(共39张PPT)
圆锥的侧面积
5.10
【2022·赤峰】如图，圆锥形烟囱帽的底面半径为
12 cm，侧面展开图为半圆形，则它的母线长为( )
A．10 cm B．20 cm C．5 cm D．24 cm
1
【答案】 D
【点拨】
设母线长为R cm，由题意得，πR＝2π×12，解得R＝24，∴母线长为24 cm.
2
一个圆锥的母线长为3 cm，侧面展开图(扇形)的圆心角为120°，则这个圆锥的底面圆半径为 ( )
【答案】 A
【点拨】
120°
3
【2022·云南】某中学开展劳动实习，学生到教具加工厂制作圆锥，他们制作的圆锥，母线长为30 cm，底面圆的半径为10 cm，这种圆锥的侧面展开图的圆心角度数是________．
【点拨】
26＋10π
4
【2022·鸡西】已知圆锥的高是12，底面圆的半径为5，则这个圆锥的侧面展开图的周长为__________．
【点拨】
∵圆锥底面圆的半径是5，高是12，∴圆锥的母线长为13，∴这个圆锥的侧面展开图的周长＝2×13＋2π×5＝26＋10π.
5
【2023·东营】如果圆锥侧面展开图的面积是15π，母线长是5，则这个圆锥的底面半径是( )
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】 A
【点拨】
80π
6
用一块弧长为16π cm的扇形铁片做一个高为6 cm的圆锥形工件侧面(接缝处忽略不计)，那么这块扇形铁片的面积为________cm2．
【点拨】
7
【2022·济宁模拟】如图是某几何体的三视图及相关数据，则该几何体的全面积是( )
A．15π
B．24π
C．20π
D．10π
【答案】 B
【点拨】
3π
8
【点拨】
9
【母题：教材P59习题T4】在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝ 4，BC＝3，以AB边所在的直线为轴，将△ABC旋转一周所得几何体的表面积是________．
【点拨】
本题易因误认为以斜边所在直线为轴，将直角三角形旋转一周所得几何体的表面积是两个共底的圆锥的侧面积与一个底面积之和而致错．
10
如图，正方形ABCD的边长为4，以点A为圆心，AD长为半径，画圆弧DE得扇形DAE(阴影部分，点E在对角线AC上)，若扇形DAE正好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥底面圆的半径是( )
【答案】 D
【点拨】
3π
11
【点拨】
12
【点拨】
13
【2022·潍坊】在数学实验课上，小莹将含30°角的直角三角尺分别以两个直角边所在直线为轴旋转一周，得到甲、乙两个圆锥，并用作图软件画出如下示意图．
小亮观察后说：“甲、乙圆锥的侧面都是由三角尺的斜边AB旋转得到的，所以它们的侧面积相等．”
你认同小亮的说法吗？请说明理由．
14
如图，圆锥底面直径AB＝8，侧面积为32π，C为圆锥母线BD的中点，一只蚊子落在了C点处，若蜘蛛从A点出发，它捉到蚊子需要爬行的最短距离是多少？
15
(2)用该扇形铁皮围成一个圆锥(接缝处忽略不计)，求圆锥底面圆的半径．
16
工人师傅要在如图所示的边长为40 cm的正方形铁皮ABCD上裁剪下一块完整的圆形铁皮和一块完整的扇形铁皮，使之恰好做成一个圆锥模型．(接缝处忽略不计)
(1)请你帮助工人师傅设计三种不同的裁剪方案(画出示意图)．
解：设计的三种裁剪方案示意图如图①②③所示
(答案不唯一)．
(2)哪种裁剪方案使得正方形铁皮ABCD的利用率最高？求出此时圆锥模型底面圆的半径．(共38张PPT)
直线和圆的位置关系
直线和圆的位置关系
5.6.1
若直线m与⊙O的公共点个数不小于1，则直线m与⊙O的位置关系是( )
A．相交 B．相切
C．相交或相切 D．相离
C
1
A
2
【2022·济南期中】已知⊙O的圆心O到直线l的距离为5，⊙O的半径为3，则直线l和⊙O的位置关系为( )
A．相离 B．相切
C．相交 D．相交或相切
C
3
已知⊙O的半径是5，直线l是⊙O的切线，则圆心O到直线l的距离是( )
A．2.5 B．3
C．5 D．10
4
已知⊙O的面积为16π cm2，若点O到直线m的距离为
π cm，则直线m与⊙O的位置关系是( )
A．相交 B．相切
C．相离 D．无法确定
【答案】 A
【点拨】
设⊙O的半径是r cm，则πr2＝16π，∴r＝4.
∵点O到直线m的距离为π cm，4＞π，∴直线m与⊙O的位置关系是相交．
5
已知⊙O的半径r是一元二次方程x2－2x－3＝0的一个根，圆心O到直线l的距离d＝4，则直线l与⊙O的位置关系是________．
相离
【点拨】
∵x2－2x－3＝0，∴(x＋1)(x－3)＝0，
∴x1＝－1，x2＝3，∴⊙O的半径为r＝3.
∵圆心O到直线l的距离d＝4，∴d＞r，
∴直线l与⊙O的位置关系是相离．
相切
6
在平面直角坐标系中，已知⊙A的圆心坐标为(3，0)，直径为6，则⊙A与y轴的位置关系是________．
【点拨】
∵⊙A的圆心坐标为(3，0)，∴圆心A到y轴的距离为3.∵⊙A的直径为6，∴⊙A的半径为3.∴圆心A到y轴的距离等于⊙A的半径，∴⊙A与y轴相切．
相交或相切
7
已知直线l上有一点P到点O的距离为5 cm，⊙O的半径为5 cm，则直线l和⊙O的位置关系是____________．
【点拨】
当点P为⊙O与直线l的切点或交点时，均符合题意，故直线l与⊙O相交或相切．
【点技巧】
遇到此类问题可以通过画图帮助理解题意．
8
已知△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4．以C为圆心作⊙C，如果⊙C与斜边AB有两个公共点，那么⊙C的半径长R的取值范围是( )
【答案】 C
【点拨】
2＜r＜6
9
在平面直角坐标系中，⊙P的圆心P的坐标为(3，4)，若该圆上有且仅有两个点到x轴的距离等于2，则⊙P的半径r的取值范围是________．
到x轴的距离等于2的点在直线y＝2或直线y＝－2上，当⊙P与直线y＝2相切时，设切点为点A，则r＝AP＝4－2＝2，此时⊙P上只有一个点到x轴的距离等于2；当⊙P与直线y＝－2相切时，设切点为点B，则 r＝PB＝4－(－2)＝6，此时⊙P上有三个点到x轴的距离等于2，由此可知，当⊙P上有且仅有两个点到x轴的距离等于2时，则直线y＝－2与⊙P相离，直线y＝2与⊙P相交，∴⊙P的半径r的取值范围是2＜r＜6.
