(共40张PPT)
关于概率的综合题型
专题(五)
【2023·济宁模拟】梁山县某学校在落实“双减”的背景下，决定在课后延时服务中组织学生开展社团活动，现准备开设手工、摄影、航模、编程四门校本课程，规定每名学生必须且只能选修一门校本课程，学校对七年级学生选修校本课程的情况进行了抽样调查，根据调查结果绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．
1
请你根据统计图提供的信息，解答下列问题：
(1)补全条形统计图和扇形统计图；
解：2 800×35%×20%＝196(名)．
∴约有196名女生会选择“航模”课程．
(2)若本次调查中选择“航模”课程中的女生占20%，则在全校2 800名学生中，请你估计约有多少名女生会选择“航模”课程；
解：画树状图如图．
(3)将2名选修“航模”课程的学生和2名选修“编程”课程的学生编为一组，再从中随机抽取2人，请用画树状图的方法求出2人都选修“航模”课程的概率．
2
【2023·济宁】某学校为扎实推进劳动教育，把学生参与劳动教育情况纳入积分考核．学校随机抽取了部分学生的劳动积分(积分用x表示)进行调查，整理得到如下不完整的统计表和扇形统计图．
等级 劳动积分 人数
A x≥90 4
B 80≤x＜90 m
C 70≤x＜80 20
D 60≤x＜70 8
E x＜60 3
15
请根据以上图表信息，解答下列问题：
(1)统计表中m＝________，C等级对应扇形的圆心角度数为________；
144°
(2)学校规定劳动积分大于或等于80的学生为“劳动之星”．若该学校共有学生2 000人，请估计该学校“劳动之星”大约有多少人；
解：画树状图如图所示．
(3)A等级中有两名男同学和两名女同学，学校从A等级中随机选取2人进行经验分享，请用列表法或画树状图法，求恰好选取一名男同学和一名女同学的概率．
3
在甲、乙两个不透明的口袋中，分别装有大小、材质完全相同的小球，其中甲口袋中的四个小球上分别标有数字1，2，3，4，乙口袋中的三个小球上分别标有数字2，3，4，先从甲口袋中任意摸出一个小球，记下数字为m，再从乙口袋中任意摸出一个小球，记下数字为n．
解：画树状图如图所示．
(1)请用列表或画树状图的方法表示出所有可能的结果．
(2)小明和小利做游戏，规定：若m，n都是方程 x2－5x＋6＝0的解，则小明获胜；若m，n都不是方程 x2－5x＋6＝0的解，则小利获胜．他们两人中谁获胜的概率大？
解：由x2－5x＋6＝0，解得x＝2或x＝3.
由树状图可知共有12种等可能的结果，其中m，n都是方程x2－5x＋6＝0的解的结果有4种：(2，2)，(2，3)，(3，2)，(3，3)，其中m，n都不是方程x2－5x＋6＝0的解的结果有2种：(1，4)，(4，4)，
4
【2022·遵义】如图，甲、乙两个带指针的转盘分别被分成三个面积相等的扇形(两个转盘除表面的数不同外，其他完全相同)，转盘甲上的数分别是－6，－1，8，转盘乙上的数分别是－4，5，7(规定：指针恰好停留在分界线上，则重新转一次)．
(1)转动转盘，转盘甲的指针指向正数的概率是________；转盘乙的指针指向正数的概率是________．
解：列表如下：
(2)若同时转动两个转盘，转盘甲的指针所指的数记为a，转盘乙的指针所指的数记为b，请用列表法或画树状图法求满足a＋b<0的概率．
a b －6 －1 8
－4 －6＋(－4)＝－10 －1＋(－4)＝－5 8＋(－4)＝4
5 －6＋5＝－1 －1＋5＝4 8＋5＝13
7 －6＋7＝1 －1＋7＝6 8＋7＝15
5
【2022·玉林】问题情境：在数学探究活动中，老师给出了如图所示的图形及下面三个等式：①AB＝AC；②DB＝DC；③∠BAD＝∠CAD．若以其中两个等式作为已知条件，能否得到余下一个等式成立？
解决方案：探究△ABD 与△ACD全等．
全等
问题解决：
(1)当选择①②作为已知条件时，△ABD与△ACD全等吗？________(填“全等”或“不全等”)，理由是_____________________________________；
三边对应相等的两个三角形全等
解：画树状图如图．
(2)当任意选择两个等式作为已知条件时，请用画树状图法或列表法求△ABD ≌△ACD的概率．
6
解：列表如下：
(1)请用列表法或画树状图法列出点P所有可能的坐标；
(2)在平面直角坐标系中，⊙O的圆心在原点，半径为2，求点P在⊙O内的概率．
【点技巧】
本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．用到的知识为：概率＝所求情况数与总情况数之比、勾股定理以及点与圆的位置关系．
7
在－3，－2，－1，0，1，2，3这七个数中，随机取出一个数，记为a，那么使得关于x的二次函数
y＝(3－a)x2＋2x＋1的图象与x轴有交点的概率为( )
