湖南省岳阳市2023-2024学年高一上学期1月期末考试数学试题
一、单选题（5分每题，共40分）
1．（2024高一上·岳阳期末）若集合中只有一个元素，则实数（ ）
A．1 B．0 C．2 D．0或1
【答案】D
【知识点】元素与集合的关系
【解析】【解答】解：当时，原方程转化为，解得，满足题意；
当时，由只有一个根，需满足，解得，
综上可知，实数的取值为0或1.
故答案为：D.
【分析】分和讨论，确定方程有一解时满足的条件求解即可.
2．（2024高一上·岳阳期末）已知，，若集合，则的值为（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】B
【知识点】集合的确定性、互异性、无序性；集合相等
【解析】【解答】解：因为集合，所以，解得或，
当，时，集合，不满足集合元素的互异性，；
故，，.
故答案为：B.
【分析】由题意，根据集合相等列出方程，求得，代入验证确定的值，再代入求的值即可.
3．（2024高一上·岳阳期末）已知幂函数的图象过点，则函数的单调递增区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】复合函数的单调性；幂函数的图象与性质
【解析】【解答】解：设幂函数，因为函数的图象过点，所以，解得，即，
易知函数在上单调递减，则函数，
由，解得或， 故函数在上单调递减，在上单调递增，
所以函数的单调递增区间为.
故答案为：A.
【分析】设函数的解析式，利用待定系数法求出幂函数的解析式，再利用复合函数的单调性求单调区间即可．
4．（2024高一上·岳阳期末）把函数的图象上各点向右平移个单位，再把横坐标伸长到原来的2倍，再把纵坐标缩短到原来的倍，所得图象的解析式是，则的解析式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】解：将上所有点的纵坐标伸长到原来的倍，得到，
再将上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到，
最后将上所有点向左平移个单位，得到，
故的解析式为.
故答案为：A.
【分析】利用三角函数图象的平移变换判断即可.
5．（2024高一上·岳阳期末）已知是定义域为的奇函数，满足，若，则（ ）
A． B．1 C．5 D．
【答案】B
【知识点】函数的奇偶性；函数的周期性
【解析】【解答】解：因为，用代替 可得，
又因为是定义域为的奇函数，所以，且，所以，
用代替可得，所以，所以是周期为的周期函数，
所以，，
因为，所以，
因为，所以，
所以.
故答案为：B.
【分析】根据已知条件分析出是周期为的周期函数，再利用周期性可得，最后结合已知函数值即可结果.
6．（2024高一上·岳阳期末）定义在上的偶函数满足：对任意的，，有且，则不等式的解集是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】函数单调性的性质；函数的奇偶性；其他不等式的解法
【解析】【解答】解：，且，则，
所以，即，
所以在上单调递减，
因为是定义在上的偶函数，，
所以在上单调递增，，
所以当或时，；当时，，
由不等式，可得或，解得，
故不等式的解集为.
故答案为：D.
【分析】利用函数单调性的定义以及偶函数的性质得出的单调性，讨论的正负，解不等式即可．
7．（2024高一上·岳阳期末）若关于的不等式的解集为，则不等式的解集为（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
【解析】【解答】解：因为关于的不等式的解集为，
所以和是方程的两根，由韦达定理可得：，
所以可转化为，解得或，故原不等式的解集为.
故答案为：B.
【分析】根据一元二次不等式和二次方程的关系求得，将不等式转化为，求解即可.
8．（2024高一上·岳阳期末）奇函数在上单调递增，且，则满足的x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】函数单调性的性质；函数的奇偶性；其他不等式的解法
【解析】【解答】解：因为为奇函数，所以，且，
所以不等式等价于，
又因为在上单调递增，且为奇函数，所以在上单调递增，
所以，解得.
故答案为：B.
【分析】根据奇函数的性质可得，，结合题意，即可得的单调性，列不等式，求解即可.
二、多选题（5分每题，共20分）
9．（2024高一上·岳阳期末）已知定义在上的函数的图象是连续不断的，且满足以下条件：
①，；②，，当时，.
