(共36张PPT)
第10招
最值问题
鲁教五四版 八年级下
题型 1 代数最值问题
3
75
【点拨】
2．先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题：
例题：求代数式y2＋4y＋8的最小值．
解：y2＋4y＋8＝y2＋4y＋4＋4＝(y＋2)2＋4.
∵(y＋2)2≥0，∴(y＋2)2＋4≥4.
∴代数式y2＋4y＋8的最小值为4.
(1)求代数式x2－2x－2的最小值．
【解】x2－2x－2＝(x－1)2－3.∵(x－1)2≥0，
∴(x－1)2－3≥－3.∴代数式x2－2x－2的最小值为－3.
(2)若a2－6a＋9＋|b＋1|＝0，则ab＝________．
3．[2023·枣庄薛城区期末]已知关于x的一元二次方程(a－1)x2－2x＋2＝0有实数根，求整数a的最大值．
【学以致用】根据上面材料回答下列问题：
1
2
(2)用篱笆围一个面积为100m2的长方形花园，问这个长方形的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少米？
3
【点拨】
题型 2 几何最值问题
【点拨】
【答案】C
6．[2023·东营东营区月考]如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，以BC为斜边在矩形的外部作直角三角形BEC，点F是CD的中点，连接EF，则EF的最大值为________．
【点拨】
7．如图，菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝4，点P是直线AD上一动点，点E在直线PB上，已知∠BEC＝∠BCP，求CE的最小值．
8．如图，在四边形ABCD中，AD＝2，AB＝5，BC＝CD，且∠BCD＝90°，求AC的最大值．
【解】如图，在直线AB的右侧作等腰直角三角形ABE，使得EB＝EA，∠AEB＝90°.连接CE.
9．[2023·日照东港区月考]如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝8，BC＝6，点E是AD的中点，点F是AB上一动点．将△AEF沿直线EF折叠，点A落在点A′处．在EF上任取一点G，连接GC，GA′，CA′，求△CGA′的周长的最小值．
【解】如图，当点F固定时，连接AC交EF于G，连接A′G，CE，此时△A′GC的周长最小，最小值＝A′G＋GC＋CA′＝GA＋GC＋CA′＝AC＋CA′.
10．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，M是CD边上任意一点，分别过点A，C，D作射线BM的垂线，垂足分别是E，F，G，已知AE＋CF＋DG＝m，求m的最小值．
12．如图，△ABC∽△ADE，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝5，AC＝12，F为DE的中点，已知点D在直线BC上运动，连接CF，求在点D运动过程中，线段CF的最小值．(共30张PPT)
第9招
四边形中的相似三角形
题型 1 一般四边形与相似三角形
1．如图，在四边形ABCD中，对角线BD与AC交于点F，∠ADB＝∠ACB．
(1)求证：∠ABD＝∠ACD．
(2)过点A作AE∥DC交BD于点E，求证：EF·BC＝AD·AF.
2．[新定义题]若一个三角形一条边的平方等于另两条边的乘积，我们把这个三角形叫做“比例三角形”．
(1)如图①，在四边形ABCD中，AD＝AB，对角线DB平分∠ADC，∠DAC＝∠ABC．求证：△ACD是“比例三角形”．
3．[2023·青岛市北区期中]如图，四边形ABCD是平行四边形，E为线段CB延长线上一点，连接DE交对角线AC于点F，∠ADE＝∠BAC．
题型 2 平行四边形与相似三角形
(1)求证：CF·CA＝CB·CE.
【证明】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC.∴∠ADE＝∠E.∵∠ADE＝∠BAC，∴∠BAC＝∠E.又∵∠ACB＝∠ECF，∴△ACB∽△ECF.
∴AC∶EC＝CB∶CF.∴CF·CA＝CB·CE.
(2)如果AC＝DE，∠BAC＝35°，求∠DFC的度数．
4．[2023·滨州邹平市期末]如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B．
(1)求证：△ADF∽△DEC．
【证明】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD.
∴∠ADF＝∠CED，∠B＋∠C＝180°.
∵∠AFE＋∠AFD＝180°，∠AFE＝∠B，
∴∠AFD＝∠C.∴△ADF∽△DEC.
(2)若AB＝4，AD＝3，AE＝3，求AF的长．
5．如图，在平行四边形ABCD中，已知BD平分∠ABC，点E在边BC上，连接AE交BD于点F，且AB2＝BF·BD.
求证：
(1)点F在边AB的垂直平分线上．
(2)AD·AE＝BE·BD．
6．[2023·济南天桥区期中]如图，正方形ABCD中，AB＝9，E为BC上一点，过E作EF⊥AE交CD于点F，连接AF.
题型 3 特殊平行四边形与相似三角形
(1)求证：△ABE∽△ECF.
【证明】∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B＝∠C＝90°.∴∠BAE＋∠AEB＝90°.
∵EF⊥AE，∴∠AEB＋∠CEF＝90°.
∴∠CEF＝∠BAE.∴△ABE∽△ECF.
(2)当BE＝3时，求CF的长．
7．如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E是BC上的一个动点，连接DE，交AC于点F.
8．[2023·泰安二模]如图，四边形ABCD为正方形， ∠EAF＝45°，其两边分别交BC，CD于E，F，交BD于H，G. 求证：
(1)AD2＝BG·DH.(共43张PPT)
第8招
相似三角形与全等三角形
题型 1 填空题
1．[2023·济南期末]如图，已知四边形ABCD是边长为4的正方形．点E，F分别是BC，CD边的中点．AE与BF相交于点G.连接DE交BF于点H，则GH的长为________．
【点拨】
2．[2022·黔东南州]如图，折叠边长为4 cm的正方形纸片ABCD，折痕是DM，点C落在点E处，分别延长ME，DE交AB于点F，G，若点M是BC边的中点，则FG＝________cm.