【答案】 C
【点拨】
8
【2022·常州】在5张相同的小纸条上，分别写有语句：①函数表达式为y＝x；②函数表达式为y＝x2；③函数的图象关于原点对称；④函数的图象关于y轴对称；⑤函数值y随自变量x增大而增大．将这5张小纸条做成5支签，①②放在不透明的盒子A中搅匀，③④⑤放在不透明的盒子B中搅匀．
(1)从盒子A中任意抽出1支签，抽到①的概率是________；
解：画出树状图如图．
(2)先从盒子A中任意抽出1支签，再从盒子B中任意抽出1支签．求抽到的2支签中的小纸条上的语句对函数的描述相符合的概率．
9
4张相同的卡片上分别写有数－1，－3，4，6，将卡片的背面朝上，并洗匀．
(1)从中任意抽取1张，抽到的数是奇数的概率是________．
(2)从中任意抽取1张，并将所取卡片上的数作为一次函数y＝kx＋b中的k的值；再从余下的卡片中任意抽取 1张，并将所取卡片上的数作为一次函数y＝kx＋b中的b的值．利用画树状图或列表的方法，求这个一次函数的图象经过第一、二、四象限的概率．(共27张PPT)
求概率的方法
微专题1
【2022·德州】假期前，小明家设计了三种度假方案：参观动植物园、看电影、近郊露营．妈妈将三种方案分别写在三张相同的卡片上，小明随机抽取1张后，放回并混在一起，姐姐再随机抽取1张，则小明和姐姐抽取的度假方案相同的概率是________．
1
【点拨】
把三种度假方案：参观动植物园、看电影、近郊露营分别记为A，B，C，画树状图如图．
2
【2022·淮安】一只不透明的袋子中装有3个大小、质地完全相同的乒乓球，球面上分别标有数字1，2，3，搅匀后先从袋子中任意摸出1个球，记下数字后放回，搅匀后再从袋子中任意摸出1个球，记下数字．
解：画树状图如图．
(1)第一次摸到标有偶数的乒乓球的概率是________；
(2)用画树状图或列表等方法求两次都摸到标有奇数的乒乓球的概率．
3
【2022·淄博】某中学积极落实国家“双减”教育政策，决定增设“礼仪”“陶艺”“园艺”“厨艺”及“编程”五门校本课程以提升课后服务质量，促进学生全面健康发展．为优化师资配备，学校面向七年级参与课后服务的部分学生开展了“你选修哪门课程(要求必须选修一门且只能选修一门)？”的随机问卷调查，并根据调查数据绘制了如图所示的两幅不完整的统计图：
120
请结合上述信息，解答下列问题：
(1)共有________名学生参与了本次问卷调查；“陶艺”在扇形统计图中所对应的圆心角是________°；
99
【点拨】
(2)补全调查结果的条形统计图；
解：把“礼仪”“陶艺”“园艺”“厨艺”及“编程”五门校本课程分别记为A，B，C，D，E，画树状图如图．
(3)小刚和小强分别从“礼仪”等五门校本课程中任选一门，请用列表法或画树状图法求出两人恰好选到同一门课程的概率．
4
一个不透明的口袋中装有四个完全相同的小球，上面分别标有数字1，2，3，4．
(1)从口袋中随机摸出一个小球，求摸出小球上的数字是奇数的概率(直接写出结果)；
解：画树状图如图．
(2)先从口袋中随机摸出一个小球，将小球上的数字记为x，再从剩下的三个小球中随机摸出一个小球，将小球上的数字记为y．请用列表法或画树状图法，求由x，y确定的点(x，y)在函数y＝－x＋4的图象上的概率．
5
在3张相同的小纸条上，分别写上条件：①四边形ABCD是菱形；②四边形ABCD有一个内角是直角；
③四边形ABCD的对角线相等．
将这3张小纸条做成3支签，放在一个不透明的盒子中．
(1)搅匀后从中任意抽出1支签，抽到条件①的概率是________；
解：列表如下：
(2)搅匀后先从中任意抽出1支签(不放回)，再从余下的2支签中任意抽出1支签．四边形ABCD同时满足抽到的2支签上的条件，求四边形ABCD一定是正方形的概率．
第二次 第一次 ① ② ③
① — ①② ①③
② ②① — ②③
③ ③① ③② —
6
【2023·福建】为促进消费，助力经济发展，某商场决定“让利酬宾”，于“五一”期间举办了抽奖促销活动．活动规定：凡在商场消费一定金额的顾客，均可获得一次抽奖机会．抽奖方案如下：从装有大小质地完全相同的1个红球及编号为①②③的3个黄球的袋中，随机摸出1个球，若摸得红球，则中奖，可获得
奖品；若摸得黄球，则不中奖．同时，还允许未中奖的顾客将其摸得的球放回袋中，并再往袋中加入1个红球或黄球(它们的大小质地与袋中的4个球完全相同)，然后从中随机摸出1个球，记下颜色后不放回，再从中随机摸出1个球，若摸得的两球的颜色相同，则该顾客可获得精美礼品一份．现已知某顾客获得抽奖机会．
(1)求该顾客首次摸球中奖的概率；
解：他应往袋中加入黄球．理由如下：
记往袋中加入的球为“新”，摸得的两球
所有可能的结果列表如下：
(2)假如该顾客首次摸球未中奖，为了有更大机会获得精美礼品，他应往袋中加入哪种颜色的球？说明你的理由．
第二球 第一球 红 黄① 黄② 黄③ 新