则下列选项成立的是（ ）
A． B．
C．若，则 D．若，则
【答案】A,B
【知识点】函数单调性的性质；函数的奇偶性
【解析】【解答】解：因为，，所以函数是上的奇函数；
又因为，，，，所以在上单调递减，
又是连续函数，故在上单调递减；
A、，令，故可得，故A正确；
B、可知，由在上单调递减，可得，即，故B正确；
C、若，当时，；
当时，，因为在上单调递减，且，所以的解集为，故C错误；
D、，即，则，解得，故D错误.
故答案为：AB.
【分析】由函数为奇函数即可判断A；由已知条件结合奇偶性和单调性即可判断BCD.
10．（2024高一上·岳阳期末）已知，集合，集合，则下列正确的是（ ）
A．若，则实数的取值范围是
B．若，则实数的取值范围是
C．若，则实数的取值范围是
D．若，则实数的取值范围是
【答案】A,D
【知识点】集合关系中的参数取值问题；并集及其运算；交集及其运算；补集及其运算
【解析】【解答】解：因为，集合，集合，所以A，
若，则实数的取值范围是；
若，则实数的取值范围是.
故答案为：AD.
【分析】由题意，根据集合的交集、并集和补集的定义逐项判断即可.
11．（2024高一上·岳阳期末）的解集为，则（ ）
A．
B．若，则
C．若，则的解集为
D．有最小值为
【答案】A,C
【知识点】不等关系与不等式；二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
【解析】【解答】解：由题意可知：是方程的根，由韦达定理可得，
A、因为，整理得，故A正确；
B、当时，，满足，则，故B错误；
C、若，则，不等式即为，
整理得，令，解得或，
且，，所以的解集为，故C正确；
D、因为，当且仅当时，等号成立，所以有最小值为，故D错误.
故答案为：AC.
【分析】根据三个二次之间的关系可得，根据结合韦达定理分析求解即可判断A；举例说明即可判断B；整理可得，结合二次不等式运算求解即可判断C；代入整理可得，即可得最小值判断D.
12．（2024高一上·岳阳期末）已知函数满足当时，，且对任意实数满足，当时，，则下列说法正确的是（ ）
A．函数在上单调递增
B．或1
C．函数为非奇非偶函数
D．对任意实数满足
【答案】A,C,D
【知识点】函数单调性的性质；函数的奇偶性
【解析】【解答】解：A、当时，，则，
又，则当时，，即对任意，，
取且，则，得，则，
即，所以是上的增函数，故A正确；
B、令，，得，由题意知，所以，故B错误；
C、由是上的增函数且，可知为非奇非偶函数，故C正确；
D、注意到，
同理，则，
又，且，则
，即，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】由函数单调性定义即可判断A；令，即可判断B；由A，B选项分析即可判断C利用做差法及即可判断D.
三、填空题（（5分每题，共20分）
13．（2024高一上·岳阳期末）已知，若函数的值域为，则的取值范围是 .
【答案】
【知识点】函数的值域
【解析】【解答】解：因为函数在上单调递增，所以值域为，
因为函数的值域为，所以函数在时的取值集合包含
当时，，函数值域为，不符合题意；
当时，在上单调递减，函数值域为，不符合题意；
当时，在上单调递增，函数值域为，
由，得，解得，由，得，
因此，所以的取值范围是.
故答案为：.
【分析】先求函数在时的值域，再根据给定条件确定时的取值集合，再分类讨论求解即可.
14．（2024高一上·岳阳期末）已知，则 ， ；
【答案】；
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数的值；有理数指数幂的运算性质
【解析】【解答】解：由题可知：且，因为，当且仅当时等号成立，又因为，所以，
则，所以，．
故答案为：．
【分析】将原式化简后，用表示，即可得函数解析式，将代入即可求得函数值．
15．（2024高一上·岳阳期末）已知，设函数在的最大值为，最小值为，那么的值为 ．
【答案】4042
【知识点】函数单调性的性质；函数的最大（小）值；函数的奇偶性
【解析】【解答】解：，
则，所以，
又因为和在上单调递增，所以和在上单调递减，
所以在上单调递增，
即是上的增函数，所以.
故答案为：4042.
