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比例教学设计
课题 正比例关系图象 单元 学科 数学 年级 六年级
学习 目标 1.学习目标描述：初步认识正比例关系图象，利用方格纸用“描点法”画出表示正比例关系的图象，进一步认识成正比例的量的变化规律。 2.学习内容分析：在认识正比例关系图象的过程中培养学生观察、比较、分析、综合等能力,初步感受函数、数形结合等思想方法。 3.学科核心素养分析：渗透函数思想，培养学生分析、推理和判断等能力。
重点 探究正比例图象、并借助图象加深对成正比例关系 的量的变化规律的理解。
难点 会利用正比例关系图象解决简单的问题。
教学环节 教师活动 设计意图
导入新课 复习导入 师：什么叫做成正比例的量，以及正比例的关系表达式？ 生：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。 生：=k（一定） 师：我们知道了文具店在销售彩带时，总价和销售数量是成正比例关系的两种量，为了更直观反映这两个量之间的关系，我们可以用图象把它们表示出来。(课件出示图表) 这节课我们一起来研究一下正比例关系图象的知识。 简单明了揭示课题，使学生明确本节课的学习内容。
讲授新课 二、新知探究 任务一：自主尝试，探究正比例关系图象的特征 1.师：图表中横轴表示什么？ 纵轴表示什么？ 生：横轴表示数量，纵轴表示总价。 ②A点表示什么？ 生：表示1m彩带需要3.5元 学生在方格纸上尝试画图。 师：你是怎样画出图象的？ 同桌互相检查，看图象画得正确与否，如果有错误要及时改正。 2.观察交流，体会正比例关系图象的特征。 课件出示正比例关系图象。 师：请同学们认真观察图象，说说你发现了什么？ 生：所有的点都在一条射线上。每个点都表示总价和数量的一组对应数值。 教师跟学生的回答可以具体找一个点，让学生说出这个点表示的含义。 师：同学们你们能把数对(10，35)和(12，42)所在的点在图象中描出来，并和上面的图象连起来并延长，你还能发现什么？ 生：这两个点也在这条射线上。 师小结：这条射线就是正比例关系图象。从图象量我们可以发现射线上的每一个点，既能反映出销售数量，又能反映出销售的总价，说明它能反映出总价和数量是两种相关联的量，而且每一个点所反映的总价和数量的比又是一个定值，所以我们说它是正比例关系图象。 任务二：利用正比例关系图象解决问题 师：不计算，根据图象判断，如果买9m彩带，总价是多少？49元能买多少米彩带？ 教师引导学生观察正比例图象 生：与“9”对应的纵轴上的数“31.5”，即买9m彩带的总价是31.5元； 生：与“49”对应的横轴上的数“14”，即49元能买14m彩带。 师：小明买的彩带的米数是小丽的2倍，他花的钱是小丽的几倍？ 学生先独立解答，然后在小组内交流。 生：因为彩带的单价是一定的，彩带的总价和数量成正比例关系，若小明买的彩带的数量是小丽的2倍，则他花的钱应该是小丽的2倍。 师：在方格纸上描出成正比例的量所对应的点，就能够在图中根据一个变量的值估计它所对应的变量的值，用它来解决生活中的实际问题。 师：你能举出生活中正比例关系的例子吗？ 生：正方形的周长与边长成正比例关系。 生:圆的周长和半径成正比例。 师：质疑圆的周长和半径成正比例，那么圆的面积和半径成不成正比例？ 先独立思考然后小组内探究。 师：（不一定），比值不一定，不成比例。 初步感知正比例图象是一条从(0,0)出发的无限延伸的射线，理解该射线上的每一个点对应的就是正比例关系中两个相关联的量的某一组具体值。 通过正比例关系图象解决问题，进一步感知正比例关系图象的特征，体会利用数形结合的方法解决问题的直观性与便捷性。
课堂练习 三、实践应用，巩固提升 1.课件出示教科书P44“做一做”。 学生先独立完成，再组内交流，课件相应出示正确的解答。 2.独立完成教科书P47~50“练习九”第3、5、6题。 学生先独立完成，然后在小组内交流，教师巡视指导后收集典型案例展示质疑。 课件相应出示正确的解答。 在方格纸上画图表示成正比例关系的量，会根据其中一种量的值估计另一种量的值，让学生体会借助图形解决问题的价值。
课堂小结 通过本节课你有何收获？
板书 正比例关系图象 正比例图象是一条从(0,0)出发的无限延伸的射线。
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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正比例关系图象
人教版六年级下册
内容总览
学习目标
01
新知导入
02
新知讲解
03
课堂练习
04
课堂总结
05
分层作业
06
目录
学习目标
学习目标描述：初步认识正比例关系图象，利用方格纸用“描点法”画出表示正比例关系的图象，进一步认识成正比例的量的变化规律。
学习内容分析：在认识正比例关系图象的过程中培养学生观察、比较、分析、综合等能力,初步感受函数、数形结合等思想方法。
学科核心素养分析：渗透函数思想，培养学生分析、推理和判断等能力。
新知导入
什么叫做成正比例的量，以及正比例的关系表达式？
两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。
（一定）
新知导入
数量/m 1 2 3 4 5 6 7 8 ...
