C21级初三 4月阶段性练习
数学参考答案
一、选择题（本题共 24分，每小题 3分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B A C D A B C A
二、填空题（本题共 24分，每小题 3分）
9． x 2 10． y (x + y)(x y) 11．2（不唯一，也可以填 3） 12． 6
64
13．甲 14．5 15． 11 16．能，
3
三．解答题（本题共 72分，第 17~19题，每小题 5分，第 20题 6分，第 21~23题，每小题 5分，第 24题 7分，
第 25题 6分，第 26题 7分，第 27~28题，每小题 8分）
3
17．解：原式= 3+3 3 + 3 1 3 ……………
3
= 2+3 3 ． ……………
5
18．解：解不等式①得 x ； ……………
2
解不等式②得 x 1． ……………
原不等式组的解集为 x 1．……………
1 1 (a 1)2
19．解：原式=
a +1 (a +1)(a 1) a +1
1 a 1 a +1 a 1
= =
a +1 (a +1)2 (a +1)2 (a +1)2
2
= ……………
a2 + 2a +1
a2 + 2a 3 = 0， a2 + 2a = 3，
2 2 1
则原式= = = ， ……………
3+1 4 2
1 / 7
20．解：（1）
证明： AB∥DC， OAB= DCA，
AC为 DAB的平分线， OAB= DAC ，
DCA= DAC， CD= AD= AB，
AB∥DC， 四边形 ABCD是平行四边形，
AD = AB ， 平行四边形 ABCD是菱形； ……………
（2）
解： 四边形 ABCD是菱形， OA=OC，OB =OD，BD⊥ AC，
1
BD = 2， OB = BD =1，
2
在Rt△AOB中， AB = 5 ，OB=1， OA = AB2 OB2 = 5 1 = 2 ， AC = 2OA= 4
1 1 4 5
CE⊥ AB， S△ABC = AB CE = AC OB ， CE =
2 2 5
3 5
在△BCE 中， BE = BC2 CE2 = ……………
5
21．解：设一班有 x人，根据题意得， ……………
x 50 0.8 = (x 4) 0.9 50， ……………
解得 x =36． ……………
答：一班有 36 人． ……………
22．解：（1） 一次函数 y = kx + b(k 0)的图象由直线 y = x 平移得到， k = 1，
将点 (1,2)代入 y = x + b ，得 1+b=2，解得b=3，
一次函数的解析式为 y = x + 3 ； ……………
（2）m＞1． ……………
23．解：（1）影片甲单日票房从小到大排序为 2.91，3.02，4.28，4.55，5.38，5.52，5.90．
一共 7 个数据，所以影片甲单日票房的中位数为：4.55， ……………
（2）①甲票房从 2 月 12 日到 16 日单日票房逐日增加，16 日到 18 日逐日下降，
甲的单日票房逐日增加说法不正确；
②根据甲、乙两部影片上映第一周单日票房统计折线图反映的数据波动大小可知 S2甲 S
2
乙
甲单日票房的方差小于乙单日票房的方差正确；
2 / 7
③甲超过乙的差值从 15 日开始分别为：
15 日：5.38 4.36=1.02， 16 日：5.90 3.13= 2.77，
17 日：5.52 2.32=3.2， 18 日：4.28 1.63=2.65，
在第一周的单日票房统计中，甲超过乙的差值于 2 月 17 日达到最大正确．
综上，说法中所有正确结论的序号是②③， ……………
（3）乙票房截止到 21 日收入为：37.22+2.95=40.17亿，
甲票房前 7 天达到 31.56 亿，
2 月 19 日—21 日三天内影片甲的累计票房至少为：40.17 31.56=8.61亿． ……………
y
24．解：（1）设抛物线解析式为： y = a(x 2)2 + 3，
3
代入（0,0）得 a =
4
3
抛物线解析式为： y = (x 2)2 +3 ……………
4
（2） 形状相同，最高高度也相同，抛物线向左平移 1 个单位
O 图2 M x
3
抛物线解析式为： y = (x 1)2 +3 ，
4
当 x=0 时，y=2.25m.
