(共17张PPT)
第九章 图形的相似
专题(四) 相似三角形的四大模型
模型1 A字型
【模型解读】两个三角形若有“一个公共角＋一对等角”，则出现“A”字型相似，没有说明对应角的关系时，需分∠AED＝∠B或∠AED＝∠C两种情况讨论．
模型展示 结论
条件：DE∥BC．
结论：△AED∽△ACB．
模型展示 结论
条件：∠D＝∠B，∠DAB＝∠CAE.
结论：△AED∽△ACB．
【2023·济南期末】如图，已知∠ACD＝∠B，BD＝5，AD＝4，求AC的长．
1
模型2 8字型
【模型解读】两个三角形若有“一对对顶角＋一对等角”，则出现“8”字型相似．没有说明对应角的关系时，需分 ∠B＝∠C或∠B＝∠D两种情况讨论．
模型展示 结论
条件：AB∥CD．
结论：△AOB∽△DOC．
条件：∠A＝∠C或∠B＝∠D．
结论：△AOB∽△COD．
【2023·济南期末】如图，AD，BC相交于点P，连接AC，BD，且∠1＝∠2，AC＝3，CP＝2，DP＝1，求BD的长．
2
模型3 一线三直角型
【模型解读】“一线三直角”模型的图形，实则是“一线三等角”型的图形的特例，这种图形在正方形和矩形中出现的比较多．这样的图形，因为有三个角是直角，就有两个角相等，再根据“等角的余角相等”可以得到另外一对角相等，从而判定两个三角形相似．
模型展示 结论
条件：∠C＝∠ABD＝∠E＝90°.
结论：△ABC∽△BDE.
条件：∠C＝∠AGD＝∠F＝90°.
结论：△ABC∽△EDF.
【2023·济南市中区期末】如图，在矩形ABCD中，点E是BC的中点，EF⊥AE交CD于点F.
3
(1)求证：△ABE∽△ECF.
【证明】∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠C＝90°，∴∠BAE＋∠AEB＝90°.
∵EF⊥AE，
∴∠AEF＝90°，
∴∠AEB＋∠CEF＝90°，∴∠BAE＝∠CEF，
∴△ABE∽△ECF.
(2)若AB＝4，BC＝6，求CF的长．
模型4 共角共边型
【模型解读】共角共边型有一个“公共角”，再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比例就可以判定这两个三角形相似．“双垂线”型是其特例．
模型展示 结论
条件：CD⊥AB，AC⊥BC．
结论：①△ADC∽△CDB；
②△ADC∽△ACB；③△CDB∽△ACB．
【2023·泰安肥城市开学】如图，E为AD上一点，若∠DAC＝∠B，CD＝CE，求证：CD·BD＝AD·AE.
4(共21张PPT)
第九章 图形的相似
专题(三) 平行线分线段成比例常见应用的六种技巧
1
2
3
4
【点拨】
【答案】C
如图，已知EG∥BC，GF∥CD，AE＝3，EB＝2， AF＝6，求AD的长．
5
如图，已知B，C，E三点在同一条直线上，△ABC与△DCE都是等边三角形，其中线段BD交AC于点G，线段AE交CD于点F，连接GF.求证：
6
(1)△ACE≌△BCD．
【证明】∵△ABC与△DCE都是等边三角形，
∴AC＝BC，CE＝CD，∠DCE＝∠ACB＝60°.
∴∠DCE＋∠ACD＝∠ACB＋∠ACD，
即∠ACE＝∠BCD.∴△ACE≌△BCD.
如图，在△ABC中，点D为AB的中点，DE∥BC交AC于点E，CF∥BA交DE的延长线于点F.求证：DE＝EF.
7
如图，延长矩形ABCD的一边CB至E，ED与AB相交于点F，过F作FG∥BE交AE于点G，AG＝EG，求证：CB＝EB．
8
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D(共22张PPT)
第九章 图形的相似
微专题7 巧作平行线构造相似三角形
如图，在△ABC中，E，F是边BC的三等分点，D是AC的中点，BD分别交AE，AF于点P，Q，求BP∶ PQ∶QD．
1
2
如图，在△ABC中，点D在BC上，点E在AD上，延长CE交AB于点F，∠CED＝∠CAB．
3
(1)求证：△AFE∽△CFA．
【证明】∵∠CED＝∠CAB，∠AEF＝∠CED，
∴∠AEF＝∠CAB.又∵∠AFE＝∠CFA，
∴△AFE∽△CFA.