【点拨】
3．[2023·枣庄薛城区月考]如图，正方形ABCD的边长为2，点E，F分别为边AB，BC的中点，AF分别交线段DE，DB于点M，N，求△DMN的面积．
题型 2 解答题
4．如图，点D为△ABC的边AB的中点，过点D作DE∥BC，交边AC于点E，延长DE至点F，使DE＝EF，连接CF.求证：
(1)△CFE∽△ABC．
(2)四边形BCFD是平行四边形．
【证明】∵∠F＝∠ADE，∴BD∥CF.
又∵DE∥BC，
∴四边形BCFD是平行四边形．
5．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E分别是边AC，AB的中点，DF⊥AC，DF与CE相交于点F，AF的延长线与BD相交于点G.求证：
(1)∠ABD＝∠ACE.
(2)CD2＝DG·BD．
6．[2023·济南天桥区月考]已知四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD边上的点，DE与CF交于点G.
(1)如图①，若四边形ABCD是正方形，且DE⊥CF，求证：DE＝CF.
7．[2023·南京期中]如图，在正方形ABCD中，E为对角线AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE交AB于点F，连接DF交AC于点G.
(1)求证：EF＝DE.
【证明】如图，过点E作EH⊥AC，交AB的延长线于点H.∵四边形ABCD为正方形，
∴∠DAC＝∠EAB＝45°.
∵EH⊥AC，∴∠H＝45°.
∴△EAH为等腰直角三角形．
∴AE＝EH.∵EF⊥DE，∴∠DEA＋∠AEF＝90°.
(2)若DG＝4，GF＝2，则GE＝________．
【点拨】
8．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，BC上，连接AE，CD，AE交CD于点F，过点E作EG∥CD交AC的延长线于点G，若AE平分∠BAC，CE＝CF.
(1)求证：①∠ABC＝∠ACD．
【证明】∵CE＝CF，∴∠CEF＝∠CFE.
∵AE平分∠BAC，∴∠BAE＝∠CAE.
∵∠CEF＝∠ABC＋∠BAE，
∠CFE＝∠ACD＋∠CAE，
∴∠ABC＝∠ACD.
②△EGC∽△CBD．
【证明】∵EG∥CD，
∴∠CEG＝∠DCB，∠ACD＝∠G.
∵∠ABC＝∠ACD，∴∠ABC＝∠G.
∴△EGC∽△CBD.
(2)如图②，若AD＝2，BD＝6，求CG的长．
9．[2023·泰安泰山区一模]如图，在正方形ABCD中，E是BC上的一点，连接AE，作BF⊥AE，垂足为H，交CD于F，作CG∥AE，交BF于G.求证：
(1)CG＝BH.
【证明】∵BF⊥AE，CG∥AE，
∴∠BAH＋∠ABH＝90°，CG⊥BF.
∴∠CBG＋∠BCG＝90°.
∵在正方形ABCD中，∠ABH＋∠CBG＝90°，AB＝BC，∴∠BAH＝∠CBG，∴∠ABH＝∠BCG.
∴△ABH≌△BCG.∴CG＝BH.
(2)FC2＝BF·GF.
10．如图，菱形ABCD的边长为4，对角线交于点O，点E为AD上一点，AE＝3，过E作EF∥AC交CD于点F，交BD于点G，取OE的中点H，连接GH并延长交AB于点M.
(1)求AM的长度．
【解】如图，连接FO并延长交AB于P.
∵四边形ABCD是边长为4的菱形，
∴AB＝DA＝DC＝4，AC⊥BD，
OD＝OB，CD∥AB. ∴∠DAC＝∠DCA，
∠FDO＝∠PBO，∠DFO＝∠BPO.
∴△FDO≌△PBO(AAS)．∴DF＝BP.
∵EF∥AC，∴∠DEF＝∠DAC，∠DFE＝∠DCA.(共25张PPT)
第7招
根的判别式、根与系数的关系的综合应用
应用 1 已知方程一根，求另一根及待定系数
1．[2023·滨州滨城区期末]x＝－3是方程x2－mx＋m－1＝0的一个根，求它的另一个根及m的值．
2．[2023·枣庄滕州市开学月考]已知m，n是一元二次方程x2＋4x－9＝0的两个根，求m2＋5m＋n的值．
【解】∵m，n是一元二次方程x2＋4x－9＝0的两个根，∴m2＋4m－9＝0，m＋n＝－4.∴m2＋4m＝9.
∴m2＋5m＋n＝m2＋4m＋m＋n＝9－4＝5.
应用 2 已知方程两根，求有关两根的代数式的值
应用 3 已知两方程，求含两未知数的代数式的值
解：∵m，n是一元二次方程x2－x－1＝0的两个实数根，
∴m＋n＝1，mn＝－1.
∴ m2n＋mn2＝mn(m＋n)＝－1×1＝－1.
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
(1)应用：一元二次方程2x2＋3x－1＝0的两个实数根为x1，x2，则x1＋x2＝________，x1x2＝________．
(2)类比：已知一元二次方程2x2＋3x－1＝0 的两个实数根为m，n，求m2＋n2的值．
6．已知关于x的一元二次方程x2－3x＋k＋1＝0的两根的平方和小于5，求k的取值范围．
应用 4 已知方程，求字母系数的取值范围
【点易错】
解此类题易忽略Δ≥0这个条件，做题时要注意方程有根的条件．
7．[2023·枣庄薛城区月考]关于x的方程x2＋(k2－4)x＋k＋1＝0的两个根互为相反数，求k的值．
【解】设x1，x2是关于x的一元二次方程x2＋(k2－4)x＋k＋1＝0的两个实数根，且两个实数根互为相反数，则x1＋x2＝－(k2－4)＝0，解得k＝±2.当k＝2时，Δ<0，方程无解，故舍去．综上，k＝－2.
应用 5 已知方程，求字母系数的值
8．[2023·湖北改编]已知一元二次方程x2－3x＋k＝0的两个实数根为x1，x2，x1x2＋2x1＋2x2＝1，求k的值．
9．[新定义题]如果关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 (a≠0)有两个实数根，其中一个实数根是另一个实数根的2倍，那么称这样的方程是“倍根方程”．例如一元二次方程x2－6x＋8＝0的两个根是x1＝2，x2＝4，则方程x2－6x＋8＝0是“倍根方程”．
(1)通过计算，判断x2－3x＋2＝0是否是“倍根方程”．
【解】x2－3x＋2＝0，即(x－2)(x－1)＝0，
∴x－2＝0或x－1＝0.
