【多媒体导学案】人教版数学七年级上册第三章第10课时 一元一次方程的应用—行程问题（教师版）

一、学习目标 1.掌握行程问题中三个基本量的等量关系，建立数学模型；2.会用列一元一次方程解决行程问题；3.体验运用一元一次方程解决生活中的问题．
二、知识回顾 1. 行程问题中的基本关系量　　路程、速度、时间　　2. 它们有什么关系？　　路程=速度×时间 时间=路程÷速度 速度=路程÷时间　　
三、新知讲解 1.行程问题中的三个基本量及其关系路程=速度×时间 时间=路程÷速度 速度=路程÷时间2.行程问题的基本类型①相遇问题：快行距+慢行距=原距②追及问题：快行距-慢行距=原距③航行问题：顺水（风）速度=静水（风）速度+水流（风）速度 逆水（风）速度=静水（风）速度-水流（风）速度顺速-逆速=2水速；顺速+逆速=2船速 顺水路程=逆水路程注意：抓住两码头间距离不变，水流速和船速（静水速）不变的特点考虑相等关系．常见的还有：相背而行，环形跑道问题等．
四、典例探究 扫一扫，有惊喜哦！1.相遇问题【例1】电气机车和磁悬浮列车从相距298 ( http: / / www.21cnjy.com )千米的两地同时出发相对而行，磁悬浮列车的速度比电气机车速度的5倍还快20千米/时，半小时后两车相遇．两车的速度各是多少？总结：行程问题的基本关系式是：路程=速度×时间.两车两地同时相向而行的相遇问题中，其等量关系是：快车路程+慢车路程=相距路程.基本关系式结合相遇问题中的等量关系即可列方程求解.注意：行程问题可以结合线段图来理解题意，分析各数量之间的关系.变式一——改变条件：电气机车和磁悬浮列车从 ( http: / / www.21cnjy.com )相距298千米的两地同时出发相对而行，磁悬浮列车比电气机车每小时快404千米，半小时后两车相遇，两车的速度各是多少？变式二——改变问题：电气机车和磁悬浮列车从 ( http: / / www.21cnjy.com )相距298千米的两地同时出发相对而行，磁悬浮列车的速度比电气机车速度的5倍还快20千米/时，半小时后两车相遇，又经过多长时间两车的行驶总里程相差303千米？练1甲、乙骑自行车同时从相距65千米的两地相向而行，2小时相遇．甲比乙每小时多骑2.5千米，则乙的速度是　　 　．2.追及问题【例2】田径队的强强和壮壮 ( http: / / www.21cnjy.com )在400米的环形跑道上练习长跑，两人同时从同一起点出发，强强的速度是6米/秒，壮壮的速度是4米/秒，壮壮跑几圈后，强强可超过壮壮一圈？总结：追及问题包含三种情形：直线形追及问题中，同地不同时出发，涉及的相等关系是：前者走的路程=后者走的路程；直线形追及问题中，同时不同地出发，涉及的相等关系是：前者走的路程-追者走的路程=两地相距路程；环形跑道追及问题中，同时同地出发，涉及的关系式是：快行路程-慢行路程=相距路程.练2甲、乙两同学参加100米赛跑，甲平均每秒跑8米，乙平均每秒跑米，如果甲让乙先跑1秒，那么甲经过几秒可以追上乙？3．流水行船问题【例3】一艘船从甲码头到乙码头顺流行驶 ( http: / / www.21cnjy.com )，用了2小时；从乙码头返回甲码头逆流行驶，用了2.5小时．已知水流的速度是3千米/时，求船在静水中的平均速度．总结：航行问题中涉及关系式是：顺流速度=静水速度+水流速度，逆流速度=静水速度-水流速度.一般情况下，航行问题中利用“顺流路程=逆流航程”这一相等关系列方程求解.练3一艘船从甲码头到乙码头顺流行驶 ( http: / / www.21cnjy.com )用4小时，从乙码头到甲码头逆流行驶用4小时40分钟，已知水流速度为3千米/小时，则船在静水中的平均速度是多少？