【点拨】
10
在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为(3，1)，若⊙A与坐标轴有3个公共点，则⊙A的半径为________．
【点拨】
设⊙A的半径为r.
当0当r＝1时，⊙A与坐标轴有1个公共点；
当1＜r＜3 时，⊙A与坐标轴有2个公共点；
当r＝3时，⊙A与y轴相切且与x轴有2个交点，所以⊙A与坐标轴共有3个公共点；
11
已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5 cm，AC＝
12 cm，以C点为圆心，作半径为R的圆．
(1)当R为何值时，⊙C和直线AB相离？
(2)当R为何值时，⊙C和直线AB相切？
(3)当R为何值时，⊙C和直线AB相交？
12
如图，半径为10的⊙M经过x轴上一点C，与y轴交于A，B点，连接AM，AC，AC平分∠OAM，
AO＋CO＝12．
(1)判断⊙M与x轴的位置关系，
并说明理由；
解：⊙M与x轴相切．理由如下：连接CM.
∵AC平分∠OAM，∴∠OAC＝∠CAM.
∵MC＝AM，∴∠CAM＝∠ACM.
∴∠OAC＝∠ACM.∴OA∥MC.
∵OA⊥x轴，∴MC⊥x轴．
∴点M到x轴的距离等于⊙M的半径．
∴⊙M与x轴相切．
(2)求AB的长．
在Rt△ANM中，由勾股定理得AM2＝AN2＋MN2，
∴102＝(10－m)2＋(12－m)2，
解得m＝4或m＝18(舍去)．
∴AN＝6.∴AB＝12.
13
如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AC，垂足为E．
(1)求证：△ABD≌△ACD；
解：直线DE与⊙O相切．
理由如下：连接OD.
由(1)知Rt△ABD≌Rt△ACD，∴BD＝CD.
又∵OA＝OB，∴OD为△ABC的中位线．
∴OD∥AC. ∵DE⊥AC，∴OD⊥DE.
∴点O到直线DE的距离等于⊙O的半径．
∴直线DE与⊙O相切．
(2)判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由．
14
15
如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点E为CD边上的一个动点(不与点C，D重合)，⊙O是△BCE的外接圆．
(1)若CE＝2，⊙O交AD于点F，G，求FG的长；
解：过点O作OM⊥FG于点M，延长MO交BC于点N，
连接OG.
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C＝∠D＝90°，AB＝CD＝4，∴BE是⊙O的直径．
又∵OM⊥FG，∴∠DMN＝90°，
∴四边形MNCD是矩形，
∴MN⊥BC，MN＝CD＝4，∴BN＝CN.
(2)若CE的长度为m，⊙O与直线AD的位置关系随着m的值的变化而变化，试探索⊙O与直线AD的位置关系及对应的m的取值范围．(共35张PPT)
确定圆的条件
圆内接四边形的性质定理及其推论
5.5.2
如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠C＝100°，那么∠A的度数是( )
A．60° B．50° C．100° D．80°
1
【答案】 D
【点拨】
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠A＋∠C＝180°.
∴∠A＝180°－∠C＝180°－100°＝80°.
2
【2023·泰安肥城市开学检测】如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC＝135°，AC＝4，则⊙O的半径为( )
【答案】 B
【点拨】
3
如图，四边形ABCD内接于⊙O，DE是⊙O的直径，连接BD，若∠BCD＝120°，则∠BDE的度数是( )
A．25° B．30° C．32° D．35°
【答案】 B
【点拨】
连接BE.∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠BAD＋∠BCD＝180°.
又∵∠BCD＝120°，∴∠BAD＝60°.
∴∠BED＝∠BAD＝60°.
∵DE是⊙O的直径，∴∠DBE＝90°.
∴∠BDE＝90°－∠BED＝90°－60°＝30°.
6
4
【点拨】
5
如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，E是BC延长线上一点．若∠BAD＝114°，则∠DCE的度数是( )
A．124° B．114° C．94° D．66°
B
6
如图，以BC为直径作⊙O，分别与AB，AC交于F，E两点，若AB＝6，BC＝5，EF＝3，则BE的长为________．
【点拨】
40°
7
如图，四边形ABCD内接于⊙O，AD，BC的延长线相交于点E，AB，DC的延长线相交于点F．若∠A＝55°，∠F＝30°，则∠E＝________．
【点拨】
∵∠A＝55°，∠F＝30°，
∴∠BCF＝∠A＝55°，∠ADC＝180°－∠F－∠A＝95°.
∴∠ECD＝∠BCF＝55°.
又∵∠ADC＝∠E＋∠DCE，∴∠E＝40°.
144°
8
【2022·雅安】如图，∠DCE是⊙O的内接四边形ABCD的一个外角，若∠DCE＝72°，则∠BOD的度数为________．
【点拨】
∵∠DCE＝72°，∴∠A＝72°.
∴∠BOD＝2∠A＝144°.
32°或148°
9
已知△ABC内接于⊙O，OD⊥AC于点D，若
∠COD＝32°，则∠B的度数为____________．
【点拨】
本题没有给出图形，点B可能在弦AC所对的优弧上，也可能在弦AC所对的劣弧上．易因考虑不全而漏掉其中一种情况．
10
【点拨】
【答案】 C
11
【2023·烟台芝罘区期末】如图，以△ABC 的边BC为直径的半圆O交AB，AC于D，E两点，连接DE，若AD∶BD＝1∶3, AE＝DE＝2，则半圆O的半径长为( )
【点拨】
【答案】 B
12
如图，四边形ABCD内接于⊙O，BE，DF是⊙O的两条直径．求证：∠ECF＝∠A．
13
如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BC的延长线与AD的延长线交于点E，且DC＝DE．
(1)求证：∠A＝∠AEB；
证明：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠A＋∠BCD＝180°.
又∵∠DCE＋∠BCD＝180°，∴∠A＝∠DCE.
∵DC＝DE，∴∠DCE＝∠AEB.∴∠A＝∠AEB.
解：∵∠A＝∠AEB，∴△ABE是等腰三角形．
又∵EO⊥CD，∴CF＝DF.
∴EO是CD的垂直平分线．∴ED＝EC.
∵DC＝DE，∴DC＝DE＝EC.
∴△DCE是等边三角形．∴∠AEB＝60°.
∴△ABE是等边三角形．∴∠A＝60°.
