【多媒体导学案】人教版数学八年级上册第十三章第6课时 等腰三角形的性质（教师版）
文档属性
| 名称 | 【多媒体导学案】人教版数学八年级上册第十三章第6课时 等腰三角形的性质（教师版） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 183.1KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版（新课程标准） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2015-10-10 10:45:35 | ||
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文档简介
一、学习目标 进一步认识等腰三角形，了解等腰三角形是轴对称图形；发现并归纳等腰三角形的性质；掌握等腰三角形两个底角相等及“三线合一”的性质，并运用等腰三角形的性质解决问题；体会分类思想和方程思想的重要性．
二、知识回顾 等腰三角形的概念有两边相等的三角形叫等腰三角形． ( http: / / www.21cnjy.com )等腰三角形中，相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角．
三、新知讲解 1．等腰三角形的性质性质1：等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）．符号语言：在△ABC中，若AB=AC，则∠B=∠C．图示：性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合（简称“三线合一”）．符号语言：在△ABC中，（1）若AB=AC，∠BAD=∠CAD，则BD=CD，AD⊥BC于D；（2）若AB=AC，BD=CD，则∠BAD=∠CAD，AD⊥BC于D；（3）若AB=AC，AD⊥BC于D，则∠BAD=∠CAD，BD=CD．图示：2．等腰三角形的轴对称性等腰三角形是轴对称图形，底边上的中线（或顶角平分线、底边上的高）所在的直线就是它的对称轴．
四、典例探究 扫一扫，有惊喜哦！1．已知等腰三角形一角求其余两角 【例1】（2014秋 聊城期末）等腰三角形的一个内角是50°，则另外两个角的度数分别是（ ）A．65°，65° B．50°，80°C．65°，65°或50°，80° D．50°，50°总结：遇到等腰三角形的问题时，注意：边有腰与底边之分，角有底角和顶角之分，没有说明的情况下要分类讨论．练1．（2014 昌宁县二模）等腰三角形的一个外角等于100°，则与它不相邻的两个内角的度数分别为（ ）A．40° 40° B．80° 20°C．50° 50° D．50° 50°或80° 20°2．根据等边对等角求角度【例2】（2014秋 定州市期中）如图， ( http: / / www.21cnjy.com )在△ABC中，∠ABC=50°，∠ACB=80°，延长CB至D，使DB=BA，延长BC至E，使CE=CA，连接AD，AE．求∠D，∠E，∠DAE的度数． ( http: / / www.21cnjy.com )总结：当一个三角形中有两条边相等时，可充分利用“等边对等角”，把边相等的关系转化为角相等，再结合三角形内角和定理、外角性质来求角的度数．练2．（2014秋 镇康县校级期中）如图，D是△ABC中BC边上一点，AB=AC=BD，已知∠1=70°，求∠2的度数． ( http: / / www.21cnjy.com )3．根据等边对等角证明【例3】（2012秋 海淀区期末）如图，在△ABC中，AB=AC，D是△ABC内一点，且BD=DC．求证：∠ABD=∠ACD． ( http: / / www.21cnjy.com )总结：“等边对等角”常用来证明两角相等.注意：应用的时候，两个角必须在同一个三角形中．练3．（2014 越秀区校级一模）如图所示，点D为△ABC的边AB的中点，且AD=CD．求证：∠ACB=90°． ( http: / / www.21cnjy.com )4．根据三线合一证明【例4】（2014秋 福州校级期中）如图， ( http: / / www.21cnjy.com )在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，∠ACB的平分线交AD于点E，求证：点E在∠ABC的平分线上． ( http: / / www.21cnjy.com )总结：1．“三线合一”是用来证明两角相等、两线段相等及两条直线互相垂直的重要依据.2．“三线合一”不能逆过来用，即：一个三角 ( http: / / www.21cnjy.com )形中，已知三线中的“二线”重合（如高和角平分线重合），那么不能直接说明这个三角形是等腰三角形.但可以通过三角形全等来证明这个三角形是等腰三角形.练4．（2013秋 洪山区期中）如图，点D、E在△ABC的边BC上，AD=AE，BD=CE，求证：AB=AC． ( http: / / www.21cnjy.com )
