析、解决实际问题， 并在经历问题解决的过程中，积累和丰富解决问题的经验策略，提高解决问题的能力。
三、关键内容确定
（一）教学重点
理解比例的意义；探索并掌握比例的基本性质；知道什么叫解比例；理解正、反比例的意义，探究正比例图象、并借助图象加深对成正比例关系的量的变化规律的理解；理解比例尺的含义；能根据比例尺的意义解决简单的实际问题；理解比例尺的意义的基础上，能根据比例尺及相应的条件画出平面图；能在方格纸上把一个简单图形按指定的比进行放大或缩小；掌握用正、反比例的意义解答基本应用题的方法与步骤。
教学难点
能运用比例的意义或者比例的基本性质判断两个比能否组成比例；会根据比例的基本性质正确解比例；会判断两种量是否成正、反比例关系；会利用正比例关系图象解决简单的问题；能灵活运用比例尺知识解决作图问题，体会图形相似的特点；能用多种方法解决有关正、反比例的实际问题。
四、单元整合框架及说明
整合指导思想定位：
会用数学的眼光观察现实世界
会用数学的思维思考现实世界
会用数学的语言表达现实世界
这是数学课程的核心素养内涵。运用比例的相关知识，分析、解决实际问题， 并在经历问题解决的过程中，积累和丰富解决问题的经验策略，提高解决问题的能力。体会比例知识与其他知识之间的联系，综合运用多种知识，灵活解决实际问题，
从具体编排来说，
(1)重视呈现真实的问题情境，体现数学与生活的密切联系，展示数学知识的抽象和建模过程，促进基础知识的建构。
(2)重视培养学生的基本技能，要让学生会应用比例的知识解决实际问题，前提是会解比例。教材编排的习题，题量丰富，有针对性，有层次性。
重视用直观形象的图形或图象来揭示知识的本质属性，展现量的变化规律。
强调知识的应用，重视创设真实的应用情境，展现问题解决的思维过程和完整步骤教材在编写时充分体现了对知识应用的重视。
五、单元课时规划
单元划分依据 □课程标准 教材章节 □知识结构
课程内容模块 数与代数 □图形与几何 统计与概率 □综合与实践
单元数量 4
单元主题 单元名称 主要内容 课时
数与代数 比例 比例的意义 3
正比例和反比例 3
比例的应用 6
自行车的数学 1
重点渗透的数学思想方法 抽象 符号化 分类 集合 对应 演绎 归纳 类比 转化 数形结合 □极限 模型 □方程 □函数 □统计 分析 综合 比较 □假设 □其他
课时 学习目标 评价形式 评价标准
比例的意义 目标：使学生理解比例的意义，能应用比例的意义判断两个比能否组成比例。 任务一：求比值，探规律。 任务二：归纳概念，理解比例的意义。 1.通过自主学习，探索什么是比例。 2.通过求比值，知道比例的意义是什么。
比例的基本性质 目标：探索并掌握比例的基本性质，会根据比例的基本性质正确判断两个比能否组成比例，会把乘积相等的式子转化成比例。 任务一：认识比例各部分的名称。 任务二：合作探究比例的基本性质。 通过自主学习，知道比例各部分的名称。 通过小组合作探究，归纳总结出比例的基本性质。
解比例 目标： 知道什么叫解比例，会根据比例的基本性质正确解比例。 任务一：用解比例的知识解决问题。 任务二：学习解分数形式的比例。 通过小组合作学习，会列比例解决实际问题。 2.能解出分数形式的比例问题。
正比例 目标： 理解正比例的意义会判断两种量是否成正比例关系。 任务一：合作学习，探究成正比例的量。 任务二：对比辨析，深入理解正比例的意义。 1.通过小组合作探究活动，知道正比例的意义。 2.通过对比辨析活动，会判断两个相关联的量是否成正比例。
正比例关系图象 目标：探究正比例图象、并借助图象加深对成正比例关系的量的变化规律的理解。会利用正比例关系图象解决简单的问题。 任务一：自主尝试，探究正比例关系图象的特征。 任务二：利用正比例关系图象解决问题。 1.通过自主学习，能画出正比例关系的图象。 2.通过小组讨论，会用正比例关系图象解决问题。
反比例 目标：理解反比例的意义能判断两种量是否成反比例关系。 任务一：构建反比例概念，理解反比例的意义。 任务二：归纳判断两种量是否成反比例关系的条件。 通过小组合作探究活动，探索反比例的意义。 通过归纳总结，归纳出两种量成反比例关系的条件。
比例尺（1） 目标：从生活实际出发认识比例尺，理解比例尺的含义。会求一幅图的比例尺。 任务一：理解比例尺的意义。 任务二：求比例尺。 通过小组合作探究活动，知道什么是比例尺。 通过学习，会求简单的比例尺问题。
比例尺（2） 目标：根据比例尺的意义解决简单的实际问题。 任务一：合作探究，解决有关比例尺的实际问题。 1.通过合作探究活动，会解决更复杂的比例尺问题。