【分析】由题目化简，得到，再根据函数单调性求值即可.
16．（2024高一上·岳阳期末）已知函数，若，则实数m的取值范围是 .
【答案】
【知识点】函数单调性的性质；其他不等式的解法
【解析】【解答】解：因为，所以函数的定义域为，
，且，则，
即，
其中，
因为，，
，
，，
所以，即，得，
同时，指数函数在上单调递增，且，则，即，
所以，即成立，
所以函数在上单调递增，且，
若，只需，解得.
故答案是：.
【分析】先利用函数的单调性定义判断函数的单调性，且，将不等式等价于，判断与的大小即可求得实数m的取值范围.
四、解答题（共6题，共70分）
17．（2024高一上·岳阳期末）已知不等式的解集为，设不等式的解集为集合.
（1）求集合；
（2）设全集为R，集合，若是成立的必要条件，求实数的取值范围.
【答案】（1）解：因为不等式的解集为，
则和是方程的两根，
所以，解得，
所以不等式为不等式，
解得，即集合
（2）解：因为是成立的必要条件，所以.
当时，，解得；
当时，，解得.
综上，实数的取值范围是
【知识点】集合关系中的参数取值问题；必要条件、充分条件与充要条件的判断；二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系；其他不等式的解法
【解析】【分析】（1）由题意可得和是方程的两根，代入求得，代入不等式求解即可得集合A；
（2）将是成立的必要条件转化为集合关系，结合子集的定义以及二次函数的性质列不等式求解即可.
18．（2024高一上·岳阳期末）已知函数对任意实数x，y恒有，当时，，且．
（1）求的值并判断的奇偶性；
（2）判断函数单调性，求在区间上的最大值；
（3）若对所有的恒成立，求实数m的取值范围．
【答案】（1）解：令，则，所以，
为奇函数，证明如下：
令，则，
所以：对任意恒成立，
所以函数为奇函数.
（2）解：在上是减函数，证明如下：
任取且，则
，所以，
所以在上为减函数.
当时，单调递减，
所以当时，有最大值为，
因为，所以，
故在区间上的最大值为6
（3）解：由（2）知在区间上单调递减，
所以，
因为对所有的，恒成立，
即对任意恒成立，
令，则，即，
解得：或.
故m的取值范围为
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数单调性的性质；函数的最大（小）值；函数的奇偶性；函数恒成立问题
【解析】【分析】（1）令，求得，再令，从而得即可判断函数的奇偶性；
（2）任取且，结合条件利用函数单调性的定义证明函数的单调性，再利用单调性求解区间上的最大值；
（3）根据函数对所有的恒成立，说明的最大值2小于右边，因此先将右边看作a的函数，解不等式组，即可得出m的取值范围．
19．（2024高一上·岳阳期末）已知．
（1）化简，并求的值；
（2）若，求的值．
【答案】（1）解：
则
（2）解：因为，所以.
所以
【知识点】同角三角函数间的基本关系；诱导公式
【解析】【分析】（1）利用诱导公式、同角三角函数基本关系化简，再根据诱导公式求值即可；
（2）在原式前两项除以，再在分子分母都除以，转化为正切代入求解即可.
20．（2024高一上·岳阳期末）如图，高新区某居民小区要建一座八边形的休闲场所，它的主体造型平面图是由两个相同的矩形和构成的面积为400m2的十字形地域.计划在正方形上建一座花坛，造价为8400元/m2；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为420元/m2；再在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为160元/m2.设总造价为y（单位：元），AD长为x（单位：m）.
（1）用x表示AM的长度，并求x的取值范围；
（2）当x为何值时，y最小？并求出这个最小值.
【答案】（1）解：由题意可得，矩形的面积为，
因此，
因为，所以
（2）解：
，，
由基本不等式y472000，
当且仅当，即x时，等号成立，
故当x时，总造价y最小，最小值为472000元
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；基本不等式
【解析】【分析】（1）由题意可得矩形的面积，即可得；
（2）根据题意，先表示出总造价y，再由基本不等式求解即可.