五、课后小测 一、选择题1．（2015 徐州一模）如果等腰三角形的底角为50°，那么它的顶角为（ ）A．50° B．60° C．70° D．80°3．（2014 盐城）若等腰三角形的顶角为40°，则它的底角度数为（ ）A．40° B．50° C．60° D．70°3．（2014 碑林区校级模拟）如图，△ABC中，AB=AC，∠A=40°，则∠B的度数为（ ） ( http: / / www.21cnjy.com )A．60° B．70° C．75° D．80°4．（2015 武汉模拟）如图，AB=AC=AD，若∠BAD=80°，则∠BCD=（ ） ( http: / / www.21cnjy.com )A．80° B．100° C．140° D．160°5．（2014 宜昌）如图 ( http: / / www.21cnjy.com )，在△ABC中，AB=AC，∠A=30°，以B为圆心，BC的长为半径圆弧，交AC于点D，连接BD，则∠ABD=（ ） ( http: / / www.21cnjy.com )A．30° B．45° C．60° D．90°6．（2014 苏州）如图，在△ABC中，点D在BC上，AB=AD=DC，∠B=80°，则∠C的度数为（ ） ( http: / / www.21cnjy.com )A．30° B．40° C．45° D．60°7．（2014 南充）如图，在△ABC中，AB=AC，且D为BC上一点，CD=AD，AB=BD，则∠B的度数为（ ） ( http: / / www.21cnjy.com )A．30° B．36° C．40° D．45°8．（2014 南充模拟）等腰三角形一个角为50°，则这个等腰三角形的顶角可能为（ ）A．50° B．65° C．80° D．50°或80°9．（2014 青羊区校级模拟）如图，AB=AC，∠B=50°，D是BC中点，则∠DAC度数为（ ） ( http: / / www.21cnjy.com )A．30° B．40° C．50° D．70°二、解答题10．（2014 甘肃模拟）如图，已知AB=AC，BD⊥AC于点D，求证：∠DBC=∠BAC． ( http: / / www.21cnjy.com )11．（2014春 白下区校级期末）已知：如图，△ABC中，AB=AC，∠EAC是△ABC的外角，AD平分∠EAC．求证：AD∥BC． ( http: / / www.21cnjy.com )12．（2014秋 平南县期中）如图，△ABC中，∠A=80°，BD=BE，CD=CF．求∠EDF的度数． ( http: / / www.21cnjy.com )13．（2014秋 化德县校级期中）如图，△ABC中，AB=AC=CD，BD=AD，求△ABC中各角的度数． ( http: / / www.21cnjy.com )14．（2013秋 泉州校级期末）如图，AD是等腰△ABC的底边BC上的中线，P是直线AD上任意一点，求证：BP=CP． ( http: / / www.21cnjy.com )
典例探究答案：
【例1】【解析】本题可根据三角形的内角和定理求解．由于50°角可能是顶角，也可能是底角，因此要分类讨论．
解：当50°是底角时，顶角为180°﹣50°×2=80°；
当50°是顶角时，底角为（180°﹣50°）÷2=65°．
故选：C．
点评：本题主要考查了等腰三角形的性质，及三角形内角和定理．
练1．【解析】先求出与这个外角相邻的内角的度数，再根据等腰三角形两底角相等分情况讨论求解．
解：∵一个外角等于100°，
∴与这个外角相邻的内角是180°﹣100°=80°，
①80°角是顶角时，底角是（180°﹣80°）=50°，
与它不相邻的两个内角的度数分别为50°，50°；
②80°角是底角时，顶角是180°﹣80°×2=20°，
与它不相邻的两个内角的度数分别为80°，20°，
综上所述，与它不相邻的两个内角的度数分别为50°，50°或80°，20°．
故选D．
点评：本题考查了等腰三角形的性质，主要利用了等腰三角形两底角相等，难点在于要分情况讨论．
【例2】【解析】由题意知△ABD和△A ( http: / / www.21cnjy.com )CE均为等腰三角形，可由三角形内角和定理求得∠BAC的度数，用三角形的外角与内角的关系求得∠D与∠E的度数，即可求得∠DAE的度数．
解：∵∠ABC=50°，∠ACB=80°，
∴∠BAC=180°﹣∠ABC﹣∠ACB=180°﹣50°﹣80°=50°.