∴x1＝2，x2＝1，
则方程x2－3x＋2＝0是“倍根方程”．
(2)若关于x的方程(x－2)(x－m)＝0是“倍根方程”，求代数式m2＋2m＋2的值．
【解】(x－2)(x－m)＝0，∴x－2＝0或x－m＝0，解得x1＝2，x2＝m.∵(x－2)(x－m)＝0是“倍根方程”，∴m＝4或m＝1.当m＝4时，m2＋2m＋2＝16＋8＋2＝26；当 m＝1时，m2＋2m＋2＝1＋2＋2＝5.综上，m2＋2m＋2的值为26或5.
(3)已知关于x的一元二次方程x2－(m－1)x＋32＝0(m是常数)是“倍根方程”，请直接写出m的值．
【解】∴m的值为13或－11.
10．不解方程，判断方程2x2＋3x－7＝0两根的符号．
应用 6 已知方程，判断根的符号
【点方法】
11．在解一元二次方程x2＋px＋q＝0时，小红看错了常数项q，得到方程的两个根是－3，1.小明看错了一次项系数p，得到方程的两个根是5，－4，求原来的方程．
【解】设原方程的两个根是α，β，根据题意得α＋β＝－p＝－3＋1＝－2，αβ＝q＝5×(－4)＝－20，故原来的方程是x2＋2x－20＝0.
应用 7 已知两根，求一元二次方程
12．已知实数x，y，z满足x＝6－y，z2＝xy－9.求证：x＝y.
【证明】由题意知x＋y＝6，xy＝z2＋9，∴x，y可看作是关于t的一元二次方程t2－6t＋z2＋9＝0的两个实数根．∴Δ＝36－4(z2＋9)＝－4z2≥0.∴z＝0，即Δ＝0.
∴关于t的方程有两个相等的实数根．∴x＝y.
应用 8 结合根的判别式证明等式
【证明】由题意知bc＝a2－a＋1，∴b＋c＝2a2－2bc＋2＝2a.∴b，c可看作是关于t的一元二次方程t2－2at＋a2－a＋1＝0的两个实数根．∴Δ＝4a2－4(a2－a＋1)≥0，解得a≥1.
应用 9 结合根的判别式证明不等式
【点方法】
首先构造以b，c为根的一元二次方程，a含在这个方程的系数里，利用根的判别式Δ≥0即可证得a≥1.(共18张PPT)
第6招
配方法的常见应用
应用 1 配方法在解方程中的应用
1．[2023·济宁邹城市期末]解方程：x2－2x－2＝0.
2．已知关于x的二次三项式x2＋(k＋1)x＋k2－2k＋1是完全平方式，求k的值．
应用 2 配方法在求二次三项式的待定系数中的应用
应用 3 配方法在求二次三项式的最大(小)值中的应用
【点拨】
4．[2023·菏泽郓城期中]阅读下面的解题过程，求y2－ 10y＋30的最小值．
解：y2－10y＋30＝y2－10y＋25＋5＝(y－5)2＋5.
∵(y－5)2≥0，∴(y－5)2的最小值是0，
∴y2－10y＋30的最小值是5.
依照上面的解题过程，求：
(1)m2＋2m＋2 024的最小值．
【解】m2＋2m＋2 024＝m2＋2m＋1＋2 023＝(m＋1)2＋2 023.∵(m＋1)2≥0，∴(m＋1)2＋2 023≥2 023.
∴m2＋2m＋2 024的最小值是2 023.
(2)4－x2＋2x的最大值．
【解】4－x2＋2x＝－(x2－2x＋1)＋5＝－(x－1)2＋5.
∵(x－1)2≥0，∴－(x－1)2≤0.∴－(x－1)2＋5≤5.
∴4－x2＋2x的最大值是5.
5．试证明关于x的方程(a2－8a＋20)x2＋2ax＋1＝0，无论a为何值，该方程都是一元二次方程．
【证明】∵a2－8a＋20＝(a－4)2＋4≠0，
∴无论a为何值，该方程都是一元二次方程．
应用 4 配方法在判定一元二次方程中的应用
6．先阅读下面的内容，再解决问题．
若m2＋2mn＋2n2－6n＋9＝0，求m和n的值．
解：∵m2＋2mn＋2n2－6n＋9＝0，
∴(m2＋2mn＋n2)＋(n2－6n＋9)＝0.
∴(m＋n)2＋(n－3)2＝0.
∴m＋n＝0，n－3＝0.∴m＝－3，n＝3.
应用 5 配方法在求多个未知数的值中的应用
(1)若x2＋2y2－2xy＋6y＋9＝0，求x2的值．
【解】∵x2＋2y2－2xy＋6y＋9＝0，∴(x2－2xy＋y2)＋(y2＋6y＋9)＝0.∴(x－y)2＋(y＋3)2＝0.∴x－y＝0，y＋3＝0.∴x＝－3，y＝－3.∴x2＝9.
(2)已知△ABC的三边长a，b，c都是正整数，且满足a2＋b2－6a－4b＋13＋|3－c|＝0，请问△ABC是什么形状的三角形？
【解】∵a2＋b2－6a－4b＋13＋|3－c|＝0，∴(a2－6a＋ 9)＋(b2－4b＋4)＋|3－c|＝0.∴(a－3)2＋(b－2)2＋|3－c|＝0.∴a－3＝0，b－2＝0，3－c＝0.∴a＝3，b＝2，c＝3.
∴a＝c.∴△ABC是等腰三角形．
7．已知a，b，c是△ABC的三边长，且a2＋b2＋c2－6a－8b－10c＋50＝0.