(2)连接OE，交CD于点F，若OE⊥CD，求∠A的度数．
14
【2022·威海】如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，连接AC，BD，延长CD至点E．
(1)若AB＝AC，求证：∠ADB＝∠ADE；
证明：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
点E在CD的延长线上，
∴∠ADE＝∠ABC.
∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.
又∵∠ACB＝∠ADB，∴∠ADB＝∠ADE.
(2)若BC＝3，⊙O的半径为2，求sin∠BAC的值．
15(共33张PPT)
确定圆的条件
确定圆的条件与三角形的外接圆
5.5.1
下列条件中，不能确定一个圆的是( )
A．圆心与半径
B．圆心与直径
C．平面上的三个已知点
D．三角形的三个顶点
C
1
(2，1)
2
如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B，C的横、纵坐标都为整数，过这三个点作一条圆弧，则此圆弧所在圆的圆心坐标为________，半径为________．
【点拨】
3
如图，点O是△ABC的外心，∠A＝40°，连接BO，CO，则∠BOC的度数是( )
A．60° B．70°
C．80° D．90°
【答案】 C
【点拨】
由题意可知，∠A与∠BOC分别是△ABC的外接圆上的BC所对的圆周角和圆心角，故∠BOC＝2∠A＝80°.
︵
70°
4
如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，点D是弧CAB上一点，若∠ABC＝20°，则∠D的度数是________．
【点拨】
∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.
又∵∠ABC＝20°，∴∠BAC＝70°.
∵∠D和∠BAC都为BC所对的圆周角，
∴∠D＝∠BAC＝70°.
︵
5
下列命题正确的有________个．
①过两点可以作无数个圆；
②经过三点一定可以作圆；
③任意一个三角形有且只有一个外接圆；
④任意一个圆有且只有一个内接三角形．
2
【点拨】
过两点可以作无数个圆，过不在同一直线上的三点可以作圆，若三点在一条直线上，则不可作圆，故①正确，②错误；任意一个三角形有且只有一个外接圆，任意一个圆有无数个内接三角形，故③正确，④错误．
【点易错】
以圆上的任意三点为顶点都可以作出一个圆的内接三角形，故任意一个圆都有无数个内接三角形．
6
小明不慎把家里的圆形镜子打碎了(如图)，其中四块碎片如图所示，为了配到与原来大小一样的圆形镜子，小明带到商店去的碎片应该是( )
A．① B．② C．③ D．④
【答案】 A
【点拨】
第①块出现一段完整的弧，可在这段弧上任作两条弦，作出这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是圆心，进而可得到半径的长．
7
【2023·巴中】如图，⊙O是△ABC的外接圆，若
∠C＝25°，则∠BAO＝( )
A．25° B．50° C．60° D．65°
【答案】 D
【点拨】
D
8
【2023·江西】如图，点A，B，C，D均在直线l上，点P在直线l外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为( )
A．3个 B．4个
C．5个 D．6个
9
【2023·广安】如图，△ABC内接于⊙O，圆的半径为7，∠BAC＝60°，则弦BC的长度为________．
【点拨】
10
如图，正方形ABCD对角线的交点为O，面积为
1 856 cm2，P为正方形内的一点，且∠OPB＝45°，连接PA，若PA∶PB＝3∶7，则PB＝________．
【点拨】
连接OA，OB. ∵点O为正方形ABCD对角线的交点，
∴∠OAB＝∠OBA＝45°，∠AOB＝90°，
∴点A，O，B都在以AB为直径的圆上．∵∠OPB＝45°，∴∠OPB＝∠OAB＝45°.∵点A，P在OB的同侧，∴点P也在以AB为直径的圆上．∴∠APB＝90°.
证明：∵BC平分∠ABD，
∴∠DBC＝∠ABC.
又∵∠CAD＝∠DBC，∴∠CAD＝∠ABC.
11
【2023·济南莱芜区模拟】如图，已知△ABC是⊙O的内接三角形，AD是⊙O的直径，连接BD，BC平分∠ABD．
(1)求证：∠CAD＝∠ABC；
(2)连接CD，若AD＝4，求CD的长．
12
如图，圆内接三角形ABC的外角∠ACM的平分线与圆交于点D，DP⊥AC，垂足为P，DH⊥BM，垂足为H，求证：AP＝BH．
13
如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，AD⊥BC于点E．
(1)求证：∠BAD＝∠CAD．
证明：∵AD是⊙O的直径，AD⊥BC，
∴BD＝CD.∴∠BAD＝∠CAD.
︵
︵
(2)连接BO并延长，交AC于点F，交⊙O于点G，连接GC．若⊙O的半径为5，OE＝3，求GC和OF的长．
14
已知⊙O是正三角形ABC的外接圆．
(1)如图①，若PC为⊙O的直径，连接AP，BP，求证：AP＋BP＝PC．
解：成立．证明如下：
在PC上取一点D，使PD＝PA，连接AD.
∵∠APD＝∠ABC＝60°，∴△APD为等边三角形．
∴AP＝AD，∠PAD＝60°. ∴∠PAB＋∠BAD＝60°.
又∵∠BAC＝60°，∴∠BAD＋∠DAC＝60°.
∴∠PAB＝∠DAC. 又∵AB＝AC，
∴△APB≌△ADC(SAS)．
∴PB＝DC.∴PA＋PB＝PD＋DC＝PC.
【点方法】
与圆内接正三角形有关的计算常用的解题思路：(1)勾股定理；(2)解：直角三角形中30°角的性质； (3)全等三角形的判定与性质；(4)相似三角形的判定与性质．(共32张PPT)
圆周角和圆心角的关系
圆周角定理的推论3
5.4.2
【2023·广东】如图，AB是⊙O的直径，∠BAC＝50°，则∠D＝( )
A．20° B．40° C．50° D．80°
1
【答案】 B
【点拨】
∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，
∴∠BAC＋∠ABC＝90°，
又∵∠BAC＝50°，∴∠ABC＝40°，
∴∠D＝∠ABC＝40°.
2
【2023·黄冈】如图，在⊙O中，直径AB与弦CD相交于点P，连接AC，AD，BD，若∠C＝20°，
∠BPC＝70°，则∠ADC＝( )
A．70° B．60° C．50° D．40°
【答案】 D
【点拨】
∵∠C＝20°，∴∠B＝20°.
∴∠BDP＝∠BPC－∠B＝70°－20°＝50°，
∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，
∴∠ADC＝∠ADB－∠BDP＝90°－50°＝40°.
B
3
从下列三角尺与圆弧的位置关系中，可判定圆弧为半圆的是( )
4
【2023·重庆A卷改编】如图，矩形ABCD的顶点在⊙O上，若AB＝4，AD＝3，则图中阴影部分的面积为________．(结果保留π)
【点拨】
5
【2023·泰安泰山区期末】如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上两点，若∠BCD＝50°，则∠ABD的大小为( )
A．60° B．50° C．40° D．20°
【答案】 C
【点拨】
连接AD，∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°.