∵DB=BA，
∴∠D=∠DAB=∠ABC=25°.
∵CE=CA，
∴∠E=∠CAE=∠ACB=40°，
∴∠DAE=∠DAB+∠BAC+∠CAE=25°+50°+40°=115°．
点评：本题考查的是等腰三角形的性质，熟知等边对等角、三角形的外角与内角的关系、三角形的内角和定理是正确解答本题的关键．
练2．【解析】根据等腰三角形两底角 ( http: / / www.21cnjy.com )相等可得∠1=∠BAD，再求出∠B，然后根据等腰三角形的性质求出∠BAC，再根据∠2=∠BAC﹣∠BAD计算即可得解．
解：∵AB=BD，∠1=70°，
∴∠1=∠BAD=70°，
在△ABD中，∠B=180°﹣2×70°=40°，
∵AB=AC，
∴∠BAC=180°﹣2×40°=100°，
∴∠2=∠BAC﹣∠BAD=100°﹣70°=30°．
故∠2的度数是30°．
点评：本题考查了等腰三角形两底角相等的性质，等边对等角的性质，是基础题，准确识图是解题的关键．
【例3】【解析】先根据等腰三角形的性质可得∠ABC=∠ACB，∠1=∠2，再根据角的和差关系即可求解．
证明：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB．
∵BD=CD．
∴∠1=∠2．
∴∠ABC-∠1=∠ACB-∠2．
即∠ABD=∠ACD．
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点评：本题考查了等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）．
练3．【解析】先由AD=CD，根据 ( http: / / www.21cnjy.com )等边对等角得出∠ACD=∠A，再由中点的定义得到AD=BD，则BD=CD，∠BCD=∠B，然后在△ABC中，根据三角形内角和定理得出∠A+∠B+（∠ACD+∠BCD）=180°，即可证明∠ACD+∠BCD=90°，即∠ACB=90°．
证明：∵AD=CD，
∴∠ACD=∠A．
∵点D为△ABC的边AB的中点，
∴AD=BD，
∵AD=CD，
∴BD=CD，
∴∠BCD=∠B．
∵∠A+∠B+（∠ACD+∠BCD）=180°，
∴∠ACD+∠BCD+（∠ACD+∠BCD）=180°，
∴2（∠ACD+∠BCD）=180°，
∴∠ACD+∠BCD=90°，
即∠ACB=90°．
点评：本题考查了等腰三角形等边对等角的性质，中点的定义，三角形内角和定理，比较简单．
【例4】【解析】首先根据等腰三角形的性质确定 ( http: / / www.21cnjy.com )AD是底边上的中线和高，然后利用垂直平分线的性质得到EB=EC，进而得到∠EBD=∠ECD，从而证得结论．
证明：∵AB=AC，AD是BC边上的中线，
∴AD垂直平分BC，∠ABC=∠ACB，
∵点E在BC的垂直平分线上，
∴EB=EC，
∴∠EBD=∠ECD，
∵∠ACB的平分线交AD于点E，
∴点E在∠ABC的平分线上
点评：本题考查了等腰三角形的性质，解题的关键是了解等腰三角形底边上的中线、底边上的高及顶角的平分线三线合一，难度不大．
练4．【解析】首先过点F作 ( http: / / www.21cnjy.com )AF⊥BC于点F，由AD=AE，根据三线合一的性质，可得DF=EF，又由BD=CE，可得BF=CF，然后由线段垂直平分线的性质，可证得AB=AC．
证明：过点F作AF⊥BC于点F，
( http: / / www.21cnjy.com )
∵AD=AE，
∴DF=EF，
∵BD=CE，
∴BF=CF，
∴AB=AC．
点评：此题考查了等腰三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
课后小测答案：
一、选择题
1．【解析】∵三角形是等腰三角形，
∴两个底角相等，
∵等腰三角形的一个底角是50°，
∴另一个底角也是0°，
∴顶角的度数为180°﹣50°﹣50°=80°．
故选D．
2．【解析】因为等腰三角形的两个底角相等，