红 — 红，黄① 红，黄② 红，黄③ 红，新
黄① 黄①，红 — 黄①，黄② 黄③ 黄①，新
黄② 黄②，红 黄②，黄① — 黄③ 黄②， 新
黄③ 黄③，红 黄③，黄① 黄③，黄② — 黄③， 新
新 新，红 新，黄① 新，黄② 新，黄③ —(共26张PPT)
全章热门考点整合应用
【2023·山西】中国古代的“四书”是指《论语》《孟子》《大学》《中庸》，它是儒家思想的核心著作，是中国传统文化的重要组成部分，若从这四本著作中随机抽取两本(先随机抽取一本，不放回，再随机抽取另一本)，则抽取的两本恰好是《论语》和《大学》的概率是________．
1
【点拨】
画树状图如图所示．
2
【2023·黄冈】打造书香文化，培养阅读习惯，崇德中学计划在各班建图书角，开展以“我最喜欢阅读的书籍”为主题的调查活动，学生根据自己的爱好选择一类书籍(A：科技类，B：文学类，C：政史类，D：艺术类，E：其他类)．张老师组织数学兴趣小组对学校部分学生进行了问卷调查，根据收集到的数据，绘制了两幅不完整的统计图(如图所示)．
18
根据图中信息，请回答下列问题；
(1)条形图中的m＝________，n＝________，文学类书籍对应扇形的圆心角等于________度；
6
72
(2)若该校有2 000名学生，请你估计最喜欢阅读政史类书籍的学生人数；
解：画树状图如图所示．
(3)甲同学从A，B，C三类书籍中随机选择一类，乙同学从B，C，D三类书籍中随机选择一类，请用画树状图法或者列表法求甲、乙两名同学选择相同类别书籍的概率．
3
某毛绒玩具厂对一批毛绒玩具进行质量抽检的结果如下：
抽取的毛绒玩具数 20 50 100 200 500 1000 1500 2000
优等品的频数 19 47 91 184 462 921 1379 1846
优等品的频率 0.950 0.940 0.910 0.920 0.924 0.921 0.919 0.923
0.92
从这批玩具中，任意抽取一个玩具是优等品的概率的估计值是________．(精确到0.01)
4
在一个不透明的盒子里装有只有颜色不同的黑、白两种球共40个，小颖做摸球试验，她将盒子里的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把球放回盒子里，不断重复上述过程，下表是试验中的一组统计数据：
摸球的次数n 100 200 300 500 800 1 000
摸到白球的次数m 65 124 178 302 481 599
摸到白球的频率 0.65 0.62 0.59 0.60 0.60 0.60
0.6
(1)请估计：当n很大时，摸到白球的频率将会稳定于________．(精确到0.1)
(2)摸一次球，摸到白球的概率为________．
0.6
解：盒子里白球约有40×0.6＝24(个)，
盒子里黑球约有40－24＝16(个)．
(3)试估算盒子里黑球和白球各有多少个．
5
如图，A，B是边长为1的正方形网格上的两个格点，在格点中任意放置点C，恰好能使△ABC的面积为1的概率是( )
【答案】 A
【点拨】
6
【2023·青岛即墨区一模】如图，有四张反面完全相同的纸牌A，B，C，D，其正面分别画有四个不同的几何图形，将四张纸牌洗匀正面朝下放在桌面上．
(1)从四张纸牌中随机摸出一张，摸出的牌面图形是中心对称图形的概率是________．
(2)小明和小亮约定做一个游戏，其规则为：先由小明随机摸出一张，不放回．再由小亮从剩下的纸牌中随机摸出一张，若摸出的两张牌面图形既是轴对称图形又是中心对称图形，则小亮获胜，否则小明获胜．这个游戏公平吗？请用列表法(或画树状图法)说明理由．若不公平，请你帮忙修改一下游戏规则，使游戏公平．
解：游戏不公平．理由如下：列表如下：
小亮 小明 A B C D
A — (A，B) (A，C) (A，D)
B (B，A) — (B，C) (B，D)
C (C，A) (C，B) — (C，D)
D (D，A) (D，B) (D，C) —
【点技巧】
本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏地列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；画树状图法适合两步或两步以上完成的事件．解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．正确分析两次摸牌所有可能结果是关键，识别中心对称图形是要点.
7
一个口袋中放有红球、白球和黑球若干个，每个球除了颜色以外没有任何区别，已知红球比黑球多1个，比白球少3个．小王通过大量重复试验(每次取1个球，放回搅匀后再取第2个)发现，取出黑球的频率稳定在左右．
(1)请你估计口袋中黑球的数量；
经检验，x＝6是原方程的解且符合题意．
所以x－1＝5.