∵∠BCD＝50°，∴∠A＝∠BCD＝50°.
∴∠ABD＝90°－50°＝40°.
6
【点拨】
设⊙O与x轴负半轴交于点C，则点B与点C关于y轴对称，连接AC交y轴于点P，连接PB.此时PA＋PB的值最小．
∵BC是⊙O的直径，∴∠CAB＝90°.
∴AC2＝BC2－AB2＝52－32＝16.∴AC＝4.
∵∠PCB＝∠ACB，∠COP＝∠CAB＝90°，
∴△COP∽△CAB.∴OP∶AB＝OC∶CA.
7
如图，AB是⊙O的直径，弦BC＝4 cm，点F是弦BC的中点，∠ABC＝60°，连接AC．若动点E以2 cm/s的速度在线段AB上由A向B运动，连接EF，设运动时间为t s，当△BEF是直角三角形时，t的值等于________．
【点拨】
∵AB是⊙O的直径，∴∠C＝90°.
∵∠ABC＝60°，∴∠A＝30°，∴AB＝2BC＝8 cm.
∵F为BC的中点，∴BF＝CF＝2 cm.
①如图①，当∠EFB＝90°时，
∵∠C＝90°，∴∠EFB＝∠C，∴AC∥EF.
易得AE＝BE，∴点E和点O重合，AE＝4 cm，
∴t＝4÷2＝2.
8
如图，在⊙O中，AE是直径，AB是弦，连接BE，若AB＝8，半径OC⊥AB于点D，CD＝2，则BE的长是多少？
证明：∵∠A＝∠D，AB＝CD，
∠B＝∠C，
∴△APB≌△DPC(ASA)．
9
如图，⊙O的两条弦AB＝CD，分别连接AC，BD，交点为P．
(1)求证：△APB≌△DPC；
10
如图，AB为⊙O的直径，AC为⊙O的弦，AB＝6，AC＝2，∠ACB的平分线交⊙O于点D，连接AD，BD．求四边形ACBD的面积．
11
如图，已知ED为⊙O的直径且ED＝4，点A(不与点E，D重合)为⊙O上一个动点，线段AB经过点E，EA＝EB，F为⊙O上一点，∠FEB＝90°，BF的延长线与AD的延长线交于点C．
证明：连接FA.
∵∠FEB＝90°，∴EF⊥AB，∠FEA＝90°.
∴AF是⊙O的直径．
又∵BE＝AE，∴EF垂直平分AB.∴BF＝AF.
∵DE为⊙O的直径，∴AF＝DE，∠EAD＝90°.
∴BF＝ED.
(1)求证：△EFB≌△ADE；
解：四边形FCDE的最大面积为8.
(2)当点A在⊙O上移动时，直接写出四边形FCDE的最大面积为多少．
12
解：∵AB为直径，∴∠ADB＝∠ACB＝90°.
∵AD＝CD，∴∠DAC＝∠DCA.
又∵∠DCA＝∠ABD，∴∠DAC＝∠ABD.
∵DE⊥AB，∴∠ABD＋∠BDE＝90°.
又∵∠ADE＋∠BDE＝90°，∴∠ABD＝∠ADE.
∴∠ADE＝∠DAC.∴AF＝DF＝5.
【点方法】
圆中有关弦的计算一般需要归纳到直角三角形中，借助勾股定理解答，常用的构造直角的方法是利用“直径所对的圆周角是直角”这一结论．(共44张PPT)
圆周角和圆心角的关系
圆周角定理及其推论1、2
5.4.1
在⊙O中，∠ACB是圆周角的是( )
D
1
D
2
下列说法：①顶点在圆周上的角是圆周角；②两边与圆相交的角是圆周角；③圆内两条弦的夹角是圆周角；④圆周角的两条边一定与所在的圆有三个交点．其中正确的说法有( )
A．①② B．②③ C．③④ D．④
3
【2023·河南】如图，点A，B，C在⊙O上，若∠C＝55°，则∠AOB的度数为( )
A．95° B．100° C．105° D．110°
【答案】 D
【点拨】
∵∠AOB＝2∠C，∠C＝55°，∴∠AOB＝110°.
4
【2022·温州】如图，AB，AC是⊙O的两条弦，OD⊥AB于点D，OE⊥AC于点E，连接OB，OC．若∠DOE＝130°，则∠BOC的度数为( )
A．95° B．100° C．105° D．130°
【答案】 B
【点拨】
∵OD⊥AB，OE⊥AC，
∴∠ODA＝∠OEA＝90°.
又∵∠DOE＝130°，∠ODA＋∠OEA＋∠DOE＋ ∠A＝360°，∴∠A＝50°.∴∠BOC＝2∠A＝100°.
5
【母题：教材P21随堂练习T2】如图，在⊙O中，
AB＝AC，∠ABC＝70°，则∠BOC的度数为( )
A．100° B．90° C．80° D．70°
︵
︵
【答案】 C
【点拨】
∵ AB＝AC ，∴AB＝AC.
∴∠ACB＝∠ABC＝70°.
∴∠A＝40°.∴∠BOC＝80°.
︵
︵
52.5°
6
【2023·烟台】如图，将一个量角器与一把无刻度的直尺水平摆放，直尺的长边与量角器的外弧分别交于点A，B，C，D，连接AB，则∠BAD的度数为________．
【点拨】
30°或150°
7
如图，等边三角形ABC的顶点都在⊙O上，半径OD⊥AC，P是⊙O上一个动点(与C，D不重合)，则∠CPD的度数是___________．
【点拨】
8
【2023·枣庄】如图，在⊙O中，弦AB，CD相交于点P．若∠A＝48°，∠APD＝80°，则∠B的度数为( )
A．32° B．42° C．48° D．52°
【答案】 A
【点拨】
∵∠A＝48°，∠APD＝80°，
∴∠C＝80°－48°＝32°.
∴∠B＝∠C＝32°.
平行
9
如图，⊙O中，∠E＝∠F，那么AB与CD的位置关系是________．
【点拨】
∵∠E＝∠F，∠E＝∠ABC，∠BCD＝∠F，∴∠ABC＝∠BCD.∴AB∥CD.
60°或120°
10
【点拨】
∴∠AOB＝120°.
∴当点P(P1)在弦AB所对的优弧上时，
∠AP1B＝∠AOB＝60°；
当点P(P2)在弦AB所对的劣弧上时，易知∠AP2B＝120°.