又因为顶角是40°，
所以其底角为=70°．
故选：D．
3．【解析】∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵∠A=40°，
∴∠B=（180°﹣40°）÷2=70°．
故选B．
4．【解析】∵∠BAD=80°，
∴∠B+∠BCD+∠D=280°，
∵AB=AC=AD，
∴∠B=∠ACB，∠ACD=∠D，
∴∠BCD=280°÷2=140°，
故选C．
5．【解析】∵AB=AC，∠A=30°，
∴∠ABC=∠ACB=（180°﹣∠A）=（180°﹣30°）=75°，
∵以B为圆心，BC的长为半径圆弧，交AC于点D，
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∴BC=BD，
∴∠CBD=180°﹣2∠ACB=180°﹣2×75°=30°，
∴∠ABD=∠ABC﹣∠CBD=75°﹣30°=45°．
故选：B．
6．【解析】∵△ABD中，AB=AD，∠B=80°，
∴∠B=∠ADB=80°，
∴∠ADC=180°﹣∠ADB=100°，
∵AD=CD，
∴∠C= =40°．
故选：B．
7．【解析】∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵AB=BD，
∴∠BAD=∠BDA，
∵CD=AD，
∴∠C=∠CAD，
∵∠BAD+∠CAD+∠B+∠C=180°，
∴5∠B=180°，
∴∠B=36°
故选：B．
8．【解析】分两种情况：
当50°角为等腰三角形的顶角时，此时等腰三角形的顶角50°；
当50°角为等腰三角形的底角时，此时等腰三角形的顶角为：180°﹣50°×2=80°，
综上，等腰三角形的顶角为50°或80°．
故选D．
9．【解析】∵AB=AC，D是BC中点
∴AD是∠BAC的角平分线
∵∠B=50°，
∴∠BAC=80°，∠DAC=40°，
故选B．
二、解答题
10．【证明】如图，过点A作AE⊥BC于E，
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∵AB=AC，
∴∠CAE=∠BAC，
又∵BD⊥AC，
∴∠CAE+∠C=∠DBE+∠C=90°，
∴∠DBC=∠CAE，
∴∠DBC=∠BAC．
11．【证明】∵AD平分∠EAC，
∴∠EAD=∠EAC．
又∵AB=AC，
∴∠B=∠C，∠EAC=∠B+∠C，
∴∠B=∠EAC．
∴∠EAD=∠B．
所以AD∥BC．
12．【解析】∵∠A+∠B+∠C=180°，∠A=80°，
∴∠B+∠C=100°，
∵BD=BE，CD=CF，
∴∠1=∠2∠3=∠4，
∵∠B+∠1+∠2=180°，∠C+∠3+∠4=180°，
∴∠2=（180°﹣∠B），∠4=（180°﹣∠C），
∵∠2+∠EDF+∠4=180°，
∴∠EDF=180°﹣∠2﹣∠4=180°﹣（180°﹣∠B）﹣（180°﹣∠C）=50°．
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13．【解析】∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵BD=AD，
∴∠B=∠DAB，
∵AC=DC，
∴∠DAC=∠ADC=2∠B，
∴∠BAC=∠BAD+∠DAC=∠B+2∠B=3∠B，
又∠B+∠C+∠BAC=180°，
∴5∠B=180°，
∴∠B=36°，∠C=36°，∠BAC=108°．
14．【解析】∵AD是等腰△ABC的底边BC上的中线，
∴AD⊥BC，AD平分∠BAC，
∴AP是BC的垂直平分线，
∴BP=CP．
二、知识回顾 等腰三角形的概念有两边相等的三角形叫等腰三角形． ( http: / / www.21cnjy.com )等腰三角形中，相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角．