4．其他行程问题【例4】从甲地到乙地，公共汽车原需 ( http: / / www.21cnjy.com )行驶7小时，开通高速公路后，车速平均每小时增加了20千米，只需5个小时即可到达．则公共汽车提速后的速度是（　　）千米/时．A．40 B．50 C．60 D．70总结：行程问题中，无论题设条件怎么变化，最终都会用到基本关系式“路程=速度×时间”.一般地，如果设路程为未知量，那么根据速度或时间的相等关系来列方程；如果设速度（或时间）为未知量，那么根据路程（或速度）来列方程.有时候间接设未知量比直接设未知量，更容易找到相等关系.练4京津城际铁路将于2008年8月1日开通运 ( http: / / www.21cnjy.com )营，预计高速列车在北京、天津间单程直达运行时间为半小时．某次试车时，试验列车由北京到天津的行驶时间比预计时间多用了6分钟，由天津返回北京的行驶时间与预计时间相同．如果这次试车时，由天津返回北京比去天津时平均每小时多行驶40千米，那么这次试车时由北京到天津的平均速度是每小时多少千米？
五、课后小测 解答题1．天津到济南的铁路长35 ( http: / / www.21cnjy.com )7千米,一列快车从天津开出，同时有一列慢车从济南开出，两车相向而行，经过3小时相遇.快车平均每小时行79千米，慢车平均每小时行多少千米？2．（2011 禅城区模 ( http: / / www.21cnjy.com )拟）A、B两市相距300千米．现有甲、乙两车从两地同时相向而行，已知甲车的速度为40千米/小时，乙车的速度为50千米/小时，请问几小时后两车之间的距离为30千米．3．甲、乙二人在300米的环形跑道上练习长跑，甲的速度是6米/秒，乙的速度是7米/秒．（1）如果甲、乙二人同地背向跑，乙先跑2秒，再经过多少秒二人相遇 （2）如果甲、乙二人同时同地同向跑，乙跑几圈后能首次追上甲 （3）如果甲、乙二人同时同向跑，乙在甲前面6米，经过多少秒后两人第二次相遇 4．（2008 南宁）小李骑自行车从A ( http: / / www.21cnjy.com )地到B地，小明骑自行车从B地到A地，两人都匀速前进．已知两人在上午8时同时出发，到上午10时，两人还相距36千米，到中午12时，两人又相距36千米．求A、B两地间的路程． ( http: / / www.21cnjy.com )5． A、B两地间的距离为360km， ( http: / / www.21cnjy.com )甲车从A地出发开往B地，每小时行驶72km；甲车出发25分钟后，乙车从B地出发开往A地，每小时行驶48km，两车相遇后，各自仍按原速度、原方向继续行驶，求相遇以后两车相距100km时，甲车共行驶了多少小时？6．（2014 江西模拟）如图，已 ( http: / / www.21cnjy.com )知箭头的方向是水流的方向，一艘游艇从江心岛的右侧A点逆流航行3小时到达B点后，又继续顺流航行2小时15分钟到达C点，总共行驶了198km，已知游艇的速度是38km/h．（1）求水流的速度；（2）由于AC段在建桥，游艇用同样的速度沿原路返回共需要多少时间？ ( http: / / www.21cnjy.com )7．（2010 赤峰）从甲地到乙地的路有 ( http: / / www.21cnjy.com )一段平路与一段上坡路．如果骑自行车保持平路每小时行15km，上坡路每小时行10km，下坡路每小时行18km，那么从甲地到乙地需29min，从乙地到甲地需25min．从甲地到乙地的路程是多少？8．