对于“图形不明确”这类问题，在解答时一般要进行分类讨论．一条弦(非直径)所对的圆周角有两种情况：顶点在优弧上的圆周角和顶点在劣弧上的圆周角，解题时要分情况求解，否则容易漏解．
【点易错】
11
如图，AC是⊙O的直径，点B，D在⊙O上，AB＝AD，∠AOB＝60°，则∠CDO的度数是( )
A．60°
B．45°
C．35°
D．30°
【点拨】
【答案】 D
12
【母题：教材P21习题T3】如图，已知圆心角
∠AOB＝110°，则圆周角∠ACB＝( )
A．110° B．120° C．125° D．135°
【点拨】
【答案】 C
13
将量角器按如图方式摆放在三角形纸板上，使点C在半圆上．点A，B的读数分别为86°，30°，则∠ACB的大小为( )
A．15° B．28° C．30° D．56°
【点拨】
【答案】 B
根据圆周角定理及量角器的读数方法可得
∠ACB＝(86°－30°)÷2＝28°.
14
【2022·包头】如图，AB，CD是⊙O的两条直径，E是BC的中点，连接BC，DE．若∠ABC＝22°，则∠CDE的度数为( )
A．22° B．32° C．34° D．44°
︵
【点拨】
【答案】 C
15
如图，AB是⊙O的直径，C，G是⊙O上的两个点，OC∥AG．若∠GAC＝28°，则∠BOC＝________．
56°
【点拨】
∵OC∥AG，∴∠OCA＝∠GAC＝28°.
∵OA＝OC，∴∠BAC＝∠OCA＝28°.
∴∠BOC＝2∠BAC＝56°.
16
如图，AB是⊙O的弦，C是优弧AB上一点，连接AC，BC，若⊙O的半径为4，∠ACB＝60°，则△ABC面积的最大值为________．
【点拨】
17
【2023·日照一模】如图，已知 A，B，C，D顺次在⊙O上， AB＝BD，BM⊥AC于点M，求证：
AM＝DC＋CM．
︵
︵
证明：在MA上截取ME＝MC，连接BE.
∵BM⊥AC，ME＝MC，
∴BE＝BC.∴∠BEC＝∠BCE.
∵AB＝BD，∴AB＝BD.
∴∠ADB＝∠BAD.
又∵∠ADB＝∠BCE，∴∠BEC＝∠BAD.
︵
︵
由圆周角定理易知，∠BCD＋∠BAD＝180°，
又∵∠BEA＋∠BEC＝180°，
∴∠BEA＝∠BCD.
又∵∠BAE＝∠BDC，∴△ABE≌△DBC(AAS)．
∴AE＝CD.∴AM＝AE＋EM＝DC＋CM.
18
【2023·武汉】如图，OA，OB，OC都是⊙O的半径，∠ACB＝2∠BAC．
(1)求证：∠AOB＝2∠BOC；
证明：∵∠BOC＝2∠BAC，
∠ACB＝2∠BAC，
∴∠BOC＝∠ACB.
又∵∠AOB＝2∠ACB，∴∠AOB＝2∠BOC.
19
如图，⊙O中延长弦AB，CD交于点E，连接AC，AD，BC，BD．
(1)若∠ADB＝60°，∠BAD＝10°，求∠ACD的度数．
解：∵∠ADB＝60°，∠BAD＝10°，
∴∠ACB＝∠ADB＝60°，∠BCD＝∠BAD＝10°.
∴∠ACD＝∠ACB＋∠BCD＝60°＋10°＝70°.
解：当γ＝2(α＋β)时，AD＝CD.
理由：∵∠ADB＝α，∠BAD＝β，
∴∠ACB＝∠ADB＝α，∠BCD＝∠BAD＝β.
∴∠ACD＝∠ACB＋∠BCD＝α＋β.
∵AD＝CD，∴∠ACD＝∠DAC.
又∵∠DAC＝∠DBC，∴∠DBC＝∠ACD.
(2)若∠ADB＝α，∠BAD＝β，∠EBC＝γ，判断α，β，γ满足什么数量关系时，AD＝CD？请说明理由．
由圆周角定理易知∠DBA＋∠ACD＝180°，
又∵∠EBD＋∠DBA＝180°，
∴∠EBD＝∠ACD.
∴∠EBC＝∠EBD＋∠DBC＝2∠ACD.
又∵∠EBC＝γ，∴γ＝2(α＋β)．(共42张PPT)
垂径定理
5.3*
如图，MN为⊙O的直径，AB为弦，且AB⊥MN于点C，下列结论：①AC＝BC；②MA＝MB；
③NA＝NB；④CO＝CN.其中正确的结论有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
C
1
︵
︵
︵
︵
2
【2023·泰安泰山区期末】如图，AB是⊙O的弦，AB长为4，P是⊙O上一个动点(不与点A，B重合)．过点O作OC⊥AP于点C，OD⊥PB于点D，则CD的长为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】 B
【点拨】
3
如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为E，
CE＝2，AB＝16，则直径CD的长是( )
A．28 B．30 C．36 D．34
【答案】 D
【点拨】
连接OA，∵CD⊥AB，CD为⊙O的直径，AB＝16，∴∠AEO＝90°，AE＝BE＝8.设⊙O的半径为r，在Rt△OAE中，OA＝r，OE＝r－2，由勾股定理得 OA2＝OE2＋AE2，∴r2＝(r－2)2＋82.解得r＝17.
∴CD＝2×17＝34.
16
4
【2023·永州】如图，⊙O是一个盛有水的容器的横截面，⊙O的半径为10 cm，水的最深处到水面AB的距离为4 cm，则水面AB的宽度为________cm．
【点拨】
5
如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，若
AB＝10，CD＝8，则图中阴影部分的面积为________．
20
【点拨】
6
【2023·宜昌】如图，OA，OB，OC都是⊙O的半径，AC，OB交于点D．若AD＝CD＝8，OD＝6，则BD的长为( )
A．5 B．4
C．3 D．2
【答案】 B
【点拨】
7
【答案】 B
【点拨】
5
8
如图，AB是⊙O的弦，C是AB的中点，OC交AB于点D．若AB＝8 cm，CD＝2 cm，则⊙O的半径为________cm．
︵
【点拨】
9
已知AB，CD是⊙O的两条平行弦，AB＝24，CD＝10，⊙O的半径为13，求弦AB与CD的距离．
【点易错】
圆中涉及弦所对的弧的度数(或长度)、两条平行弦的距离时，都需要进行分类讨论，否则容易丢解．
10
如图，半径为5的⊙A与y轴交于点B(0，2)，C(0，10)，则点A的横坐标为( )
A．－3 B．3 C．4 D．6
【答案】 B
【点拨】
11
【答案】 D
【点拨】
12
如图，AB是⊙O的直径，点C是半圆上的一个三等分点，点D是AC的中点，点P是直径AB上一点，
若⊙O的半径为2，则PC＋PD的最小值是________．
︵
【点拨】
如图，作D关于AB的对称点E，连接CE交AB于点P′，连接DP′，OD，OC，OE，则点P在P′处时PC＋PD的值最小，最小值为P′C＋P′D＝P′C＋P′E＝CE.易得E在⊙O上，则OE＝OC＝2.