(2)若AF＝BD，AD＝AC．
①求∠B的度数．
【解】如图，过点D作DM⊥AB于点M，
过点A作AN⊥CF交CF的延长线于点N.
∵△AFE∽△CFA，
∴∠FCA＝∠FAE.
②若AB＝8，DE＝2AE，求EC的长．
4
【点拨】
由已知线段的比，求证另外两条线段的比，通常通过作平行线，构造相似三角形来求解．
A
9
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--,G
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①
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3
可
M
B
C
D
④(共30张PPT)
全章热门考点整合应用
第九章 图形的相似
【2023·滨州滨城区期末】下列各组线段(单位：cm)中，成比例线段的是( )
A．1，2，2，3 B．1，2，3，4
C．1，2，2，4 D．3，5，9，13
1
【点拨】
【答案】C
A.1×3≠2×2，故选项错误；B.1×4≠2×3，故选项错误；C.1×4＝2×2，故选项正确；D.3×13≠5×9，故选项错误．
有一块三角形的草地，它的一条边长为25 m，在图纸上，这条边的长为5 cm，其他两条边的长都为4 cm，则其他两条边的实际长度都是________m.
20
2
【2023·济南期中】如图，四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，则∠α的度数是________．
3
100°
【点拨】
∵四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，∴∠D＝∠D′＝130°，∴∠α＝360°－130°－60°－70°＝100°.
【真实情境题】九年级的融融陪同父母选购家装木地板，她感觉某品牌木地板拼接图比较美观，通过手绘(如图)、测量、计算发现点E是AD的黄金分割点，即DE≈0.618AD．延长HF与AD相交于点G，则EG≈ ________DE.(精确到0.001)
4
0.618
【点拨】
【2023·辽宁】如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点坐标分别是O(0，0)，A(1，0)，B(2，3)，C(－1，2)，若四边形OA′B′C′与四边形OABC关于原点O位似，且四边形OA′B′C′的面积
是四边形OABC面积的4倍，则第一
象限内点B′的坐标为________．
5
(4，6)
【点拨】
∵四边形OA′B′C′与四边形OABC关于原点O位似，且四边形OA′B′C′的面积是四边形OABC面积的4倍，∴四边形OA′B′C′与四边形OABC的位似比是2∶1，∵点B(2，3)，∴第一象限内点B′的坐标为(4，6)．
6
【点拨】
【答案】D
7
【点拨】
【答案】D
8
(1)△A′B′C′的周长．
(2)△ABC的面积．
9
【点拨】
∵点B和点F关于直线DE对称，∴DB＝DF.∵AD＝DF，∴AD＝DB.∵AD＝DF，∴∠A＝∠DFA.∵点B和点F关于直线DE对称，∴∠BDE＝∠FDE.∵∠BDE＋∠FDE＝∠BDF＝∠A＋∠DFA，∴∠FDE＝∠DFA，∴DE∥AC，∴∠C＝∠DEB，∠DEF＝∠EFC，∵点B和点F关于直线DE对称，∴∠DEB＝∠DEF，∴∠C＝∠EFC.∵AB＝AC，∴∠C＝∠B.
在上完相似三角形一课后，小方设计了一个实验来测量学校教学楼的高度．如图，在距离教学楼MN为18m的点B处竖立一个长度为2.8 m的直杆，小方调整自己的位置，使得他直立时眼睛所在位置点C、直杆顶点A和教学楼顶点M三点共线．测得人与直杆的距离DB为2 m，人眼高度CD为1.6 m，则教学楼
的高度MN为( )
A．12 m B．12.4 m C．13.6 m D．15.2 m
10
【点拨】
【答案】C
如图，一条河的两岸有一段是平行的，在河的一岸每隔6 m有一棵树，在河的对岸每隔60 m有一根电线杆，在有树的一岸离岸边30 m处可看到
对岸相邻的两根电线杆恰好被这岸
的两棵树遮住，并且在这两棵树之
间还有三棵树，求河的宽度．
11
【2023·聊城临清市期中】如图所示，小华在学习《图形的位似》时，利用几何画板软件，在平面直角坐标系中画出了△ABC的位似图形△A1B1C1.
12
(1)在图中标出△ABC与△A1B1C1的位似中心M点的位置，并写出M点的坐标．
【解】如图，点M为所
作，M点的坐标为
(0，2)．
(2)若以点O为位似中心，请你帮小华在y轴左侧画出△A1B1C1的位似图形△A2B2C2，且△A1B1C1与△A2B2C2的位似比为2∶1.