比例尺（3） 目标：在理解比例尺的意义的基础上，能根据比例尺及相应的条件画出平面图。 任务一：自主探究，解决实际问题。 1.通过自主探究，学会用比例尺画平面图。
图形的放大与缩小 目标：能在方格纸上把一个简单图形按指定的比进行放大或缩小。 任务一：研究图形的放大现象。 任务二：研究图形的缩小现象。 通过操作实践，知道图形放大后的规律。 2.通过类比推理，知道图形缩小后的规律。
用比例解决问题（1） 目标：掌握用正比例的意义解答基本应用题的方法与步骤。 任务一：探索用正比例知识解决问题。 1.通过小组合作探究活动学生会特别是用正比例的意义解答基本应用题。
用比例解决问题（2） 目标：掌握用反比例知识解决问题的方法和步骤。 任务一：探索用反比例知识解决问题。 1.会用运用反比例知识解决实际问题。
自行车的数学 目标：综合运用排列组合、圆、比例等知识解决生活中有关自行车里的数学问题。 任务一：研究普通自行车的速度与内在结构的关系。 任务二： 探究变速自行车能变化出的速度. 通过小组合作探究活动学生探索出普通自行车的速度与内在结构的关系。 2.通过小组合作探究活动。探索出变速自行车的变速规律
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正比例
人教版六年级下册
内容总览
学习目标
01
复习导入
02
新知讲解
03
课堂练习
04
课堂总结
05
分层作业
06
目录
学习目标
学习目标描述：初步理解正比例的意义及字母表达式，学会根据正比例的意义来判断两种相关联的量是不是成正比例关系。
学习内容分析：让学生在认识成正比例的量的过程中，学会用“函数”的眼光去理解数量关系中量与量的变化规律，发现两个变量背后的不变量，培养学生的分析能力和抽象概括能力。
学科核心素养分析：让学生进一步体会数学和日常生活的密切联系，增强从生活现象中探索数学知识和规律的意识。
复习导入
已知路程和时间，怎样求速度？
速度 = 路程÷时间
已知总价和数量，怎样求单价？
单价 = 总价÷数量
已知工作总量和工作时间，怎样求工作效率？
工作效率 = 工作总量÷工作时间
新知导入
文具店有一种彩带，销售的数量与总价的关系如下表。
数量/m 1 2 3 4 5 6 7 8 ...
总价/元 3.5 7 10.5 14 17.5 21 24.5 28 ...
(1)表中有哪两种量
有数量与总价这两种量。
任务一：合作学习，探究成正比例的量
新知讲解
观察上表，回答下面的问题。
（2）总价是怎样随着数量的变化而变化的？
数量1支，总价3.5元
数量2支，总价7元
数量3支，总价10.5元
数量4支，总价14元
.
.
.
总价和数量是两种相关联的量。
数量/m 1 2 3 4 5 6 7 8 ...
总价/元 3.5 7 10.5 14 17.5 21 24.5 28 ...
数量增加，总价随着增加。
数量减少，总价随着减少。
新知讲解
（3）相应的总价与数量的比分别是多少？比值是多少？
观察上表，回答下面的问题。
数量/m 1 2 3 4 5 6 7 8 ...
总价/元 3.5 7 10.5 14 17.5 21 24.5 28 ...
=
=
=
=
=
=
=
=
=
3.5
…
彩带的单价
新知讲解
观察上表，回答下面的问题。
（4）说出这道题的数量关系式。
数量
总价
=单价（一定）
像这样，两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫正比例关系。
新知讲解
时间（时） 1 2 3 4 5 6 …
路程（千米） 80 160 240 320 400 …
一辆汽车在公路上行驶，行驶的时间和路程如下表。
一辆自行车在公路上行驶，行驶的时间和路程如下表。
时间（时） 1 2 3 4 5 6 …
路程（千米） 20 24 30 44 53 …
任务二：对比辨析，深入理解正比例的意义。
新知讲解
如果用字母y和x表示两种相关联的量，用k表示它们的比值（一定），正比例关系可以用下面的式子表示：
（一定）
新知讲解
两种量成正比例关系要满足以下三个条件：
（1）必须是两种相关联的量;
（2）一种量变化，另一种量也随着变化;
（3）两种量中相对应的两个数的比值
（也就是商）一定。
新知讲解
你能用图像表示出表中的数量与总价吗？
（1）从图中你发现了什么？
根据图象回答下面的问题：
数量/m 1 2 3 4 5 6 7 8 ...