∵C是半圆上的一个三等分点，
13
(1)求⊙O的半径；
(2)求∠BAC的正切值．
14
如图，有一座圆弧形拱桥，桥下水面宽度AB为12 m，拱高CD为4 m．
(1)求拱桥的半径．
设OB＝OC＝r m，∵CD＝4 m，
∴OD＝OC－CD＝(r－4)m.
在Rt△BOD中，根据勾股定理得r2＝(r－4)2＋62，
解得r＝6.5.
∴拱桥的半径为6.5 m.
解：能．理由如下：
如图，在CD上取一点E，使DE＝3.4 m，
过点E作弦MN⊥CD，连接ON，则ME＝EN.
∵CD＝4 m，∴CE＝CD－DE＝4－3.4＝0.6(m)．
(2)有一艘宽为5 m的货船，船舱顶部为长方形，并高出水面3.4 m，则此货船是否能顺利通过这座圆弧形拱桥？并说明理由．
【点方法】
与弓形相关的计算一般需要借助弓形的弧所在圆的半径、弦的一半、圆心到弦的垂线段构造直角三角形，应用勾股定理进行计算．
15
如图，在⊙O内，弦AD与弦BC交于点G，AD＝CB，M，N分别是CB和AD的中点，连接MN，OG．
(1)求证：OG⊥MN；
(2)连接AC，AM，CN，当CN∥OG时，求证：四边形ACNM为矩形．
∴△CMN≌△ANM(SAS)．
∴AM＝CN，∠AMN＝∠CNM.
∵CN∥OG，OG⊥MN，
∴∠CNM＝∠GEM＝90°.∴∠AMN＝90°，
∴∠AMN＋∠CNM＝90°＋90°＝180°.
∴AM∥CN，∴四边形ACNM是平行四边形．
又∵∠AMN＝90°，∴四边形ACNM是矩形．(共21张PPT)
圆的对称性
圆心角的度数与它所对的弧的度数的关系
5.2.2
如图，在⊙O中，∠AOB＝100°，则弧AB的度数为( )
A.50° B．80° C．100° D．200°
C
1
2
在⊙O中，弦AB等于圆的半径，则它所对的劣弧的度数为( )
A.120° B．75° C．60° D．30°
【答案】 C
【点拨】
连接OA，OB.∵OA＝OB＝AB，∴△OAB为等边三角形．∴∠AOB＝60°.∴弦AB所对的劣弧的度数为60°.
故选C.
3
如图，AB为⊙O的弦，∠A＝40°，则AB的度数为( )
A.40° B．80° C．100° D．120°
︵
【答案】 C
【点拨】
∵OA＝OB，∠A＝40°，∴∠B＝∠A＝40°.
∵∠A＋∠B＋∠AOB＝180°，∴∠AOB＝100°.
∴AB的度数为100°.
︵
4
如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝25°，以点C为圆心，BC为半径的圆交AB于点D，交AC于点E，则BD的度数为( )
A.25° B．30° C．50° D．65°
︵
【答案】 C
【点拨】
连接CD.∵∠ACB＝90°，∠A＝25°，
∴∠B＝90°－∠A＝65°.
∵CB＝CD，∴∠CDB＝∠B＝65°.
∵∠CDB＋∠B＋∠BCD＝180°，
∴∠BCD＝50°.∴BD的度数为50°.
︵
5
如图，AB是半圆，O为AB的中点，C，D两点在AB上，且AD∥OC.若CD的度数为62°，则AD的度数为________．
56°
︵
︵
︵
︵
【点拨】
连接OD.∵CD的度数为62°，
∴∠COD＝62°.
∵AD∥OC，∴∠ODA＝∠COD＝62°.
∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA＝62°.
∵∠OAD＋∠ODA＋∠AOD＝180°，
∴∠AOD＝56°.∴AD的度数为56°.
︵
︵
A
6
已知AB与A B 分别是⊙O和⊙O′中的弧，下列说法正确的是( )
A.若AB与A B 的度数相等，则∠AOB＝∠A′O′B′
B.若AB与A B 的度数相等，则AB＝A′B′
C.若AB＝A′B′，则AB和A B 的度数相等
D.若∠AOB＝∠A′O′B′，则AB＝A B
︵
︵
︵
︵
︵
︵
︵
︵
︵
︵
【点易错】
弧有两种度量表示方法，一是弧的度数，二是弧的长度，只有在同圆或等圆中，等弧的长度与度数都相同，在半径不等的两个圆中，存在度数相等，弧长不等的两条弧．
7
如图，AB为⊙O的直径，点C，D是BE的三等分点，∠AOE＝60°，则∠BOD的度数为( )
A.40° B．60° C．80° D．120°
︵
【答案】 C
【点拨】
70°
8
【母题：教材P12例3】如图，AB，CD是⊙O的直径，弦CE∥AB，CE的度数为40°，AC的度数为________．
︵
︵
【点拨】
连接OE.∵CE的度数为40°，∴∠COE＝40°.∵OC＝OE，∴∠OCE＝∠OEC.∴∠OCE＝(180°－40°)÷2＝70°.∵弦CE∥AB，∴∠AOC＝∠OCE＝70°.
∴AC的度数为70°.
︵
︵
9
如图，在正方形网格中，⊙O 经过格点A，B，且圆心O也是格点，求AB的度数．
︵
10
如图，在⊙O中，AB＝AC，且AB的度数为120°.
(1)求证：∠AOB＝∠BOC＝∠AOC；
︵
︵
︵
证明：∵AB的度数为120°，∴∠AOB＝120°.
∵AC＝AB，∴∠AOC＝∠AOB＝120°，
∴∠BOC＝360°－∠AOC－∠AOB＝120°，
∴∠AOB＝∠BOC＝∠AOC.
︵
︵
︵
解：连接OD.∵D是AB的中点，
∴AD＝BD.∴∠AOD＝∠BOD.
由(1)知∠AOB＝120°，∴∠AOD＝∠BOD＝60°.
