【多媒体导学案】人教版数学八年级上册第十三章第10课时 含30°角的直角三角形（教师版）

一、学习目标 探索并掌握含30°角直角三角形的性质；会应用该性质进行相关的证明和计算．
二、知识回顾 一、等边三角形的性质1．等边三角形的三条边相等；2．等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°；3．等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴；4．等边三角形每条边上的中线、高线和所对角的平分线都相互重合．二、等边三角形的判定1．三边相等的三角形是等边三角形；2．三个角都相等的三角形是等边三角形；3．有一个内角等于60°的等腰三角形是等边三角形．
三、新知讲解 含30°角的直角三角形的性质性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．几何语言：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，∴BC=AB． ( http: / / www.21cnjy.com )
四、典例探究 扫一扫，有惊喜哦！1．利用含30°角的直角三角形的性质求解【例1】（2014秋 乳山市期中）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB+BC=12cm，则AB等于（　　） ( http: / / www.21cnjy.com )A．6cm B．7cm C．8cm D．9cm总结：应用含30°角的直角三角形的性质时要注意：（1）该性质是含30°角的直角三角形特有的定理，非直角三角形或一般直角三角形不能应用；（2）应用时，要注意找准30°的角所对的直角边及斜边．【例2】（2013秋 宝塔区校级期中）如图，在△ABC中，AB=AC=2a，∠ABC =15°．求S△ABC． ( http: / / www.21cnjy.com )总结：当题目中出现15°或150°的角时 ( http: / / www.21cnjy.com )，可在三角形外作高线构造直角三角形，利用外角性质得到30°角，进而利用直角三角形中30°角所对直角边等于斜边的一半进行求解.练1．（2014秋 利通区校级期末）如图， ( http: / / www.21cnjy.com )在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，CD⊥AB于点D，若AD=2，则：∠ACD=　 　°，AC=　 　，AB=　 　． ( http: / / www.21cnjy.com )练2．某市在“旧城改造”中，计划在市内一块如图所示的三角形空地中种植草皮美化环境，已知这种草皮每平方米要80元，求买这种草皮至少需多少元． ( http: / / www.21cnjy.com )2．利用含30°角的直角三角形证明【例3】（2012秋 福泉市期末）如图，△ABC中，∠ACB=90°，CD是高，∠A=30°，求证：BD=AB． ( http: / / www.21cnjy.com )总结：含30°角的直角三角形的性质定理为证 ( http: / / www.21cnjy.com )明一条线段是另一条线段的一半（或2倍）提供了重要的理论依据，实际证明中，往往要用到线段间的等量代换才能得证．【例4】如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，DE⊥AB，且BE=AE．求证：DC=2BD． ( http: / / www.21cnjy.com )总结：“30°角”的性质常常用来证明线段的倍分关系，在含30°角的直角三角形中证明有关结论，有以下四种常见思路：（1）若题目中出现含30°或60°角的直角三角形，则可直接运用性质证明；（2）若题目中只出现30°或60°的角，则可通过作高等方法构造直角三角形；（3）若题目中出现15°或150°的角，则在三角形外作高线构造直角三角形；（4）若题目中出现90°和60°（或30°）的角，但没有出现三角形，则可通过延长边等方法构造直角三角形．练3．如图，在△ABC中， ( http: / / www.21cnjy.com )∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，过点D作DE⊥AB．DE恰好是∠ADB的平分线．CD与DB有怎样的数量关系？请说明理由． ( http: / / www.21cnjy.com )练4．（2011秋 庐阳区期末）如图： ( http: / / www.21cnjy.com )△ABC中，∠B=60°，AB=10，BC=6，D为BC上一点，且BD=2DC，连接AD．求证：AD=AC． ( http: / / www.21cnjy.com )