三、新知讲解 1．等腰三角形的性质性质1：等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）．符号语言：在△ABC中，若AB=AC，则∠B=∠C．图示：性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合（简称“三线合一”）．符号语言：在△ABC中，（1）若AB=AC，∠BAD=∠CAD，则BD=CD，AD⊥BC于D；（2）若AB=AC，BD=CD，则∠BAD=∠CAD，AD⊥BC于D；（3）若AB=AC，AD⊥BC于D，则∠BAD=∠CAD，BD=CD．图示：2．等腰三角形的轴对称性等腰三角形是轴对称图形，底边上的中线（或顶角平分线、底边上的高）所在的直线就是它的对称轴．
四、典例探究 扫一扫，有惊喜哦！1．已知等腰三角形一角求其余两角 【例1】（2014秋 聊城期末）等腰三角形的一个内角是50°，则另外两个角的度数分别是（ ）A．65°，65° B．50°，80°C．65°，65°或50°，80° D．50°，50°总结：遇到等腰三角形的问题时，注意：边有腰与底边之分，角有底角和顶角之分，没有说明的情况下要分类讨论．练1．（2014 昌宁县二模）等腰三角形的一个外角等于100°，则与它不相邻的两个内角的度数分别为（ ）A．40° 40° B．80° 20°C．50° 50° D．50° 50°或80° 20°2．根据等边对等角求角度【例2】（2014秋 定州市期中）如图， ( http: / / www.21cnjy.com )在△ABC中，∠ABC=50°，∠ACB=80°，延长CB至D，使DB=BA，延长BC至E，使CE=CA，连接AD，AE．求∠D，∠E，∠DAE的度数． ( http: / / www.21cnjy.com )总结：当一个三角形中有两条边相等时，可充分利用“等边对等角”，把边相等的关系转化为角相等，再结合三角形内角和定理、外角性质来求角的度数．练2．（2014秋 镇康县校级期中）如图，D是△ABC中BC边上一点，AB=AC=BD，已知∠1=70°，求∠2的度数． ( http: / / www.21cnjy.com )3．根据等边对等角证明【例3】（2012秋 海淀区期末）如图，在△ABC中，AB=AC，D是△ABC内一点，且BD=DC．求证：∠ABD=∠ACD． ( http: / / www.21cnjy.com )总结：“等边对等角”常用来证明两角相等.注意：应用的时候，两个角必须在同一个三角形中．练3．（2014 越秀区校级一模）如图所示，点D为△ABC的边AB的中点，且AD=CD．求证：∠ACB=90°． ( http: / / www.21cnjy.com )4．根据三线合一证明【例4】（2014秋 福州校级期中）如图， ( http: / / www.21cnjy.com )在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，∠ACB的平分线交AD于点E，求证：点E在∠ABC的平分线上． ( http: / / www.21cnjy.com )总结：1．“三线合一”是用来证明两角相等、两线段相等及两条直线互相垂直的重要依据.2．“三线合一”不能逆过来用，即：一个三角 ( http: / / www.21cnjy.com )形中，已知三线中的“二线”重合（如高和角平分线重合），那么不能直接说明这个三角形是等腰三角形.但可以通过三角形全等来证明这个三角形是等腰三角形.练4．（2013秋 洪山区期中）如图，点D、E在△ABC的边BC上，AD=AE，BD=CE，求证：AB=AC． ( http: / / www.21cnjy.com )