因此估计口袋中黑球的数量是5个．
(2)若小王从口袋中任意取出1个球是白球，将它放在桌上，闭上眼睛从口袋中再任意取出1个球，取出红球的概率是多少？(共28张PPT)
用频率估计概率
用频率估计概率
6.3.1
【母题：教材P81随堂练习T2】某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如下：
1
射击次数 20 80 100 200 400 1 000
“射中九环以上”的次数 18 68 82 168 327 823
“射中九环以上”的频率(结果保留两位小数) 0.90 0.85 0.82 0.84 0.82 0.82
B
根据频率的稳定性，估计这名运动员射击1次时“射中九环以上”的概率约是( )
A．0.90
B．0.82
C．0.85
D．0.84
1 080
2
某工厂对一批衬衣进行抽检，随机抽检大量的衬衣后，算得合格衬衣的频率为0.9．估计在这一批衬衣中，
1 200件衬衣中有________件是合格的．
【点拨】
∵1 200×0.9＝1 080(件)，
∴1 200件衬衣中有1 080件是合格的．
3
两名同学在一次用频率估计概率的试验中统计了某一结果出现的频率，绘制出统计图如图所示，则符合这一结果的试验可能是( )
A．抛一枚硬币，出现正面朝上
B．掷一枚正六面体的骰子，出现点数是3的倍数
C．将一副新的扑克牌(54张)洗匀后，随机抽一张，抽出牌上的数字为“3”
D．从装有3个红球和1个蓝球(4个球除颜色外均相同)的不透明口袋中，任取一个球恰好是蓝球
【点拨】
【答案】 B
4
如图①，平整的地面上有一个不规则的图案(图中阴影部分)，小明想了解该图案的面积是多少，他采用了以下办法：用一个长为5 m，宽为4 m的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地朝长方形区域内扔小球，并记录小球落在不规则图案内的次数(小球落在边界线上或长方形区域外不计试验结果)，
他将若干次有效试验的结果绘制成了如图②所示的折线统计图，由此他估计不规则图案的面积大约为( )
A．6 m2 B．7 m2 C．8 m2 D．9 m2
【答案】 B
【点拨】
5
不透明的盒子中装有红色、黄色的小球共20个，除颜色外无其他差别，随机摸出一个小球，记录颜色后放回并摇匀，再随机摸出一个，如图显示了某数学小组开展上述摸球活动的某次试验的结果．下面四个推断：①当摸球次数是300时，记录“摸到红球”的次数是99，所以“摸到红球”的概率是0.33；
②随着试验次数的增加，“摸到红球”的频率总在0.35附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“摸到红球”的概率是0.35；③根据本次试验结果计算出盒子中约有红球7个；④若再次开展上述摸球活动，则当摸球次数为500时，“摸到红球”的频率一定是0.40．其中正确的是( )
A．①② B．①③ C．②③ D．②④
①当摸球次数是300时，记录“摸到红球”的次数是99，所以“摸到红球”的频率为0.33，故①错误；②随着试验次数的增加，“摸到红球”的频率总在0.35附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“摸到红球”的概率是0.35，故②正确；③根据本次试验结果计算出盒子中约有红球20×0.35＝7(个)，故③正确；④若再次开展上述摸球活动，则当摸球次数为500时，“摸到红球”的频率可能是0.40，故④错误.
【答案】 C
【点拨】
6
试验次数 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000
相交频数 495 623 799 954 1123 1269 1434 1590
相交频率 0.3300 0.3115 0.3196 0.3180 0.3209 0.3173 0.3187 0.3180
0.318
可以估计出针与直线相交的概率为________(精确到0.001)，由此估计π的近似值为________(精确到0.001)．
3.145
【点拨】
7
一个不透明的箱子里装有3个红色小球和若干个白色小球，每个小球除颜色外其他完全相同，每次把箱子里的小球摇匀后随机摸出一个小球，记下颜色后再放回箱子里，通过大量重复试验后，发现摸到红色小球的频率稳定于0.75左右．
(1)请你估计箱子里白色小球的个数．
解：画树状图如图．
(2)现从该箱子里摸出1个小球，记下颜色后放回箱子里，摇匀后，再摸出1个小球，求两次摸出的小球颜色恰好不同的概率(用画树状图或列表的方法)．
8
某商场设立了一个可以自由转动的转盘(如图)，并规定：顾客购物10元以上就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品．下表是活动进行中的一组统计数据：
(1)填写表中的空格．
转动转盘 的次数n 100 150 200 500 800 1 000
落在“铅笔” 区域的频数m 68 111 136 345 564 701
落在“铅笔” 区域的频率 0.68 0.74 0.68 0.69 0.705
0.701
0.7
(2)指针落在“铅笔”区域的频率稳定在______(精确到0.1)；顾客获得铅笔的概率估计值为________(精确到0.1)．
0.7
解：表示“可乐”区域的扇形的圆心角约是
360°×(1－0.7)＝108°.