总价/元 3.5 7 10.5 14 17.5 21 24.5 28 ...
文具店有一种彩带，销售的数量与总价的关系如下表。
怎样更直观反映这两个量之间的关系呢？
任务一：自主尝试，探究正比例关系图象的特征
新知讲解
49
数量/m 1 2 3 4 5 6 7 8 ...
总价/元 3.5 7 10.5 14 17.5 21 24.5 28 ...
②A点表示什么？
A
①横轴表示什么？
纵轴表示什么？
表示1m彩带需要3.5元
新知讲解
数量/m 1 2 3 4 5 6 7 8 ...
总价/元 3.5 7 10.5 14 17.5 21 24.5 28 ...
49
试一试
用图象表示表中的数据。
新知讲解
根据图象回答下面的问题：
（1）从图中你发现了什么？
49
所有的点都在
同一条直线上。
新知讲解
（2）把数对（10，35）和（12，42）所在的点描出来，并和上面的图象连起来再延长，你还能发现什么？
这两个点也在
这条直线上。
49
新知讲解
归纳总结
49
正比例图象是一条从（0,0）出发的无限延伸的射线。
新知讲解
（3）不计算，根据图象判断，如果买9m彩带，总价是多少？49元能买多少米彩带？
(9，31.5)
(14，49)
买9m彩带总价是31.5元；49元能买14m彩带。
49
31.5
任务二：利用正比例关系图象解决问题
新知讲解
根据图象回答下面的问题：
(4)小明买的彩带的米数是小丽的2倍，他花的钱是小丽的几倍？
解析：由 可知：彩带的单价一定。
(9，31.5)
(14，49)
因为彩带的数量成倍的增加，总价也会成倍地增加，所以他花的钱是小丽的2倍。
新知讲解
你能举出生活中正比例关系的例子吗？
圆的周长和半径成正比例。
正方形的周长与边长成正比例关系。
圆的面积和半径成不成正比例？
课堂练习
1.一辆汽车行驶的时间和路程如下表。
时间/时 1 2 3 4 5 6
路程/km 80 160 240 320 400 480
（1）写出几组路程与相对应的时间的比，并比较比值的大小。
=
=
=
=
=
=
80
课堂练习
（2）说一说这个比值表示什么。
这个比值表示汽车行驶的速度。
（3）汽车行驶的路程与时间成正比例关系吗？为什么？
成正比例；因为路程和时间对应的比值一定，都等于80。
时间/时 1 2 3 4 5 6
路程/km 80 160 240 320 400 480
课堂练习
120
1.5
行驶120km大约需要1.5小时。
（4）在图中描出表示路程和相对应时间的点，然后把它们按顺序连接起来。估计一下行驶120km大约要用多长时间。
课堂练习
2.下面是某种汽车行驶路程和耗油量的对应数值表。
（1）该汽车的耗油量与行驶路程成正比例关系吗？为什么？
15∶2=30∶4=45∶6=75∶10=
15
2
成正比例关系
行驶路程/km 15 30 45 75
耗油量/L 2 4 6 10
课堂练习
（2）下图是表示该汽车行驶路程与相应耗油量关系的图象，说一说它有什么特点。
图象的特点：
从(0，0)出发的一条射线。
课堂练习
（3）利用图象估计一下，该汽车行驶55km的耗油量是多少？
汽车行驶55km的耗油量大约是7.3L。
课堂练习
3.用n表示自然数，把下表填写完整。
（1）上表中的2n表示什么？
2n表示自然数中的偶数。
n 0 1 2 3 4 5 6 …
2n 0 2 4 …
6
8
10
12
课堂练习
（2）在图中描点、连线，你能发现什么？
图象是一条从（0,0）出发的射线，2n和n成正比例关系。
课堂总结
今天你有什么收获？
分层作业
【知识技能类作业】
1.同一时间、同一地点测得3棵树的树高及其影长如下表。
（1）在下面左图中描出表示树高与对应影长的点，然后把它们连起来并向两边延长，观察图象的特点。
树高/m 2 3 6
影长/m 1.6 2.4 4.8
分层作业
树高/m 2 3 6
影长/m 1.6 2.4 4.8
图象的特点：
从(0，0)出发的一条射线。
分层作业
【综合实践类作业】