五、课后小测 一、选择题1．（2015 徐州一模）如果等腰三角形的底角为50°，那么它的顶角为（ ）A．50° B．60° C．70° D．80°3．（2014 盐城）若等腰三角形的顶角为40°，则它的底角度数为（ ）A．40° B．50° C．60° D．70°3．（2014 碑林区校级模拟）如图，△ABC中，AB=AC，∠A=40°，则∠B的度数为（ ） ( http: / / www.21cnjy.com )A．60° B．70° C．75° D．80°4．（2015 武汉模拟）如图，AB=AC=AD，若∠BAD=80°，则∠BCD=（ ） ( http: / / www.21cnjy.com )A．80° B．100° C．140° D．160°5．（2014 宜昌）如图 ( http: / / www.21cnjy.com )，在△ABC中，AB=AC，∠A=30°，以B为圆心，BC的长为半径圆弧，交AC于点D，连接BD，则∠ABD=（ ） ( http: / / www.21cnjy.com )A．30° B．45° C．60° D．90°6．（2014 苏州）如图，在△ABC中，点D在BC上，AB=AD=DC，∠B=80°，则∠C的度数为（ ） ( http: / / www.21cnjy.com )A．30° B．40° C．45° D．60°7．（2014 南充）如图，在△ABC中，AB=AC，且D为BC上一点，CD=AD，AB=BD，则∠B的度数为（ ） ( http: / / www.21cnjy.com )A．30° B．36° C．40° D．45°8．（2014 南充模拟）等腰三角形一个角为50°，则这个等腰三角形的顶角可能为（ ）A．50° B．65° C．80° D．50°或80°9．（2014 青羊区校级模拟）如图，AB=AC，∠B=50°，D是BC中点，则∠DAC度数为（ ） ( http: / / www.21cnjy.com )A．30° B．40° C．50° D．70°二、解答题10．（2014 甘肃模拟）如图，已知AB=AC，BD⊥AC于点D，求证：∠DBC=∠BAC． ( http: / / www.21cnjy.com )11．（2014春 白下区校级期末）已知：如图，△ABC中，AB=AC，∠EAC是△ABC的外角，AD平分∠EAC．求证：AD∥BC． ( http: / / www.21cnjy.com )12．（2014秋 平南县期中）如图，△ABC中，∠A=80°，BD=BE，CD=CF．求∠EDF的度数． ( http: / / www.21cnjy.com )13．（2014秋 化德县校级期中）如图，△ABC中，AB=AC=CD，BD=AD，求△ABC中各角的度数． ( http: / / www.21cnjy.com )14．（2013秋 泉州校级期末）如图，AD是等腰△ABC的底边BC上的中线，P是直线AD上任意一点，求证：BP=CP． ( http: / / www.21cnjy.com )
典例探究答案：
【例1】【解析】本题可根据三角形的内角和定理求解．由于50°角可能是顶角，也可能是底角，因此要分类讨论．
解：当50°是底角时，顶角为180°﹣50°×2=80°；
当50°是顶角时，底角为（180°﹣50°）÷2=65°．
故选：C．
点评：本题主要考查了等腰三角形的性质，及三角形内角和定理．
练1．【解析】先求出与这个外角相邻的内角的度数，再根据等腰三角形两底角相等分情况讨论求解．
解：∵一个外角等于100°，
∴与这个外角相邻的内角是180°﹣100°=80°，
①80°角是顶角时，底角是（180°﹣80°）=50°，
与它不相邻的两个内角的度数分别为50°，50°；
②80°角是底角时，顶角是180°﹣80°×2=20°，
与它不相邻的两个内角的度数分别为80°，20°，
综上所述，与它不相邻的两个内角的度数分别为50°，50°或80°，20°．
故选D．
点评：本题考查了等腰三角形的性质，主要利用了等腰三角形两底角相等，难点在于要分情况讨论．
【例2】【解析】由题意知△ABD和△A ( http: / / www.21cnjy.com )CE均为等腰三角形，可由三角形内角和定理求得∠BAC的度数，用三角形的外角与内角的关系求得∠D与∠E的度数，即可求得∠DAE的度数．
解：∵∠ABC=50°，∠ACB=80°，
∴∠BAC=180°﹣∠ABC﹣∠ACB=180°﹣50°﹣80°=50°.