五、课后小测 一、选择题1．（2013秋 建阳市期末）如图 ( http: / / www.21cnjy.com )，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，CD是斜边AB上的高，AD=3cm，则AB的长度是（　　） ( http: / / www.21cnjy.com )A．3cm B．6cm C．9cm D．12cm2．（2015 宜城市模拟）如图， ( http: / / www.21cnjy.com )已知∠AOB=60°，点P在边OA上，OP=8，点M，N在边OB上，PM=PN，若MN=2，则ON=（　　） ( http: / / www.21cnjy.com )A．6 B．5 C．4 D．3二、填空题3．（2013秋 新浦区校级月考）如图，铁路 ( http: / / www.21cnjy.com )AC与铁路AD相交于车站A，B区在∠CAD的平分线上，且距车站A为20千米，∠DAC=60°，则B区距铁路AC的距离为　 　千米． ( http: / / www.21cnjy.com )4．（2013秋 中江县期末）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，D是BC的中点，DE⊥AC．则AB：AE=　 　． ( http: / / www.21cnjy.com )三、解答题5．（2015春 娄底期中）如图，△ABC中，∠BAC=90°，AD是△ABC的高，∠C=30°，BC=4，求BD的长． ( http: / / www.21cnjy.com )6．（2014秋 龙口市期 ( http: / / www.21cnjy.com )末）如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB交CB于点D，过点D作DE⊥AB于点E，若∠B=30°，CD=5．（1）求BD的长；（2）AE与BE相等吗？说明理由． ( http: / / www.21cnjy.com )7．（2014秋 五常市校级期中）如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥AC交BC于点D，求证：BC=3AD． ( http: / / www.21cnjy.com )8．（2013春 修水县校级期末）如图，在△ABC中，AB=AC=8cm，∠A=30°，求△ABC的面积． ( http: / / www.21cnjy.com )9．（2011 永嘉县校级自主招生）如图，在△ABC中，AD交边BC于点D，∠BAD=15°，∠ADC=4∠BAD，DC=2BD．（1）求∠B的度数；（2）求证：∠CAD=∠B． ( http: / / www.21cnjy.com )10．（2009 河北模拟）在四边形ABCD中，对角线AC平分∠DAB，∠DAB=120°，∠B=∠D=90°，求证：AB+AD=AC． ( http: / / www.21cnjy.com )11．（2008秋 莒南 ( http: / / www.21cnjy.com )县月考）如图，已知某船于上午8点在A处观测小岛C在北偏东60°方向上．该船以每小时40海里的速度向东航行到B处，此时测得小岛C在北偏东30°方向上．船以原速度再继续向东航行2小时到达小岛C的正南方D点．求船从A到D一共走了多少海里？ ( http: / / www.21cnjy.com )12．如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC边上的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足为E，F，∠BAC=120°，求证：DE+DF=BC． ( http: / / www.21cnjy.com )
典例探究答案：
【例1】【解析】根据含30°角的直角三角形的性质，易知AB=2BC，联立AB+BC=12cm，即可求得AB、BC的长．
解：Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，
∴AB=2BC.
∴AB+BC=3BC=12cm，即BC=4cm，AB=2BC=8cm．
故选C．
点评：此题考查的是直角三角形中30°角的性质：在直角三角形中，30°角所对直角边等于斜边的一半．
【例2】【解析】如图，延长BA，过点C作CD⊥AD，则根据“等腰△ABC的两个底角相等”及三角形外角性质推知∠DAC=30°．由“30度角所对的直角边等于斜边的一半”得到CD=AC=a．最后由三角形的面积公式来解题．
解：如图，延长BA，过点C作CD⊥AD，
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∵AB=AC
∴∠ABC=∠ACB=15°，
∵∠DAC是△ABC的外角，
∴∠DAC=30°，
∴CD=AC=a，
∴S△ABC=AB CD=×2a×a=a2．
点评：本题考查了含30度角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质．应用时，要注意找准30°的角所对的直角边与斜边．
练1．【解析】根据同角的余角相等可得出∠ACD=∠B，可得到AC长，在直角三角形BCA中，可得出AB．
解：∵∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠BCD=90°，
∵CD⊥AB，
∴∠ADC=90°，
∴∠ACD+∠A=90°，
∴∠ACD=∠B=30°，
∵AD=2，
∴AC=4，
在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，
∴AB=2AC=8，
故答案为：30；4；8．
点评：本题考查了含30°角的直角三角形的性质，30°所对的直角边等于斜边的一半．是基础知识要熟练掌握．
练2．【解析】作BA边的高CD，设与B ( http: / / www.21cnjy.com )A的延长线交于点D，则∠DAC=30°，由AC=60m，即可求出CD=30m，然后根据三角形的面积公式即可推出△ABC的面积为600m2，最后根据每平方米的售价即可推出结果．
解：如图，作BA边的高CD，设与BA的延长线交于点D，
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∵∠BAC=150°，
∴∠DAC=30°，
∵CD⊥BD，AC=60m，
∴CD=30m，
∵AB=40m，
∴S△ABC=AB×CD=×40×30=600m2，
∵每平方米售价80元，
∴购买这种草皮的价格为600×80=48000元．
答：买这种草皮至少需48000元．
点评：本题主要考查三角形的面积公式，含 ( http: / / www.21cnjy.com )30度角的直角三角形的性质，关键在于做出AB边上的高，根据相关的性质推出高CD的长度，正确的计算出△ABC的面积．
【例3】【解析】根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质求出BC=AB，再求出∠BCD=30°，再次利用此性质解答即可得证．
证明：∵∠ACB=90°，∠A=30°，
∴BC=AB，（直角三角形中，30°所对直角边等于斜边的一半），
∵CD是高，
∴∠ADC=90°，
∴∠ACD=60°，
∴∠BCD=30°，
∴BD=BC，
∴BD=AB．
点评：本题考查了直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，两次利用性质是解题的关键．
【例4】【解析】连接AD．在△ABC中，根据等边对等角的性质及三角形内角和定理求出∠B=∠C=（180°﹣∠BAC）=30°．由DE是AB的垂直平分线得出AD=BD，那么∠BAD=∠B=30°，那么∠DAC=∠BAC﹣∠BAD=90°．然后在Rt△ADC中，根据30°角所对的直角边等于斜边的一半，得出DC=2AD，等量代换即可得到DC=2BD．
证明：连接AD．
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∵在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，
∴∠B=∠C=（180°﹣∠BAC）=30°．
∵DE⊥AB，BE=AE，
∴AD=BD.
∴∠BAD=∠B=30°.
∴∠DAC=∠BAC﹣∠BAD=120°﹣30°=90°．
∵在Rt△ADC中，∠DAC=90°，∠C=30°，
∴DC=2AD，
∴DC=2BD．
点评：本题考查了含30度角的直角三 ( http: / / www.21cnjy.com )角形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，垂直平分线的性质，难度适中，熟记并灵活应用各性质是解题的关键．
练3．【解析】由条件先证△AED≌△BED，得出∠BAD=∠CAD=∠B，再根据直角三角形两锐角的和为90°，求得∠B=30°，即可得到CD=DB．
解：CD=DB．理由如下：
∵DE⊥AB，
∴∠AED=∠BED=90°，
∵DE是∠ADB的平分线，
∴∠ADE=∠BDE，
又∵DE=DE，
∴△AED≌△BED（ASA），
∴AD=BD，∠DAE=∠B，
∵∠BAD=∠CAD=∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD=∠B，
∵AD=BD，∠BAD+∠CAD+∠B=90°，
∴∠B=∠BAD=∠CAD=30°，
在直角三角形ACD中，∠CAD=30°，
∴CD=AD=BD，
即CD=DB．
点评：本题考查了含30度角的直角三角形的 ( http: / / www.21cnjy.com )性质：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．也考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形两锐角和为90°的性质．
练4．【解析】先过A作BC的垂线，交 ( http: / / www.21cnjy.com )BC于E，在直角三角形ABE中，利用30°角所对的边等于斜边的一半，可求BE的长，再根据已知，利用线段的和差可得E是CD的中点，从而证得△ACD是等腰三角形，即AC=AD．
证明：过A作BC的垂线，交BC于E．
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∵∠B=60°，