∴喷水管OA高度的最大值为 2.25m． ……………
3 21 1 7
（3） y = (x 2)2 +3中，当 y= 时， x = 或 ，
4 16 2 2
7 1
∴CD= 1= 2m. ……………
2 2
25．解：（1）画出图形 G，补全图形如图 ……………
（2）证明：如图
D是弦 AB 的中点，OD过圆心，
OD⊥ AB，即 ODB=90 ．
C
在四边形ODEC中， ODB+ CED+ COD+ OCE =360
O
CED+ COD=180 ，
OCE =90 ， OC⊥CE ．
又 OC是 O的半径， D
E
CE是 O切线, A B
∴直线 CE与图形G 有 1 个公共点. ……………
3 / 7
（3）解：连接OB，延长CO， EA交于点 F ，如图，
OB∥CE， BOF = ECO=90 ， 1= E ，
在Rt△ODB中， OB = 5 ,OD = 2， C
BD = OB2 OD2
OD
=1， tan 1= = 2，
BD O
OF
在Rt△BOF 中， tan 1= = 2 ，
OB
OF = 2OB = 2 5， D 1
E
OB OF F A B
OB∥CE， △BOF∽△ECF ， = ，
CE CF
5 2 5 3 5
= ， CE = ． ……………
CE 3 5 2
26．（1）由题意m=9a 3b+c =25a+5b+c，∴16a+8b=0，∴b= 2a，
b 2a
= =1，抛物线对称轴为直线 x =1．……………
2a 2a
2 2 2
（2）设 y = a(x h) + k ，则 y1 = a(x1 h) + k ， n = a(2 h) + k
2 2 2 2
∵ y n，∴ a(x1 h) + k a(2 h) + k ，∴ a(x1 h) a(2 h) ， 1
2 2 2 2
∵ a 0，∴ (x1 h) (2 h) ，∴ (x1 h) (2 h) 0，∴ (x1 + 2 2h)(x1 2) 0
∵ 2 x 1，∴ 4 x 2 3 0，∴ x + 2 2h 0，∴1 1 1 x1 2h 2
若存在 x 使 y n，则 2h 2 2，∴ h 0， …………… 1 1
∵ a 0，当 x h时， y 随 x增大而减小，当 x h时， y 随 x增大而增大，
∵ 4 2 x 1 0 h ，∴ y y y ． …………… 1 2 1 0
27．（1）在正方形 ABCD中， AD∥BC， ADC =90 ，
∴ EDM + CDM =90 ， DEF = BFE
∵DM ⊥ EF ，∴ EDM + DEF = DMF =90
∴ CDM = DEF ，∴ CDM = BFE， ……………
4 / 7
（2） A E D
①补全图形如图所示 …………… M
N
G
B F C
②CM = 2CG，理由如下： ……………
A E D
方法一
M
延长CG至 P ，使PG=CG，连接PN ， PM
∵G 为BN 中点，∴BG=NG
∵ CGB= PGN ，∴△CBG≌△PNG（SAS），
P N
∴ PN =BC =CD， BCG= NPG
G
∴ PN∥BC，∴ MNP= BFE = CDM
B F C
∵MN =DM ，∴△MNP≌△MDC（SAS），
∴MP=MC ， PMN = CMD
∴ PMN + FMC = CMD+ FMC
即 PMC = DMF =90
∵MP2 +MC2 =CP2 ，∴CP = 2CM
∴ 2CG = 2CM ，∴CM = 2CG ……………
方法二
延长 BC至 P ，使CP=BC，连接PN ， PD， ND
DN DP DN DP
可证 = 2 ， = 2 ，∴ =
DM DC DM DC A E D
∵ MDC =45 + NDC = NDP
M
NP
∴△MDC∽△NDP，∴ = 2 ，
MC
∵G 为BN 中点，∴BG=NG
N
∵CP=BC，∴ NP= 2CG
2CG
∴ = 2 ，∴CM = 2CG G
MC
B F C P
5 / 7
方法三：
A E D
作CP⊥CG，且使CP =CG，连接 PM ， PD，MG
M
P
N
G
B F C