21．（2024高一上·岳阳期末）中国“一带一路”倡议提出后，某科技企业为抓住“一带一路”带来的机遇，决定开发生产一款大型电子设各，生产这种设备的年固定成本为500万元，每生产台，需另投入成本（万元），当年产量不足80台时，（万元）；当年产量不小于80台时，（万元），若每台设备售价为100万元，通过市场分析，该企业生产的电子设备能全部售完．
（1）求年利润（万元）关于年产量（台）的函数关系式；
（2）年产量为多少台时，该企业在这一电子设备的生产中所获利润最大？
【答案】（1）解：当，时，
；
当，时，
，
故
（2）解：当，时，，
当时，最大值为；
当，时，，
当且仅当，即时，等号成立.
综上所述：当时，有最大值为.
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数单调性的性质；函数的最大（小）值；基本不等式
【解析】【分析】（1）分和，由计算可得年利润（万元）关于年产量（台）的函数关系式；
（2）由（1）的结论，利用二次函数性质和基本不等式求最值，比较即可得利润的最大值.
22．（2024高一上·岳阳期末）已知函数，且.
（1）求实数的值；
（2）若的图象与直线有且只有一个交点，求实数的取值范围.
【答案】（1）解：依题意，，即，解得或，
因为，所以.
（2）解：由（1）知，所以，
因为的图象与直线有且只有一个交点，
等价于方程有且只有一个实数根，
即时，，所以，
所以当时，有且只有一个根，令，
当时，得，则
令，
则函数的对称轴为，又在只有一个根，
可得或，解得，
当时，得，则，
令，
则函数的对称轴为，又在只有一个根，
可得，解得，
综上所述，或.
【知识点】函数的值；有理数指数幂的运算性质；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1）将代入函数，得到关于的一元二次方程，求解即可；
（2）由（1）知，所以， 问题转化为方程只有一个实数根问题，令，利用换元法，构造一个二次函数，分类讨论即可求得m的取值范围.
1 / 1湖南省岳阳市2023-2024学年高一上学期1月期末考试数学试题
一、单选题（5分每题，共40分）
1．（2024高一上·岳阳期末）若集合中只有一个元素，则实数（ ）
A．1 B．0 C．2 D．0或1
2．（2024高一上·岳阳期末）已知，，若集合，则的值为（ ）
A． B． C．1 D．2
3．（2024高一上·岳阳期末）已知幂函数的图象过点，则函数的单调递增区间为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024高一上·岳阳期末）把函数的图象上各点向右平移个单位，再把横坐标伸长到原来的2倍，再把纵坐标缩短到原来的倍，所得图象的解析式是，则的解析式是（ ）
A． B． C． D．
5．（2024高一上·岳阳期末）已知是定义域为的奇函数，满足，若，则（ ）
A． B．1 C．5 D．
6．（2024高一上·岳阳期末）定义在上的偶函数满足：对任意的，，有且，则不等式的解集是（ ）．
A． B．
C． D．
7．（2024高一上·岳阳期末）若关于的不等式的解集为，则不等式的解集为（ ）．
A． B．
C． D．
8．（2024高一上·岳阳期末）奇函数在上单调递增，且，则满足的x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（5分每题，共20分）
9．（2024高一上·岳阳期末）已知定义在上的函数的图象是连续不断的，且满足以下条件：
①，；②，，当时，.
则下列选项成立的是（ ）
A． B．
C．若，则 D．若，则
10．（2024高一上·岳阳期末）已知，集合，集合，则下列正确的是（ ）
A．若，则实数的取值范围是
B．若，则实数的取值范围是
C．若，则实数的取值范围是
D．若，则实数的取值范围是
11．（2024高一上·岳阳期末）的解集为，则（ ）
A．
B．若，则
C．若，则的解集为
D．有最小值为
12．（2024高一上·岳阳期末）已知函数满足当时，，且对任意实数满足，当时，，则下列说法正确的是（ ）
A．函数在上单调递增
B．或1
C．函数为非奇非偶函数
D．对任意实数满足
三、填空题（（5分每题，共20分）
13．（2024高一上·岳阳期末）已知，若函数的值域为，则的取值范围是 .