2.用弹簧秤称各种物品时，物品的质量与弹簧的长度变化情况如下图。
(1)弹簧本身的长度是( ) cm。
(2)物品的质量每增加10g，弹簧长度就会增加( )cm。从图上看，物品的质量和弹簧伸长长度成( )比例关系。
10
2
正
分层作业
(3)用这个弹簧秤称80g的物品时，弹簧的长度是( ) cm。
26
谢谢
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《比例》单元整体设计
一、单元主题解读
（一）课程标准要求分析
《比例》单元是数与代数领域第三学段“数与代数”中的重要内容。
《课程标准》在“内容要求”提出了：
1.在实际情境中理解比和比例以及按比例分配的含义，能解决简单的问题。
2.通过具体情境，认识成正比的量(如=5)(例 20);能探索规律或变化趋势(如y=5x)(例 21)
《课程标准》在“学业要求”中指出：
1.能在具体情境中判断两个量的比，会计算比值，理解比值相同的量，能解决按比例分配的简单问题。
2.能在具体情境中描述成正比的量 =(k≠0)，能找出生活中成正比的量的实例;能根据给出的成正比关系的数据在方格纸上画图了解y=kx(k≠0)的形式，能根据其中一个量的值计算另一个量的值。
（二）单元教材内容分析
本单元的内容主要包括比例的意义和基本性质、正比例和反比例、比例的应用三个部分。
（三）学生认知情况
学生在学习比例这一单元时，已经学习了比、除法的意义和分数的意义,以及分数的基本性质、分数与除法的关系、分数乘除法的计算方法等，这些都是学习本单元内容的基础知识。
二、单元目标拟定
1.理解比例的意义和比例的基本性质。
2.理解相关联的量，理解正比例、反比例的意义， 掌握成正比例的量和反比例的量的变化规律。
3.认识正比例关系图象，能根据给出的正比例关系的数据在坐标系的方格纸上画出图像，会根据其中一个量在图象中找出另一个量的值。
4.理解比例尺的意义，数值比例尺和线段比例尺能互相转化。能正确地求图上距离、实际距离和比例尺。
5.能利用方格纸按一定的比例将简单图形放大与缩小，发现放大与缩小变与不变的特点。
6.运用比例的相关知识，分析、解决实际问题， 并在经历问题解决的过程中，积累和丰富解决问题的经验策略，提高解决问题的能力。
三、关键内容确定
（一）教学重点
理解比例的意义；探索并掌握比例的基本性质；知道什么叫解比例；理解正、反比例的意义，探究正比例图象、并借助图象加深对成正比例关系的量的变化规律的理解；理解比例尺的含义；能根据比例尺的意义解决简单的实际问题；理解比例尺的意义的基础上，能根据比例尺及相应的条件画出平面图；能在方格纸上把一个简单图形按指定的比进行放大或缩小；掌握用正、反比例的意义解答基本应用题的方法与步骤。
教学难点
能运用比例的意义或者比例的基本性质判断两个比能否组成比例；会根据比例的基本性质正确解比例；会判断两种量是否成正、反比例关系；会利用正比例关系图象解决简单的问题；能灵活运用比例尺知识解决作图问题，体会图形相似的特点；能用多种方法解决有关正、反比例的实际问题。
四、单元整合框架及说明
整合指导思想定位：
会用数学的眼光观察现实世界
会用数学的思维思考现实世界
会用数学的语言表达现实世界
这是数学课程的核心素养内涵。运用比例的相关知识，分析、解决实际问题， 并在经历问题解决的过程中，积累和丰富解决问题的经验策略，提高解决问题的能力。体会比例知识与其他知识之间的联系，综合运用多种知识，灵活解决实际问题，
从具体编排来说，
(1)重视呈现真实的问题情境，体现数学与生活的密切联系，展示数学知识的抽象和建模过程，促进基础知识的建构。
(2)重视培养学生的基本技能，要让学生会应用比例的知识解决实际问题，前提是会解比例。教材编排的习题，题量丰富，有针对性，有层次性。
重视用直观形象的图形或图象来揭示知识的本质属性，展现量的变化规律。
强调知识的应用，重视创设真实的应用情境，展现问题解决的思维过程和完整步骤教材在编写时充分体现了对知识应用的重视。
五、单元课时规划