方法四： A E D
连接MG并延长至 P ，使PG=MG，连接 PB， PC M
N
G
B F C
P
28．
（1）① P ， P …………… 1 2
②由题知 P只能在 O外，
作 PR、PS与 O相切于 R、S，
∴ PR⊥OR，PS ⊥OS ，
∵Q存在且唯一，∴∠RPS=90°，
易证四边形 ORPS是正方形，∴OP = 2 2 ，
∵点 P 在直线 y = 3x上，
∴ P( 2, 6)或 P( 2, 6)， ……………
7 3 1 35
（2） t 或 t ……………
2 2 2 2
6 / 7
（2）详解：
先找点 P的轨迹
作直线 TQ交⊙T于点M ，N ， P
PQ2 =MQ NQ =M 'Q N 'Q = (r +TQ)(r TQ) = r2 TQ2 N'
M
Q N
r = 5 ，TQ = 2， PQ =1
T
TQ PQ TP TQ + PQ, 1 TP 3
再假设点 T不动，线段 AB运动 M'
阴影部分为点 P的轨迹，线段 AB的临界状态有 4 个
①当 B在半径为 3 的圆上，如图 A1B1
B1
3
1
2
A1 1 TH 35
B1 B2 B3 B4 1
y=
2 2 2
A1 A2 T A A3 4
1 35 35
t = xA + + =
2 2 2
②当 A在半径为 1 的圆上，如图 A2B2
1
t = xA +1=
2
③当 B在半径为 1 的圆上，如图 A3B3
B3
1 1
2
T
A 13 H
2
1 3 3
t = xA + =
2 2 2
④当 A在半径为 3 的圆上，如图 A4B4
7
t = xA 3=
2
7 3 1 35
综上： t 或 t
2 2 2 2
7 / 7初三 4月阶段性练习
数学
（清华附中初 21 级）
一．选择题（本大题共 24分，每小题 3分）
1．2023 年 10 月 26 日，搭载神舟十七号载人飞船的长征二号 F 遥十七运载火箭在酒泉卫
星发射中心点火发射，长征二号 F(CZ-2F)是捆绑四枚助推器的两级运载火箭，采用
N204/UDMH 推进剂，起飞重量约为 480000 千克，将 480000 用科学记数法表示应为 ( )
A． 48 105 5 4 4B． 4.8 10 C． 48 10 D． 4.8 10
2．下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是 ( )
A． B． C． D．
3．如图， AOC = BOD=90 ， BOC = 44 ，则 AOD的大小为 ( )
B
A C
O D
A．146 B．144 C．136 D．134
4．实数 a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是 ( )
a b
–3 –2 –1 0 1 2 3
A．a+b 0 B．b 1 C．b a 0 D． a b
5．若关于 x的一元二次方程 x2 2x +m = 0 有两个实数根，则实数m 的取值范围为 ( )
A．m 1 B．m 1 C．m 1且m 0 D．m 1且m 0
6．正十二边形的一个内角等于 ( )
A．30 B．150 C．144 D．120
7．不透明的袋子中有两个小球，上面分别写着数字“1”“2”，除数字外两个小球无其他
差别．从中随机摸出一个小球，记录其数字，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，记
录其数字，那么两次记录的数字之和为 3 的概率是 ( )
第1页，共8页
1 1 1 3
A． B． C． D．
4 3 2 4
8．如图在△ABC 中， ACB=90 ，AC+BC =8，分别以 AB 、AC 、BC为直径作半圆，
若记图中阴影部分的面积为 y ， AC 为 x，则下列 y 关于 x的图象中正确的是 ( )
C
A B
y y
8 8
O 4 8 x O 4 8 x
A． B．
y y
8 8
O 8 x O 8 x
C． D．
二．填空题（本大题共 24分，每小题 3分）
2
9．若 在实数范围内有意义，则实数 x的取值范围是 ．