14．（2024高一上·岳阳期末）已知，则 ， ；
15．（2024高一上·岳阳期末）已知，设函数在的最大值为，最小值为，那么的值为 ．
16．（2024高一上·岳阳期末）已知函数，若，则实数m的取值范围是 .
四、解答题（共6题，共70分）
17．（2024高一上·岳阳期末）已知不等式的解集为，设不等式的解集为集合.
（1）求集合；
（2）设全集为R，集合，若是成立的必要条件，求实数的取值范围.
18．（2024高一上·岳阳期末）已知函数对任意实数x，y恒有，当时，，且．
（1）求的值并判断的奇偶性；
（2）判断函数单调性，求在区间上的最大值；
（3）若对所有的恒成立，求实数m的取值范围．
19．（2024高一上·岳阳期末）已知．
（1）化简，并求的值；
（2）若，求的值．
20．（2024高一上·岳阳期末）如图，高新区某居民小区要建一座八边形的休闲场所，它的主体造型平面图是由两个相同的矩形和构成的面积为400m2的十字形地域.计划在正方形上建一座花坛，造价为8400元/m2；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为420元/m2；再在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为160元/m2.设总造价为y（单位：元），AD长为x（单位：m）.
（1）用x表示AM的长度，并求x的取值范围；
（2）当x为何值时，y最小？并求出这个最小值.
21．（2024高一上·岳阳期末）中国“一带一路”倡议提出后，某科技企业为抓住“一带一路”带来的机遇，决定开发生产一款大型电子设各，生产这种设备的年固定成本为500万元，每生产台，需另投入成本（万元），当年产量不足80台时，（万元）；当年产量不小于80台时，（万元），若每台设备售价为100万元，通过市场分析，该企业生产的电子设备能全部售完．
（1）求年利润（万元）关于年产量（台）的函数关系式；
（2）年产量为多少台时，该企业在这一电子设备的生产中所获利润最大？
22．（2024高一上·岳阳期末）已知函数，且.
（1）求实数的值；
（2）若的图象与直线有且只有一个交点，求实数的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】元素与集合的关系
【解析】【解答】解：当时，原方程转化为，解得，满足题意；
当时，由只有一个根，需满足，解得，
综上可知，实数的取值为0或1.
故答案为：D.
【分析】分和讨论，确定方程有一解时满足的条件求解即可.
2．【答案】B
【知识点】集合的确定性、互异性、无序性；集合相等
【解析】【解答】解：因为集合，所以，解得或，
当，时，集合，不满足集合元素的互异性，；
故，，.
故答案为：B.
【分析】由题意，根据集合相等列出方程，求得，代入验证确定的值，再代入求的值即可.
3．【答案】A
【知识点】复合函数的单调性；幂函数的图象与性质
【解析】【解答】解：设幂函数，因为函数的图象过点，所以，解得，即，
易知函数在上单调递减，则函数，
由，解得或， 故函数在上单调递减，在上单调递增，
所以函数的单调递增区间为.
故答案为：A.
【分析】设函数的解析式，利用待定系数法求出幂函数的解析式，再利用复合函数的单调性求单调区间即可．
4．【答案】A
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】解：将上所有点的纵坐标伸长到原来的倍，得到，
再将上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到，
最后将上所有点向左平移个单位，得到，
故的解析式为.
故答案为：A.
【分析】利用三角函数图象的平移变换判断即可.
5．【答案】B
【知识点】函数的奇偶性；函数的周期性
【解析】【解答】解：因为，用代替 可得，
又因为是定义域为的奇函数，所以，且，所以，
用代替可得，所以，所以是周期为的周期函数，
所以，，
因为，所以，
因为，所以，
所以.
故答案为：B.
【分析】根据已知条件分析出是周期为的周期函数，再利用周期性可得，最后结合已知函数值即可结果.
6．【答案】D
【知识点】函数单调性的性质；函数的奇偶性；其他不等式的解法
【解析】【解答】解：，且，则，
所以，即，
所以在上单调递减，
因为是定义在上的偶函数，，
所以在上单调递增，，
所以当或时，；当时，，
由不等式，可得或，解得，
故不等式的解集为.