（2014秋 新密市期末）我市某 ( http: / / www.21cnjy.com )初中每天早上总是在规定时间打开学校大门，七年级同学小明每天早上同一时间从家到学校，周一早上他骑自行车以每小时12千米的速度到校，结果在校门口等了6分钟才开门，周二早上他步行以每小时6千米的速度到校，结果校门已开了12分钟，请解决以下问题：（1）小明从家到学校的路程是多少千米？（2）周三早上小明想准时到达学校门口，那么他应以每小时多少千米度速度到学校？9．（2014秋 丹东期末）学校组织学 ( http: / / www.21cnjy.com )生春游，小刚因故迟到没有赶上旅游车，于是他乘坐一辆出租车进行追赶，小刚打电话给老师，老师对他乘坐出租车司机说，出租车若每小时走80千米，则需1.5小时才能追上，若每小时走90千米，40分钟就能追上．通过老师对出租车司机所的话，求旅游车的速度是每小时多少千米？10．（2014秋 丰台区期末 ( http: / / www.21cnjy.com )）某人开车从甲地到乙地办事，原计划2小时到达，但因路上堵车，平均每小时比原计划少走了25千米，结果比原计划晚1小时到达，问原计划的速度是多少．11．（2014 鞍山）甲乙两人在一环 ( http: / / www.21cnjy.com )形场地上锻炼，甲骑自行车，乙跑步，甲比乙每分钟快200m，两人同时从起点同向出发，经过3min两人首次相遇，此时乙还需跑150m才能跑完第一圈．（1）求甲、乙两人的速度分别是每分钟多少米？（列方程或者方程组解答）（2）若两人相遇后，甲立即以每分钟300m ( http: / / www.21cnjy.com )的速度掉头向反方向骑车，乙仍按原方向继续跑，要想不超过1.2min两人再次相遇，则乙的速度至少要提高每分钟多少米？12．（2014 昌平区一模 ( http: / / www.21cnjy.com )）列方程解应用题：王亮的父母每天坚持走步锻炼．今天王亮的妈妈以每小时3千米的速度走了10分钟后，王亮的爸爸刚好看完球赛，马上沿着妈妈所走的路线以每小时4千米的速度追赶，求爸爸追上妈妈时所走的路程．13．（2014秋 宝安区期末）列方程解应用题如图，在数轴上的点A表示﹣4，点B表示 ( http: / / www.21cnjy.com )5，若有两只电子蜗牛甲、乙分别从A、B两点同时出发，保持匀速运动，甲的平均速度为2单位长度/秒，乙的平均速度为1单位长度/秒．请问：（1）两只蜗牛相向而行，经过　3　秒相遇，此时对应点上的数是　2　．（2）两只蜗牛都向正方向而行，经过多少秒后蜗牛甲能追上蜗牛乙？14．（2014秋 锦江区校级期末）两 ( http: / / www.21cnjy.com )河流交汇于点M处，甲河流水速为4km/h，乙河流水速为2km/h，一船只在静水中的速度为10km/h．某次该船只，从甲河流的上游A行驶到交汇处M后再沿乙河流逆流而上到点B，总共行驶了69km．原路返回后，发现往返所用时间相等．求此次航行往返总时间．
典例探究答案：
【例1】 【解析】因为是两车相对而行，所 ( http: / / www.21cnjy.com )以磁悬浮列车行驶的路程+电气机车行驶的路程=298千米.设电气机车的速度为x千米/时，则磁悬浮列车的速度是（5x+20）千米/时，
根据题意列方程，得：
解得x=96．
所以，5x+20=5×96+20=500（千米/时）．
答：电气机车的速度为96千米/时，磁悬浮列车的速度为500千米/时．　　
变式一：【解析】本题对原题的条件进行了改变，
设电气机车的速度为x千米/时，则磁悬浮列车的速度是（x+404）千米/时，
根据题意,得.
