2023-2024学年高二数学第一次月考卷01
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．测试范围：选择性必修第二册第五章导数、选择性必修第三册第六章计数原理。
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．一个科技小组中有4名女同学、5名男同学，现从中任选1名同学参加学科竞赛，则不同的选派方法数为.（ ）
A．4 B．5 C．9 D．20
2．已知的值是（ ）
A．3 B．1 C．2 D．
3．已知函数的图像在点处的切线与直线平行，则该切线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
4．已知函数的图像如图所示，则其导函数的图像可能是（ ）
A． B．
C． D．
5．的展开式中的系数为（ ）
A． B．7 C．77 D．
6．我国将在2024年2月17日举行“十四冬”赛事，需两名技术志愿者在其中一个星期分别值班4天，且每天都有人值班，则值班的所有可能性有（ ）
A．140种 B．280种 C．320种 D．720种
7．若函数单调递增，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
8．已知，，，则（ ）
A． B．
C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．下列关于导数运算正确的有（ ）
A． B．
C． D．
10．2023年海峡两岸花博会的花卉展区设置在福建漳州，某花卉种植园有2种兰花，2种三角梅共4种精品花卉，其中“绿水晶”是培育的兰花新品种，4种精品花卉将去，展馆参展，每种只能去一个展馆，每个展馆至少有1种花卉参展，下列选项正确的是（ ）
A．若展馆需要3种花卉，有4种安排方法
B．共有14种安排方法
C．若“绿水晶”去展馆，有8种安排方法
D．若2种三角梅不能去往同一个展馆，有4种安排方法
11．已知，则（ ）
A． B．
C． D．展开式中二项式系数最大的项为第项
12．已知函数， 则（ ）
A． 存在唯一的极值点
B． 存在唯一的零点
C．直线与的图像相切
D．若， 则
第Ⅱ卷
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．的展开式中，常数项为 （用数字作答）．
14．已知函数在时取得极大值4，则 ．
15．《九章算术》、《数书九章》、《周髀算经》是中国古代数学著作，甲、乙、丙三名同学计划每人从中选择一种来阅读，若三人选择的书不全相同，则不同的选法有 种．
16．若实数t是方程的根，则的值为 .
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
17．（10分）已知的展开式中的所有二项式系数之和为32．
(1)求的值；
(2)求展开式中的系数．
18．（12分）记函数的导函数为，已知，．
(1)求实数的值；
(2)求函数在上的值域．
19．（12分）（1）已知，计算：；
（2）解方程：．
20．（12分）电影《志愿军雄兵出击》讲述了在极其简陋的装备和极寒严酷环境下，中国人民志愿军凭着钢铁意志和英勇无畏的精神取得入朝作战第一阶段战役的胜利，著名的“松骨峰战斗”在该电影中就有场景.现有3名男生和4名女生相约一起去观看该影片，他们的座位在同一排且连在一起．（列出算式，并计算出结果）
(1)女生必须坐在一起的坐法有多少种？
(2)女生互不相邻的坐法有多少种？
(3)甲、乙两位同学相邻且都不与丙同学相邻的坐法有多少种？
21．（12分）已知函数（为常数）
1）讨论函数的单调性；
2）不等式在上恒成立，求实数的取值范围．
22．（12分）已知函数，.
(1)当时，求证：；
(2)求函数的零点个数.2023-2024学年高二数学第一次月考卷01
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．测试范围：选择性必修第二册第二章、选择性必修第三册第一章。
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．一个科技小组中有4名女同学、5名男同学，现从中任选1名同学参加学科竞赛，则不同的选派方法数为.（ ）
A．4 B．5 C．9 D．20
【答案】C
【分析】根据分类加法计数原理求解.
【详解】第一类从女同学中选1名，有4种不同的选法；
第二类从男同学中选1名，有5种不同的选法，
根据分类加法计数原理，共有种不同的选法.
故选：C
2．已知的值是（ ）
A．3 B．1 C．2 D．
【答案】C
【分析】根据导数值的定义计算即可.
【详解】根据导数值的定义：.
故选：C
3．已知函数的图像在点处的切线与直线平行，则该切线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】求出函数的导数，借助导数的几何意义求出a值，进而求出切线方程作答.
【详解】函数，求导得：，依题意，，解得，
即有，，
所以函数的图像在点处的切线为：，即，符合题意.
故选：B
4．已知函数的图像如图所示，则其导函数的图像可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据函数的图像、单调性以及导数等知识确定正确答案.
【详解】由图可知，当时，单调递减，，由此排除BD选项.
当时，从左向右，是递增、递减、递增，
对应导数的符号为，由此排除C选项，
所以A选项正确.
故选：A
5．的展开式中的系数为（ ）
A． B．7 C．77 D．
【答案】B
【分析】先求出的展开式通项公式，再结合两个二项式相乘特点求出r，即可求得答案.