又∵OD＝OA＝OB，
∴△OAD和△OBD都是等边三角形，
∴AD＝OA＝BO＝DB，∴四边形OADB是菱形．
(2)若D是AB的中点，求证：四边形OADB是菱形．
︵
︵
︵
︵(共34张PPT)
圆的对称性
圆心角、弧、弦之间的关系
5.2.1
下列说法不正确的是( )
A.圆既是轴对称图形，又是中心对称图形
B.圆绕它的圆心旋转任意角度都能与自身重合
C.圆的对称轴有无数条，对称中心只有一个
D.圆的每一条直径都是它的对称轴
D
1
2
已知⊙O中最长的弦为8 cm，则⊙O的半径为( ) A.2 cm B．4 cm
C.8 cm D．16 cm
【答案】 B
【点拨】
∵直径是圆中最长的弦，∴⊙O的直径是8 cm，∴⊙O的半径是8÷2＝4(cm)．
π
3
如图，正方形MNEF的四个顶点在直径为4的大圆上，小圆与正方形各边仅有一个交点，AB与CD是大圆的直径，AB⊥CD，CD⊥MN，则图中阴影部分的面积是________．
【点拨】
4
下列说法正确的是( )
A.相等的圆心角所对的弧相等
B.在同圆中，等弧所对的圆心角相等
C.在同圆中，相等的弦所对的弧相等
D.相等的弦所对的弧相等
【答案】 B
【点拨】
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，等弧所对的圆心角相等，故选项A错误、选项B正确．同一条弦所对的弧有两条，故在同圆中，相等的弦所对的弧不一定相等，故选项C错误．相等的弦所对的弧不一定相等，故选项D错误．
5
【母题：教材P8做一做】如图，已知∠AOB＝∠COD，下列结论不一定成立的是( )
A.AB＝CD
B.△AOB≌△COD
C. AB＝CD
D.△AOB，△COD是等边三角形
⌒
⌒
【答案】 D
【点拨】
∵∠AOB＝∠COD，∴AB＝CD， AB＝CD ，故选项A，C正确；∵OA＝OB＝OC＝OD，∠AOB＝∠COD，∴△AOB≌△COD(SAS)，故选项B正确；∵OA＝OB＝OC＝OD，∴△AOB，△COD均为等腰三角形，不能确定它们一定是等边三角形，故选D.
⌒
⌒
6
【2023·泰安岱岳区期末】如图，已知在⊙O中，BC是直径，AB＝DC，则下列结论不一定成立的是( )
A．OA＝OB＝AB
B． ∠AOB＝∠COD
C． AB＝DC
D． O到AB，CD的距离相等
⌒
⌒
【答案】 A
【点拨】
∵AB＝DC，∴ AB＝DC.∴∠AOB＝∠COD.又∵OA＝OB＝OC＝OD，∴△AOB≌△COD(SAS)．∴O到AB，CD的距离相等．∴B，C，D选项正确，故选A.
⌒
⌒
7
观察如图所示的图形及相应推理，其中正确的是( )
A.①② B．③④ C．①③ D．②④
【答案】 C
【点拨】
推理②④忽视了“在同圆或等圆中”的前提而出错，推理①③正确，故选C.
12
8
【母题：教材P10习题T1】如图，在⊙O中AB＝CD，点A，C之间的距离为12，则线段BD＝________．
⌒
⌒
【点拨】
连接AC.∵AB＝CD，
∴AB＋BC＝CD＋BC.∴BD＝AC.
∴BD＝AC＝12.
⌒
⌒
⌒
⌒
⌒
⌒
⌒
⌒
6
9
如图，AB是⊙O的直径，若∠COA＝∠DOB＝60°，则与线段AO长度相等的线段有______条．
【点拨】
∵∠COA＝∠DOB＝60°，∠AOB＝180°，∴∠COD＝60°，∴∠COA＝∠DOB＝∠COD， ∴AC＝CD＝DB.∵OA＝OC，∠COA＝60°，∴△AOC是等边三角形．∴AC＝OC.
∵OA＝OC＝OD＝OB，∴AC＝CD＝DB＝OB＝OD＝OC＝OA.
10
【2023·威海文登区校级月考】如图，在⊙O中，
AB＝2CD，则下列结论正确的是( )
A.AB＞2CD
B.AB＝2CD
C.AB＜2CD
D.以上都不正确
⌒
⌒
【答案】 C
【点拨】
取AB的中点E，连接AE，BE，则AB＝2AE＝2BE.
∵在⊙O中，AB＝2CD，∴AE＝EB＝CD.
∴AE＝BE＝CD.∵AE＋BE＞AB，
∴2CD＞AB.故选C.
⌒
⌒
⌒
⌒
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⌒
⌒
⌒
⌒
11
在⊙O中，M，N分别为弦AB，CD的中点，如果
AB＝CD，那么在结论：①OM＝ON；②AB＝CD；
③∠AOB＝∠COD中，正确的是( )
A.①② B．①③
C.②③ D．①②③
⌒
⌒
【答案】 D
【点拨】
证明：连接OC.
∵CD⊥OA，CE⊥OB，CD＝CE，
∴OC平分∠AOB，即∠AOC＝∠BOC.
∴ AC＝BC.
12
如图，点C是⊙O上一点，CD⊥OA于点D，CE⊥OB于点E，且CD＝CE.求证：AC＝BC.
⌒
⌒
⌒
⌒
13
【母题：教材P10习题T2】如图，AB，DE是⊙O的直径，C是⊙O上一点，AC∥DE.
求证：BE＝CE.
证明：连接OC.
∵OA＝OC，∴∠A＝∠OCA.
∵DE∥AC，∴∠AOD＝∠A，∠COE＝∠OCA.
∴∠AOD＝∠COE.
又∵∠AOD＝∠BOE，∴∠BOE＝∠COE.
∴BE＝CE.
14
如图，⊙O的半径OA⊥OC，点D在AC上，且AD＝2CD，OA＝4.
(1)∠COD＝________°；
30
⌒
⌒
(2)求弦AD的长；
解：延长AO交⊙O于点B，连接BD交OC于点P，连接PA.
易知此时PA＋PD取最小值，且最小值为BD的长．
过点O作OH⊥BD于点H，由(2)解：知∠AOD＝60°.
∵OD＝OB，∴∠B＝∠ODB.
∵∠B＋∠ODB＝∠AOD，∴∠B＝∠ODB＝30°.
(3)P是半径OC上一动点，连接PA，PD，求PA＋PD的最小值．
15
如图，AB是⊙O的直径，点C为BD的中点，CF为⊙O的弦，且CF⊥AB，垂足为E，连接BD交CF于点G，连接CD，AD，BF.