解得x=96,x+404=500(千米/时),
答：电气机车的速度为96千米/时，磁悬浮列车的速度为500千米/时．　　
变式二：【解析】直接设问题中所求的量为未知数 ( http: / / www.21cnjy.com )，有些难度，需间接设未知数，仍设设电气机车的速度为x千米/时，则磁悬浮列车的速度为（5x+20）千米/时，
根据题意,得. 解得x=96，5x+20=5×96+20=500（千米/时）．
．
答：又经过小时两车的行驶总里程相差303千米．　　
练1 【解析】解：设乙的速度是x千米/时，则甲的速度是(2.5+x)千米/时，根据题意得：
2（x+2.5+x）=65
解得：x=15千米/时
即乙的速度是15千米/时．　　
【例2】【解析】解法1：设“时间”为未知数，即设强强经过t秒后可超过壮壮一圈，则强强、壮壮跑过的路程分别为6t米,4t米，
根据强强走的路程－壮壮走的路程=强强多走的路程列方程，得：
6t–4t=400×1．
解得：t=200秒，
此时，壮壮跑的圈数是：200×4÷400=2圈，
答：壮壮跑2圈后，强强可超过壮壮一圈．
解法2：设“路程”为未知数，即设强强超过壮壮一圈时，壮壮跑过的路程为x米，则强强跑过的路程为（x+400）米，
根据两人所用的时间相等列方程，得：
．
解得：x=800米，
壮壮跑的圈数是：800÷400=2（圈）．
解法3：设壮壮跑x 圈后，强强超过壮壮一圈，则壮壮跑的路程为400x米，强强跑的路程为（400x+400）米，
根据他们所用的时间相等列出方程，得：
．
解得：x=2
答：壮壮跑2圈后，强强超过壮壮一圈.　　
练2 【解析】解：题中的等量关系是甲跑的路程=乙跑的路程，甲的时间+1=乙的时间.
设甲经过秒可以追上乙，
由题意，得﹒
解得﹒
因此甲经过15秒可以追上乙﹒
经检验当时，，即在100米这段路程内，如果甲让乙先跑1秒，甲不可能追上乙，因此本题无解．　　
【例3】【解析】一般情况下可以认为这艘船往返的路程相等，即：顺流速度×顺流时间=逆流速度×逆流时间
解：设船在静水中的平均速度为千米/时，则顺流行驶的速度为(+3)千米/时，逆流行驶的速度为(-3)千米/时，
根据路程相等，得方程：2（x+3）=2.5(x-3)　　
去括号，得：2x+6=2.5x-7.5
移项，得2x-2.5x=-7.5-6
合并同类项，得-0.5x=-13.5
系数化为1，得x=27
答：船在静水中的平均速度为27千米/时．　　
练3 【解析】设船在静水中的平均速度是x千米/时，根据题意得
4（x+3）=（x﹣3），
解得x=39．
答：船在静水中的平均速度是39千米/时．　　
【例4】【解析】解：设：甲乙两地的路程是x千米．
根据题意列方程得：（+20）×5=x，
解得：x=350．
则公共汽车提速后的速度是=70（千米/时）．
故选D．
练4 【解析】解：设这次试车时，由北京到天津的平均速度是每小时x千米，则由天津返回北京的平均速度是每小时（x+40）千米
依题意得：
解得：x=200．
答：这次试车时，由北京到天津的平均速度是每小时200千米．
课后小测答案：
解答题
1．【解析】本题属于相遇问题，其中的等量关系是速度和×相遇时间=总路程，
设慢车平均每小时行千米，列方程：
（79＋）×3=357.
解得x=40.
答：慢车平均每小时行40千米.
