【多媒体导学案】人教版数学八年级上册第十三章第7课时 等腰三角形的判定（教师版）

一、学习目标 1．掌握判定等腰三角形的判定定理及其推论；2．已知一边会画等腰三角形；3．掌握等腰三角形的判定定理的应用．
二、知识回顾 1．什么是等腰三角形？　　有两边相等的三角形是等腰三角形．　　2．等腰三角形有哪些性质？性质1 　　等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）．　　性质2 　　等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（三线合一）．　　
三、新知讲解 等腰三角形的判定方法如果一个三角形有两个角相等，那么　　这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”）．　　如图，在△ABC中，∠B=∠C．求证：AB=AC． ( http: / / www.21cnjy.com )证明：作△ABC的角平分线AD． ( http: / / www.21cnjy.com )在△BAD和△CAD中，∴△BAD≌△CAD（AAS）∴AB=AC注意：“等角对等边”必须在同一个三角形中使用.等腰三角形的性质与判定的区别：性质是：等边 等角判定是：等角 等边
四、典例探究 扫一扫，有惊喜哦！1. 应用“等角对等边”证明等腰三角形【例1】如图，在△ABC中，∠A=36°，∠C=72°，∠ABC的平分线交AC于点D，则图中共有几个等腰三角形？请一一证明.总结：要证一个三角形是等腰三角形，就要证出有两条边相等，而等角对等边是证明两边相等的一个重要且常用的方法．练1已知：AE是△ABC的外角平分线，且AE∥BC．求证：△ABC是等腰三角形． ( http: / / www.21cnjy.com )练2（2015 淄博模拟）如图，在△AB ( http: / / www.21cnjy.com )C中，AB=AC，∠A=36°，BD、CE分别是∠ABC、∠BCD的角平分线，则图中的等腰三角形有（ ） ( http: / / www.21cnjy.com )A．5个 B．4个 C．3个 D．2个2．应用“等角对等边”证明边相等的问题【例2】（2015 杭州模拟）如图，在△A ( http: / / www.21cnjy.com )BC中，AB=AC，D为CA延长线上一点，DE⊥BC，交线段AB于点F．请找出一组相等的线段（AB=AC除外）并加以证明． ( http: / / www.21cnjy.com )总结：等腰三角形的判定定理“等角对等边”是证明两条线段相等的重要定理，是把三角形中角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据．练3已知：如图，DE∥BC，∠1=∠2，求证：BD=CE． ( http: / / www.21cnjy.com )3．构造等腰三角形【例3】（2015 永州模拟）在直角坐标系中，已知A（1，1），在x轴上确定点P，使△AOP为等腰三角形，则符合条件的点P共有（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个总结：构造等腰三角形可根据定义，也可根据等腰三角形的判定构造.要注意分类讨论，分别以已知边为腰或为底的情况进行讨论求解．练4（2015 蚌埠二模）如图所示，在3× ( http: / / www.21cnjy.com )3的网格中，每个网格线的交点称为格点，已知图中A、B为两格点，请在图中再寻找另一格点C，使△ABC成为等腰三角形．则满足条件的C点的个数为（） ( http: / / www.21cnjy.com )A．10个 B．8个 C．6个 D．4个
五、课后小测 一、选择题1．（2015 沂源县校级 ( http: / / www.21cnjy.com )模拟）有3cm，3cm，6cm，6cm，12cm，12cm的六条线段，任选其中的三条线段组成一个等腰三角形，则最多能组成等腰三角形的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．42．（2015 邵阳县一模）如图，在△ ( http: / / www.21cnjy.com )ABC，∠A=36°，∠B=72°，AC的垂直平分线分别交AC、AB于点D，E，则图中等腰三角形的个数为（） ( http: / / www.21cnjy.com )A．2个 B．3个 C．4个 D．5个二、填空题3．（2015 甘肃模拟）如图，△ ( http: / / www.21cnjy.com )ABC中，D、E分别是AC、AB上的点，BD与CE交于点O．给出下列三个条件：①∠EBO=∠DCO；②∠BEO=∠CDO；③BE=CD．上述三个条件中，哪两个条件可判定△ABC是等腰三角形（用序号写出一种情形）：__________． ( http: / / www.21cnjy.com )4．（2014春 海盐县校级期末）周长为21，边长都为整数的等腰三角形共有__________．5．