单元划分依据 □课程标准 教材章节 □知识结构
课程内容模块 数与代数 □图形与几何 统计与概率 □综合与实践
单元数量 4
单元主题 单元名称 主要内容 课时
数与代数 比例 比例的意义 3
正比例和反比例 3
比例的应用 6
自行车的数学 1
重点渗透的数学思想方法 抽象 符号化 分类 集合 对应 演绎 归纳 类比 转化 数形结合 □极限 模型 □方程 □函数 □统计 分析 综合 比较 □假设 □其他
课时 学习目标 评价形式 评价标准
比例的意义 目标：使学生理解比例的意义，能应用比例的意义判断两个比能否组成比例。 任务一：求比值，探规律。 任务二：归纳概念，理解比例的意义。 1.通过自主学习，探索什么是比例。 2.通过求比值，知道比例的意义是什么。
比例的基本性质 目标：探索并掌握比例的基本性质，会根据比例的基本性质正确判断两个比能否组成比例，会把乘积相等的式子转化成比例。 任务一：认识比例各部分的名称。 任务二：合作探究比例的基本性质。 通过自主学习，知道比例各部分的名称。 通过小组合作探究，归纳总结出比例的基本性质。
解比例 目标： 知道什么叫解比例，会根据比例的基本性质正确解比例。 任务一：用解比例的知识解决问题。 任务二：学习解分数形式的比例。 通过小组合作学习，会列比例解决实际问题。 2.能解出分数形式的比例问题。
正比例 目标： 理解正比例的意义会判断两种量是否成正比例关系。 任务一：合作学习，探究成正比例的量。 任务二：对比辨析，深入理解正比例的意义。 1.通过小组合作探究活动，知道正比例的意义。 2.通过对比辨析活动，会判断两个相关联的量是否成正比例。
正比例关系图象 目标：探究正比例图象、并借助图象加深对成正比例关系的量的变化规律的理解。会利用正比例关系图象解决简单的问题。 任务一：自主尝试，探究正比例关系图象的特征。 任务二：利用正比例关系图象解决问题。 1.通过自主学习，能画出正比例关系的图象。 2.通过小组讨论，会用正比例关系图象解决问题。
反比例 目标：理解反比例的意义能判断两种量是否成反比例关系。 任务一：构建反比例概念，理解反比例的意义。 任务二：归纳判断两种量是否成反比例关系的条件。 通过小组合作探究活动，探索反比例的意义。 通过归纳总结，归纳出两种量成反比例关系的条件。
比例尺（1） 目标：从生活实际出发认识比例尺，理解比例尺的含义。会求一幅图的比例尺。 任务一：理解比例尺的意义。 任务二：求比例尺。 通过小组合作探究活动，知道什么是比例尺。 通过学习，会求简单的比例尺问题。
比例尺（2） 目标：根据比例尺的意义解决简单的实际问题。 任务一：合作探究，解决有关比例尺的实际问题。 1.通过合作探究活动，会解决更复杂的比例尺问题。
比例尺（3） 目标：在理解比例尺的意义的基础上，能根据比例尺及相应的条件画出平面图。 任务一：自主探究，解决实际问题。 1.通过自主探究，学会用比例尺画平面图。
图形的放大与缩小 目标：能在方格纸上把一个简单图形按指定的比进行放大或缩小。 任务一：研究图形的放大现象。 任务二：研究图形的缩小现象。 通过操作实践，知道图形放大后的规律。 2.通过类比推理，知道图形缩小后的规律。
用比例解决问题（1） 目标：掌握用正比例的意义解答基本应用题的方法与步骤。 任务一：探索用正比例知识解决问题。 1.通过小组合作探究活动学生会特别是用正比例的意义解答基本应用题。
用比例解决问题（2） 目标：掌握用反比例知识解决问题的方法和步骤。 任务一：探索用反比例知识解决问题。 1.会用运用反比例知识解决实际问题。
自行车的数学 目标：综合运用排列组合、圆、比例等知识解决生活中有关自行车里的数学问题。 任务一：研究普通自行车的速度与内在结构的关系。 任务二： 探究变速自行车能变化出的速度. 通过小组合作探究活动学生探索出普通自行车的速度与内在结构的关系。 2.通过小组合作探究活动。探索出变速自行车的变速规律
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