2．【解析】设x小时后两车之间的距离 ( http: / / www.21cnjy.com )为30千米，这应该有两种情况，相遇前相距30千米，或者相遇后相遇30千米，根据路程=速度×时间，可列方程求解．
解答：解：①设x小时后两车之间的距离为30千米．
（40+50）x=300﹣30，
x=3，
②设x小时后两车之间的距离为30千米．
（40+50）x=300+30，
x=3，
故在3小时或3小时后两车之间的距离为30千米．
3．【解析】解：（1）设再经过x秒甲、乙二人相遇．根据题意，得
7×2＋7x＋6x=300，解得x=22．
所以经过22秒甲、乙二人相遇．
（2）设经过y秒后乙能追上甲．根据题意，得
7y－6y=300，解得y=300．
乙跑一圈需要秒．所以乙跑了300÷=7圈，即乙跑7圈后首次追上甲．
（3）设经过t秒后两人第二次相遇．根据题意，得
7t＋6=6t＋300×2，解得t=594．
所以经过594秒后两人第二次相遇．
4．【解析】上午8时同时出发，到上午10时，两人还相距36千米说明，这2小时所走过的路程的和是A、B两地间的路程﹣36千米，即两人速度的和是；到中午12时，两人又相距36千米，即从上午10点到中午12点这2个小时内，两人所走的路程的和是36+36=72千米，即这段时间两人速度的和是千米．两段时间内速度的和相等，因而就可以得到相等关系．
解：设A、B两地间的路程为x千米，
根据题意得：
解得：x=108．
答：A、B两地间的路程为108千米．
点评：本题考查用一元一次方程解决实际问 ( http: / / www.21cnjy.com )题．运用一元一次方程、二元一次方程组、一元二次方程或分式方程解决实际问题，是近年中考的热点题型．本题要把握题目中两人速度这个不变量建立等量关系，就显得尤为简单．同时注意两人从相距36千米到再次相距36千米，两人所骑的路程和为72千米．
5．【解析】此题是相遇问题，等量关系是：甲乙行驶的距离和为A、B两地间的距离加上相遇后两车又行驶的路程，设甲车共行驶了x小时，则可知乙车行驶了（x﹣）小时，列方程即可解得．
解答：解：设甲车共行驶了x小时，
则：48（x﹣）+72x=360+100
解得：x=4
答：甲车共行驶了4小时．
6．【解析】（1）设水流速度为x km/ ( http: / / www.21cnjy.com )h，则游艇的顺流速度为（x+38）km/h，游艇的逆流航行速度为（38﹣x）km/h．根据“总共行驶了198km”列方程；
（2）AB段的路程为3×36=108（km），BC段的路程为．则往返时间=两段时间之和．
解答：解：（1）设水流速度为x km/h，则游艇的顺流速度为（x+38）km/h，游艇的逆流航行速度为（38﹣x）km/h．
据题意可得，．
解得x=2．
∴水流的速度为2km/h．
（2）由（1）可知，顺流航行速度为40km/h，逆流航行的速度为36km/h．
∴AB段的路程为3×36=108（km），BC段的路程为．
故原路返回时间为： ．
答：游艇用同样的速度原路返回共需要5小时12分．
7．【解析】本题首先依据题意得出等量关系即甲地到乙地的路程是不变的，进而列出方程为10 ，从而解出方程并作答．
解答：解：设平路所用时间为x小时，
29分=小时，25分=小时，
则依据题意得：10（﹣x）=18（），
解得：x=，
则甲地到乙地的路程是15×+10×（）=6.5km，
答：从甲地到乙地的路程是6.5km．
8．【解析】（1）设准时到达学校门 ( http: / / www.21cnjy.com )口所用时间t小时，则星期一中午小明从家骑自行车到学校门口所用时间为（t﹣0.1）小时，星期二中午小明从家骑自行车到学校门口所用时间为（t+0.2）小时，根据两次行驶的路程相等建立方程即可；
（2）根据速度=路程÷时间，列出算式计算即可求解．