∵DB=BA，
∴∠D=∠DAB=∠ABC=25°.
∵CE=CA，
∴∠E=∠CAE=∠ACB=40°，
∴∠DAE=∠DAB+∠BAC+∠CAE=25°+50°+40°=115°．
点评：本题考查的是等腰三角形的性质，熟知等边对等角、三角形的外角与内角的关系、三角形的内角和定理是正确解答本题的关键．
练2．【解析】根据等腰三角形两底角 ( http: / / www.21cnjy.com )相等可得∠1=∠BAD，再求出∠B，然后根据等腰三角形的性质求出∠BAC，再根据∠2=∠BAC﹣∠BAD计算即可得解．
解：∵AB=BD，∠1=70°，
∴∠1=∠BAD=70°，
在△ABD中，∠B=180°﹣2×70°=40°，
∵AB=AC，
∴∠BAC=180°﹣2×40°=100°，
∴∠2=∠BAC﹣∠BAD=100°﹣70°=30°．
故∠2的度数是30°．
点评：本题考查了等腰三角形两底角相等的性质，等边对等角的性质，是基础题，准确识图是解题的关键．
【例3】【解析】先根据等腰三角形的性质可得∠ABC=∠ACB，∠1=∠2，再根据角的和差关系即可求解．
证明：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB．
∵BD=CD．
∴∠1=∠2．
∴∠ABC-∠1=∠ACB-∠2．
即∠ABD=∠ACD．
( http: / / www.21cnjy.com )
点评：本题考查了等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）．
练3．【解析】先由AD=CD，根据 ( http: / / www.21cnjy.com )等边对等角得出∠ACD=∠A，再由中点的定义得到AD=BD，则BD=CD，∠BCD=∠B，然后在△ABC中，根据三角形内角和定理得出∠A+∠B+（∠ACD+∠BCD）=180°，即可证明∠ACD+∠BCD=90°，即∠ACB=90°．
证明：∵AD=CD，
∴∠ACD=∠A．
∵点D为△ABC的边AB的中点，
∴AD=BD，
∵AD=CD，
∴BD=CD，
∴∠BCD=∠B．
∵∠A+∠B+（∠ACD+∠BCD）=180°，
∴∠ACD+∠BCD+（∠ACD+∠BCD）=180°，
∴2（∠ACD+∠BCD）=180°，
∴∠ACD+∠BCD=90°，
即∠ACB=90°．
点评：本题考查了等腰三角形等边对等角的性质，中点的定义，三角形内角和定理，比较简单．
【例4】【解析】首先根据等腰三角形的性质确定 ( http: / / www.21cnjy.com )AD是底边上的中线和高，然后利用垂直平分线的性质得到EB=EC，进而得到∠EBD=∠ECD，从而证得结论．
证明：∵AB=AC，AD是BC边上的中线，
∴AD垂直平分BC，∠ABC=∠ACB，
∵点E在BC的垂直平分线上，
∴EB=EC，
∴∠EBD=∠ECD，
∵∠ACB的平分线交AD于点E，
∴点E在∠ABC的平分线上
点评：本题考查了等腰三角形的性质，解题的关键是了解等腰三角形底边上的中线、底边上的高及顶角的平分线三线合一，难度不大．
练4．【解析】首先过点F作 ( http: / / www.21cnjy.com )AF⊥BC于点F，由AD=AE，根据三线合一的性质，可得DF=EF，又由BD=CE，可得BF=CF，然后由线段垂直平分线的性质，可证得AB=AC．
证明：过点F作AF⊥BC于点F，
( http: / / www.21cnjy.com )
∵AD=AE，
∴DF=EF，
∵BD=CE，
∴BF=CF，
∴AB=AC．
点评：此题考查了等腰三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
课后小测答案：
一、选择题
1．【解析】∵三角形是等腰三角形，
∴两个底角相等，