【解】如图，
△A2B2C2为所作．
如图，已知△ABC，点D在BA的延长线上，∠BAC的平分线与∠CAD的平分线分别交BC及BC的延长线于点P，Q.
13
(1)求∠PAQ的度数．
(2)若M为PQ的中点，求证：PM2＝CM·BM.
【点方法】
本题运用了转化思想，在证明等积式时，常把它转化成比例式，寻找相似三角形进行求解．(共16张PPT)
第九章 图形的相似
坐标系中的位似变换
9.9.2
【2023·浙江】如图，在直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别为A(1，2)，B(2，1)，C(3，2)，现以原点O为位似中心，在第一象限内作与△ABC的位似比为2的位似图形△A′B′C′，则顶点C′的坐标是( )
A．(2，4)
B．(4，2)
C．(6，4)
D．(5，4)
1
【点拨】
【答案】C
∵△ABC与△A′B′C′位似，△A′B′C′与△ABC的相似比为2 ∶1，∴△ABC与△A′B′C′位似比为1∶2.∵点C的坐标为(3，2)，∴点C′的坐标为(3×2，2×2)，即(6，4)．
2
【点方法】
【答案】D
画位似图形的一般步骤为：①确定位似中心；②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据相似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；④顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．
3
【点拨】
【点易错】
【答案】D
本题易忽略其中一种情况，考虑问题要全面．
【2023·泰安新泰市一模】如图，在△ABC中，A，B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是(1，0)，以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A′B′C，并把△ABC的边长放大到原来的2倍，设点B的横坐标是a，则点B的对应点B′的横坐标是( )
A．－2a＋3 B．－2a＋1
C．－2a＋2 D．－2a－2
4
【点拨】
【答案】A
设点B′的横坐标为x，则点B，C间的水平距离为a－1，点B′，C间的水平距离为－x＋1.∵将△ABC放大到原来的2倍得到△A′B′C，∴2(a－1)＝－x＋1，解得x＝－2a＋3.
5
(3，1)
【点拨】
如图，O为原点，B，C两点坐标分别为(3，－1)，(2，1).
(1)以O为位似中心在y轴左侧将△OBC放大两倍，并画出 图形.
6
【解】如图，△OB′C′即为所求．
(2)分别写出B，C两点的对应点B′，C′的坐标．
(3)已知M(x，y)为△OBC内部一点，写出M的对应点M′的坐标．
【解】由图可得，点B′(－6，2)，C′(－4，－2)．
由题意得，点M′的坐标为(－2x，－2y)．
7
(3，2)
【点拨】(共32张PPT)
第九章 图形的相似
相似三角形的周长、面积的性质
9.8.2
【2023·重庆】若两个相似三角形周长的比为1∶4，则这两个三角形对应边的比是( )
A．1∶2 B．1∶4
C．1∶8 D．1∶16
1
B
【一题多解】【2022·连云港】△ABC的三边长分别为2，3，4，另有一个与它相似的三角形DEF，其最长边为12，则△DEF的周长是( )
A．54 B．36
C．27 D．21
2
【点拨】
【答案】C
3
4
【点拨】
【答案】B
【2023·济南槐荫区期末】若两个相似三角形的面积比是1∶9，则它们对应边的中线之比为( )
A．1∶9 B．3∶1
C．1∶3 D．1∶81
5
【点拨】
【答案】C
∵两个相似三角形的面积之比是对应边上的中线之比的平方，两个相似三角形的面积之比为1∶9，∴它们对应边上的中线之比为1∶3.
【母题：教材P122习题T6】如图，已知△ADE∽△ABC，且AD∶DB＝2∶1，则S△ADE∶S四边形BCED＝( )
A．2∶1
B．4∶1
C．2∶3
D．4∶5
6
【点拨】
【答案】D
7
【点拨】
【点易错】
【答案】B
【2023·潍坊青州市月考】两个相似三角形的最短边分别为5 cm和3 cm，它们的周长之差为14 cm，那么小三角形的周长为( )
A．15 cm B．17 cm
C．19 cm D．21 cm
8
【点拨】
【答案】D
根据题意得两三角形的周长的比为5∶3，设两三角形的周长分别为5x cm，3x cm，则5x－3x＝14，解得x＝7，所以3x＝21，即小三角形的周长为21 cm.