(1)求a，b，c的值．
【解】由a2＋b2＋c2－6a－8b－10c＋50＝0，
得(a－3)2＋(b－4)2＋(c－5)2＝0.
∵(a－3)2≥0，(b－4)2≥0，(c－5)2≥0，
∴a－3＝0，b－4＝0，c－5＝0.∴a＝3，b＝4，c＝5.
(2)判断△ABC的形状．
【解】∵32＋42＝52，即a2＋b2＝c2，
∴△ABC是直角三角形．
【点方法】
本题运用了配方法将原式整理求出a，b，c的值，再由勾股定理的逆定理判断三角形的形状．
8．(1)填空：将多项式x2－2x＋3变形为(x＋m)2＋n的形式，并判断x2－2x＋3与0的大小关系．
∵x2－2x＋3＝(x－______)2＋______，
∴x2－2x＋3____0(填“＞”“＜”或“＝”)．
1
应用 6 配方法在比较两个二次三项式大小中的应用
2
＞
(2)如图①所示的长方形相邻两边的长分别是2a＋5，3a＋2，求长方形的面积S1；如图②所示的长方形相邻两边的长分别是5a，a＋5，
求长方形的面积S2.
(用含a的式子表示)
【解】S1＝(2a＋5)(3a＋2)＝6a2＋19a＋10，
S2＝5a(a＋5)＝5a2＋25a.
(3)比较(2)中S1与S2的大小．
【解】S1－S2＝6a2＋19a＋10－(5a2＋25a)＝a2－6a＋10＝(a－3)2＋1.∵(a－3)2≥0，∴(a－3)2＋1＞0.∴S1－S2＞0.∴S1＞S2.(共22张PPT)
第5招
比较二次根式大小的方法
方法 1 定义法
方法 2 作差法
【解】由题意得，a＝2 020×(2 022－2 021)＝2 020，b2＝2 0232－4×2 022，c2＝2 0212＋1，∴b2＝(a＋3)2－4(a＋ 2)＝a2＋2a＋1，c2＝(a＋1)2＋1＝a2＋2a＋2. ∴a2－b2＝ a2－a2－2a－1＝－2a－1＜0，c2－a2＝a2＋2a＋2－a2＝ 2a＋2＞0，b2－c2＝a2＋2a＋1－a2－2a－2＝－1＜0.
∴a2＜b2＜c2.∴a＜b＜c.
【点规律】
利用作差法比较两个式子的大小时，若a－b>0，则 a >b；若a－b ＝0，则a ＝b；若a －b<0，则a方法 3 作商法
【点技巧】
作商比较两个含二次根式的式子的大小时，先计算两个式子的商，然后比较商与1的大小关系．
方法 4 分子有理化法
方法 5 分母有理化法
【点拨】
【答案】C
7．[2023·青岛平度市期末]观察下列一组等式，然后解答问题：
方法 6 倒数法
(1)观察以上规律，请写出第n个等式：___________________________ (n为正整数)．
8．比较大小：
方法 7 根号外的因式移到根号内法
9．【数学抽象】
方法 8 平方法
>
>
＝
(3)请利用上述结论解决下面问题：某园林设计师要对园林的一个区域进行设计改造，将该区域用篱笆围成长方形的花圃，如图所示，花圃恰好可以借用一段墙体，为了围成面积为200m2的花圃，所用的篱笆至少为多少米？
＞
方法 8 几何法(共35张PPT)
第4招
特殊平行四边形性质和判定的综合应用的三种题型
题型 1 特殊平行四边形中的操作型问题
1．对于边长均为a的两个正方形ABCD和EFGH，按图①所示的方式摆放，沿虚线BD，EG剪开后，可以按图中所示的移动方式拼接为四边形BNED．
从拼接的过程容易得到结论：
①四边形BNED是正方形；
②S正方形ABCD＋S正方形EFGH＝S正方形BNED．
实践与操作
(1)对于边长分别为a，b(a＞b)的两个正方形ABCD和EFGH，按图②所示的方式摆放，连接DE，过点D作DM⊥DE，交AB于点M，过点M
作MN⊥DM，过点E作EN⊥DE，
MN与EN相交于点N.
①证明四边形MNED是正方形，并用含a，b的代数式表示正方形MNED的面积．
证明：∵四边形ABCD，四边形EFGH均为正方形，∴AD＝CD，∠A＝∠ADC＝90°＝∠DCE.
∵DM⊥DE，∴∠MDE＝90°. ∴∠ADC＝∠MDE.
∴∠ADM＋∠MDC＝∠CDE＋∠MDC.
∴∠ADM＝∠CDE.
②在图②中，将正方形ABCD和正方形EFGH剪开后，能够拼接成正方形MNED，请简略说明你的拼接方法(类比图①，用数字表示对应的图形)．
【解】如图，过点N作NP⊥BE，垂足为P.可证明图中的6与5位置的两个直角三角形全等，4与3位置的两个直角三角形全等，1与2位置的两个直角三角
形全等，因此将5放到6的位置，将4
放到3的位置，将1放到2的位置，恰
好拼接成正方形MNED.
(2)对于n(n是大于2的自然数)个任意的正方形，能否通过若干次拼接，将其拼接为一个正方形？请简略说明你的理由．
【解】能．理由如下：由(1)②可知任意两个正方形都可以拼接为一个正方形，而拼接出的这个正方形可以与第三个正方形再拼接为一个正方形……以此类推，对于n(n是大于2的自然数)个任意的正方形，可以通过(n－1)次拼接，得到一个正方形．
2．(1)如图①，在平行四边形纸片ABCD中，AD＝5，S ABCD＝15.过点A作AE⊥BC，垂足为E，沿AE剪下△ABE，将它平移至△DCE′的位置，拼成四边形AEE′D，则四边形AEE′D的形状为( )
A．平行四边形
B．菱形
C．矩形
D．正方形
C
(2)如图②，在(1)的四边形纸片AEE′D中，在EE′上取一点F，使EF＝4，剪下△AEF，将它平移至△DE′F′的位置，拼成四边形AFF′D，连接FD，AF′.