∴∠BAE=30°，
∴BE=AB=10×=5．
∵BC=6且BD=2DC，
∴BD=4，CD=2，
∴E是CD的中点，
∴E既为垂足又为中点，
∴△ACD是等腰三角形，
∴AC=AD．
点评：本题考查了含30°角的直角三角形的性质和等腰三角形的判定，也可以运用三角函数的知识进行解答．
课后小测答案：
一、选择题
1．【解析】在Rt△ABC中，
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∵CD是斜边AB上的高，
∴∠ADC=90°，
∴∠ACD=∠B=30°（同角的余角相等），
∵AD=3cm，
在Rt△ACD中，AC=2AD=6cm，
在Rt△ABC中，AB=2AC=12cm．
∴AB的长度是12cm．
故选D．
2．【解析】过P作PD⊥OB于点D，
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在Rt△OPD中，∵∠ODP=90°，∠POD=60°，
∴∠OPD=30°，
∴OD=OP=×8=4，
∵PM=PN，PD⊥MN，MN=2，
∴MD=ND=MN=1，
∴ON=OD+DN=4+1=5．
故选：B．
二、填空题
3．【解析】过点B作BE⊥AC于点E，
在Rt△BAE中，BA=20，∠BAE=30°，
所以BE=AB=10．
故应填10．
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4．【解析】如图，连接AD，
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∵AB=AC，D是BC的中点，
∴AD⊥BC，
∵∠BAC=120°，AB=AC，
∴∠C=（180°﹣120°）=30°，
∵DE⊥AC，
∴∠ADE=∠C=30°，
在Rt△ADE中，AD=2AE，
在Rt△ACD中，AC=2AD=4AE，
∵AB=AC，
∴AB：AE=4：1．
故答案为：4：1．
三、解答题
5．【解析】如图，∵在△ABC中，∠BAC=90°，∠C=30°，AD是高，
∴∠ADB=90°，∠BAD=∠C=30°，
∴在直角△ABC中，AB=BC=2，
∴在直角△ABC中，BD=AB=1．
∴BD的长为1．
6．【解析】（1）∵AD平分∠CAB，∠C=90°，DE⊥AB，
∴CD=DE=5，
∵∠B=30°，
∴BD=2DE=10，
（2）AE与BE相等，理由如下：
∵在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，
∴∠CAB=60°，
∵AD平分∠CAB交CB于点D，
∴∠DAB=30°，
∴AD=BD，
∵DE⊥AB，
∴AE=BE．
7．【证明】在△ABC中，
∵AB=AC，∠BAC=120°，
∴∠B=∠C=30°，
又∵AD⊥AC，
∴∠DAC=90°，
∵∠C=30°
∴CD=2AD，∠BAD=∠B=30°，
∴AD=DB，
∴BC=CD+BD=AD+DC=AD+2AD=3AD．
8．【解析】过B作BD⊥AC于D，则∠BDA=90°，
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∵∠A=30°，
∴BD=AB=×8cm=4cm，
∴△ABC的面积是×AC×BD=×8cm×4cm=16cm2，
答：△ABC的面积是16cm2．
9．【解析】（1）解：∵∠BAD=15°，∠ADC=4∠BAD，
∴∠ADC=60°，
∴∠B=60°﹣15°=45°；
（2）证明：过C作CE⊥AD于E，连接EB．
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∵∠ECD=90°﹣60°=30°
∴DC=2ED，
∵DC=2BD，
∴ED=BD，
∴∠DBE=∠DEB=∠ECD=30°，
∴∠EBA=45°﹣30°=15°=∠BAD，
∴AE=EC=EB，
∴∠CAD=∠ABD=45°．
10．【证明】∵在四边形ABCD中，对角线AC平分∠DAB，∠DAB=120°，∠B=∠D=90°，
∴在直角△ABC中，∠BAC=60°=∠DAC，AC公共，
∴△ABC≌△ADC（AAS），
∴∠ACB=30°=∠ACD，
∴AB=AC，
而AB=AD，
∴AB+AD=AC．
11．【解析】由题意知∠CAD=30°，∠CBD=60°，
在△BCD中，∠CBD=60°，
∴∠BCD=30°，
∴BC=2BD，
∵船从B到D走了2小时，船速为每小时40海里，
∴BD=80海里，
∴BC=160海里，
由∠CBD=60°，得∠ABC=120°，
∵∠CAD=30°，
∴∠ACB=30°，
∴AB=BC，
∴AB=160海里，
∵AD=AB+BD，
∴AD=160+80=240（海里）．
因此船从A到D一共走了240海里．
12．【证明】∵AB=AC，∠BAC=120°，
∴∠B=∠C=30°，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，垂足为E，F，
∴DE=BD，DF=DC，
∴DE+DF=BD+DC=（BD+DC）=BC．
∴DE+DF=BC．