（2013秋 定陶县期末）如图 ( http: / / www.21cnjy.com )，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于M，交AC于N，若BM+CN=9，则线段MN的长为__________． ( http: / / www.21cnjy.com )6．（2014春 浦东新区期末）如图，已知△ ( http: / / www.21cnjy.com )ABC，∠ACB的平分线CD交AB于点D，DE∥BC交AC于点E．如果EC=2AE，AC=5，则DE=__________． ( http: / / www.21cnjy.com )三、解答题7．（2015 深圳一模） ( http: / / www.21cnjy.com )已知：如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为点D，BE⊥AC，垂足为点E，M为AB边的中点，连接ME、MD、ED．（1）求证：△MED为等腰三角形；（2）求证：∠EMD=2∠DAC． ( http: / / www.21cnjy.com )8．（2015 温州模拟）如图，有甲，乙两个三角形，请你用一条直线把每一个三角形分成两个等腰三角形，并标出每个三角形各角的度数． ( http: / / www.21cnjy.com )9．（2014秋 北流市 ( http: / / www.21cnjy.com )期末）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高，AE是∠BAC的角平分线，AE与CD交于点F，求证：△CEF是等腰三角形． ( http: / / www.21cnjy.com )10．（2014秋 张家口期末）操作发现 ( http: / / www.21cnjy.com )将一副直角三角板如图（1）摆放，能够发现等腰直角三角板ABC的斜边BC与含30°角的直角三角板DEF的长直角边DE重合．问题解决将图1中的等腰直角三角板ABC绕点B顺时针旋转30°，点C落在BF上．AC与BD交于点O，连接CD，如图2．（1）若DF=4，求BF的长；（2）求证：△CDO是等腰三角形．11．（2014秋 威海期末）如图，在 ( http: / / www.21cnjy.com )△ABC中，AB=AC，过BC上一点D作BC的垂线，交BA的延长线于点P．交AC于点Q．试判断△APQ的形状，并证明你的结论． ( http: / / www.21cnjy.com )12．（2013秋 海淀区期末）在△A ( http: / / www.21cnjy.com )BC中，AD平分∠BAC，BD⊥AD，垂足为D，过D作DE∥AC，交AB于E，若AB=5，求线段DE的长． ( http: / / www.21cnjy.com )
典例探究答案：
【例1】【解析】由已知条件先求出∠ABC的度数，利用角平分线得到其他角的度数，然后根据等腰三角形的定义及等角对等边进行判断.
解：共有3个等腰三角形.
∵在△ABC中，∠A=36°，∠C=72°，
∴∠ABC=180°―∠A ―∠C=72°=∠C，
∴AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形.
∵BD平分∠ABC交AC于点D，
∴∠ABD=∠DBC=36°.
∵∠A=∠ABD=36°，
∴△ABD是等腰三角形.
∵∠BDC=∠A +∠ABD=36°+36°=72°=∠C，
∴△BDC是等腰三角形.
点评：本题考查了等腰三角形的判定、角平分线的性质及三角形内角和定理.求得各角的度数并利用等角对等边是解题的关键.
练1．证明:∵AE∥BC
∴∠DAE=∠B（两直线平行，同位角相等）
∠EAC=∠C (两直线平行，内错角相等)
又∠DAE=∠EAC
∴∠B=∠C
∴AB=AC(等角对等边)
∴△ABC是等腰三角形．
练2【解析】根据已知条件和等腰三角形的判定定理，对图中的三角形进行分析，即可得出答案．
解：共有5个．
（1）∵AB=AC
∴△ABC是等腰三角形；
（2）∵BD、CE分别是∠ABC、∠BCD的角平分线
∴∠EBC=∠ABC，∠ECB=∠BCD，
∵△ABC是等腰三角形，
∴∠EBC=∠ECB，
∴△BCE是等腰三角形；
（3）∵∠A=36°，AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=（180°﹣36°）=72°，
又BD是∠ABC的角平分线，
∴∠ABD=∠ABC=36°=∠A，
∴△ABD是等腰三角形；
同理可证△CDE和△BCD是等腰三角形．
故选：A．
点评：此题主要考查学生对等腰三角形判定和三角形内角和定理的理解和掌握，属于中档题．
【例2】【解析】据图易知∠ADE= ( http: / / www.21cnjy.com )90°﹣∠C，∠BFE=90°﹣∠B，而AB=AC，可知∠B=∠C，于是∠ADE=∠BFE，又∠AFD和∠BFE是对顶角，易得∠D=∠AFD，从而有AD=AF，易证之．
解：AD=AF.