总价/元 3.5 7 10.5 14 17.5 21 24.5 28 ...
正比例关系的图像是一条从原点（0，0）出发的无限延伸的射线。
新知讲解
根据图象回答下面的问题：
（2）把数对（10，35）和（12，42）所在的点描出来，并和上面的图象连起来并延长，你还能发现什么？
这两个点也在这条射线上，并且射线又在上升，它们的单价相等。
数量/m 1 2 3 4 5 6 7 8 ...
总价/元 3.5 7 10.5 14 17.5 21 24.5 28 ...
课堂练习
1.下表是小林家去年上半年每月用电量情况。
（1）分别写出各月电费与用电量的比， 比较比值的大小。
（2）说明这个比值表示的意义。
（3）电费与相应的用电量成正比例关系吗？ 为什么？
课堂练习
（1）60∶120＝65∶130＝55∶110＝60∶120
＝65∶130＝75∶150＝0.5
（2）比值表示每千瓦时的电费。
（3）成正比例关系，
因为电费∶用电量=每千瓦时的电费（一定），
比值一定。
课堂练习
2.已知y与x成正比例关系，在下表中的空格中填写合适的数。
x 1 2 5 10 20
y 2.5 7.5 20 37.5
5
3
12.5
8
25
15
50
课堂练习
3.判断下面每题中的两种量是否成正比例关系，并说明理由。
(1)某杂志的单价一定，订阅的费用与订阅的数量。
订阅的费用与订阅的数量是两种相关联的量，
，
所以订阅的费用与订阅的数量成正比例关系。
课堂练习
（2）正方体的表面积与它的棱长。
正方体的表面积与它的棱长是两种相关联的量，
棱长是一个变量
它们的比值不一定，所以正方体的表面积与它的棱长不成正比例关系。
课堂练习
（3）一个人的身高与他的年龄。
一个人的身高与他的年龄是两种相关联的量，但它们的比值不一定，所以一个人的身高与他的年龄不成正比例关系。
课堂练习
（4）小麦每公顷产量一定，小麦的总产量与公顷数。
小麦的总产量与公顷数是两种相关联的量，
，
所以小麦的总产量与公顷数成正比例关系。
课堂练习
（5）一本书的总页数一定，未读的页数与已读的页数。
未读的页数与已读的页数是两种相关联的量，
未读的页数+已读的页数=书的总页数，
这两种量是和一定，不是比值一定，所以未读的页数与已读的页数不成正比例关系。
课堂总结
今天你有什么收获？
分层作业
【知识技能类作业】
(3)《小学生天地》的单价一定,订阅费用与数量。 ( )
(2) 人的身高与体重。 ( )
1.下面各题中的两种量成正比例吗 成正比例的画“√”,
不成正比例的画“ ”。
(1) 每小时织布的米数一定,织布的总米数与时间 。( )
√
×
√
织布的总米数÷时间=每小时织布的米数（商一定）
订阅费用÷数量=单价（商一定）
分层作业
2.学校科学小组在同一时间、同一地点进行观察实验，测 得竹竿的高与竿影的长如下表。（光照角度一样）
竹竿的高/m 1 2 3 4 5 6
竿影的长/m 0.4 0.8 1.2 1.6 2.4 3.2
从上表可以看出，（ ）是随着（ ）的变化而变化的。这两个量相对应的两个数的（ ）一定，这两个量成（ ）比例。
竿影的长
竹竿的高
比值
正
分层作业
【综合实践类作业】
3.一辆汽车行驶的时间和路程如下表。根据该表,完成下面各题
（1)表中有( )和( ) 两种量。
（2）路程随着时间的增加而( ),随着增加时间的减少而( )。
时间
路程
减少
增加
分层作业
(3)写出几组路程与相对应的时间的比,比较它们的比值的大小,并说出比值的意义。
(4)表中的路程和时间( )正比例关系。(填“成”或“不成”)
60:1= 60 120:2= 60
180:3=60(比的答案不唯一)
答:它们的比值相等,这个比值就是这辆汽车行驶的速度
成
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