【详解】的展开式通项为，
故的展开式中的系数为，
故选：B.
6．我国将在2024年2月17日举行“十四冬”赛事，需两名技术志愿者在其中一个星期分别值班4天，且每天都有人值班，则值班的所有可能性有（ ）
A．140种 B．280种 C．320种 D．720种
【答案】A
【分析】由分步乘法计数原理以及组合数计算即可得解.
【详解】设甲、乙两人值班，因为各值4天，共需7天，所以两人仅有一天是同时值班，有种选择方法；
剩余6天各值3天，有种选择方法．所以共有（种）选择方法．
故选：A
7．若函数单调递增，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由恒成立，分离常数，利用基本不等式求得的取值范围.
【详解】依题意，即对任意恒成立，
即恒成立，因为（当且仅当时取“=”），
所以.
故选：D
8．已知，，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】将三个幂式分别取对数，根据相同结构，构造函数，求导后，注意到导函数分子的相同结构，再次构造函数，利用其单调性推出的单调性，推理即得.
【详解】由，，两边分别取自然对数得：，
不妨设，则，
再设，则，故函数在上单调递增，
因，则，故，即，因，故.
于是，在上单调递增，故，即，故得.
故选：A.
【点睛】思路点睛：对于某些数或式的大小问题，看似与函数的单调性无关，仔细探究问题的内在联系，抓住其本质，构造函数，分析并运用函数的单调性解题，它能起到化难为易，化繁为简的作用.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．下列关于导数运算正确的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【分析】由导数四则运算法则以及复合函数的导数即可验算.
【详解】由题意，，
，.
故选：ABD.
10．2023年海峡两岸花博会的花卉展区设置在福建漳州，某花卉种植园有2种兰花，2种三角梅共4种精品花卉，其中“绿水晶”是培育的兰花新品种，4种精品花卉将去，展馆参展，每种只能去一个展馆，每个展馆至少有1种花卉参展，下列选项正确的是（ ）
A．若展馆需要3种花卉，有4种安排方法
B．共有14种安排方法
C．若“绿水晶”去展馆，有8种安排方法
D．若2种三角梅不能去往同一个展馆，有4种安排方法
【答案】AB
【分析】根据排列、组合的知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】A选项，若展馆需要3种花卉，则有种安排方法，正确.
B选项，4种花卉按去，展馆参展有种方法；
按去，展馆参展有种方法；
因此不同的安排方法种数是，正确.
C选项，若“绿水晶”去展馆，若展馆有种花卉，则安排方法数有种方法，
若展馆有种花卉，则安排方法数有种方法，
若展馆有种花卉，则安排方法数有种方法，所以共有种方法，错误.
D选项，由选项B知，4种精品花卉将去，展馆参展共有14种安排方法，
若2种三角梅去往同一个展馆，有种安排方法，
则2种三角梅不能去往同一个展馆，有种安排方法，错误.
故选：AB
11．已知，则（ ）
A． B．
C． D．展开式中二项式系数最大的项为第项
【答案】AB
【分析】设，利用赋值法可判断ABC选项，利用二项式系数的单调性可判断D选项.
【详解】设.
对于A选项，，A对；
对于B选项，，B对；
对于C选项，，
所以，，C错；
对于D选项，展开式共项，展开式中二项式系数最大的项为第项，D错.
故选：AB.
12．已知函数， 则（ ）
A． 存在唯一的极值点
B． 存在唯一的零点
C．直线与的图像相切
D．若， 则
【答案】BCD
【分析】求得，令，根据的单调性，求得，可判定A错误；结合在上递增，且，可判定B正确；令，求得切点坐标，得出切线方程，可判定C正确；根据递增，把不等式转化为且，令，利用导数求得，可判定D正确.
【详解】对于A中，函数，可得，
令，则，
当时，；当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，所以，
所以，所以函数在上单调递增，
所以函数在上没有极值点，所以A错误；
对于B中，因为函数在上单调递增，且，
所以在上存在唯一的零点，所以B正确；
对于C中，令，可得，即切点为，
所以切线方程为，即，所以C正确；
对于D中，因为函数在上单调递增，且，
所以且，可得且，
令，则，
当时，；当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，所以，所以D正确.
故选：BCD.
第Ⅱ卷
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．的展开式中，常数项为 （用数字作答）．
【答案】15
【分析】求出二项式展开式的通项公式，令的次数为0，求出的值，代入通项公式中可求得常数项.
【详解】展开式的通项为，
令，得，
所以常数项为.
故答案为：15.
14．已知函数在时取得极大值4，则 ．
【答案】
【分析】利用导数研究函数的极值，待定系数计算并验证即可.
【详解】由题意可知，
因为函数在时取得极大值4，所以，
解之得，
检验，此时，令或，
令，
即在上单调递增，在上单调递减，即满足题意，
故.