∵AB=AC，
∴∠B=∠C .
∵DE⊥BC，
∴∠BEF=∠DEC=90°，
∵∠B+∠BFE=90°，∠C+∠D=90°，
∴∠BFE=∠D.
∵∠BFE=∠DFA，
∴∠DFA=∠D，
∴AF=AD．
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点评：本题考查了等腰三角形的判定和性质，解题的关键是证明∠D=∠AFD，注意等边对等角，以及等角对等边的灵活使用．
练3．证明：∵∠1=∠2（已知）
∴AD=AE（等角对等边）
∵DE∥BC（已知）
∴∠1=∠B,∠2=∠C
∴∠B=∠C
∴AB=AC（等角对等边）
∴AB-AD=AE-AC
即BD=CE．
【例3】【解析】如图，分别以点O、A为圆心，以OA或AO为半径画弧，交x轴于三点；作OA的垂直平分线，交x轴于一点，共即四点．
解：如图，
∵以点O为圆心，以OA为半径画弧，交x轴于点B、C；
以点A为圆心，以AO为半径画弧，交x轴于一点D（点O除外），
∴以OA为腰的等腰三角形有3个；
作OA的垂直平分线，交x轴于一点，
∴以OA为底的等腰三角形有1个，
综上所述，符合条件的点P共有4个，
故选：D．
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点评：该题以平面直角坐标系为载体，以考查等腰三角形的判定为核心构造而成；运用分类讨论的数学思想逐一讨论解析，是解决该题的关键．
练4．【解析】分AB是腰长时，根据网格结 ( http: / / www.21cnjy.com )构，找出一个小正方形与A、B顶点相对的顶点，连接即可得到等腰三角形，AB是底边时，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，AB垂直平分线上的格点都可以作为点C，然后相加即可得解．
解：如图，AB是腰长时，红色的4个点可以作为点C，
AB是底边时，黑色的4个点都可以作为点C，
所以，满足条件的点C的个数是4+4=8．
故选：B．
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点评：本题考查了等腰三角形的判定，熟练掌握网格结构的特点是解题的关键，要注意分AB是腰长与底边两种情况讨论求解．
课后小测答案：
一、选择题
1．【解析】由题意，可分情况：3cm ( http: / / www.21cnjy.com )作腰，6cm作底或12cm作底；6cm作腰，3cm作底或12cm作底；12cm作腰，3cm或6cm作底；再根据三角形的三边关系定理：任意两边之和大于第三边，判定等腰三角形的个数．
解：由题意可得，
3cm作腰，6cm作底或12cm作底，则三边分别为3cm，3cm，6cm，不能构成三角形，3cm，3cm，12cm，不能构成三角形；
6cm作腰，3cm作底或12cm作底，则三边分别为6cm，6cm，3cm，能构成三角形，6cm，6cm，12cm，不能构成三角形；
12cm作腰，3cm或6cm作底，则三边分别为12cm，12cm，3cm，能构成三角形，12cm，12cm，6cm，能构成三角形，
故最多能组成3个等腰三角形，
故选：C．
点评：本题主要考查等腰三角形的定义，三角形的三边关系，分情况讨论是解决本题的关键．
2．【解析】根据∠A=36°，∠B=7 ( http: / / www.21cnjy.com )2°利用三角形内角和定理求出∠ACB=72°，故可得AB=AC，利用由DE垂直平分AB，求出∠ACE的度数，然后可得∠BEC=∠B，同理即可证明：△ACE，△BEC是等腰三角形．
解：∵∠A=36°，∠B=72°，
∴∠ACB=180°﹣36°﹣72°=72°，
∴∠ACB=∠B，
∴AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形，
∵DE垂直平分AC，
∴EA=EC，
∴∠ACE=∠A=36°．
∴AE=CE，
∴△ACE是等腰三角形，