①求证：四边形AFF′D是菱形．
②求四边形AFF′D的两条对角线的长．
3．[2023·济宁任城区期末]如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC，交直线MN于E，垂足为F，连接CD，BE.
题型 2 特殊平行四边形中的探究型问题
(1)求证：CE＝AD．
【证明】∵DE⊥BC，∴∠DFB＝90°.
∵∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠DFB.∴AC∥DE.
∵MN∥AB，即CE∥AD，
∴四边形ADEC是平行四边形．∴CE＝AD.
(2)当D为AB的中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明理由．
【解】四边形BECD是菱形．理由如下：∵D为AB的中点，∴AD＝BD.∵CE＝AD，∴BD＝CE.∵BD∥CE，∴四边形BECD是平行四边形．∵∠ACB＝90°，D为AB的中点，∴CD＝BD.∴ BECD是菱形．
(3)若D为AB的中点，则当∠A的大小满足什么条件时，四边形BECD是正方形？请说明理由．
【解】当∠A＝45°时，四边形BECD是正方形．理由如下：∵∠ACB＝90°，∠A＝45°，∴∠ABC＝45°＝∠A.∴AC＝BC.又∵D为AB的中点，∴CD⊥AB.∴∠CDB＝90°.∴菱形BECD是正方形．
4．在正方形ABCD中，DE⊥BE交BC于点F，连接BD，CE.
(1)如图①，探究∠EBD与∠ECB之间的
数量关系，并证明．
【解】∠EBD＋∠ECB＝90°.证明如下：如图①，过点C作CH⊥CE交DE于H，∴∠ECH＝90°.
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝DC，∠BCD＝90°，∠DBC＝
∠BDC＝45°.∵BE⊥DE，∴∠BED＝90°.
∴∠BED＝∠BCD＝∠ECH.
∴∠HCD＝∠ECB.∵∠BFE＝∠DFC，
∴∠EBC＝∠CDF.
又∵BC＝DC，∴△ECB≌△HCD(ASA)．
∴HC＝EC.∴∠HEC＝∠EHC＝45°.
∴∠BEC＝135°.∴∠EBC＋∠ECB＝45°.
∴∠EBD＋∠ECB＝90°.
(2)如图②，过点A作AN⊥DE于点N，分别交BD，CD于点M，P，探究线段DN，BE，AN之间的数量关系，并 证明．
【解】AN＝DN＋BE.证明如下：如图②，过点A作AH⊥直线BE于点H，
∵AN⊥DE，DE⊥BE，∴四边形ANEH是矩形．
∴∠HAN＝90°，AN＝HE.∵∠BAD＝90°，
∴∠HAN＝∠BAD.∴∠BAH＝∠DAN.
又∵∠H＝∠AND＝90°，AB＝AD，
∴△ADN≌△ABH(AAS)．∴DN＝BH.
∴AN＝HE＝BH＋BE＝DN＋BE.
5．如图，在边长为10的菱形ABCD中，对角线BD＝16，对角线AC，BD相交于点G，点O是直线BD上的动点，OE⊥AB于点E，OF⊥AD于点F.
(1)求对角线AC的长及菱形ABCD的面积．
(2)如图①，当点O在对角线BD上运动时，OE＋OF的值是否发生变化？请说明理由．
(3)如图②，当点O在对角线BD的延长线上运动时，OE＋OF的值是否发生变化？若不变，请说明理由；若变化，请探究OE，OF之间的数量关系．
6．[新定义题]阅读以下材料，然后解决问题：
如果一个三角形和一个矩形满足条件：三角形的一边与矩形的一边重合，且三角形的这边所对的顶点在矩形这边的对边上，则称这样的矩形为三角形的“友好矩形”．如图①所示，矩形ABEF为△ABC的“友好矩形”，显然，当△ABC是钝角
三角形时，其“友好矩形”只有一个．
题型 3 特殊平行四边形中的阅读理解型问题
(1)仿照以上材料，说明什么是一个三角形的“友好平行四边形”．
【解】如果一个三角形和一个平行四边形满足条件：三角形的一边与平行四边形的一边重合，且三角形的这边所对的顶点在平行四边形这边的对边上，则称这样的平行四边形为三角形的“友好平行四边形”．
(2)如图②，若△ABC为直角三角形，且∠C＝90°，在图②中画出△ABC的所有“友好矩形”，并比较这些矩形面积的大小．
【解】如图①，共有两个“友好矩形”，分别为矩形BCAD，矩形ABEF.易知，矩形BCAD，矩形ABEF的面积都等于△ABC面积的2倍，∴△ABC的两个“友好矩形”的面积 相等.
(3)若△ABC是锐角三角形，且BC＞AC＞AB，在图③中画出△ABC的所有“友好矩形”，指出其中周长最小的矩形并加以证明．
【解】如图②，共有3个“友好矩形”，分别为矩形BCDE，矩形CAFG和矩形ABHK，其中矩形ABHK的周长最小．
【点方法】
理解该题中的新定义，能根据新定义正确画出符合要求的图形，掌握三角形和矩形的面积公式，能够运用作差法比较大小．(共25张PPT)
第3招
关于特殊平行四边形的动点问题
题型 1 关于菱形的动点问题
1．[2023·泰安泰山区期末]如图，在菱形ABCD中，E，F分别是边CD，BC上的动点，连接AE，EF，G，H分别为AE，EF的中点，连接GH.已知∠B＝45°，BC＝2，求GH的最小值．
【点拨】
先求出所求线段与另一线段的关系，再根据垂线段最短求出另一线段的长，从而求解.
2．[2022·甘肃改编]如图①，在菱形ABCD中，∠A＝60°，动点P从点A出发，沿折线AD→DC→CB方向匀速运动，运动到点B停止．设点P的运动路程为x，△APB的面积为y，y与x的函数图象如图②所示，求AB的长．
【解】如图，连接BD，过点D作DE⊥AB，垂足为E.