(3)在该转盘中，表示“可乐”区域的扇形的圆心角约是多少度？(共24张PPT)
生活中的概率
6.2
【2023·泰安期末】某天气预报显示“泰山景区明天的降水概率为85%”，对这条信息的说法中，正确的是( )
A．泰山景区明天将有85%的时间下雨
B．泰山景区明天将有85%的地区下雨
C．泰山景区明天下雨的可能性较大
D．泰山景区明天下雨的可能性较小
C
1
C
2
下列说法正确的是( )
A．若你在上一个路口遇到绿灯，则在下一个路口必遇到红灯
B．某篮球运动员2次罚球，投中一个，则可断定他罚球命中的概率一定为50%
C．“明天济南会下雨”是随机事件
D．某种彩票中奖的概率是1%，则买100张该种彩票一定会中奖
3
某商店举办有奖销售活动，方式如下：凡购物满100元者得奖券一张，多购多得，每10 000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖50个，二等奖100个，那么买100元商品的中奖概率是( )
【答案】 D
【点拨】
4
甲、乙、丙、丁四人玩抛硬币游戏．甲说：由于抛一枚硬币正面和反面朝上的概率一样，所以抛10次，一定会有5次正面朝上；乙说：连续抛硬币10次，若前9次都是正面朝上，则第10次一定是反面朝上；丙说：不一定，连续抛硬币10次，若前9次都是正面朝上，
D
则第10次应该是反面朝上的概率大于正面朝上；丁说：我认为，连续抛硬币10次，虽然前9次都是正面朝上，但第10次正面和反面朝上的概率仍然一样，各占50%．你认为上面四人说法正确的是( )
A．甲 B．乙
C．丙 D．丁
5
在一个不透明的袋中装有红、白两种颜色的球，它们除颜色外没有其他区别，其中红球若干个，白球5个，袋中的球已搅匀，若从袋中随机取出1个球，取出红球的可能性大，则红球的数量是( )
A．4个 B．5个
C．不足4个 D．6个或6个以上
D
6
【2023·东营】随着新课程标准的颁布，为落实立德树人根本任务，东营市各学校组织了丰富多彩的研学活动，得到家长、社会的一致好评．某中学为进一步提高研学质量，着力培养学生的核心素养，选取了A．“青少年科技馆”，B．“黄河入海口湿地公园”，C．“孙子文化园”，D．“白鹭湖营地”四个研学基地进行研学．
为了解学生对以上研学基地的喜欢情况，随机抽取部分学生进行调查统计(每名学生只能选择一个研学基地)，并将调查结果绘制成了两幅不完整的统计图(如图所示)．
24
请根据统计图中的信息解答下列问题：
(1)在本次调查中，一共抽取了________名学生，在扇形统计图中A所对应扇形的圆心角度数为________；
30°
解：C的人数为24×25%＝6(名)，
D的人数为24－12－6－2＝4(名)，
将条形统计图补充完整如图所示．
(2)将上面的条形统计图补充完整；
解：480×25%＝120(名)，
答：估计选择研学基地C的学生人数约为120名．
(3)若该校共有480名学生，请你估计选择研学基地C的学生人数；
解：选择研学基地D的学生中恰有两名女生，
则有两名男生，画树状图如图所示：
(4)学校想从本次调查的选择研学基地D的学生中选取两名学生了解他们对研学活动的看法，已知选择研学基地D的学生中恰有两名女生，请用列表或画树状图的方法求出所选两人都是男生的概率．
7
A，B两人去茅山风景区游玩，已知每天某一时段开往风景区有三辆舒适程度不同的车，开过来的顺序也不确定．两人采取了不同的乘车方案：
A无论如何总是上开来的第一辆车；B先观察后上车，当第一辆车开来时他不上车，而是仔细观察车的舒适度，如果第二辆车的状况比第一辆车好，他就上第二辆车；如果第二辆车不比第一辆车好，他就上第三辆车．
解：三辆车按出现的先后顺序共有6种不同的可能．
列表如下：
如果把这三辆车的舒适程度分为上、中、下三等，请解决下列问题：
(1)三辆车按出现的先后顺序共有哪几种不同的可能？
第1辆 第2辆 第3辆
上 中 下
上 下 中
中 上 下
中 下 上
下 中 上
下 上 中
(2)你认为A，B两人采用的方案，哪种方案使自己乘上等车的可能性大？
8
一次抽奖活动设置如下的翻奖牌，翻奖牌的正面、反面如图①②所示，如果你只能在9个数字中选中一个翻牌，请解决下面的问题：
(1)直接写出抽到“手机”奖品的可能性的大小；
(2)每张翻奖牌只能翻一次，翻过的不能再翻．若第一次没有抽到“手机”奖品，请求出第二次抽到“手机”奖品的可能性的大小；
解：设计九张牌中有四张写着球拍，其他的五张牌中手机、微波炉、电影票各一张，谢谢参与两张．(答案不唯一)
【点技巧】
依据概率的大小设置合理的问题情境的方法有多种，只要能够符合实际、满足题目要求均可，不必拘泥于唯一的答案．(共31张PPT)
用树状图或表格求概率
用概率玩“ 配紫色”游戏
6.1.3
用如图所示的两个转盘(分别进行四等分和三等分)进行 “配紫色”的游戏，分别转动两个转盘(指针指向区域分界线时，重新转动)，则可配成紫色的概率为( )