解答：解：（1）设准时到达学校门口所用时间t小时，依题意有
12（t﹣0.1）=6（t+0.2），
解得t=0.4，
12（t﹣0.1）=12×（0.4﹣0.1）=3.6．
答：小明从家到学校的路程是3.6千米．
（2）3.6÷0.4=9（千米）．
答：他应以每小时9千米度速度到学校．
9．【解析】由“每小时行80千米，需1.5小时才能追上”可知小刚应乘坐出租车行80×1.5=120千米才能追上旅游车；由“每小时行90千米，40分钟就能追上”可知小刚应乘坐出租车行90× =60千米才能追上校车．两者路程差为60千米．时间差为1.5﹣=小时，由关系式：路程差=时间差×旅游车速度，列方程解决问题．
解答：解：设旅游车的速度是每小时x千米，由题意得
1.5x﹣x=80×1.5﹣90×，
解得：x=72．
答：旅游车的速度是每小时72千米．
10．【解析】可设原计划每小时行驶x千米，根据路程一定的等量关系，列出方程求解即可．
解答：解：设原计划每小时行驶x千米．
根据题意，得：2x=3（x﹣25），
解得：x=75．
答：原计划每小时行驶75千米．
11．【解析】（1）可设乙的速度是每 ( http: / / www.21cnjy.com )分钟x米，则甲的速度是每分钟（x+200）米，两人同向而行相遇属于追及问题，等量关系为：甲路程与乙路程的差=环形场地的路程，列出方程即可求解；
（2）在环形跑道上两人背向而行属于相遇问题，等量关系为：甲路程+乙路程=环形场地的路程，列出算式求解即可．
解答：解：（1）设乙的速度是每分钟x米，则甲的速度是每分钟（x+200）米，依题意有
3x+150=200×3，
解得x=150，
x+200=150+200=350．
答：甲的速度是每分钟350米，乙的速度是每分钟150米．
（2）（200×3﹣300×1.2）÷1.2
=（600﹣360）÷1.2
=240÷1.2
=200（米），
200﹣150=50（米）．
答：乙的速度至少要提高每分钟50米．
点评：本题考查环形跑道上的相遇问题和追 ( http: / / www.21cnjy.com )及问题．相遇问题常用的等量关系为：甲路程+乙路程=环形跑道的长度，追及问题常用的等量关系为：甲路程﹣乙路程=环形跑道的长度．
12．【解析】设爸爸追上妈妈 ( http: / / www.21cnjy.com )时所走的路程为x千米，爸爸追上妈妈所走的路程相等，时间的差是10分钟，即妈妈所用时间﹣爸爸所用时间=10分钟，据此相等关系即可列方程求解．
解答：解：设爸爸追上妈妈时所走的路程为x千米．
根据题意，得： ．
解得：x=2．
答：爸爸追上妈妈时所走的路程为2千米．
13．【解析】（1）可设两只蜗牛相向而行，经过x秒相遇，根据等量关系：两只蜗牛的速度和×时间=5﹣（﹣4），列出方程求解即可；
（2）可设两只蜗牛都向正方向而行，经过y秒后蜗牛甲能追上蜗牛乙，根据等量关系：两只蜗牛的速度差×时间=5﹣（﹣4），列出方程求解即可．
解答：解：（1）设两只蜗牛相向而行，经过x秒相遇，依题意有
（2+1）x=5﹣（﹣4），
解得x=3．
﹣4+2×3=﹣4+6=2．
答：两只蜗牛相向而行，经过3秒相遇，此时对应点上的数是2．
（2）设两只蜗牛都向正方向而行，经过y秒后蜗牛甲能追上蜗牛乙，依题意有
（2﹣1）y=5﹣（﹣4），
解得y=9．
答：两只蜗牛都向正方向而行，经过9秒后蜗牛甲能追上蜗牛乙．
14．【解析】可设甲河流的 ( http: / / www.21cnjy.com )上游A到交汇处M的路程为xkm，则交汇处M到乙河流的路程为（69﹣x）km，根据时间的等量关系：原路返回后，发现往返所用时间相等，路程方程求解即可．
解答：解：设甲河流的上游A到交汇处M的路程为xkm，则交汇处M到乙河流的路程为（69﹣x）km，
依题意有 ，
解得x=21，
（+）×2=（+）×2=15．
答：此次航行往返总时间是15h．