3．[2023·菏泽期中]如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，BD＝12 cm，AC＝6 cm，点E在线段BO上从点B出发以1 cm/s的速度向点O运动，点F在线段OD上从点O出发以2 cm/s的速度向点D运动．
(1)若点E，F同时运动，设运动时间为t s，当t为何值时，四边形AECF是平行四边形？
【解】若四边形AECF是平行四边形，则OA＝OC，OE＝OF.∵四边形ABCD为平行四边形，BD＝12 cm，AC＝6 cm，∴BO＝OD＝6 cm，OA＝OC＝3 cm. ∴OE＝(6－t) cm，OF＝2t cm.∴6－t＝2t，解得 t＝2.
∴当t＝2时，四边形AECF是平行四边形．
(2)在(1)的条件下，当AB长为多少时， AECF是菱形？
4．[2023·济宁邹城市期末]如图，将矩形ABCD放置在平面直角坐标系的第一象限内，使顶点A，B分别在x轴，y轴上滑动，矩形的形状保持不变，
若AB＝2，BC＝1，则顶点C到坐
标原点O的最大距离为________．
题型 2 利用矩形的性质解动点问题
【点拨】
5．[2023·德州平原期中]如图，已知矩形ABCD的边AB＝20 cm，BC＝16 cm，点E在边AB上，AE＝6 cm，如果点P从点B出发在线段BC上以2 cm/s的速度向点C运动，同时，点Q是线段CD上一动点．
当运动时间t为多少时，△BPE与
△CQP全等？
【解】分两种情况：①当EB＝PC，BP＝QC时，△BPE≌△CQP.∵AB＝20 cm，AE＝6 cm，∴EB＝14 cm.
∴PC＝14 cm.∵BC＝16 cm，∴BP＝2 cm.∵点P从点B出发在线段BC上以2 cm/s的速度向点C运动，∴t＝2÷2＝1(s)；②当BP＝CP，BE＝QC时，△BEP≌△CQP.由题意得2t＝16－2t，解得t＝4. 综上，当运动时间t为1s或4s时，△BPE与△CQP全等．
【点拨】
此题没有明确全等三角形的对应边，故要分类讨论．
6．[2023·青岛期末]如图，四边形ABFE和EFCD是边长为6 cm的正方形，点H是CD上一点且CH＝2 cm，点P从点H出发，沿HD以1 cm/s的速度运动，同时点Q从点A出发，沿A→B→C以4 cm/s的速度运动．设运动时间为t s，任意一点先
到达终点即停止
运动．
题型 3 利用正方形的性质解动点问题
(1)如图①，点Q在AB上运动，
①连接QP，当t＝________时，QP∥BC．
②当t＝________时，点P在AQ的垂直平分线上．
0.8
(2)如图②，连接EP，EQ，若QE⊥EP，求t的值．
7．如图，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD边上的点，已知BE＝CF，AE，BF相交于点P.
(1)如图①，AE与BF之间有怎样的关系？请说明理由．
【解】AE＝BF，AE⊥BF.理由如下：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABC＝∠C＝90°.
又∵BE＝CF，∴△ABE≌△BCF(SAS)．
∴AE＝BF，∠BAE＝∠CBF.
∵∠BAE＋∠BEA＝90°，∴∠CBF＋∠BEA＝90°.
∴∠BPE＝∠APB＝90°.∴AE⊥BF.
(2)若AB＝8，AE＝10，求BP的长度．
(3)如图②，FM⊥DN，DN⊥AE，点F在线段CD上运动时(点F不与C，D重合)，四边形FMNP能否成为正方形？请说明理由．
【解】四边形FMNP不能成为正方形．理由如下：
∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝AD，∠BAD＝90°.
由(1)知AE＝BF，∠APB＝90°.
∴∠NPF＝90°.∵FM⊥DN，DN⊥AE，
∴∠FMN＝∠MNP＝90°.∴四边形FMNP是矩形，∠DNA＝90°＝∠BAD.∴∠BAP＋∠NAD＝∠NAD＋∠ADN.∴∠BAP＝∠ADN.(共48张PPT)
第2招
特殊平行四边形与全等三角形
题型 1 菱形与全等三角形
1．如图，四边形ABCD为菱形，E为对角线AC上的一个动点(不与点A，C重合)，连接DE并延长交射线AB于点F，连接BE.求证：
(1)△DCE≌△BCE.
【证明】∵四边形ABCD是菱形，
∴CD＝CB，∠DCE＝∠BCE.
又∵CE＝CE，∴△DCE≌△BCE(SAS)．
(2)∠AFD＝∠EBC．
【证明】∵四边形ABCD是菱形，∴DC∥AF.
∴∠CDF＝∠AFD.
∵△DCE≌△BCE，∴∠CDF＝∠EBC.
∴∠AFD＝∠EBC.
2．[2023·菏泽期中]菱形ABCD中，AB＝5，∠ABC＝60°，∠EAF＝60°，∠EAF的两边分别交BC，CD于E，F.
(1)如图①，当点E，F分别在边BC，CD上时，求CE＋CF的值．
【解】连接AC，∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，∴AB＝BC＝CD＝DA＝5，∠D＝∠ABC＝60°.∴△ABC，△ACD都是等边三角形．∴∠BAC＝60°，AB＝AC，∠ACD＝60°.∵∠EAF＝60°，∴∠BAC－∠CAE＝∠EAF－∠CAE，即∠BAE＝∠CAF. 又∵AB＝AC， ∠B＝∠ACF＝60°，∴△ABE≌△ACF(ASA). ∴BE＝CF.∴CE＋CF＝CE＋BE＝BC＝5.
(2)如图②，当点E，F分别在CB，DC的延长线上时，CE，CF又存在怎样的数量关系，并证明你的结论．
【解】CE－CF＝5.证明：连接AC，由(1)可知，△ABC，△ACD都是等边三角形，∴∠BAC＝60°，AB＝AC，∠ACD＝60°.∴∠ACF＝120°.∵∠ABE＝180°－∠ABC＝120°， ∴∠ABE＝∠ACF.∵∠EAB＝∠EAF－∠BAF，∠CAF＝∠BAC－∠BAF，∠EAF＝∠BAC＝60°，∴∠EAB＝∠FAC.又∵AB＝AC，∠ABE＝∠ACF，∴△ABE≌△ACF(ASA)．∴BE＝CF.∴CE－CF＝CE－BE＝BC＝5.