∴∠AEC=180°﹣36°﹣36°=108°，
∴∠BEC=72°．
∴∠BEC=∠B，
∴CE=BC．
∴△BEC是等腰三角形，
∴等腰三角形有△ABC，△ACE，△BEC，
故选：B．
点评：本题主要考查等腰三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，三角形的内角和定理，熟记有关的性质定理是关键．
二、填空题
3．【解析】根据已知条件求证△EBO≌△DCO，然后可得∠OBC=∠OCB再利用两角相等即可判定△ABC是等腰三角形．此题答案不唯一．
答：由①③条件可判定△ABC是等腰三角形．
证明：∵∠EBO=∠DCO，∠EOB=∠DOC，（对顶角相等）
BE=CD，
∴△EBO≌△DCO，
∴OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB，
∴∠ABC=∠ACB，
∴△ABC是等腰三角形．
点评：此题主要考查学生对等腰三角形的判定和全等三角形的判定与性质的理解和掌握，难度不大，是一道基础题．
4．【解析】设等腰三角形的腰长为x，则其底边长为：21﹣2x，根据三角形三边关系可列不等式，从而可求得x的取值，即不难求解．
解：设等腰三角形的腰长为x，则其底边长为：21﹣2x．
∵0＜21﹣2x＜2x，
∴5.25＜x＜10.5，
∵边长为整数，
∴x的取值为：6，7，8，9，10，
∴这样的等腰三角形共有5个，
故答案为：5．
点评：此题主要考查等腰三角形的性质及三角形三边关系的综合运用．
5．【解析】由∠ABC、∠AC ( http: / / www.21cnjy.com )B的平分线相交于点O，∠MBE=∠EBC，∠ECN=∠ECB，利用两直线平行，内错角相等，利用等量代换可∠MBE=∠MEB，∠NEC=∠ECN，然后即可求得结论．
解：∵∠ABC、∠ACB的平分线相交于点E，
∴∠MBE=∠EBC，∠ECN=∠ECB，
∵MN∥BC，
∴∠EBC=∠MEB，∠NEC=∠ECB，
∴∠MBE=∠MEB，∠NEC=∠ECN，
∴BM=ME，EN=CN，
∴MN=ME+EN，
即MN=BM+CN．
∵BM+CN=9
∴MN=9，
故答案为：9．
点评：题考查学生对等腰三角形的判定与性质和平行线性质的理解与掌握．此题关键是证明△BME，△CNE是等腰三角形．
6．【解析】根据角平分线定义得到∠BC ( http: / / www.21cnjy.com )D=∠ACD，由于DE∥BC，根据平行线性质得∠EDC=∠BCD，则∠EDC=∠ACD，然后根据等腰三角形的判定得ED=EC，由EC=2AE，AC=5求出CE的长，进而得出结论．
解：∵DC平分∠ACB，
∴∠BCD=∠ACD，
∵DE∥BC，
∴∠EDC=∠BCD，
∴∠EDC=∠ACD，
∴ED=EC，
∵EC=2AE，AC=5，
∴EC=AC=
∴DE=．
故答案为：．
点评：本题考查了等腰三角形的判定与性质，即有两个角相等的三角形为等腰三角形；等腰三角形的两底角相等．也考查了平行线性质．
三、解答题
7．【解析】（1）由于AD⊥BC，BE⊥AC，所以△ADB和△ABE是直角三角形，又因为M为AB边的中点，所以ME=MD=AB，所以△MED为等腰三角形；
（2）利用三角形的外角等于和它不相邻两个内角的和这样推论，可知∠BME=2∠MAE，∠BMD=2∠MAD，作差即可证得结论．
证明：（1）∵M为AB边的中点，AD⊥BC，BE⊥AC，
∴ME=AB，MD=AB，
∴ME=MD，
∴△MED为等腰三角形；
（2）∵ME=AB=MA，
∴∠MAE=∠MEA，
∴∠BME=2∠MAE，
同理，MD=AB=MA，
∴∠MAD=∠MDA，
∴∠BMD=2∠MAD，
∴∠EMD=∠BME﹣∠BMD=2∠MAE﹣2∠MAD=2∠DAC．
点评：本题反复运用了“等边对等角”这一判定 ( http: / / www.21cnjy.com )定理，将已知的等边转化为有关角的关系，并联系三角形的内角和及三角形一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质来证得结论．