1
【点拨】
列表如下：
红 蓝 蓝 蓝
红 (红，红) (蓝，红) (蓝，红) (蓝，红)
红 (红，红) (蓝，红) (蓝，红) (蓝，红)
蓝 (红，蓝) (蓝，蓝) (蓝，蓝) (蓝，蓝)
【答案】 A
2
两人做游戏，游戏者同时转动如图所示的两个转盘进行“配紫色”游戏(蓝色与红色可配成紫色)，则游戏者配成紫色的概率为( )
【答案】 C
【点拨】
3
【2023·青岛崂山区期中】用图中两个可以自由转动的转盘做游戏，分别转动两个转盘，若其中一个转出红色，另一个转出蓝色即可配成紫色，则配不成紫色的概率是________．
【点拨】
画树状图如图．
4
一天晚上，小慧帮助妈妈清洗两个只有颜色不同的有盖茶杯(杯、盖形状不同)，突然停电了，小慧只好把杯盖和茶杯随机地搭配在一起，则颜色搭配正确的概率为________．
【点拨】
用A和a分别表示第一个有盖茶杯的杯盖和茶杯；用B和b分别表示第二个有盖茶杯的杯盖和茶杯．
5
在两个不透明的口袋里均放1个红球、1个蓝球(它们仅颜色不同)，从第1个口袋里摸1个球，记下颜色后，放到第2个口袋里摇匀，再从第2个口袋里摸1个球，则两次摸到的球颜色能配成紫色的概率是( )
【点拨】
画树状图如图．
【答案】 C
6
一个口袋中装有质地、大小完全相同的红、黄、蓝球各一个，每次任取一个球，有放回地取3次，则：
(1)“三次都取到红球”的概率是________；
(2)“三次取到颜色相同的球”的概率是________；
(3)“三次取到颜色均不同的球”的概率是________．
【点拨】
画树状图如图．
7
【母题：教材P77习题T1】小颖和小亮都想去观看“垃圾分类”宣传演出，但只有一张入场券，于是他们设计了一个“配紫色”游戏：如图，A，B是两个可以自由转动的转盘，每个转盘都被分成面积相等的几个扇形．同时转动两个转盘，如果其中一个转盘转出了红色，另一个转盘转出了蓝色，那么可以配成紫色．
解：这个游戏对双方公平．
理由如下：用列表法表示所有可能出现的结果如下：
若配成紫色，则小颖去观看，否则小亮去观看．这个游戏对双方公平吗？请说明理由．
B转盘 A转盘 蓝 蓝 红
蓝 蓝蓝 蓝蓝 蓝红
红 红蓝 红蓝 红红
8
如图，有大小、质地相同仅颜色不同的两双拖鞋(分左、右脚)共四只，放置于地板上．【两双拖鞋可表示为(A1，A2)，(B1，B2)，其中A1，B1表示左脚拖鞋，A2，B2表示右脚拖鞋．本题用“长方形”表示拖鞋】
解：列表如下：
(1)若先从两只左脚拖鞋中取一只，再从两只右脚拖鞋中随机取一只，求恰好匹配成一双相同颜色的拖鞋的概率；
第二次 第一次 A2 B2
A1 A1，A2 A1，B2
B1 B1，A2 B1，B2
解：列表如下：
(2)若从这四只拖鞋中随机取出两只，利用树状图或表格列举出所有可能出现的情况，并求恰好匹配成一双相同颜色的拖鞋的概率．
第二次 第一次 A1 A2 B1 B2
A1 A1，A2 A1，B1 A1，B2
A2 A2，A1 A2，B1 A2，B2
B1 B1，A1 B1，A2 B1，B2
B2 B2，A1 B2，A2 B2，B1
9
现有两个不透明的口袋分别为甲口袋和乙口袋，甲口袋中装有红、黄、蓝三个小球(除颜色不同外，其余都相同)，乙口袋中装有红、黄、蓝、绿四个小球(除颜色不同外，其余都相同)，小马和小朱用两个口袋玩“配绿色”游戏．游戏规则如下：小马从甲口袋中任意摸出一个小球，小朱从乙口袋中任意摸出一个小球，如果摸出的两个小球的颜色相同或配成绿色(黄色和蓝色可配成绿色)，则小马获胜，否则小朱获胜．
解：画树状图如图．
(1)请你用画树状图或列表的方法表示小马、小朱分别从甲、乙两个口袋中任意摸出一个小球的所有可能的结果．
(2)你认为这个游戏对双方公平吗？请说明理由；若不公平，请你修改规则使游戏对双方公平．
解：(答案不唯一)设计如图所示的两个转盘，每个转盘被分成面积相等的扇形．
10(共31张PPT)
用树状图或表格求概率
用概率判断游戏规则的公平性
6.1.2
甲、乙两人一起玩如图所示的转盘游戏，将两个转盘各转一次，指针指向的数的和为正数，甲胜，否则乙胜，这个游戏( )
A．公平
B．对甲有利
C．对乙有利
D．公平性不可预测
1
【点拨】
画树状图如图．
【答案】 A
2
“石头、剪刀、布”是我国古老的民间游戏，游戏规定：石头胜剪刀，剪刀胜布，布胜石头，两人的手势相同，不分胜负．在学校组织的“共情陪伴，健康同行”亲子运动会上，爸爸和小亮用这种方式决定“打乒乓球”的发球权．从概率的角度思考这个游戏是否公平？( )
A．公平 B．对爸爸有利
C．对小亮有利 D．不能判断
【点拨】
列表如下：
小亮 爸爸 石头 剪刀 布
石头 (石头，石头) (剪刀，石头) (布，石头)
剪刀 (石头，剪刀) (剪刀，剪刀) (布，剪刀)
布 (石头，布) (剪刀，布) (布，布)
【答案】 A
3