∵等腰三角形的一个底角是50°，
∴另一个底角也是0°，
∴顶角的度数为180°﹣50°﹣50°=80°．
故选D．
2．【解析】因为等腰三角形的两个底角相等，
又因为顶角是40°，
所以其底角为=70°．
故选：D．
3．【解析】∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵∠A=40°，
∴∠B=（180°﹣40°）÷2=70°．
故选B．
4．【解析】∵∠BAD=80°，
∴∠B+∠BCD+∠D=280°，
∵AB=AC=AD，
∴∠B=∠ACB，∠ACD=∠D，
∴∠BCD=280°÷2=140°，
故选C．
5．【解析】∵AB=AC，∠A=30°，
∴∠ABC=∠ACB=（180°﹣∠A）=（180°﹣30°）=75°，
∵以B为圆心，BC的长为半径圆弧，交AC于点D，
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∴BC=BD，
∴∠CBD=180°﹣2∠ACB=180°﹣2×75°=30°，
∴∠ABD=∠ABC﹣∠CBD=75°﹣30°=45°．
故选：B．
6．【解析】∵△ABD中，AB=AD，∠B=80°，
∴∠B=∠ADB=80°，
∴∠ADC=180°﹣∠ADB=100°，
∵AD=CD，
∴∠C= =40°．
故选：B．
7．【解析】∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵AB=BD，
∴∠BAD=∠BDA，
∵CD=AD，
∴∠C=∠CAD，
∵∠BAD+∠CAD+∠B+∠C=180°，
∴5∠B=180°，
∴∠B=36°
故选：B．
8．【解析】分两种情况：
当50°角为等腰三角形的顶角时，此时等腰三角形的顶角50°；
当50°角为等腰三角形的底角时，此时等腰三角形的顶角为：180°﹣50°×2=80°，
综上，等腰三角形的顶角为50°或80°．
故选D．
9．【解析】∵AB=AC，D是BC中点
∴AD是∠BAC的角平分线
∵∠B=50°，
∴∠BAC=80°，∠DAC=40°，
故选B．
二、解答题
10．【证明】如图，过点A作AE⊥BC于E，
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∵AB=AC，
∴∠CAE=∠BAC，
又∵BD⊥AC，
∴∠CAE+∠C=∠DBE+∠C=90°，
∴∠DBC=∠CAE，
∴∠DBC=∠BAC．
11．【证明】∵AD平分∠EAC，
∴∠EAD=∠EAC．
又∵AB=AC，
∴∠B=∠C，∠EAC=∠B+∠C，
∴∠B=∠EAC．
∴∠EAD=∠B．
所以AD∥BC．
12．【解析】∵∠A+∠B+∠C=180°，∠A=80°，
∴∠B+∠C=100°，
∵BD=BE，CD=CF，
∴∠1=∠2∠3=∠4，
∵∠B+∠1+∠2=180°，∠C+∠3+∠4=180°，
∴∠2=（180°﹣∠B），∠4=（180°﹣∠C），
∵∠2+∠EDF+∠4=180°，
∴∠EDF=180°﹣∠2﹣∠4=180°﹣（180°﹣∠B）﹣（180°﹣∠C）=50°．
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13．【解析】∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵BD=AD，
∴∠B=∠DAB，
∵AC=DC，
∴∠DAC=∠ADC=2∠B，
∴∠BAC=∠BAD+∠DAC=∠B+2∠B=3∠B，
又∠B+∠C+∠BAC=180°，
∴5∠B=180°，
∴∠B=36°，∠C=36°，∠BAC=108°．
14．【解析】∵AD是等腰△ABC的底边BC上的中线，
∴AD⊥BC，AD平分∠BAC，
∴AP是BC的垂直平分线，
∴BP=CP．