故答案为：D.
【分析】利用函数单调性的定义以及偶函数的性质得出的单调性，讨论的正负，解不等式即可．
7．【答案】B
【知识点】二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
【解析】【解答】解：因为关于的不等式的解集为，
所以和是方程的两根，由韦达定理可得：，
所以可转化为，解得或，故原不等式的解集为.
故答案为：B.
【分析】根据一元二次不等式和二次方程的关系求得，将不等式转化为，求解即可.
8．【答案】B
【知识点】函数单调性的性质；函数的奇偶性；其他不等式的解法
【解析】【解答】解：因为为奇函数，所以，且，
所以不等式等价于，
又因为在上单调递增，且为奇函数，所以在上单调递增，
所以，解得.
故答案为：B.
【分析】根据奇函数的性质可得，，结合题意，即可得的单调性，列不等式，求解即可.
9．【答案】A,B
【知识点】函数单调性的性质；函数的奇偶性
【解析】【解答】解：因为，，所以函数是上的奇函数；
又因为，，，，所以在上单调递减，
又是连续函数，故在上单调递减；
A、，令，故可得，故A正确；
B、可知，由在上单调递减，可得，即，故B正确；
C、若，当时，；
当时，，因为在上单调递减，且，所以的解集为，故C错误；
D、，即，则，解得，故D错误.
故答案为：AB.
【分析】由函数为奇函数即可判断A；由已知条件结合奇偶性和单调性即可判断BCD.
10．【答案】A,D
【知识点】集合关系中的参数取值问题；并集及其运算；交集及其运算；补集及其运算
【解析】【解答】解：因为，集合，集合，所以A，
若，则实数的取值范围是；
若，则实数的取值范围是.
故答案为：AD.
【分析】由题意，根据集合的交集、并集和补集的定义逐项判断即可.
11．【答案】A,C
【知识点】不等关系与不等式；二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
【解析】【解答】解：由题意可知：是方程的根，由韦达定理可得，
A、因为，整理得，故A正确；
B、当时，，满足，则，故B错误；
C、若，则，不等式即为，
整理得，令，解得或，
且，，所以的解集为，故C正确；
D、因为，当且仅当时，等号成立，所以有最小值为，故D错误.
故答案为：AC.
【分析】根据三个二次之间的关系可得，根据结合韦达定理分析求解即可判断A；举例说明即可判断B；整理可得，结合二次不等式运算求解即可判断C；代入整理可得，即可得最小值判断D.
12．【答案】A,C,D
【知识点】函数单调性的性质；函数的奇偶性
【解析】【解答】解：A、当时，，则，
又，则当时，，即对任意，，
取且，则，得，则，
即，所以是上的增函数，故A正确；
B、令，，得，由题意知，所以，故B错误；
C、由是上的增函数且，可知为非奇非偶函数，故C正确；
D、注意到，
同理，则，
又，且，则
，即，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】由函数单调性定义即可判断A；令，即可判断B；由A，B选项分析即可判断C利用做差法及即可判断D.
13．【答案】
【知识点】函数的值域
【解析】【解答】解：因为函数在上单调递增，所以值域为，
因为函数的值域为，所以函数在时的取值集合包含
当时，，函数值域为，不符合题意；
当时，在上单调递减，函数值域为，不符合题意；
当时，在上单调递增，函数值域为，
由，得，解得，由，得，
因此，所以的取值范围是.
故答案为：.
【分析】先求函数在时的值域，再根据给定条件确定时的取值集合，再分类讨论求解即可.
14．【答案】；
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数的值；有理数指数幂的运算性质
【解析】【解答】解：由题可知：且，因为，当且仅当时等号成立，又因为，所以，
则，所以，．
故答案为：．
【分析】将原式化简后，用表示，即可得函数解析式，将代入即可求得函数值．
15．【答案】4042
【知识点】函数单调性的性质；函数的最大（小）值；函数的奇偶性
【解析】【解答】解：，
则，所以，
又因为和在上单调递增，所以和在上单调递减，
所以在上单调递增，
即是上的增函数，所以.
故答案为：4042.