x + 2
10．分解因式： x2 y y3 = ．
11．写出一个大小在 3和 2 3 之间的整数 ．
k
12．若反比例函数 y = 的图象经过点 A(3, 4)和点 B(2,n) ，则 n = ．
x
13．下表记录了四名运动员 100 米短跑几次选拔赛的成绩，现要选一名成绩好且发挥稳定
的运动员参加市运动会 100 米短跑项目，应选择 ．
甲 乙 丙 丁
平均数（秒 ) 11.2 11.3 11.3 11.2
方差 5.5 5.5 5.8 5.9
B
14．如图，在Rt△ABC 中， ACB=90 ，D 、E 、F 分别为 D
E
AB 、 BC、CA的中点，若EF =5，则CD= ．
A
C F
第2页，共8页
15．如图， A的圆心 A 的坐标是 (3,0) ，在直角坐标系中， A半径为 1， P 为直线
y = 3x+ 3上的动点，过 P 作 A的切线，切点为Q，则切线长 PQ的最小值是 ．
y
4
3
2
1
A
–2 –1 O 1 2 3 4 5 x
–1
–2
16．在矩形台球桌面 ABCD中，点 A、B、C、D、E、F处为球袋，其大小不计，如图 1，
点 M 处的台球撞击台球桌边上的点 O 后经过点 N，台球的运行线路满足反射角等于入射
角，即 2 = 1．如图 2，AB = 4 ，BC =6，在矩形台球桌面 ABCD的内部有 P 、Q 两点，
点Q到CD、AD 的距离都为1，若在图中的点 P 处放一台球，则该台球 （填“能”
或“不能”）依次撞击BC、CD边后经过点Q．若放在点 P 处的球能够依次撞击BC、CD
边后经过点Q，则满足条件的所有点 P 构成的区域面积为 ．
E O EA D A D
Q
1 2
M N P
B C B
F F C
图 1 图 2
三．解答题（本题共 72分，第 17~19题，每小题 5分，第 20题 6分，第 21~23题，每小
题 5分，第 24题 6分，第 25~26题，每小题 7分，第 27~28题，每小题 8分）
1
1
17．计算： + 27 + 1 3 3tan30 ．
3
5x 2 3(x +1)①
18．解不等式组： 2x 2 ．
x 1②
3
第3页，共8页
1 1 a +1
19．已知 a2 + 2a 3 = 0，求代数式 的值．
a +1 a2 1 a2 2a +1
20．如图，在四边形 ABCD中，AB∥DC，AB = AD，对角线 AC ，BD交于点O，AC 平
分 BAD，过点C作CE ⊥ AB交 AB 的延长线于点 E ．
（1）求证：四边形 ABCD是菱形；
（2）若 AB = 5 ， BD = 2，求 BE 的长．
D C
O
A B E
21．初三年级准备观看话剧《老舍五则》，票价每张 50 元，一班班主任问售票员买团体票
是否可以优惠，售票员说：30 人以上的团体票有两种优惠方案可选择：方案一：全体人员
可打 8 折；方案二：若打 9 折，有 4 人可以免票．一班班主任思考一会儿说，我们班无论
选择哪种方案要付的钱是一样的，求一班学生的人数．
22．在平面直角坐标系 xOy 中，一次函数 y = kx + b(k 0)的图象由函数 y = x 的图象平移
得到，且经过点 (1,2)．
（1）求这个一次函数的解析式；
（2）当 x≥1时，对于 x的每一个值，函数 y = mx +m(m 0) 的值大于一次函数 y = kx + b 的
值，直接写出m 的取值范围．
第4页，共8页
23．新年伊始，中国电影行业迎来了开门红．春节档期全国总观影人次超过 1.6 亿，总票房
超过 80 亿元．以下是甲、乙两部春节档影片上映后的票房信息．
a．两部影片上映第一周单日票房统计图
票房/亿元
12
影片甲
10.11
10 影片乙
8.18
8 7.49
5.90
6 5.38 5.52
4.55 4.28
4 4.36
2.91
2.32
3.02 3.13 1.63
2
0
2月12日 2月13日 2月14日 2月15日 2月16日 2月17日 2月18日 日期
b．两部影片分时段累计票房如下
上映影片 2 月 12 日—18 日累计票房 2 月 19 日—21 日累计票房