9
【点拨】
【答案】A
【易错题】两个相似三角形的面积比为4∶9，其中一个三角形的周长为12 cm，求另一个三角形的周长．
【解】∵两个相似三角形面积比是4∶9，∴两个相似三角形的相似比是2 ∶3，∴两个相似三角形的周长比是2 ∶3.∵一个三角形的周长为12 cm，设另一个三角形周长为x cm，∴12∶x＝2∶3或x∶12＝2∶3，解得x＝18或8.∴另一个三角形的周长为18 cm或8 cm.
10
【点易错】
两个相似三角形的面积比是有顺序的，如果没有说明，需要分类讨论．
11
【解】如图，连接MP，NP.∵MN垂直平分AP，
∴AM＝PM，AN＝PN，
∴∠MAP＝∠MPA，∠NAP＝∠NPA，
∴∠MPN＝∠BAC＝60°，
∴∠BPM＋∠CPN＝120°.
∵∠BMP＋∠BPM＝120°，∴∠CPN＝∠BMP.
【点方法】
要利用相似三角形的性质，如果两个三角形相似未知，首先要证明两个三角形相似．
12
问题背景：
(1)如图①，△ABC中，DE∥BC分别交AB，AC于D，E两点，过点E作EF∥AB交BC于点F.请按图示数据填空：四边形DBFE的面积S＝________，
△EFC的面积S1＝________，
△ADE的面积S2＝________．
6
13
9
1
探究发现：
(2)在图①中，若BF＝a ，FC＝ b，DE 与BC间的距离为h.求证：S2＝4S1S2.
拓展迁移：
(3)如图②， DEFG的四个顶点在△ABC的三边上，若△ADG，△DBE, △GFC的面积分别为2，5，3，试利用(2)中的结论求△ABC的面积．(共31张PPT)
第九章 图形的相似
相似三角形中对应线段的性质
9.8.1
1
【点拨】
【答案】A
相似三角形对应中线的比等于相似比.
若△ABC∽△DEF，相似比为3∶2，则△ABC与△DEF对应高的比为( )
A．3∶2 B．3∶5
C．9∶4 D．4∶9
2
【点拨】
【答案】A
相似三角形对应高的比等于相似比．
【母题：教材P118随堂练习T2】已知△ABC∽△A1B1C1，顶点A，B，C分别与A1，B1，C1对应，AB∶A1B1＝3∶4，BE，B1E1分别是它们的对应角平分线，则BE∶B1E1＝________．
3
3∶4
【点拨】
∵△ABC∽△A1B1C1，
∴BE∶B1E1＝AB∶A1B1＝3∶4.
【2023·济南章丘区期末】如图，光源P在水平横杆AB的上方，照射横杆AB得到它在平地上的影子为CD(点P，A，C在一条直线上，点P，B，D在一条直线上)，不难发现AB∥CD．已知AB＝1.5 m，
CD＝4.5 m，点P到横杆AB的
距离是1 m，则点P到地面的
距离等于________m.
4
3
【点拨】
5
【点拨】
【答案】C
【2023·山东日照模拟】某高中为高一新生设计的学生板凳的正面视图如图所示．其中BA＝CD，BC＝ 20 cm，BC，EF平行于地面AD且到地面AD的距离分别为40 cm，8 cm，为使板凳两腿底端A，D之间的距离为50 cm，那么横梁EF应为多长？(材质及其厚度等忽略不计)
6
【解】如图，过点C作CM∥AB交EF，AD于点N，M，
作CP⊥AD交EF，AD于点Q，P.
由题意得，四边形ABCM，
EBCN是平行四边形，
∴EN＝AM＝BC＝20 cm，
∴MD＝AD－AM＝50－20＝30(cm)．
【母题：教材P121习题T1】如图，△ABC∽△A′B′C′，AB＝15 cm，A′B′＝10 cm，AD与A′D′分别是△ABC和△A′B′C′的中线，AD与A′D′的和为15 cm.求AD和A′D′的长．
7
8
如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，△ADE∽△ACB，相似比为AD∶AC＝2∶3，△ABC的角平分线AF交DE于点G，交BC于点F，求AG与GF的比．
9
【新考法】如图，已知△ABC∽△A′B′C′，相似比为k，点G在BC上．
10
C
【母题：教材P117想一想】求证：相似三角形对应边上的中线之比等于相似比．(要求：先画出图形，再根据图形写出已知、求证和证明过程)
11
已知在等腰三角形ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，正方形PQMN的两个顶点在△ABC的一边上，另两个顶点在△ABC的另两边上，求正方形PQMN的边长．
12
【点易错】
本题需分两种情况讨论，易出现漏掉解的错误．