8．【解析】根据等腰三角形的 ( http: / / www.21cnjy.com )性质，一个等腰三角形的两底角相等，故可把原三角形中的一个角分成两个角，故（1）把75°的角分成25°的角和50°的角，则25°和25°的底角组成一个等腰三角形，另外一个三角形是两底角为50°的等腰三角形；（2）把120°的角分成80°和40°的角，则40°与40°的底角组成一个等腰三角形，另外一个三角形有两个角都是80°．
解：如图1：直线把75°的角分成25°的角和50°的角，
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则分成的两个三角形都是等腰三角形；
如图2，直线把120°的角分成80°和40°的角，
( http: / / www.21cnjy.com )
则分成的两个三角形都是等腰三角形．
点评：本题主要考查了等腰三角形的判定以及作图，确定分割三角形中的哪一个角是解题的关键．
9．【解析】根据直角三角形两锐角互余求 ( http: / / www.21cnjy.com )得∠BAE=∠EAC，然后根据三角形外角的性质求得∠CEF=∠CFE，根据等角对等边求得CE=CF，从而求得△CEF是等腰三角形．
证明：∵在△ABC中，∠ACB=90°，
∴∠B+∠BAC=90°，
∵CD是AB边上的高，
∴∠ACD+∠BAC=90°，
∴∠B=∠ACD，
∵AE是∠BAC的角平分线，
∴∠BAE=∠EAC，
∴∠B+∠BAE=∠ACD+∠EAC，
即∠CEF=∠CFE，
∴CE=CF，
∴△CEF是等腰三角形．
点评：本题考查了直角三角形的性质，三角形外角的性质，等腰三角形的判定等，熟练掌握性质定理是解题的关键．
10．【解析】（1）根据30°角所对直角边是斜边一半的性质即可求得BF的长，即可解题；
（2）根据BC=DE和∠DEF=30°可求得∠BDC和∠BCD的值，根据∠ACB=45°即可求得∠DOC的值，即可解题．
解：（1）∵在Rt△DEF中，∠DEF=30°，∠EDF=90°，DF=4，
∴BF=8．
（2）∵在△BDC 中，BC=DE，
∴∠BDC=∠BCD．
∵∠DEF=30°，
∴∠BDC=∠BCD=75°，
∵∠ACB=45°，
∴∠DOC=30°+45°=75°．
∴∠DOC=∠BDC，
∴△CDO是等腰三角形．
点评：本题考查了等腰三角形的判定，考查了30°角所对直角边是斜边一半的性质，本题中求证∠DOC=∠BDC是解题的关键．
11．【解析】根据等腰三角形的性质可得∠B=∠C，然后根据三角形的外角的性质可以证明∠P=∠DQC=∠AQP，则以及等角对等边即可证得．
解：△APQ是等腰三角形．
证明：∵∠QDB=∠DQC+∠C，∠PDC=∠B+∠P，
又∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∴∠P=∠DQC=∠AQP，
∴AP=AQ，
∴△APQ是等腰三角形．
点评：本题考查三角形的外角的性质以及等腰三角形的性质以及判定定理，正确理解定理是关键．
12．【解析】求出∠CAD=∠BAD= ( http: / / www.21cnjy.com )∠EDA，推出AE=DE，求出∠ABD=∠EDB，推出BE=DE，求出AE=BE，根据直角三角形斜边上中线性质求出即可．
解：∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
∵DE∥AC，
∴∠CAD=∠ADE，
∴∠BAD=∠ADE，
∴AE=DE，
∵AD⊥DB，
∴∠ADB=90°，
∴∠EAD+∠ABD=90°，∠ADE+∠BDE=∠ADB=90°，
∴∠ABD=∠BDE，
∴DE=BE，
∵AB=5，
∴DE=BE=AE=AB=2.5．
点评：本题考查了平行线的性质，等腰三角形的性质和判定，直角三角形斜边上中线性质的应用，关键是求出DE=BE=AE．