（亿元） （亿元）
甲 31.56
乙 37.22 2.95
根据以上信息，回答下列问题：
（1）2 月 12 日—18 日的一周时间内，影片甲单日票房的中位数为 ；
（2）对于甲、乙两部影片上映第一周的单日票房，下列说法中所有正确结论的序号是 ；
①甲的单日票房逐日增加；
②甲单日票房的方差小于乙单日票房的方差；
③在第一周的单日票房统计中，甲超过乙的差值于 2 月 17 日达到最大．
（3）截止到 2 月 21 日，影片甲上映后的总票房超过了影片乙，据此估计，2 月 19 日 21
日三天内影片甲的累计票房应超过多少亿元？
第5页，共8页
24．根据材料提供的信息，解决下面问题．
在抛物线形的喷泉水柱下设置一条安全的通道，可以让儿童在任意时间穿过安全通道时不
被水柱喷到（穿梭过程中人的高度变化忽略不计）．
图 1 为音乐喷泉，喷头的高度在垂直地面的方向上随着音
乐变化而上下移动．不同高度的喷头喷出来的水呈抛物线
形或抛物线的一部分，但形状相同，最高高度也相同，水
落地点都在喷水管的右侧．
图 1
图 2 是当喷水头在地面上时（喷水头最低），其抛物线形水
柱的示意图，水落地点离喷水口的距离为OM = 4m，水柱最
高点离地面3m．
O 图2 M
A
图 3 是某一时刻时，水柱形状的示意图．OA为喷水管， B 为
水的落地点，记OB长度为喷泉跨度．
O 图3 B
如图 4，安全通道CD在线段OB上，若无论喷头高度如何变 A
F E
化，水柱都不会进入CD上方的矩形区域，则称这个矩形区
域CDEF 为安全区域．
O C 图4 D B M
（1）在图 2 中，以O为原点，OM 所在直线为 x轴，建立平面直角坐标系，求出抛物线的
函数表达式；
（2）若喷泉跨度OB的最小值为 3m，求喷水管OA高度的最大值；
21
（3）在（2）的条件下，若能够进入该安全通道的儿童的最大身高为 m，直接写出此时
16
安全通道CD的宽度．
第6页，共8页
25．在平面内，给定不在同一条直线上的三点 A， B ，C，如图所示，点O到点 A， B ，
C的距离均等于 a(a 为常数），到点O的距离等于 a的所有点组成图形G ，连接点 O与 AB
的中点 D，点 E 在 AB 的延长线上，连接 OC，CE， CED+ COD=180 ．
（1）画出图形 G，并依题意补全图形；
（2）求直线 CE与图形G 的公共点个数；
（3）连接OB，若OB∥CE， a = 5 ，OD = 2，求CE 的长．
C
A B
26．已知抛物线 y = ax2 + bx + c (a 0) ，
（1）若抛物线过点 ( 3,m)， (5,m) ，求抛物线的对称轴；
（2）已知点 (0, y )，(x , y ) ， ( 4, y ) ， (2,n)在抛物线上，其中 2 x ，若存在 使0 1 1 2 1 1 x1
y1 n，试比较 y0 , y1, y 的大小关系. 2
第7页，共8页
27．如图，在正方形 ABCD中， E 、 F 分别为 AD ， BC上的点，作DM ⊥ EF 于M．
（1）求证： CDM = BFE；
（2）在MF 上截取MN =DM ，连接BN ，G 为BN 中点，连接CG ，CM ．
①依题意补全图形，
②用等式表示线段CG 和CM 的数量关系，并证明．
A E D
M
B F C
28．在平面直角坐标系 xOy 中，关于点 P 和图形G 给出如下的定义：若在图形G 上存在两
点 M，N使得 MPN =90 ，作 PQ ⊥ MN 于Q，则称 Q为 P 关于图形G 的射影点．
（1）当 O的半径为 2 时，
①在点P1( 1,1) ，P2(0, 2)， P (2,3) 中，关于 O的射影点存在的有 ； 3
②点 P 在直线 y = 3x上，若 P 关于 O的射影点 Q存在且唯一，求点 P的坐标；
1
（2） T 的圆心在 x轴上，半径为 5 ，直线 y = x + 与 x轴、 y 轴交于点 A、B ．若线段
2
AB 上存在点 P ，使得点 P 关于 T 的射影点Q满足TQ = 2 ，直接写出圆心T 的横坐标 t 的
取值范围．
第8页，共8页