(1)求证：△BFG≌△CDG；
⌒
(2)若AD＝BE＝2，求BF的长．(共38张PPT)
圆
5.1
下列条件中，能确定一个圆的是( )
A.以点O为圆心
B.以10 cm长为半径
C.以点A为圆心，4 cm长为半径
D.经过已知点M
1
【点拨】
确定一个圆需要两个条件：一是圆心的位置，二是圆的半径的长度，两者缺一不可．
【答案】
C
2
【2023·淄博博山区期末】在平面内与点P的距离为
1 cm的点的个数为( )
A.无数个 B．3个 C．2个 D．1个
【点拨】
在平面内与点P的距离为1 cm的点都在以点P为圆心， 1 cm为半径的圆上，故有无数个满足条件的点．
【答案】
A
3
如图，在⊙O中，AB是直径，点C在⊙O上，连接OC，∠ACO＝30°，则∠BOC的度数是( )
A.30° B．45° C．55° D．60°
【答案】 D
【点拨】
∵OA＝OC，∴∠A＝∠C＝30°.
∴∠BOC＝∠A＋∠C＝60°.
4
如图，点A，B，C在⊙O上，∠A＝36°，∠C＝28°，则∠B等于( )
A.100° B．72° C．64° D．36°
【答案】 C
【点拨】
连接OA，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠C＝28°.∵∠CAB＝36°，∴∠OAB＝∠CAB＋∠OAC＝36°＋28°＝64°.∵OA＝OB，∴∠B＝∠OAB＝64°.故选C.
5
【2022·吉林】如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(－2，0)，点B在y轴正半轴上，以点B为圆心，BA长为半径作弧，交x轴正半轴于点C，则点C的坐标为__________．
(2，0)
【点拨】
连接BC，可知BC＝BA.∵AC⊥BO，∴OA＝OC.
∵点A的坐标为(－2，0)，∴点C的坐标为(2，0)．
6
如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝12，若以点D为圆心，12为半径作⊙D，则下列各点在⊙D外的是( )
A. 点A B．点B C．点C D．点D
【答案】 B
【点拨】
7
【2022·吉林】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝4.以点A为圆心，r为半径作圆，当点C在⊙A内且点B在⊙A外时，r的值可能是( )
A.2 B．3 C．4 D．5
【答案】 C
【点拨】
∵∠ACB＝90°，∴AC2＋BC2＝AB2.∵AB＝5，BC＝4，∴AC＝3.∵点C在⊙A内且点B在⊙A外，∴36.5 cm或2.5 cm
8
点P非⊙O上一点，若点P到⊙O上的点的最小距离是
4 cm，最大距离是9 cm，则⊙O的半径是________________．
①当点P在⊙O内时，如图①，∵点P到⊙O上的点的最小距离PB＝4 cm，最大距离PA＝9 cm，∴直径AB＝4＋9＝13(cm)，∴半径r＝6.5 cm；②当点P在⊙O外时，如图②，∵点P到⊙O上的点的最小距离 PB＝4 cm，最大距离PA＝ 9 cm，∴直径AB＝9－4＝5(cm)，∴半径r＝2.5 cm. 综上所述，⊙O的半径为6.5 cm或2.5 cm.
【点拨】
【点易错】
本题易出现考虑不全而丢解的情况，特别是点P在圆外的情况很容易漏掉．
9
由所有到已知点O的距离大于或等于1，并且小于或等于2的点组成的图形的面积为( )
A.π
B．2π
C.3π
D．4π
【答案】 C
【点拨】
由所有到已知点O的距离大于或等于1，并且小于或等于2的点组成的图形的面积为以2为半径的圆与以1为半径的圆组成的圆环的面积，即π×22－π×12＝3π.
①③⑤
10
下列图形：①等边三角形；②平行四边形；③矩形；④菱形；⑤正方形．其中图形的各个顶点一定在同一个圆上的有____________(填序号).
外
11
已知⊙O的半径是4，点P到圆心O的距离d为方程
x2－4x－5＝0的一个根，则点P在⊙O________．(填“内”“外”或“上”)
【点拨】
解方程x2－4x－5＝0，得x＝5或x＝－1.
∵d＞0，∴d＝5.∵⊙O的半径为4，∴d＞r.
∴点P在⊙O外．
12
【2023·东营河口区模拟】如图，数轴上半径为1的⊙O以每秒1个单位长度的速度向右运动，同时原点右边距原点7个单位长度处有一点P以每秒2个单位长度的速度向左运动，经过__________秒后，点P在⊙O上．
【点拨】
13
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝7，
点D在边BC上，CD＝3，以点D为圆心，半径长为r作⊙D，要使点A恰在⊙D外，点B在⊙D内，那么r的取值范围是________．
4＜r＜5
【点拨】
14
如图，CD是⊙O的直径，点A在DC的延长线上，
∠A＝20°，AE交⊙O于点B，且AB＝OC.
(1)求∠AOB的度数；
解：∵AB＝OC，
OB＝OC，∴AB＝BO.
∴∠AOB＝∠A＝20°.
解：∵∠OBE＝∠A＋∠AOB，∠AOB＝∠A，
∴∠OBE＝2∠A.
∵OB＝OE，∴∠OBE＝∠E.∴∠E＝2∠A.
∴∠DOE＝∠A＋∠E＝3∠A＝60°.
(2)求∠EOD的度数．
15
【2023·烟台福山区模拟】如图，圆心为点M的三个半圆形的直径都在x轴上，所有标注A的图形面积都是SA，所有标注B的图形面积都是SB.
(1)求标注C的图形面积SC；
16
如图①，⊙O的半径为r(r＞0)，若点P′在射线OP上，满足OP′·OP＝r2，则称点P′是点P关于⊙O的“反演点”． 如图②，⊙O的半径为4，点B在⊙O上，∠BOA＝60°，OA＝8，若点A′，B′分别是点A，B关于⊙O的反演点，求A′B′的长.
解：如图，设OA交⊙O于点C.
∵OA′·OA＝42，OA＝8，
∴OA′＝2.∴点A′为OC的中点．
∵OB′·OB＝42，OB＝4，
∴OB′＝4，即点B′和B重合．连接BC，BA′.
∵∠BOA＝60°，OB＝OC，
∴△OBC为等边三角形．
17
如图，点A，B的坐标分别是A(4，0)，B(0，4)，点C为坐标平面内一动点，BC＝2，点M为线段AC的中点，连接OM，求OM的最小值．
解：∵A(4，0)，B(0，4)，∴OA＝OB＝4.
∵点C为坐标平面内一动点，BC＝2，
∴C在以点B为圆心，2为半径的圆上．
如图，在x轴的负半轴上取点D，使OD＝OA＝4，连接CD，
∵M为线段AC的中点，OD＝OA，
∴OM是△ACD的中位线．
【点方法】
解答本类题目一定要注意模型归纳和特殊值方法的应用，从特殊位置中寻找答案．