3．[2023·泰安期末]在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，E是对角线AC上任意一点，F是线段BC延长线上一点，且CF＝AE，连接BE，EF.
(1)如图①，当E是线段AC的中点时，
求证：BE＝EF.
(2)如图②，当点E不是线段AC的中点，其他条件不变时，请判断(1)中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，说明理由．
【解】成立．证明如下：过点E作EG∥BC交AB于点G.
由(1)可知，△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠ACB＝∠BAC＝60°.∴∠ECF＝120°.
∵EG∥BC，
∴∠AGE＝∠ABC＝60°，∠AEG＝∠ACB＝60°.
∴∠BGE＝120°.
又∵∠BAC＝60°，∴△AGE是等边三角形．
∴AG＝AE＝GE. ∴BG＝CE.
4．已知BD是△ABC的角平分线，点E在AB边上，BE＝BC，过点E作EF∥AC，交BD于点F，连接CF，DE.
(1)如图①，求证：四边形CDEF是菱形．
(2)如图②，当∠DEF＝90°，AC＝BC时，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图②中度数为∠ABD度数的2倍的角．
【解】度数为∠ABD度数的2倍的
角是∠A，∠ABC，∠FEB，
∠FCB.
5．[2023·兰州改编]如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，CD∥OE，直线CE是线段OD的垂直平分线，CE分别交OD，AD于点F，G，连接DE.
题型 2 矩形与全等三角形
(1)求证：△FDC≌△FOE.
(2)判断四边形OCDE的形状，并说明理由．
【解】四边形OCDE是菱形．理由如下：
∵△FDC≌△FOE，∴CD＝OE.
又∵ED＝OE，CD＝CO，∴ED＝OE＝CD＝CO.
∴四边形OCDE是菱形．
6．[2023·泰安泰山区期中]如图，将 ABCD的边AB延长到点E，使BE＝AB，连接DE，交边BC于点F.
(1)求证：△BEF≌△CDF.
(2)连接BD，CE，若∠BFD＝2∠A，求证：四边形BECD是矩形．
【解】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD， AB＝CD，∠A＝∠DCB.
∵∠BFD＝2∠A，∴∠BFD＝2∠DCF.
又∵∠BFD＝∠DCF＋∠FDC，∴∠DCF＝∠FDC.
∴DF＝CF.∵AB＝BE，∴CD＝EB.
∴四边形BECD是平行四边形．∴BF＝CF，EF＝DF.
又∵DF＝CF，∴DF＋EF＝BF＋CF，即DE＝BC，
∴ BECD是矩形．
7．[2023·烟台期中]如图，点E是 ABCD对角线AC上一点，点F在BE的延长线上，且EF＝BE，EF与CD交于点G，连接CF，DF，DE.
(1)求证：DF∥AC．
【证明】连接BD，交AC于点O.
∵四边形ABCD是平行四边形，∴BO＝DO.
∵BE＝EF，∴OE是△BDF的中位线．
∴OE∥DF，即DF∥AC.
(2)若BF＝2AB，点G恰好是CD的中点，求证：四边形CFDE是矩形．
【解】如图，由(1)得DF∥AC，
∴∠DFG＝∠CEG，
∠GDF＝∠GCE.
∵G是CD的中点，∴DG＝CG.
8．如图，在矩形ABCD中，BD为对角线，AE平分∠BAD，交CD于点E，交BC的延长线于点F，G为EF的中点，连接CG，BG，DG.求证：
(1)△CBG≌△EDG.
【证明】∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC，∠BCD＝∠ADC＝∠BAD＝90°.
∴∠FCE＝90°.
∵AE平分∠BAD，∴∠BAF＝∠DAE＝45°.
∴∠DEA＝45°.
∴∠FEC＝45°，△ADE是等腰直角三角形．
∴∠DEG＝135°，∠F＝45°，DE＝DA.
∴DE＝BC，△CFE是等腰直角三角形．
∵点G为FE的中点，
∴CG⊥FE，CG＝EG，∠GCE＝45°.
∴∠BCG＝∠BCD＋∠GCE＝90°＋45°＝135°. ∴∠DEG＝∠BCG.
又∵DE＝BC，CG＝EG，∴△CBG≌△EDG(SAS)．
(2)∠DGE＝∠CDB．
【证明】∵△CBG≌△EDG，∴GB＝GD，∠CGB＝∠EGD.∵CG⊥FE，∴∠CGE＝90°.
∴∠BGD＝∠BGE＋∠EGD＝∠BGE＋∠BGC＝∠CGE＝90°.∴△BDG是等腰直角三角形．
∴∠GDB＝45°，即∠GDC＋∠CDB＝45°.
∵∠DEG＝135°，∴∠DGE＋∠GDC＝45°.
∴∠DGE＝∠CDB.
9．[2023·绍兴]如图，在正方形ABCD中，G是对角线BD上的一点(不与点B，D重合)，GE⊥CD，GF⊥BC，垂足分别为E，F.连接EF，AG，并延长AG交EF于点H.
题型 3 正方形与全等三角形
(1)求证：∠DAG＝∠EGH.
【证明】在正方形ABCD中，AD⊥CD，GE⊥CD，
∴∠ADE＝∠GEC＝90°.
∴AD∥GE.∴∠DAG＝∠EGH.
(2)判断AH与EF是否垂直，并说明理由．
【解】AH⊥EF.理由如下：如图，连接GC交EF于点O.
∵BD为正方形ABCD的对角线，
∴∠ADG＝∠CDG＝45°.
又∵DG＝DG，AD＝CD，
∴△ADG≌△CDG(SAS)．
∴∠DAG＝∠DCG.