【分析】由题目化简，得到，再根据函数单调性求值即可.
16．【答案】
【知识点】函数单调性的性质；其他不等式的解法
【解析】【解答】解：因为，所以函数的定义域为，
，且，则，
即，
其中，
因为，，
，
，，
所以，即，得，
同时，指数函数在上单调递增，且，则，即，
所以，即成立，
所以函数在上单调递增，且，
若，只需，解得.
故答案是：.
【分析】先利用函数的单调性定义判断函数的单调性，且，将不等式等价于，判断与的大小即可求得实数m的取值范围.
17．【答案】（1）解：因为不等式的解集为，
则和是方程的两根，
所以，解得，
所以不等式为不等式，
解得，即集合
（2）解：因为是成立的必要条件，所以.
当时，，解得；
当时，，解得.
综上，实数的取值范围是
【知识点】集合关系中的参数取值问题；必要条件、充分条件与充要条件的判断；二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系；其他不等式的解法
【解析】【分析】（1）由题意可得和是方程的两根，代入求得，代入不等式求解即可得集合A；
（2）将是成立的必要条件转化为集合关系，结合子集的定义以及二次函数的性质列不等式求解即可.
18．【答案】（1）解：令，则，所以，
为奇函数，证明如下：
令，则，
所以：对任意恒成立，
所以函数为奇函数.
（2）解：在上是减函数，证明如下：
任取且，则
，所以，
所以在上为减函数.
当时，单调递减，
所以当时，有最大值为，
因为，所以，
故在区间上的最大值为6
（3）解：由（2）知在区间上单调递减，
所以，
因为对所有的，恒成立，
即对任意恒成立，
令，则，即，
解得：或.
故m的取值范围为
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数单调性的性质；函数的最大（小）值；函数的奇偶性；函数恒成立问题
【解析】【分析】（1）令，求得，再令，从而得即可判断函数的奇偶性；
（2）任取且，结合条件利用函数单调性的定义证明函数的单调性，再利用单调性求解区间上的最大值；
（3）根据函数对所有的恒成立，说明的最大值2小于右边，因此先将右边看作a的函数，解不等式组，即可得出m的取值范围．
19．【答案】（1）解：
则
（2）解：因为，所以.
所以
【知识点】同角三角函数间的基本关系；诱导公式
【解析】【分析】（1）利用诱导公式、同角三角函数基本关系化简，再根据诱导公式求值即可；
（2）在原式前两项除以，再在分子分母都除以，转化为正切代入求解即可.
20．【答案】（1）解：由题意可得，矩形的面积为，
因此，
因为，所以
（2）解：
，，
由基本不等式y472000，
当且仅当，即x时，等号成立，
故当x时，总造价y最小，最小值为472000元
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；基本不等式
【解析】【分析】（1）由题意可得矩形的面积，即可得；
（2）根据题意，先表示出总造价y，再由基本不等式求解即可.
21．【答案】（1）解：当，时，
；
当，时，
，
故
（2）解：当，时，，
当时，最大值为；
当，时，，
当且仅当，即时，等号成立.
综上所述：当时，有最大值为.
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数单调性的性质；函数的最大（小）值；基本不等式
【解析】【分析】（1）分和，由计算可得年利润（万元）关于年产量（台）的函数关系式；
（2）由（1）的结论，利用二次函数性质和基本不等式求最值，比较即可得利润的最大值.
22．【答案】（1）解：依题意，，即，解得或，
因为，所以.
（2）解：由（1）知，所以，
因为的图象与直线有且只有一个交点，
等价于方程有且只有一个实数根，
即时，，所以，
所以当时，有且只有一个根，令，
当时，得，则
令，
则函数的对称轴为，又在只有一个根，
可得或，解得，
当时，得，则，
令，
则函数的对称轴为，又在只有一个根，
可得，解得，
综上所述，或.
【知识点】函数的值；有理数指数幂的运算性质；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1）将代入函数，得到关于的一元二次方程，求解即可；
（2）由（1）知，所以， 问题转化为方程只有一个实数根问题，令，利用换元法，构造一个二次函数，分类讨论即可求得m的取值范围.
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