18.1.1.2　平行四边形对角线的性质 同步练习 含答案

第十八章　平行四边形
18.1.1　平行四边形的性质
第2课时　平行四边形对角线的性质
一、选择题
1．(2023·成都)如图，在 ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，则下列结论一定正确的是( )
A．AC＝BD B．OA＝OC C．AC⊥BD D．∠ADC＝∠BC
2．如图， ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AB⊥AC，若AB＝4，AC＝6，则BD的长是( )
A．8 B．9 C．10 D．11
3．如图，在平行四边形ABCD中，过对角线BD上一点P作EF∥AB，GH∥AD，与各边交点分别为点E，F，G，H，则图中面积相等的平行四边形的对数为( )
A．3对 B．4对 C．5对 D．6对
4．如图，在 ABCD中，AC，BD为对角线，BC＝6，BC边上的高为4，则阴影部分的面积为( )
A．3 B．6 C．12 D．24
5．如图，在平行四边形ABCD中，∠ODA＝90°，AC＝10 cm，BD＝6 cm，则AD的长为( )
A．4 cm B．5 cm C．6 cm D．8 cm
6．如图， ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，OE⊥BD交AD于点E，连接BE，若 ABCD的周长为28，则△ABE的周长为( )
A．28 B．24 C．21 D．14
7．如图，在 ABCD中，EF过对角线的交点O，若AB＝4，AD＝3，OF＝1.3，则四边形BCEF的周长为( )
A．8.3 B．9.6 C．12.6 D．13.6
二、填空题
8．若 ABCD的周长为100 cm，两条对角线相交于点O，△AOB的周长比△BOC的周长多10 cm，则AB＝___________cm，BC＝__________cm.
9．在 ABCD中，AB＝3，BC＝5，对角线AC，BD相交于点O，则OA的取值范围是_______________________．
10．如图，在 ABCD中，AB＝2，AD＝4，AC⊥BC，则△DBC比△ABC的周长长__________．
11．如图，在 ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AB⊥AC，AH⊥BD于点H，若AB＝2，BC＝2，则AH的长为______________．
三、解答题
12．如图，已知四边形ABCD和四边形EBFD都是平行四边形．求证：AE＝CF.
13．如图所示，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点O的直线与AD，BC分别交于点M，N.
(1)若四边形ABNM的面积为4，则 ABCD的面积为______________；
(2)若△CON的面积为2，△DOM的面积为4，求 ABCD的面积．
14．如图，E，F是 ABCD的对角线AC上的两点，且BE⊥AC，DF⊥AC，连接ED，FB.
(1)求证：AE＝CF；
(2)连接BD交AC于点O，若BE＝8，EF＝12，求BD的长．
15．(1)如图①， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点O作直线EF分别交AD，BC于点E，F.求证：OE＝OF；
(2)如图②，在 ABCD中，若过点O的直线与BA，DC的延长线分别交于点E，F，能得到(1)中的结论吗？由此你能得到什么样的一般性结论？
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参考答案
一、选择题
1．(2023·成都)如图，在 ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，则下列结论一定正确的是( B )
A．AC＝BD B．OA＝OC C．AC⊥BD D．∠ADC＝∠BC
2．如图， ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AB⊥AC，若AB＝4，AC＝6，则BD的长是( C )
A．8 B．9 C．10 D．11
3．如图，在平行四边形ABCD中，过对角线BD上一点P作EF∥AB，GH∥AD，与各边交点分别为点E，F，G，H，则图中面积相等的平行四边形的对数为( A )
A．3对 B．4对 C．5对 D．6对
4．如图，在 ABCD中，AC，BD为对角线，BC＝6，BC边上的高为4，则阴影部分的面积为( C )
A．3 B．6 C．12 D．24
5．如图，在平行四边形ABCD中，∠ODA＝90°，AC＝10 cm，BD＝6 cm，则AD的长为( A )
A．4 cm B．5 cm C．6 cm D．8 cm
6．如图， ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，OE⊥BD交AD于点E，连接BE，若 ABCD的周长为28，则△ABE的周长为( D )
A．28 B．24 C．21 D．14
7．如图，在 ABCD中，EF过对角线的交点O，若AB＝4，AD＝3，OF＝1.3，则四边形BCEF的周长为( B )
A．8.3 B．9.6 C．12.6 D．13.6
二、填空题
8．若 ABCD的周长为100 cm，两条对角线相交于点O，△AOB的周长比△BOC的周长多10 cm，则AB＝___________cm，BC＝__________cm.
【答案】30 30
9．在 ABCD中，AB＝3，BC＝5，对角线AC，BD相交于点O，则OA的取值范围是_______________________．
【答案】1＜OA＜4
10．如图，在 ABCD中，AB＝2，AD＝4，AC⊥BC，则△DBC比△ABC的周长长__________．
【答案】4
11．如图，在 ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AB⊥AC，AH⊥BD于点H，若AB＝2，BC＝2，则AH的长为______________．
【答案】
三、解答题
12．如图，已知四边形ABCD和四边形EBFD都是平行四边形．求证：AE＝CF.
证明：连接BD，交AC于点O，∵四边形ABCD和四边形EBFD都是平行四边形，∴OA＝OC，OE＝OF，∴OA－OE＝OC－OF，即AE＝CF
13．如图所示，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点O的直线与AD，BC分别交于点M，N.
(1)若四边形ABNM的面积为4，则 ABCD的面积为______________；
(2)若△CON的面积为2，△DOM的面积为4，求 ABCD的面积．
解：(1)8
(2)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，OA＝OC，∴∠MAC＝∠NCA，又∵∠AOM＝∠CON，∴△AOM≌△CON(ASA)，∴S△AOM＝S△CON＝2，∴S△AOD＝S△AOM＋S△ODM＝2＋4＝6，又∵OB＝OD，∴S△AOB＝S△AOD＝6，∴S△ABD＝S△AOB＋S△AOD＝6＋6＝12，同理可求：S△BCD＝12，∴S ABCD＝S△ABD＋S△BCD＝12＋12＝24
14．如图，E，F是 ABCD的对角线AC上的两点，且BE⊥AC，DF⊥AC，连接ED，FB.
(1)求证：AE＝CF；
(2)连接BD交AC于点O，若BE＝8，EF＝12，求BD的长．
解：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，∴∠BAE＝∠DCF，∵BE⊥AC，DF⊥AC，∴BE∥DF，∠AEB＝∠CFD＝90°，在△ABE和△CDF中，∴△ABE≌△CDF(AAS)，∴AE＝CF
(2)由△ABE≌△CDF得：BE＝DF，BE∥DF，∴四边形BEDF为平行四边形，∴OB＝OD，OE＝OF＝EF＝6，∵BE⊥AC，∴∠BEO＝90°，∴OB＝＝＝10，∴BD＝2OB＝20
15．(1)如图①， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点O作直线EF分别交AD，BC于点E，F.求证：OE＝OF；
(2)如图②，在 ABCD中，若过点O的直线与BA，DC的延长线分别交于点E，F，能得到(1)中的结论吗？由此你能得到什么样的一般性结论？
解：(1)∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，OA＝OC.∴∠EAO＝∠FCO，∠AEO＝∠CFO.∴△AEO≌△CFO(AAS).∴OE＝OF
(2)能得到(1)中的结论．证明如下：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB∥CD，OA＝OC.∴∠EAO＝∠FCO，∠AEO＝∠CFO.∴△AEO≌△CFO(AAS).∴OE＝OF.一般性结论是：过平行四边形对角线的交点O作一条直线与平行四边形相对的两边或其延长线相交于E，F两点，则OE＝OF