在正方形ABCD中，∠ECF＝90°.
又∵GE⊥CD，GF⊥BC，∴四边形FCEG为矩形．
∴OE＝OC.∴∠OEC＝∠OCE.∴∠DAG＝∠OEC.
由(1)得∠DAG＝∠EGH，∴∠EGH＝∠OEC.
∴∠EGH＋∠GEH＝∠OEC＋∠GEH＝∠GEC＝90°.
∴∠GHE＝90°.∴AH⊥EF.
10．[2023·济宁邹城市期末]如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF＝BE.
(1)求证：CE＝CF.
(2)若点G在AD上，且∠GCE＝45°，判断线段GE，BE，GD之间的数量关系，并说明理由．
【解】GE＝BE＋GD.理由如下：
由(1)得△CBE≌△CDF，
∴∠BCE＝∠DCF，CE＝CF.
∵∠GCE＝45°，∴∠BCE＋∠DCG＝45°.
∴∠DCF＋∠DCG＝45°.∴∠GCF＝45°.
11．[2023·东营东营区月考]如图，四边形ABCD是正方形，M是BC边上的一点，E是CD边的中点，AE平分∠DAM.
(1)求证：AM＝AD＋MC．
【证明】如图，延长AE，BC交于点N.
∵四边形ABCD是正方形，∴AD∥BC.∴∠DAE＝∠N.
∵AE平分∠DAM，
∴∠DAE＝∠MAE.
∴∠N＝∠MAE.
∴AM＝MN.
(2)若AD＝4，求AM的长．
12．[2023·德州期中]如图，四边形ABCD与四边形DEFG是两个正方形，连接AG，CE，交于点H.
(1)请说明AG和CE的数量关系和位置关系，并给予证明．
【解】AG＝CE，AG⊥CE.证明：如图，设AG与CD的交点为P.∵四边形ABCD和四边形DEFG是正方形，∴AD＝CD，DG＝DE，且∠ADC＝
∠GDE＝90°.∴∠ADC＋∠CDG＝
∠GDE＋∠CDG，
即∠ADG＝∠CDE.
(2)连接AE和CG，请问△ADE的面积和△CDG的面积有怎样的数量关系？并说明理由．
【解】S△ADE＝S△CDG.理由如下：如图，过点A作AM⊥ED，交ED的延长线于点M，
过点C作CN⊥DG，交DG的延长
线于点N，
∴∠M＝∠N＝90°.(共18张PPT)
第1招
特殊平行四边形中的折叠问题
题型 1 菱形中的折叠问题
1．如图，将菱形纸片ABCD折叠，使点A恰好落在菱形的对角线交点O处，折痕为EF.若菱形的边长为2，∠A＝120°，求EF的长．
2．[2023·济南期末]如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AC＝2AB，把△ABO沿OB折叠，使点A落在点E处．
(1)求证：四边形ABEO是菱形．
【证明】由折叠的性质知 AO＝OE，AB＝BE.
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AC＝2AO.
∵AC＝2AB，∴AO＝AB.∴BE＝AB＝AO＝OE.
∴四边形ABEO是菱形．
(2)若AC＝10，BD＝8，求四边形ABEO的面积．
3．如图，折叠矩形纸片ABCD，使点B的对应点E落在CD边上，GH为折痕，已知AB＝6，BC＝10.当折痕GH最长时，线段BH的长为________．
6.8
题型 2 矩形中的折叠问题
【点拨】
由题易知，当点E与点D重合时，GH最长，此时 CE＝CD＝AB＝6.设BH＝x，则CH＝10－x，HE＝BH＝x.由勾股定理得CH2＋CE2＝HE2，即(10－x)2＋62＝x2，解得x＝6.8.∴BH＝6.8.
4．如图，把矩形ABCD的两角折叠，折痕分别为EF，HG，点B，D折叠后的对应点分别是B′，D′，并且使HD′与B′F在同一直线上，试说明两条折痕EF，GH相互平行.
5．[2023·青岛模拟]如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点E为BC的中点，将△ABE沿AE折叠，使点B落在矩形内点F处，连接CF，求CF的长．
6．[2023·菏泽期中]如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边AB，CD上，∠EFC＝120°，若将四边形EBCF沿EF折叠，点B恰好落在AD边上，求∠AEB′的度数．
题型 3 正方形中的折叠问题
【解】∵四边形ABCD是正方形，
∴AB∥CD，∠A＝90°，
∴∠BEF＝180°－∠EFC＝180°－120°＝60°.
由折叠得∠FEB′＝∠BEF＝60°，
∴∠AEB′＝180°－∠BEF－∠FEB′＝60°.
7．如图，现有一张边长为4的正方形纸片ABCD，点P为正方形AD边上的一点(不与点A，D重合)．将正方形纸片折叠，使点B落在P处，点C落在G处，PG交DC于点H，折痕为EF，连接BP，BH.
(1)求证：∠APB＝∠BPH.
【证明】由折叠可知PE＝BE，∠EPH＝∠EBC，
∴∠EBP＝∠EPB.
∴∠EPH－∠EPB＝∠EBC－∠EBP，
即∠BPH＝∠PBC.
∵四边形ABCD是正方形，∴AD∥BC.
∴∠APB＝∠PBC.∴∠APB＝∠BPH.
(2)当点P在边AD上移动时，△PDH的周长是否发生变化？并证明你的结论．
【解】△PDH的周长不发生变化．
证明：如图，过点B作BQ⊥PH，垂足
为Q. 由(1)知∠APB＝∠BPH.
又∵∠A＝∠BQP＝90°，BP＝BP，∴△ABP≌△QBP.∴AP＝QP，AB＝QB.
又∵AB＝BC，∴BC＝BQ.
又∵∠C＝∠BQH＝90°，BH＝BH，∴Rt△BCH≌Rt△BQH.∴CH＝QH.
∴△PDH的周长为PD＋DH＋PH＝AP＋PD＋DH＋ HC＝AD＋CD＝8.
∴△PDH的周长不发生变化．