有两个信封，第一个信封内的四张卡片上分别写有1，2，3，4，第二个信封内的四张卡片上分别写有5，6，7，8，甲、乙两人商定了一个游戏：从这两个信封中各随机抽取一张卡片，得到两个数．则下列游戏规则对双方不公平的是( )
A．第一个信封内取出的数作为横坐标，第二个信封内取出的数作为纵坐标，所确定的点在直线y＝x＋4上，甲获胜；所确定的点在直线y＝－x＋8上，乙获胜
B．取出的两个数乘积不大于15甲获胜，否则乙获胜
C．取出的两个数乘积不小于20甲得5分，否则乙得3分，游戏结束后，累计得分高的人获胜
D．取出的两个数相加，如果得到的和为奇数，甲获胜，否则乙获胜
【点拨】
画树状图如图．
【答案】 A
4
如图，有8张标记数字1～8的卡片．甲、乙两人玩一个游戏，规则是：甲、乙两人轮流从中取走卡片；每次可以取1张，也可以取2张，还可以取3张(取2张或3张卡片时，卡片上标记的数字必须连续)；最后一个将卡片取完的人获胜．
甲
若甲先取走标记2，3的卡片，乙又取走标记7，8的卡片，接着甲取走2张卡片，则________(填“甲”或“乙”)一定获胜；若甲首次取走标记1，2，3的卡片，乙要保证一定获胜，则乙首次取卡片的方案是_______________________．(只填一种方案即可)
取走标记5，6，7的卡片
(答案不唯一)
若甲先取走标记2，3的卡片，乙又取走标记7，8的卡片，接着甲取走2张卡片，为4，5或5，6，然后乙只能取走1张卡片，最后甲将1张卡片取完，则甲一定获胜．若甲首次取走标记1，2，3的卡片，乙要保证一定获胜，则乙首次取卡片的方案可以为取走标记5，6，7的卡片，理由如下：乙取走标记5，6，7的卡片，则甲再取走标记4或8的卡片，最后乙取走标记8或4的卡片，乙一定获胜．
【点拨】
5
【2023·青岛市北区一模】小明、小亮、小芳和两个陌生人甲、乙同时在如图所示的地下车库乘上电梯，已知甲、乙到1至4层的任意一层出电梯．
(1)求甲、乙二人在同一层楼出电梯的概率；
解：列表如下：
甲 乙 1 2 3 4
1 (1，1) (2，1) (3，1) (4，1)
2 (1，2) (2，2) (3，2) (4，2)
3 (1，3) (2，3) (3，3) (4，3)
4 (1，4) (2，4) (3，4) (4，4)
(2)小亮和小芳打赌：若甲、乙在同一层或相邻楼层出电梯，则小亮胜，否则小芳胜．该游戏是否公平？
【点方法】
游戏中事件发生的概率相等，则游戏是公平的，否则游戏不公平．对于不公平的游戏，可以修改游戏规则使得游戏公平．
6
【2022·云南】某班甲、乙两名同学被推荐到学校艺术节上表演节目，计划用葫芦丝合奏一首乐曲．要合奏的乐曲是用游戏的方式在《月光下的凤尾竹》与《彩云之南》中确定一首．
游戏规则如下：在一个不透明的口袋中装有分别标有数字1，2，3，4的四个小球(除数字外，其余都相同)，甲从口袋中任意摸出1个小球，小球上的数字记为a．在另一个不透明的口袋中装有分别标有数字1，2的两张卡片(除数字外，其余都相同)，乙从口袋中任意摸出1张卡片，卡片上的数字记为b．然后计算这两个数字的和，即a＋b．若a＋b为奇数，则合奏《月光下的凤尾竹》；否则，合奏《彩云之南》．
解：列表如下：
(1)用列表法或画树状图法求(a，b)所有可能出现的结果．
a b 1 2 3 4
1 (1，1) (2，1) (3，1) (4，1)
2 (1，2) (2，2) (3，2) (4，2)
(2)你认为这个游戏公平吗？如果公平，请说明理由；如果不公平，哪一首乐曲更可能被选中？
7
如图①，一枚质地均匀的正四面体骰子，它有四个面，并分别标有1，2，3，4 四个数字；如图②，等边三角形ABC的三个顶点处各有一个圆圈，丫丫和甲甲想玩跳圈游戏，游戏的规则为：游戏者从圈A起跳，每投掷一次骰子，骰子着地的一面的数字是几，就沿着三角形的边逆时针方向连续跳跃几个边长．
如：若第一次掷得的数字为2，就逆时针连续跳2个边长，落到圈C；若第二次掷得的数字为4，就从圈C继续逆时针连续跳4个边长，落到圈A．
(1)丫丫随机投掷一次骰子，她跳跃后落回到圈A的概率为________．
(2)丫丫和甲甲一起玩跳圈游戏：丫丫随机投掷一次骰子，甲甲随机投掷两次骰子，都以最终落回到圈A为胜者．这个游戏规则公平吗？请说明理由．
【点拨】
游戏中事件发生的概率相等意味着游戏公平．(共39张PPT)
用树状图或表格求概率
用树状图或表格求概率
6.1.1
【2022·北京】不透明的袋子中装有红、绿小球各一个，除颜色外两个小球无其他差别．从中随机摸出一个小球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，那么第一次摸到红球、第二次摸到绿球的概率是( )
1
【答案】 A
【点拨】
列表如下：
第一次 第二次 红 绿
红 (红，红) (绿，红)
绿 (红，绿) (绿，绿)
2