故答案为：
15．《九章算术》、《数书九章》、《周髀算经》是中国古代数学著作，甲、乙、丙三名同学计划每人从中选择一种来阅读，若三人选择的书不全相同，则不同的选法有 种．
【答案】
【分析】先求出三人选书没有要求的选法，再排除三人选择的书完全相同的选法即可.
【详解】若三人选书没有要求，则有种，
若三人选择的书完全相同，则有种，
所以三人选择的书不全相同，不同的选法有种.
故答案为：.
16．若实数t是方程的根，则的值为 .
【答案】
【分析】将方程进行合理变形可得，利用同构函数并结合定义域可构造函数，即可得出，利用对数运算即可得出结果.
【详解】由可得，即
即可得实数t是方程的根，即；
易知，所以；
令函数，则在上恒成立；
所以在上单调递增，因此需满足；
可得，
同时取对数得，即；
所以，即.
故答案为：
【点睛】关键点点睛：本题关键在于将方程变形后利用同构函数构造出，再结合定义域可知，可得定义域为，再利用单调性即可求得结果.
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
17．（10分）已知的展开式中的所有二项式系数之和为32．
(1)求的值；
(2)求展开式中的系数．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）（2）由二项式定理求解．
【详解】（1）由题意可得，，解得；
（2），
二项展开式的通项为
由，得．
展开式中的系数为．
18．（12分）记函数的导函数为，已知，．
(1)求实数的值；
(2)求函数在上的值域．
【答案】(1)
(2)．
【分析】（1）求导，即可代入求解，
（2）根据导数确定单调性，即可根据单调性求解极值以及端点处的函数值，比较大小即可.
【详解】（1）
因为，所以，解得
（2）由（1）可知
由，解得或；由，解得
所以函数在，单调递增；在单调递减
又，，，．
所以，，
所以函数在上的值域为．
19．（12分）（1）已知，计算：；
（2）解方程：．
【答案】（1）126；（2）．
【分析】（1）根据给定条件，利用组合数的性质求出并计算得解.
（2）利用组合计算公式、排列数公式求解即得.
【详解】（1）因为，则，解得，经验证符合题意，
所以
.
（2）由，得，
即，而由，知，解得，
所以原方程的解为.
20．（12分）电影《志愿军雄兵出击》讲述了在极其简陋的装备和极寒严酷环境下，中国人民志愿军凭着钢铁意志和英勇无畏的精神取得入朝作战第一阶段战役的胜利，著名的“松骨峰战斗”在该电影中就有场景.现有3名男生和4名女生相约一起去观看该影片，他们的座位在同一排且连在一起．（列出算式，并计算出结果）
(1)女生必须坐在一起的坐法有多少种？
(2)女生互不相邻的坐法有多少种？
(3)甲、乙两位同学相邻且都不与丙同学相邻的坐法有多少种？
【答案】(1)576
(2)144
(3)960
【分析】（1）由捆绑法即可得到结果；
（2）由插空法即可得到结果；
（3）结合捆绑法与插空法代入计算，即可得到结果.
【详解】（1）先将4名女生排在一起，有种排法，
将排好的女生视为一个整体，再与3名男生进行排列，共有种排法，
由分步乘法计数原理，共有种排法；
（2）先将3名男生排好，共有种排法，
在这3名男生中间以及两边的4个空位中插入4名女生，共有种排法，
再由分步乘法计数原理，共有种排法；
（3）先将甲乙丙以外的其余4人排好，共有种排法，
由于甲乙相邻，则有种排法，
最后将排好的甲乙这个整体与丙分别插入原先排好的4人的5个空隙中，
共有种排法，
由分步计数原理，共有种排法.
21．（12分）已知函数（为常数）
1）讨论函数的单调性；
2）不等式在上恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）时，递增，时，在递减，递增；（2）.
【分析】（1）求出导函数，分类讨论确定的正负得单调性；
（2）分离参数法变形不等式，转化为求新函数的最值，得出结论．
【详解】（1）函数定义域是，
，
时，恒成立，在上是增函数；
a 0时，时，，递减，时，，递增．
（2）即在上恒成立，则，
设，则，时，，递增，时，，递减，，所以．
22．（12分）已知函数，.
(1)当时，求证：；
(2)求函数的零点个数.
【答案】(1)证明见解析
(2)个
【分析】（1）利用导数求出的单调区间，从而得到的最小值，即可证明；（2）由（1）可得当时，，则，令，利用导数求出的单调区间，得到的最小值，从而求得零点个数.
【详解】（1）当时，，则，令，解得，
当时，，则在上单调递减，
当时，，则在上单调递增，
.
（2）由（1）知当时，，即，
，，
令，则，
当时，，单调递减；当时，，单调递增，
最小值为，，
，无零点.