【2022·山西】“二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”．小文购买了“二十四节气”主题邮票，如图，他要将“立春”“立夏”“秋分”“大寒”四张邮票中的两张送给好朋友小乐．小文将它们背面朝上放在桌面上(邮票背面完全相同)，让小乐从中随机抽取一张(不放回)，再从中随机抽取一张，则小乐抽到的两张邮票恰好是“立春”
和“立夏”的概率是( )
【点拨】
列表如下：
第1张 第2张 立春 立夏 秋分 大寒
立春 — 立夏，立春 秋分，立春 大寒，立春
立夏 立春，立夏 — 秋分，立夏 大寒，立夏
秋分 立春，秋分 立夏，秋分 — 大寒，秋分
大寒 立春，大寒 立夏，大寒 秋分，大寒 —
【答案】 C
3
【点拨】
根据题意列表如下：
4
【跨学科】如图所示的电路图中，同时闭合两个开关能形成闭合电路的概率是( )
【答案】 B
【点拨】
5
【2022·枣庄】在践行“安全在我心中，你我一起行动”的主题手抄报评比活动中，共设置“交通安全” “消防安全” “饮食安全” “防疫安全”四个主题内容，推荐两名学生参加评比，若他们每人从以上四个主题内容中随机选取一个，则两人恰好选中同一主题的概率是( )
【答案】 D
【点拨】
6
【2023·临沂】在项目化学习中，“水是生命之源”项目组为了解本地区人均淡水消耗量，需要从四名同学(两名男生，两名女生)中随机抽取两人，组成调查小组进行社会调查，恰好抽到一名男生和一名女生的概率是( )
【答案】 D
【点拨】
画树状图如图所示．
7
【2023·菏泽】用数字0，1，2，3组成个位数字与十位数字不同的两位数，其中是偶数的概率为________．
【点拨】
画树状图如图所示．
8
有5张看上去无差别的卡片，正面分别写着1，2，3，4，5，洗匀后正面向下放在桌子上，从中随机抽取2张，抽出的卡片上的数字恰好是两个连续整数的概率是________．
【点拨】
本题是不放回试验，不可能抽到2张数字相同的卡片，因此在列表时需要去掉数字相同的情况．列表如下：
1 2 3 4 5
1 — 1，2 1，3 1，4 1，5
2 2，1 — 2，3 2，4 2，5
3 3，1 3，2 — 3，4 3，5
4 4，1 4，2 4，3 — 4，5
5 5，1 5，2 5，3 5，4 —
9
【新考法】【2022·安徽】随着信息化的发展，二维码已经走进我们的日常生活，其图案主要由黑、白两种小正方形组成．现对由三个小正方形组成的“□□□”进行涂色，每个小正方形随机涂成黑色或白色，恰好是两个黑色小正方形和一个白色小正方形的概率为( )
【点拨】
画树状图如图．
【答案】 B
10
若标有A，B，C的三只灯笼按如图所示方式悬挂，每次摘取一只(摘B前需先摘C)，直到摘完，则最后一只摘到B的概率是( )
【点拨】
画树状图如图．
【答案】 C
11
【母题：教材P74习题T3】有一枚质地均匀的正方体骰子，六个面上分别刻有1到6的点数．将它投掷两次，则两次掷得骰子朝上一面的点数之和为5的概率是( )
【点拨】
列表如下．
第二次 第一次 1 2 3 4 5 6
1 (1，1) (1，2) (1，3) (1，4) (1，5) (1，6)
2 (2，1) (2，2) (2，3) (2，4) (2，5) (2，6)
3 (3，1) (3，2) (3，3) (3，4) (3，5) (3，6)
4 (4，1) (4，2) (4，3) (4，4) (4，5) (4，6)
5 (5，1) (5，2) (5，3) (5，4) (5，5) (5，6)
6 (6，1) (6，2) (6，3) (6，4) (6，5) (6，6)
【答案】 A
12
【2022·武汉】班长邀请A，B，C，D四名同学参加圆桌会议．如图，班长坐在⑤号座位，四名同学随机坐在①②③④四个座位，则A，B两名同学座位相邻的概率是( )
【点拨】
画树状图如图．
【答案】 C
13
三张背面完全相同的数字牌，它们的正面分别印有数字1，2，3，将它们背面朝上，洗匀后随机抽取一张，记录牌上的数字并把牌放回，再重复这样的步骤两次，得到三个数字a，b，c，则以a，b，c为边长正好构成等腰三角形的概率是________．
【点拨】
画树状图如图．
14
如图是一个竖直放置的钉板，其中，黑色圆面表示钉板上的钉子，A1，B1，B2，…，D3，D4分别表示相邻两颗钉子之间的空隙，这些空隙大小均相等，从入口A1处投放一个直径略小于两颗钉子之间空隙的圆球，圆球下落过程中，总是碰到空隙正下方的钉子，且沿该钉子
左右两个相邻空隙继续下落的机会相等，直至圆球落入下面的某个槽内．用画树状图的方法，求圆球落入③号槽内的概率．
解：画树状图如图．
15
【2022·无锡】A袋中有3个白球、1个红球，B袋中有1个白球、1个红球，某人第一次从A袋中任意摸出一个球，放入B袋中，再将B袋中的球摇匀，第二次从B袋中任意摸出一个球，放入A袋．
(1)第一次摸出的是白球的概率是________；
解：画树状图如图．
(2)求经过二次摸球后，A袋中有2个白球、2个红球的概率．
